• Calcolare il seguente integrale doppio Z Z

Tutoraggio Analisi II, Ing. Ambiente e Territorio Dott.ssa Silvia Marconi - 30 Aprile ’08 -

 Integrali doppi

Integrali doppi su domini normali.

• Calcolare il seguente integrale doppio Z Z

E

2x

4 − y dxdy

dove E ` e il dominio E = {(x, y) ∈ R

: 0 ≤ x ≤ 1; x

≤ y ≤ min{2x, 1}}.

• Calcolare l’integrale doppio Z Z

D

|y − √

x| dxdy

dove D ` e il dominio D = {(x, y) ∈ R

: x + y ≤ 2; x ≥ 0; y ≥ 0}.

 Cambio di variabili negli integrali doppi

Trasformazione di coordinate negli integrali doppi. Passaggio a coordinate polari.

• Con l’uso delle coordinate polari calcolare il seguente integrale doppio Z Z

D

xy

px

+ y

dxdy dove D ` e il dominio

D = (

(x, y) ∈ R

: x

+ y

− 9 ≤ 0 ; x

+ y

− 1 ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≥

√ 3 3 x

)

• Con un opportuno cambio di variabili calcolare l’integrale doppio Z Z

S

xy dxdy

dove S ` e il dominio S = {(x, y) ∈ R

: 0 ≤ x ≤ y ≤ 3x ; 1 ≤ xy ≤ 2}.

 Formule di Gauss - Green nel piano

• Calcolare il seguente integrale doppio:

Z Z

D

x y dxdy

dove D ` e il dominio D = {(x, y) ∈ R

: x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 1 ; y ≤ ln x}.