I Poligoni I Poligoni

I Poligoni

I Poligoni

Spezzata Spezzata

 A cosa vi fa pensare una spezzata?A cosa vi fa pensare una spezzata?

 Qualcosa che si rompe in tanti pezziQualcosa che si rompe in tanti pezzi

 A me dà l’idea di un spaghetto che A me dà l’idea di un spaghetto che si rompe

si rompe

 Se noi rompiamo uno spaghetto e Se noi rompiamo uno spaghetto e manteniamo uniti i vari pezzi per un manteniamo uniti i vari pezzi per un punto abbiamo l’idea della spezzata punto abbiamo l’idea della spezzata

 In pratica la spezzata è In pratica la spezzata è data dall’unione di tanti data dall’unione di tanti

segmenti uno consecutivi segmenti uno consecutivi

all’altro all’altro

D B

C

A E

F

Elementi di una pezzata Elementi di una pezzata

D B

C

A E

estremi F

vertici

I punti di inizio e di fine della spezzata prendono il nome di estremi della spezzata

I punti che uniscono i segmenti consecutivi

prendono il nome di vertici della spezzata

I segmenti consecutivi che formano la spezzata

prendono il nome di lati della spezzata

lati

Tipi di spezzata Tipi di spezzata

 Spezzata aperta sempliceSpezzata aperta semplice

 Spezzata aperta intrecciataSpezzata aperta intrecciata

 Spezzata chiusa sempliceSpezzata chiusa semplice

 Spezzata chiusa intrecciataSpezzata chiusa intrecciata

Spezzata aperta Spezzata aperta

 Una spezzata si dice aperta se i suoi Una spezzata si dice aperta se i suoi estremi non coincidono

estremi non coincidono

 Una spezzata aperta si dice rintracciata Una spezzata aperta si dice rintracciata quando ha due o più lati che si

quando ha due o più lati che si intersecano

intersecanoSpezzata aperta

Spezzata aperta intrecciata

Spezzata Chiusa Spezzata Chiusa

 Una spezzata si dice chiusa se i suoi Una spezzata si dice chiusa se i suoi estremi coincidono

estremi coincidono

 Una spezzata chiusa si dice intrecciata Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha almeno due lati che si

se ha almeno due lati che si intersecano

intersecano

Spezzata semplice chiusa

Spezzata chiusa intrecciata

Poligono Poligono

 Cosa succede al piano a se noi Cosa succede al piano a se noi tracciamo una spezzata chiusa tracciamo una spezzata chiusa

semplice?

semplice?

 Se immaginiamo di prendere un Se immaginiamo di prendere un paio di forbici e di ritagliare il

paio di forbici e di ritagliare il contorno cosa abbiamo preso?

contorno cosa abbiamo preso?

 Un pezzo di piano più Un pezzo di piano più

precisamente una porzione di precisamente una porzione di

piano (parte colorata) piano (parte colorata)

Definiamo poligono una porzione di

piano delimitata da una spezzata chiusa

Delimitare: Chiudere qualcosa dentro un limite, tracciarne i confini

Lati consecutivi Lati consecutivi

 Consideriamo la Consideriamo la seguente figura seguente figura

 Vediamo che i lati a e Vediamo che i lati a e i lati b hanno un

i lati b hanno un

vertice in comune (B) vertice in comune (B)

Contributi esterni

Tipi di poligono Tipi di poligono

 Possiamo riconoscere due tipi di poligoniPossiamo riconoscere due tipi di poligoni

1.1. Poligono concavoPoligono concavo

2.2. Poligono convessoPoligono convesso

 Che differenza esiste fra i due?Che differenza esiste fra i due?

Poligono Convesso Poligono Convesso

 Fissiamo la nostra attenzione sugli Fissiamo la nostra attenzione sugli angoli interni e sui lati

angoli interni e sui lati

 Definiamo interno l’angolo formato Definiamo interno l’angolo formato da due lati consecutivi

da due lati consecutivi

 Tutti gli angoli interni sono minori di Tutti gli angoli interni sono minori di un angolo piatto

un angolo piatto

 Se consideriamo le rette passanti Se consideriamo le rette passanti per i lati del poligono nessuna di per i lati del poligono nessuna di

esse lo attraversa esse lo attraversa

 Si definisce convesso un Si definisce convesso un poligono che non viene poligono che non viene

attraversato dal attraversato dal

prolungamento dei suoi lati prolungamento dei suoi lati

Poligono concavo Poligono concavo

 Fissiamo nuovamente la nostra Fissiamo nuovamente la nostra attenzione sugli angoli interni e sui attenzione sugli angoli interni e sui latilati

 Alcuni angoli interni sono maggiori Alcuni angoli interni sono maggiori di un angolo piatto

di un angolo piatto

 Se consideriamo le rette passanti Se consideriamo le rette passanti per i lati del poligono alcune di esse per i lati del poligono alcune di esse

lo attraversano lo attraversano

 Si definisce concavo un Si definisce concavo un poligono che è

poligono che è attraversato dal attraversato dal

prolungamento di alcuni prolungamento di alcuni latilati

Diagonali

 Consideriamo la seguente figura

 Disegniamo un segmento che unisce due vertici non

consecutivi

 Chiamiamo questo segmento diagonale

 Si definisce diagonale in segmento che

unisce due vertici non consecutivi di un

poligono

Perimetro Perimetro

 Consideriamo il seguente poligonoConsideriamo il seguente poligono

 I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligonoI lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono

 Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva)

come si fa altrimenti slide successiva)

 La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi lati è detta La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi lati è detta perimetro del poligono

perimetro del poligono

 Di definisce perimetro di un poligono e si indica Di definisce perimetro di un poligono e si indica con 2P la misura del contorno del poligono

con 2P la misura del contorno del poligono

Figure equivalenti

 Equivalenti significa che le

due figure si equivalgono cioè hanno lo stesso valore

 Consideriamo le seguenti due figure

 Il loro contorno racchiude la stessa porzione di piano cioè hanno la stessa area



Somma di segmenti

 Per sommare due segmenti occorre metterli uno dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del

secondo segmento con la fine del primo in modo da avere due segmenti adiacenti

 Consideriamo i segmenti AB e CD

 Facciamo coincidere B con C

 Otteniamo il segmento AD

 Tale segmento è la somma di AB + CD

 AD = AB + CD

A B

C D

Semip erime tro Semip erime tro

 ^{Spesso ci trov}

iamo a utilizzare nei calcoli Spesso ci troviamo a utilizzare nei calcoli

non il perimetro ma il semiperimetro non il perimetro ma il semiperimetro

Con 2P

indichiamo il

perimetro di un poligono

Con P

indichiamo il semiperimetro

Figure isoperimetriche

 Ogni volta che ci troviamo di fronte al prefisso Iso

significa che abbiamo due cose uguali

 Consideriamo i seguenti due poligoni

 Essi pur essendo diversi hanno lo stesso perimetro

Si definiscono isoperimetrici due

poligoni che hanno lo stesso perimetro

Area

 Un qualsiasi poligono, per definizione,

racchiude al suo interno una porzione di piano

 Si definisce area la misura di questa

porzione di piano



L’area è la misura della porzione di piano che si trova all’interno di una linea chiusa non intrecciata

Calcolo di un perimetro

 Consideriamo la seguente figura

 Il suo perimetro 2P sarà dato da:

 Se sostituiamo ai lati il loro valore avremmo che:

 cioè

Angolo interno di un poligono

 Prendiamo in considerazione la parola pentagono

 Essa deriva dai termini penta che

significa 5 e gono che significa angolo

 Perciò letteralmente si tratta di una figura geometrica con 5 angoli

 Ma da come avranno origine questi angoli?

 Essi risulteranno formati dalle

semiratte che contengono e segmenti consecutivi del poligono

Gli angoli interni di un poligono sono gli

angoli formati da due segmenti consecutivi

Somma degli angoli interni di un triangolo

 Consideriamo il seguente triangolo

 Tracciamo la retta passante per CB e la sua parallela passante per A

 A questo punto noi abbiamo due rette parallele tagliate da due

trasversali che sono i lati del triangolo

Interessante contributo esterno

Gli angoli  e ₁ sono uguali perché alterni

interni rispetto alla trasversale c

 Gli angoli  e ₁ sono uguali per lo stesso motivo perché alterni interni rispetto alla trasversale b

 Adesso si vede chiaramente come la somma degli angoli interni del triangolo , ,  sia uguale alla somma degli angoli 1, 1 e  perché:

 ^1 = ; ₁ =  e  è in comune

con

Come si vede chiaramente dalla figura

La somma degli angoli interni

di un triangolo

vale sempre 180°

Somma degli angoli interni di un poligono

 Adesso sappiamo quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo

 Possiamo utilizzare questa conoscenza per calcolare la somma degli angoli interni di ogni poligono?

 Secondo voi come possiamo fare?

 È possibile ad es. dividere il poligono in tanti triangoli

avente per lati i lati del

poligono e le sue diagonali

Quanti lati ha questo

poligono?

Quante

diagonali? Quanti

triangoli Ogni triangolo

= 180°

3 x 180°

= 540°

A noi serve una formula: come

trovarla?

Consideriamo il seguente

poligono

Inseriamo al proprio interno

un punto

Uniamo con un segmento il punto G con ciascun

vertice del poligono Otteniamo tanti triangoli

quanti sono i lati del poligono

Istintivamente potremmo dire che indicato con l il numero dei lati del poligono la somma

dei suoi angoli interni sarà :

l x 180°

Trascurerem o però gli angoli i cui

vertici

cadono su G

Una via per la formula Una via per la formula

 Gli angoli che hanno il vertice in G Gli angoli che hanno il vertice in G vanno sottratti dal calcolo

vanno sottratti dal calcolo

 Quanto vale la loro somma? 360° (è un Quanto vale la loro somma? 360° (è un angolo giro) cioè 2 x 180°

angolo giro) cioè 2 x 180°

 Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli che è possibile costruire è uguale al che è possibile costruire è uguale al

numero dei lati) vanno sottratti questi 2 numero dei lati) vanno sottratti questi 2

x 180° (che non fanno parte degli angoli x 180° (che non fanno parte degli angoli

interni) interni)

 Nel nostro poligono la somma degli Nel nostro poligono la somma degli angoli interni è

angoli interni è

 6 x 180 – 360° = 720°6 x 180 – 360° = 720°

Formula Formula

Somma degli angoli interni = l x 180 – 2 x 180

Da cui

Somma degli angoli interni =

(l – 2) x 180

Definizione Definizione

 La somma degli angoli La somma degli angoli interni di un poligono è interni di un poligono è

uguale al numero dei lati uguale al numero dei lati

diminuito di due per 180 °

diminuito di due per 180 °

Angoli esterni di un poligono Angoli esterni di un poligono



poligono l’angolo formato dal

prolungamento del lato precedente prolungamento del lato precedente

e il lato successivo di un poligono e il lato successivo di un poligono

approfondimenti

La somma degli angoli esterni di un poligono vale

sempre 360°

Angoli adiacenti Angoli adiacenti

 Si dicono adiacenti due angoli consecutivi Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla

e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

stessa retta

Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni di un poligono?

Consideriamo la seguente

figura

Le coppie angoli interni ed esterni di un poligono che fanno capo ad uno stesso vertice costituiscono una coppia di angoli adiacenti

Numero delle diagonali di un Numero delle diagonali di un

poligono poligono

 Il numero delle diagonali di un poligono di Il numero delle diagonali di un poligono di n vertici è dato dalla formula:

n vertici è dato dalla formula:

Dove n è il numero dei vertici del poligono

Poligono equiangolo Poligono equiangolo



ha gli angoli interni uguali

Poligono equilatero Poligono equilatero

 Un poligono si dice equilatero Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati congruenti

se ha tutti i lati congruenti

Poligoni regolari Poligoni regolari

 Si dicono _{Si dicono}

regolari quei regolari quei

poligoni che poligoni che

sono sia sono sia

equilatere che equilatere che

equiangoli

equiangoli

Perimetro di un poligono Perimetro di un poligono

regolare regolare

 Il perimetro della seguente figura si Il perimetro della seguente figura si trova sommando i suoi lati cioè:

trova sommando i suoi lati cioè:

 2P = 3u + 3u + 3u + 3u + 3u + 3u 2P = 3u + 3u + 3u + 3u + 3u + 3u

 2P = 6 x 3u = 18u2P = 6 x 3u = 18u

Il perimetro di un poligono regolare si ottiene moltiplicando il

valore di un lato per il

numero di lati

2P = n x l

Lato di un poligono regolare Lato di un poligono regolare

Noi sappiamo che :

2p

=

Da cui

l

=

:

: n

A noi serve l perciò dobbiamo

modificarla 2P rimane al suo posto x scavalca l’uguale diventando la

sua operazione opposta cioè :

n scavalca l’uguale e da fattore diventa divisore

Il lato di un

poligono regolare è uguale al suo perimetro diviso il

numero dei lati