Ripartizione stati tensionali tra le fasi di un terreno

1

A

I carichi esterni e le forze di massa agenti sul mezzo solido continuo ideale sono equilibrati dalle tensioni definite con  Nel terreno (mezzo granulare multifase) 

questa definizione individua le cosiddette tensioni totali [ ]









lim

t F

A

Analizzando l’equilibrio a livello micromeccanico, al contatto tra le particelle

si sviluppano le forze intergranulari F_c ^u

F

F_c

A_c

t [ ]

A

NB: ogni sezione A interessa solido + fluidi e la somma delle aree di contatto A_c << A

Queste sono a loro volta ‘ripartite’ in varia misura tra le diverse fasi (scheletro solido e fluidi)

costitutivi

2

Sollecitazioni agenti nelle diverse fasi di un terreno

Nel mezzo granulare multifase si possono definire:

NB: Fluidi incapaci di trasmettere sforzi di taglio

⇓

Stato tensionale puramente sferico

Tensioni (vettori o tensori) → pressioni (scalari)

• La pressione interstiziale, u = pressione dell’acqua (se la fase fluida è continua)

• La pressione dell’aria, u_a= pressione di riferimento (se u_a ≡ pressione atmosferica)

F_c

(molto elevate, discontinue)

• Le tensioni di contatto ^_^lim_0^{ }

c

c

c A

c

t F t

A





t

u

costitutivi 3

si ha:

Posto



 



 

lim

N A

Si consideri un volume elementare di terreno saturo

sezionato con una superficie piana attraverso i contatti intergranulari:

Equilibrio alla traslazione

in direzione normale alla sezione:

 

  A



 N

 

u

A

 T

Per l’incapacità dell’acqua di trasmettere tensioni tangenziali, l’equilibrio alla traslazione trasversale fornisce invece:

   A  

 T

Quindi, tensioni tangenziali totali ed efficaci coincidono  si usa solo 

   ^ u

si definisce tensione efficace

   u

 

 N  A u cioè:

 

 T A

Le tensioni efficaci

cioè:

4

• Tensore delle tensioni efficaci: [ ’] = [ ] – u∙[I]   dove [I] = matrice unitaria (I_ii=1, I_ij=0)

• La pressione interstiziale u è detta anche, impropriamente, pressione neutra

 

     

      

     

        

     

   

1 0 0 0 1 0 0 0 1

x xy xz x xy xz

yx y yz yx y yz

zx zy z zx zy z

u

a) ‘Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terra possono essere calcolate dalle tensioni principali totali ₁,₂e ₃ che agiscono in quel punto. Se i pori della terra sono pieni d’acqua ad una pressione u, le tensioni principali totali si dividono in due parti. Una parte, u, agisce nell’acqua e nella fase solida, con uguale intensità, in ogni direzione. Le differenze

₁’ = ₁ – u, ₂’ = ₂ – u e ₃’ = ₃ – u rappresentano un incremento rispetto alla pressione interstiziale ed hanno sede esclusivamente nella fase solida della terra. Questa frazione della tensione principale totale sarà chiamata tensione principale efficace.’

b) ‘Tutti gli effetti misurabili di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio, sono dovuti esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci.’

Come enuncia Terzaghi (1936):

mezzo non saturo (S_r < 1)   principio delle tensioni efficaci  deve essere modificato 



Meccanica delle terre non sature

5

2) è definita una sola pressione del fluido, u:

non valido per granuli fragili  la rottura dei granuli

(p.es. ad alta sollecitazione)

può comportare un aumento di A_c

mezzo asciutto (S_r = 0)  u = u_g= 0

saturo (S_r = 1)  u = u_w

1) A

<< A :

costitutivi 6

q

Fasi dello studio dei problemi di geotecnica

1) descrizione dello stato tensionale totale [σ]

che equilibra i carichi esterni q con gli strumenti analitici della Meccanica del continuo

⇓

sottosuolo eterogeneo e multifase assimilato a  mezzo omogeneo monofase

2)  ripartizione delle tensioni totali

tra scheletro solido (tensioni efficaci [σ’]) e acqua (pressioni interstiziali u)

⇓

necessità di considerare le condizioni idrauliche al contorno e gli effetti prodotti dal moto dell’acqua

nello scheletro solido

q



3) determinazione sperimentale del legame costitutivo del terreno

in relazione alla combinazione di componenti normali e tangenziali

⇓

schemi sperimentali e modello costitutivo

q

costitutivi

7

Effetti meccanici di sollecitazioni di compressione

Sforzi Meccanismi deformativi Legame 

costitutivo

Proprietà  meccaniche

Stati limite

Normali

Schiacciamento grani *    

Scorrimenti **

Variazioni di densità ***

Non lineare a rigidezza

crescente

Compressibilità Esercizio

N  

w  Coppia di 

particelle deformabili

Sistema di  particelle rigide

Relazione  sforzi‐deformazioni

scarico: 

non reversibile!

carico: 

non lineare!

costitutivi

8

Effetti meccanici di sollecitazioni di compressione

Sforzi Meccanismi deformativi Legame 

costitutivo

Proprietà  meccaniche

Stati limite

Normali

Schiacciamento grani *    

Scorrimenti **

Variazioni di densità ***

Non lineare a rigidezza

crescente

Compressibilità Esercizio

N  

w  Coppia di 

particelle deformabili

Sistema di  particelle rigide

Relazione  sforzi‐deformazioni

scarico: 

non reversibile!

carico: 

non lineare!

costitutivi 9

Sforzi Meccanismi deformativi Legame 

costitutivo

Proprietà  meccaniche

Stati limite

Tangenziali

Rottura grani/contatti        Rotolamenti        Variazioni di densità       Scorrimenti      

*

**

***

****

Non lineare a rigidezza decrescente

Deformabilità

↓ Resistenza

Esercizio

↓ Ultimo

Effetti meccanici di sollecitazioni di taglio

Coppia di 

particelle deformabili

Sistema di  particelle rigide

Relazione  sforzi‐deformazioni

scarico: 

non reversibile!

carico: 

non lineare!

T  

u 

costitutivi 10

Sforzi Meccanismi deformativi Legame 

costitutivo

Proprietà  meccaniche

Stati limite

Tangenziali

Rottura grani/contatti        Rotolamenti        Variazioni di densità       Scorrimenti      

*

**

***

****

Non lineare a rigidezza decrescente

Deformabilità

↓ Resistenza

Esercizio

↓ Ultimo

Effetti meccanici di sollecitazioni di taglio

Coppia di 

particelle deformabili

Sistema di  particelle rigide

Relazione  sforzi‐deformazioni

scarico: 

non reversibile!

carico: 

non lineare!

T  

u 

costitutivi

11

Percorsi di sollecitazione (stress path)

Gli invarianti di tensione media (o sferica) p e deviatorica q (e di deformazione volumetrica _v e distorsionale _s) sono le variabili più adeguate per descrivere graficamente il comportamento di un elemento di terreno per effetto dei diversi processi e combinazioni di sollecitazione a cui viene sottoposto

Per gli invarianti in tensioni efficaci p’ e q’, analogamente alle componenti  e , vale:

q

p stato iniziale

percorso tensionale (stress‐path)

q

p, p’

u p

p’

Il percorso delle tensioni efficaci (Effective Stress Path, ESP)  è quindi traslato in orizzontale  di u (in genere variabile) rispetto a quello delle tensioni totali (Total Stress Path, TSP)

ESP TSP

1 2 3 1 2 3 3

3 3

p   ^  ^  ^      u  p u

 

 

1 1

2 ^{ij i j} 2 ^{ij i j}

q^





1 costitutivi

12

percorso ₁ ₂ ₃



Compressione isotropa

  0

Taglio semplice

 0 ‐ 0 √3

Compressione cilindrica  per carico

 0 0 /3 

Estensione cilindrica  per scarico

‐ 0 0 /3 

q

p

p

p

p

3

-1 3

q

q

q

Percorsi di sollecitazione notevoli

Equazioni n. Incognite n.

a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali _ij 6

b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci ’_ij 6

c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido ε_ij 6

d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρ_f 1

f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido v_ij 3 g) accoppiamento fasi (      ) 6

Totale 23 Totale 23

costitutivi

13

Approccio rigoroso nell’analisi meccanica dei terreni

Nel trattare il mezzo multifase, occorrerebbe a rigore tener conto di caratteri individuali ed accoppiamento di scheletro solido e fluidi.

Bilancio di equazioni e incognite (mezzo bifase):

+ condizioni al contorno (frontiera del dominio di analisi) + condizioni iniziali (t = 0) e/o finali (t = )

(entrambe espresse in termini di tensioni/pressioni/deformazioni/moto fluido)

↓

Approccio rigoroso ⇒ soluzione sistema di eq. differenziale troppo complesso!

     ^{   u I}

Equazioni n. Incognite n.

a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali _ij 6

b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci ’_ij 6

c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido ε_ij 6

d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρ_f 1

f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido v_ij 3 g) accoppiamento fasi (       ) 6

Totale 23 Totale 23

costitutivi 14

Sfrutta livelli di semplificazione differenziati, in relazione agli aspetti da trattare caso per caso

Ipotesi generalmente introdotte:

⇒ eliminazione equazioni/incognite e)

• Acqua incomprimibile

• Scheletro solido con legge costitutiva semplificata (p.es. elastico lineare, rigido‐plastico)

Approccio ingegneristico nell’analisi meccanica dei terreni

• Disaccoppiamento della soluzione del problema idraulicoda quello meccanico

(p.es.: si determinano le [ ], si risolvono le d)‐f), si applicano le g), si ricavano le dalle c)

• Aria infinitamente comprimibile

     ^{   u I}

costitutivi

15

Semplificazione legame costitutivo

Azioni di compressione

Realtà

(osservazione sperimentale)

Idealizzazione (modello costitutivo)

Azioni di taglio p’

_v

q ()

_s ()

Realtà

(osservazione sperimentale)

Idealizzazione (modello costitutivo)

p’

_v

q ()

_s ()

costitutivi 16

Analisi

Stati Limite di Esercizio (SLE)

Analisi

Stati Limite Ultimi (SLU)

Mezzo elastico lineare Mezzo rigido ‐ plastico

Ulteriore idealizzazione legame costitutivo

q ()

_s ()

q ()

_s ()

• Soluzione dipendente solo dagli incrementi _ij

• Reversibilità del legame tensio‐deformativo

• Applicabilità principio sovrapposizione effetti

• Soluzione dipendente dallo stato iniziale

• Deformazioni non reversibili

• Principio sovrapposizione effetti non valido

costitutivi 17

Elasticità = relazione biunivoca [σ]:[ε]

Parametro Caso generale Modulo di Young

Elasticità lineare

Ipotesi di isotropia  E_i e ν_ij non dipendono dal sistema di assi (x, y, z) 

 

E_i = E ∀ i ν_ij= ν ∀ i,j





i

j

Coefficiente di Poisson



Solido continuo elastico ideale = lineare, omogeneo, isotropo Ipotesi di omogeneità  E_i e ν_ij non dipendono da P(x, y, z)

Il mezzo solido elastico

i i

i

E d

d







i i

E

 

 

  



j ij

i

d d

 

 



i i

 

  

    



costitutivi

18

Il legame costitutivo elastico ideale

Il legame costitutivo

è espresso dalle relazioni di Navier:

esprimibili nella forma matriciale:

 

 

 

 

 

 

1 1 1 2 1 2 1 2 1

x x y z

y y x z

z z x y

xy xy

yz yz

zx zx

E E E

E E E

    

    

    

  

  

  

     

  

     



     

 

 

 

 

 

 



 

 

 

1 1

1

2 1

2 1

2 1

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

E E E

E E E

E E E

E

E

E

 

 

 

   

 

  

 

  



   

 

 

  

    

    

     

    

   

     

    

    

     

   

    

 

  

 

 

costitutivi

19

Legame elastico ideale in termini di invarianti

avendo posto:

È conveniente scrivere le relazioni elastiche in termini di invarianti: 

Modulo di rigidezza volumetrica:

Modulo di rigidezza tangenziale:

Questa formulazione si traduce nel duplice vantaggio di: 

• scrivere la relazione costitutiva in forma matriciale compatta:

• disaccoppiare l’analisi di fenomeni di:

‐ variazioni di volume (ε_v), causate da variazioni di tensione media p

‐ variazioni di forma (ε_s), causate da variazioni di tensione deviatorica q

  ^{ }

   

2 2

1 2 1 2

3 1 2 1 2

2 1 2 1

2 3 3

3 3 3

v x y z x y z

s

p p

E E K

E E I I q q

E E G

 

      

 



 

        

 

      





 

3 1 2

v

p E

K ^ ^  

 

3 _s 2 1

q E

G^  ^ 





per 0.5

3

G E 

   

 

 

1 0

0 1 3

v s

K p

q G





 

 

   

  

   

    

 

 

Δ𝑢 Δ𝜎 Δ𝜎 Δ𝑢 Δ𝜎 costitutivi

20

Nella meccanica dei terreni (che materiali elastici non sono),

l’uso del legame elastico è applicabile secondo due diverse procedure:

al solido continuo poroso (Scheletro solido)

nell’insieme dei due continui sovrapposti (Mezzo monofase equivalente)

Analisi ‘in tensioni efficaci’ (’)  Parametri elastici con apici (E’, ν’, K’, G’)

Il terreno come mezzo elastico

Analisi ‘in tensioni totali’ () 

Parametri elastici senza apici (E, ν, K, G) Applicazione rigorosa del PTE Ignorando la ripartizione tra le fasi

Δ𝜎

Δ𝜎

𝜀

Δ𝜎

𝜀

costitutivi 21

Proprietà del mezzo plastico:

esiste una soglia di sollecitazione (tensione di snervamento, _y, o, più in generale, la funzione di  plasticizzazione F, nello spazio delle tensioni) oltre la quale si manifestano deformazioni plastiche  permanenti(_p) (non recuperabili  non elastiche)  indipendenti dalla durata del processo di carico  (non viscose)

 oltre lo snervamento, l’incremento del vettore deformazione plastica (definito formalmente dalla  legge di flusso e dalla legge di incrudimento) è funzione:

• dello stato tensionale raggiunto (sempre)

• dell’incremento di stato tensionale (se il mezzo è incrudente)

Materiale duttile: ‘strain hardening’ (incrudimento positivo) Plasticità perfetta

Il terreno come mezzo plastico

 se il mezzo è perfettamente plastico (non incrudente):

• snervamento e rottura coincidono (il mezzo continua a deformarsi con stato tensionale  costante)

Materiale fragile: ‘strain softening’ (incrudimento negativo) 𝜎

𝜀 𝜀

𝜀

𝜎

Criterio di resistenza a rottura di un terreno

Modelli meccanici di riferimento

costitutivi 22

Blocco scorrevole  per attrito

Mezzo granulare complesso Mezzo granulare 

elementare

(stati possibili) (stati impossibili)

curva limite F 

N  Il criterio di resistenza di un terreno è definibile 

attraverso una superficie (o curva) limite:

luogo geometrico che separa stati tensionali  possibili da quelli impossibili

Il criterio di resistenza è indipendente dal percorso  tensionale che conduce il terreno a rottura 

u

costitutivi 23

La superficie limite (luogo degli stati tensionali di rottura) è, in genere:

‐ indipendente dalla giacitura dell’elemento

‐ ben approssimabile con un andamento lineare

nel piano di Mohr componenti di tensione  tangenziale e normale  (‘) 

(lungo il piano di rottura)

nel piano/spazio  delle tensioni principali  massima ₁(‘₁) e minima ₃ (‘₃)

nel piano degli  invarianti di tensione  deviatorica q e media p (p’)

Si può esprimere mediante un legame analitico  tra componenti di tensione totale o efficace:

Rappresentazione del criterio di resistenza di un terreno

Criterio di Mohr‐Coulomb Criterio di Rankine Teoria dello Stato Critico

𝜏

𝜎 𝜎

u 𝜎 𝜎

𝜎 𝜎

u P

P’ P’ P

𝑞

𝑝 𝑝 u

costitutivi 24

Esprimendo il comportamento a rottura in termini di   :   ’, la curva limite generalmente osservabile nel piano di Mohr è simmetrica rispetto all’asse   ’ (non è così per gli altri due criteri)

e caratterizzabile dall’espressione: 

Dal punto di vista fenomenologico, si può dire che: 

c ’ = coesione

= resistenza allo scorrimento in assenza di tensioni normali

c’

Il criterio di resistenza di Mohr-Coulomb



’





tan



= incremento della resistenza allo scorrimento con   ’ (  = angolo di resistenza al taglio)

tan

 c ^  ^ 

  

Casi tipici di criterio di resistenza

costitutivi 25

Terreno incoerente (  0, c’= 0)

Terreno coesivo ( = 0, c’ 0)

Mezzo di Coulomb (in T.E.)

Mezzo di Tresca (in T.T.) Terreno con attrito  e coesione c ’



 ’

 c ’

τ = c ’ + σ ’ tan



 ’



τ =  σ ’  tan





c =c_u

 c

costitutivi

26

Modelli costitutivi

Elastico (isotropo, lineare) Basic

Rigido perfettamente plastico

q (p’)

_s (_v)

q

p’

Stati tensionali possibili

q

_s q

p’

Stati tensionali possibili Stati tensionali

impossibili

superficie di snervamento (e rottura)

q_y

Elastico (isotropo, lineare) – plastico perfetto

Simple Stati tensionali

impossibili

q

_s q

p’

Stati tensionali possibili

superficie di snervamento (e rottura)

q_y

costitutivi

27

Modelli costitutivi

Elastico (isotropo, lineare) – plastico incrudente (Cam Clay e modifiche, MCC)

• la superficie di plasticizzazione F non coincide con quella di rottura;

• la superficie di plasticizzazione ‘evolve’ (incrudisce) con lo sviluppo di deformazioni plastiche;

• in percorsi deviatorici fino al raggiungimento delle condizioni di stato critico ;

• sviluppo di deformazioni plastiche anche per percorsi di carico prevalentemente isotropi.

Advanced ( … 1970 !)