CAPITOLO 2

40

2.1

INTRODUZIONE

ALLA

MODELLAZIONE

DELLA

PAVIMENTAZIONE E STIMA DEI MODULI DI RIGIDEZZA

Il bacino di deflessione è quasi sempre necessario per la stima dei moduli di rigidezza dei vari strati per modellare la pavimentazione permettendo di prevedere le deflessioni generate quando viene applicato un particolare carico. Questa modellazione può essere molto semplice, come per l’approccio dei moduli di superficie, oppure alquanto più complessa. L’approccio più comune è quello di considerare la pavimentazione come un insieme di strati di spessore finito ma di infinita estensione orizzontale. Meno comuni sono i modelli agli elementi finiti per cui la pavimentazione è divisa in elementi tridimensionali a ciascuno dei quali sono assegnate delle proprietà come dimensioni, rigidezza, coefficiente di Poisson ecc. Il comportamento modellato può essere poi complicato se è introdotto un carico dinamico invece di un normale e semplice carico statico. Altri fattori complicanti sono la presenza di una non perfetta adesione fra due strati adiacenti, la risposta asimmetrica della pavimentazione ai carichi ecc. In molti casi la scelta del modello di pavimentazione può avere un effetto significativo sul risultato finale. Quindi, per il fine di una valutazione a livello di progetto, sono fornite delle raccomandazioni principalmente per le procedure di backcalculation utilizzando dei semplici modelli elastici sotto carico statico. In questi modelli, ognuno degli strati principali è considerato come uno strato orizzontale di spessore finito ed infinita estensione orizzontale separati dal semispazio infinito rappresentato dallo strato più profondo della pavimentazione.

Per l’analisi e backcalculation dei dati ottenuti da dispositivi FWD sono stati sviluppati una grande varietà di programmi per PC. Molti programmi forniscono raccomandazioni per lo spessore degli strati ed i valori di rigidezza relativi che possono portare ai migliori risultati. Per il calcolo dei moduli di rigidezza è solitamente raccomandato che lo spessore degli strati bituminosi sia almeno metà del raggio della piastra di carico del FWD (quindi 75 mm nel caso la piastra abbia un diametro di 300 mm). Nel caso in cui questo criterio non sia soddisfatto, per gli strati sottili solitamente si assume un valore realistico di rigidezza basandosi sulla temperatura e sul grado di fessurazione. Generalmente la definizione di “sottile” aumenta con l’incremento di profondità.

Vari programmi possono maneggiare un certo numero di strati che di solito è fino a quattro o cinque. Molti programmi tendono comunque a lavorare meglio quando il numero di strati è limitato a tre come mostrato in Fig. 2-1. Quindi la modellazione della pavimentazione può spesso richiedere che gli strati con rigidezza simile siano raggruppati insieme in modo da ridurre il numero totale di strati. Alcuni programmi consigliano che sia fissato il rapporto tra i moduli nel caso ci siano più di tre strati. Questo metodo può essere utilizzato nel caso in cui ci siano due strati granulari distinti con differenti valori di rigidezza. Generalmente, è raccomandato che il modello contenga un solo strato rigido (legato a bitume) e che i moduli

41 decrescano significativamente con la profondità (alcune volte è raccomandato un rapporto Ei/Ei+1 maggiore di due).

Fig. 2-1 Tipico modello a tre strati.

È molto importante che le informazioni sullo spessore degli strati siano il più accurate possibile. Ci sono vari metodi disponibili per misurare lo spessore degli strati tra cui le informazioni sulla costruzione della strada, carotaggio, taglio della pavimentazione, Ground

Penetrating Radar (GPR) ecc. Il tipo di metodo utilizzato è spesso dettato dalle particolari

condizioni riscontrate in sito.

La presenza di un letto di roccia poco profondo o altro materiale rigido vicino alla superficie della pavimentazione (5 – 6 m approssimativamente) avrà grande influenza sui moduli degli strati calcolati. Alcuni programmi tentano di tenere conto di questo nel calcolo dei moduli degli strati. La profondità stimata dello strato rigido può essere calcolata dalla forma del bacino di deflessione oppure può essere definita dall’utente. Una volta che la profondità dello strato rigido è stata calcolata, la pavimentazione può essere modellata assegnando una rigidezza estremamente elevata al semispazio infinito che rappresenta lo strato rigido.

Alcuni sottofondi possono essere non uniformi e quindi stratificati oppure incrementano la propria rigidezza con la profondità poiché diminuiscono le tensioni. Questo effetto può talvolta essere modellato con successo inserendo uno strato rigido in profondità.

Ogni programma che esegue la backcalculation richiede informazioni sul picco di carico generato dal FWD, sull’area della piastra di carico e sulle distanze dei sensori di deflessione. La scelta del bacino di deflessione da usare nell’analisi avrà effetto sulla validità di un eventuale dato di output. Con la disponibilità della potenzialità di calcolo dei computer è solitamente possibile calcolare tutti i bacini di deflessione in un lasso di tempo ragionevole. Devono essere usati dei metodi per verificare la presenza di bacini di deflessione anormali. Questo può essere talvolta realizzato esaminando i parametri di deflessione adatti.

42 Gli intervalli dei moduli contenuti nelle seguenti tabelle possono essere usati come delle linee guida per verificare che i valori di output dopo la normalizzazione ad una temperatura appropriata siano realistici.

Valori di rigidezza e coefficienti di Poisson tipici dei materiali bituminosi:

43 Valori di rigidezza e coefficienti di Poisson tipici dei materiali granulari sotto condizioni di tensioni particolari:

Valori di rigidezza e coefficienti di Poisson tipici dei sottofondi ed altri materiali:

Alcuni programmi permettono di imporre dei limiti superiore ed inferiore per i vari moduli degli strati. Valori di modulo non realistici possono risultare da valori di input non corretti come ad esempio gli spessori degli strati. Anche se la maggior parte dei programmi richiede gli spessori degli strati, alcuni sono in grado di derivarli come anche le rigidezze degli strati. Comunque in generale questi risultati di spessore sono inaffidabili. Similmente alcuni programmi possono riportare la stima del grado di adesione all’interfaccia tra gli strati, non linearità del materiale e la profondità dello strato rigido.

44 I bacini di deflessione misurati e predetti sono confrontati in modo da stabilire il grado di corrispondenza ottenuto. In alcuni programmi per computer le iterazioni continuano finché non viene raggiunto un errore accettabile (definito dall’utente).

La backcalculation

Con il termine backcalculation viene indicata una procedura analitica attraverso la quale i dati raccolti durante prove deflettometriche vengono utilizzati per effettuare una stima dei moduli dei diversi strati della pavimentazione in esame.

La procedura di backcalculation consiste nel calcolo teorico delle deflessioni prodotte in seguito all'applicazione di un determinato carico sulla superficie della pavimentazione, assumendo per i moduli elastici dei vari strati un definito set di valori. Le deflessioni così calcolate (per via teorica) vengono confrontate con quelle ottenute durante le prove sperimentali. Nel caso si riscontrino differenze tra i valori di deflessione calcolati e quelli misurati, i moduli degli strati, assunti inizialmente come noti, vengono modificati in modo da poter ripetere il calcolo e quindi procedere ad un ulteriore confronto tra le nuove deflessioni ottenute e quelle relative alle misure effettuate in sito. Questo processo, in cui ad ogni passo vengono modificati i valori dei moduli costituenti gli strati della pavimentazione, viene ripetuto fino a quando le differenze tra i valori di deflessione misurati e calcolati non ricadano entro predeterminati limiti di accettabilità.

La maggior parte degli algoritmi esistenti utilizza analisi di tipo iterativo. In questo caso la procedura di calcolo generalmente ha inizio facendo riferimento ai sensori posizionati a distanza maggiore dal punto di applicazione del carico, assumendo che la deflessione superficiale misurata da quest'ultimi sia dovuta unicamente alle deformazioni dello strato di sottofondo e sia quindi indipendente dalla natura degli strati sovrastanti.

È importante che nella stima del modulo del sottofondo effettuata tramite i dati di deflessione ricavati siano considerati i seguenti aspetti:

 le zone di diffusione delle tensioni (bulbi di tensione) sono funzione della rigidezza di ciascun strato appartenente alla pavimentazione in esame. Le pavimentazioni flessibili ad esempio sono caratterizzate da distribuzioni di tensioni localizzate, mentre quelle rigide presentano una diffusione più ampia;

 l'accuratezza delle misure diminuisce progressivamente spostandosi verso i geofoni più distanti dal punto di applicazione del carico, in quanto l'entità della deflessione si avvicina maggiormente all'errore sistematico del geofono stesso;

 il materiale potrebbe presentare un comportamento non lineare e pertanto, applicando ad esempio carichi di elevata entità, si potrebbe ottenere una risposta meccanica relativa ad uno stato tensionale indotto non rappresentativo delle condizioni di esercizio a cui la sovrastruttura risulta essere abitualmente sottoposta.

45 Tra tutti gli strati costituenti una pavimentazione quello di sottofondo, a causa sia della natura stessa che della pratica costruttiva, risulta sicuramente essere tra i più complessi da analizzare. In alcuni casi ad esempio si può assistere ad un aumento con la profondità del valore del modulo elastico dovuto principalmente alla presenza di depositi naturali caratterizzati da una maggiore consolidazione del materiale. Al fine pertanto di ottenere un modello maggiormente simile alla realtà (in questi casi), lo strato di sottofondo può essere diviso in più strati, di cui quelli superiori saranno caratterizzati da valori più bassi dei moduli elastici mentre quelli inferiori da moduli più elevati. In alcuni casi invece il sottofondo può presentare una non-linearità di tipo "stress-softening", per cui l'aumentare dei moduli con la profondità risulta essere legato alla diminuzione della quota deviatorica applicata.

Infine, come ricordato in precedenza, al fine di ottenere una corretta stima dei moduli risulta chiaramente necessaria la conoscenza degli spessori degli strati, i coefficienti di Poisson e l'entità del carico applicato.

2.2 PROGRAMMI DISPONIBILI PER LA BACKANALYSIS

Con il termine backanalysis si intende una procedura analitica attraverso la quale i dati raccolti durante le prove deflettometriche vengono elaborati al fine di poter valutare le caratteristiche di portanza delle sovrastrutture esaminate. L’obbiettivo di tale procedura è infatti quello di riuscire a stimare, con ragionevole accuratezza, i moduli elastici degli strati costituenti la pavimentazione in questione. Le deflessioni misurate rappresentano quindi il punto fondamentale di partenza per tutta l’analisi da compiere, in quanto tutti i risultati che si possono ottenere dipendono in gran parte da esse. Per tale motivo, al fine di effettuare una corretta backanalysis dei dati ottenuti, occorre iniziare dalla valutazione della correttezza delle deflessioni acquisite, proseguendo poi con l’utilizzo di determinati strumenti di calcolo atti ad ottenere la stima dei moduli elastici. In questa ottica il termine backanalysis e backcalculation, utilizzati molte volte con lo stesso significato, assumono due significati distinti. La

backanalysis, infatti, indica un insieme molto ampio di procedure da effettuare, tra le quali

spicca sicuramente il calcolo vero e proprio dei moduli elastici, indicato appunto con il termine

46 All’anno 1999 questi sono i programmi disponibili per la backanalysis di dati FWD:

Dei 17 programmi, otto analizzano pavimentazioni flessibili, uno quelle rigide ed otto entrambe. Tutti i programmi usano un metodo di analisi statico. Il massimo numero di geofoni è sette o più ed il massimo numero di strati indipendenti analizzati è tre o più. I moduli seme sono richiesti in 13 casi su 17 e questi possono essere fissati in 12 casi. Sono utilizzati vari metodi di convergenza come quello ai minimi quadrati (“Root Mean Square”, RMS) e la minima differenza assoluta, e molti programmi usano un’accuratezza percentuale. La maggior parte dei programmi usa un metodo di calcolo elastico lineare multi-strato. È usata una varietà di programmi per la “forward analysis” e il metodo più popolare per il calcolo delle rigidezze degli strati è quello della corrispondenza dei bacini di deflessione. La maggior parte dei programmi permette di modellare il sottofondo come uno strato semi-infinito e 13 programmi permettono l’uso di uno strato rigido in profondità.

47 Il modulo di rigidezza degli strati legati con bitume sono corretti alla temperatura di riferimento in nove casi. La temperatura di riferimento è fissata a 20°C in tre casi ed a 11°C in un caso, altrimenti è definita dall’utente. L’approccio per la correzione delle temperature varia da programma a programma. Le tensioni e le deformazioni sono misurate in punti fissati per cinque programmi, mentre per altri sette programmi sono misurate in punti scelti dall’utente. Vari metodi che includono le leggi di fatica ecc. sono usati per calcolare la vita residua. Otto programmi calcolano lo strato di ricoprimento di progetto, solitamente basandosi su parametri definiti dall’utente. Otto programmi permettono di elaborare files a blocchi. Per assicurare una sorta di consistenza tra le analisi, è raccomandato che tutte le analisi siano portate a termine usando un semplice e diretto programma per la backcalculation di un multi-strato elastico lineare, usando un numero minimo di strati. Altre analisi più complesse possono essere portate a termine ma devono essere sempre supportate da giustificazioni per una tale complessità insieme ad un confronto con l’analisi con approccio “semplice”.

I programmi di backcalculation hanno la finalità (conosciuto un determinato bacino di deflessione, il carico applicato e gli spessori degli strati della sovrastruttura) di ricavare i moduli elastici di tutti gli strati costituenti la pavimentazione e del relativo sottofondo. Conosciuto il carico sollecitante (applicato con il H/FWD), gli spessori degli strati e stabilito un set di valori dei moduli di partenza (chiamati appunto seme), la procedura di

backcalculation, in base al modello applicato, determina le deflessioni superficiali alle

distanze dal centro di applicazione del carico corrispondenti a quelle usate nelle indagini con H/FWD. Dal confronto delle deflessioni calcolate e quelle misurate viene determinato l’errore corrispondente, il quale a sua volta dovrà soddisfare un determinato criterio di accuratezza (precedentemente stabilito) affinché i moduli utilizzati per il calcolo siano ritenuti effettivamente rappresentativi del comportamento della pavimentazione. Nel caso in cui tale criterio non sia soddisfatto il programma provvederà a calcolare un nuovo set di moduli di partenza con i quali verranno determinate nuovamente le deflessioni superficiali. Il procedimento termina quando il criterio di precisione scelto risulta essere soddisfatto oppure si è raggiunto un limite massimo di iterazioni. Il risultato di tali procedimenti è dato dai valori dei moduli elastici degli strati della pavimentazione e di eventuali parametri di non linearità, nel caso in cui nello schema di calcolo siano stati previsti modelli costitutivi non lineari. Lo schema generale di funzionamento di un generico programma di backcalculation è rappresentato nella seguente figura:

48 Il parametro che può fornire indicazioni sull’effettiva corrispondenza dei moduli così determinati con quelli reali della pavimentazione è dato dall’errore ottenuto dalla differenza tra le deflessioni misurate e quelle calcolate con il modello teorico. Tale errore è rappresentato dallo scarto quadratico medio (RMS root mean square) fornito sia in termini assoluti che in termini percentuali. Nella procedura di backcalculation i moduli con cui vengono ogni volta calcolate le deflessioni vengono scelti in maniera da minimizzare tale errore.

Per tale motivo la scelta del tipo di errore (assoluto o percentuale) da minimizzare può, in alcuni casi, portare a soluzioni diverse per gli stessi bacini di deflessione.

Lo scarto quadratico medio assoluto infatti è dato dalla relazione:

𝑅𝑀𝑆(𝑎𝑏𝑠) = √1

𝑛∙ ∑(𝑑𝑐𝑖− 𝑑𝑚𝑖)2 𝑛

𝑖

mentre lo scarto quadratico medio percentuale è dato dalla relazione:

𝑅𝑀𝑆(%) = (√1 𝑛∙ ∑ ( 𝑑𝑐𝑖− 𝑑𝑚𝑖 𝑑_𝑚𝑖 ) 2 𝑛 𝑖 ) ∙ 100

dove in entrambe le equazioni dci e dmi rappresentano le deflessioni calcolate e misurate all’i-esimo sensore, mentre n rappresenta il numero dei sensori utilizzati.

La scelta del tipo di errore da minimizzare acquista maggiore importanza nel caso in cui i bacini di deflessione misurati siano caratterizzati da deflessioni al di sotto della piastra di

49 carico molto maggiori di quelle rilevate ai geofoni più lontani. Tale fenomeno infatti si registra nel caso in cui la pavimentazione in esame abbia una rigidezza estremamente bassa (tale situazione può essere rappresentativa di pavimentazioni analizzate con temperature medie degli strati bituminosi molto elevate o con gravi ammaloramenti degli stessi strati bituminosi). Nel caso invece di indagini effettuate su pavimentazioni flessibili in condizioni standard generalmente l’utilizzo nella procedura di calcolo di un determinato errore rispetto all’altro risulta essere poco influente sui risultati ottenuti dal programma di backcalculation, in quanto il bacino di deflessione risulta essere generalmente più omogeneo, caratterizzato pertanto da deflessioni di discreta entità anche in corrispondenza dei punti di misura più lontani dal centro di applicazione del carico.

2.3 LIMITAZIONI DELLA MODELLAZIONE

Deve essere sempre posta molta cura quando si modella la struttura di una pavimentazione. Tutte le stime dei valori di rigidezza sono basate su parametri di input come tipo e spessore degli strati. Quindi errori nelle informazioni di input possono poi portare ad errori nei dati di output.

Molte strade, specialmente nelle aree rurali, sono costruzioni granulari con una sottile copertura sigillante legata con bitume (trattamento superficiale). Anche queste strade possono essere testate usando un FWD. La pavimentazione può essere modellata come una struttura a due o tre strati. Quando la pavimentazione contiene una sottile copertura sigillante legata con bitume (10 – 30 mm), dobbiamo assegnare a questo strato una rigidezza fissata come ad esempio 3000 MPa. Questo vuol dire effettivamente che il processo di backcalculation si concentra solo sul materiale granulare e sul sottofondo.

Alcune condizioni della pavimentazione possono essere effettivamente difficili da modellare, particolarmente quando contengono discontinuità. Un esempio di questo è una pavimentazione con uno strato legato a cemento ricoperto con strati bituminosi sottili. Molto spesso questi tipi di materiali si fessurano ad intervalli irregolari dovuti a variazioni delle proprietà del materiale. La modellazione di questo tipo di pavimentazioni è quindi difficile per la disomogeneità della struttura della pavimentazione.

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2.4 VALUTAZIONE DELLE DEFORMAZIONI E DELLE TENSIONI

La resistenza a fatica è controllata dalle tensioni e dalle deformazioni indotte nella struttura dai carichi trasmessi dalle ruote. Altri meccanismi di rottura sono le cosiddette fessurazioni

top-down (in pavimentazioni bituminose spesse) e le fessurazioni dovute a cause ambientali.

Differenti parametri di deformazione sono considerati critici in funzione degli spessori e rigidezze degli strati. Il FWD può essere usato per la stima della vita della pavimentazione dovuta alla fatica degli strati bituminosi.

Per la determinazione delle tensioni e delle deformazioni alle posizioni critiche nella pavimentazione dovrà essere usato lo stesso modello (ad es. elastico lineare) che è stato usato nel procedimento di backcalculation dei moduli di rigidezza. I valori di deformazione calcolati sono usati come input nelle curve di fatica e combinate con le informazioni sul traffico per stimare la vita della pavimentazione. Se i moduli degli strati non possono essere ricavati, le deformazioni critiche possono essere determinate direttamente dal bacino di deflessione misurato, basandoci su modelli di reti neurali, equazioni di regressione, ecc. Prima di calcolare le deformazioni, i moduli degli strati bituminosi (o le deflessioni se non è stata fatta una backcalculation) devono essere normalizzati alle condizioni standard.

2.4.1 TENSIONI E DEFORMAZIONI CRITICHE

La resistenza a fatica di una pavimentazione è connessa alle tensioni ed alle deformazioni indotte nella struttura dai carichi trasmessi dalle ruote (vedi Fig. 2-2). In pavimentazioni con un “sottile” strato bituminoso, è considerata critica la deformazione orizzontale al di sotto dello strato legato. Questa deformazione può essere calcolata usando il modulo risultante dalla

backcalculation e gli spessori dalle misure FWD. Di solito è usata la massima tra le tensioni

longitudinali o trasversali indotte dal carico di un asse standard. Alcune volte è usata quella longitudinale poiché è più semplice misurarla sul campo.

51 Deve essere considerata la deformazione verticale sulla sommità del sottofondo, basi non legate e strato di fondazione. I carichi ripetuti causano deformazioni permanenti negli strati non legati e nel sottofondo. Le deformazioni elastiche sulla sommità del sottofondo e degli strati non legati possono essere calcolate usando i moduli degli strati e gli spessori da misure FWD. Ci sono equazioni di correlazione tra queste deformazioni e quelle permanenti (o non recuperabili) in questi strati.

Ci sono inoltre altri meccanismi di rottura che si verificano nelle strutture di pavimentazione che non sono così facili da interpretare o predire da misure FWD:

 In strati bituminosi “spessi” potrebbe essere critico il meccanismo di rottura top-down. Questo significa che le tensioni e le deformazioni alla sommità degli strati legati (la superficie della pavimentazione) causano una fessurazione che inizia dalla superficie superiore dello strato, ma la modellazione di queste condizioni è difficoltosa;

 fattori ambientali, in maniera molto importante quelli climatici, causano ammaloramenti nella pavimentazione. Alle basse temperature, la fessurazione si verifica a causa dell’eccessiva tensione di trazione nello strato bituminoso, il criosollevamento dei sottofondi causa una fessurazione superficiale, ecc.

2.4.2 PRINCIPI PER LA DETERMINAZIONE DI TENSIONI E DEFORMAZIONI CRITICHE

I parametri critici possono essere determinati in due modi differenti:

 backcalculation dei moduli degli strati, seguita dal calcolo dei parametri di prestazione critici;

 calcolo dei parametri critici direttamente dalle misure di deflessione.

Come nella backcalculation dei moduli degli strati, possono essere usati diversi modelli per il calcolo delle tensioni e delle deformazioni critiche nella struttura di pavimentazione:

 elastico lineare;

 non lineare, contenente modelli elastici, plastici e visco-elastici per i differenti strati. È importante che, usando qualunque tipo di nucleo computazionale, questo sia consistente in tutto il processo. Per esempio, se i moduli degli strati sono calcolati con un programma che usa un codice multi-strato elastico lineare, allora anche le deformazioni critiche dovranno essere calcolate usando un programma multi-strato elastico lineare.

52 2.4.3 DETERMINAZIONE DELLE TENSIONI E DELLE DEFORMAZIONI CRITICHE DAI MODULI OTTENUTI DA BACKCALCULATION

I moduli ottenuti dalla backcalculation e gli spessori degli strati (usati nella backcalculation) sono utilizzati come input in un programma di “forward-calculation”. Di solito viene usato un programma multi-strato elastico lineare. Prima di calcolare le deformazioni, i moduli degli strati bituminosi devono essere normalizzati alle condizioni di riferimento. Se i moduli degli strati sono calcolati per un bacino di deflessione rappresentativo per ogni sezione, allora anche la vita residua della pavimentazione dovrà essere calcolata per un solo punto per ogni sezione. Se i moduli degli strati sono calcolati per ogni punto di prova, allora le deformazioni possono essere calcolate per ogni punto di prova oppure per il valore medio (od un altro valore rappresentativo) dei moduli degli strati e degli spessori. Se le deformazioni e la vita residua sono calcolate per ogni punto di prova, queste e/o le variazioni di queste possono essere usate come una variabile per la delineazione del progetto in sezioni omogenee.

Per ogni punto di calcolo, sono necessari i seguenti parametri di input:  spessori degli strati;

 spessore della parte soprastante del sottofondo (profondità dello strato rigido o letto di roccia);

 moduli di rigidezza degli strati;  modulo del sottofondo;

 coefficiente di Poisson degli strati e del sottofondo;  carico standard (intensità e area di contatto).

I risultati di una analisi elastica lineare saranno:

 massimo delle deformazioni longitudinali e trasversali al di sotto dello strato legato con bitume;

 deformazione orizzontale al di sotto della base legato con cemento;  deformazione verticale alla sommità del sottofondo;

 deformazione verticale alla sommità degli strati non legati.

I valori di deformazione ottenuti sono usati come input nelle curve di fatica e combinati con le informazioni di traffico per determinare la vita della pavimentazione.

53 2.4.4 DETERMINAZIONE DI TENSIONI E DEFORMAZIONI CRITICHE DIRETTAMENTE DAL BACINO DI DEFLESSIONE MISURATO

In alcuni casi si verifica che non può essere determinata una serie di moduli ragionevoli per uno specifico bacino di deflessione. Questo può essere dovuto, ad esempio, alla mancanza di informazioni accurate sulla variazione degli spessori degli strati. Oppure, l’alternanza di strati rigidi e soffici nella struttura possono causare errori nel processo di backcalculation. In questi casi le tensioni critiche possono essere determinate direttamente dal bacino di deflessione misurato. Questo offre una via veloce per ottenere le deformazioni critiche. I metodi per determinare direttamente le deformazioni critiche dalle deformazioni misurate possono essere basate su:

 modelli a rete neurale;  equazioni di regressione;

 oppure altri metodi che combinano il bacino di deflessione misurato con i valori dei parametri critici.

Solitamente questi modelli sono basati su dati di deflessione simulati. I dati simulati possono essere ad esempio generati con programmi multi-strato elastici lineari.

Si riporta ad esempio l’equazione sviluppata per le pavimentazioni svedesi: 𝜀𝑎𝑐 = 37,4 + 0,988 ∙ 𝑑0− 0,553 ∙ 𝑑300 − 0,502 ∙ 𝑑600 Dove:

εac = deformazione critica dello strato bituminoso (µm/m); di = deflessione a distanza i mm (µm).

Simili equazioni sono state sviluppate anche da altre parti. Prima di usare questo tipo di modelli, si deve verificare che i tipi di strutture in analisi siano dello stesso tipo di quelle utilizzate per lo sviluppo del modello. L’intervallo dei moduli e spessori attesi della struttura da analizzare deve ricadere nell’intervallo di moduli e spessori usato per lo sviluppo di queste equazioni. Se la struttura in analisi è considerevolmente differente dalle strutture usate per lo sviluppo delle equazioni, le equazioni non dovrebbero essere utilizzate, ma invece dovrebbero esserne sviluppate altre più appropriate. Prima di calcolare le deformazioni, le deflessioni devono essere normalizzate alle condizioni di riferimento.

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2.5 ANALISI DEL PROGRAMMA “ELMOD”

Come mostrato nei capitoli precedenti, per quanto riguarda i programmi disponibili per PC per le analisi delle pavimentazioni, la scelta software è piuttosto vasta. Tra questi è stato scelto il software ELMOD 6 della casa produttrice Dynatest. ELMOD è l’acronimo per Evaluation

of Layer Moduli and Overlay Design.

Il programma è particolarmente utile per gli ingegneri responsabili della manutenzione e riabilitazione di una rete stradale od aeroportuale. Usando i bacini di deflessione misurati da FWD o HWD (Heavy Weight Deflectometer), il programma può portare a termine automaticamente una analisi strutturale completa ed il progetto di un ricoprimento, basandosi sui parametri di progetto definiti dall’utente. ELMOD 6 consente all’utente di scegliere una serie di parametri (meteorologici, caratteristiche del materiale, carichi ecc.) da usare nei calcoli, i quali possono essere personalizzati in funzione delle condizioni locali.

ELMOD 6 porta a termine tre compiti principali:

 per primo, il programma calcola i moduli di ognuno degli strati di una pavimentazione a due, tre, quattro o cinque strati utilizzando l’approccio “Radius of Curvature” – sezioni trasformate di Odemark-Boussinnesq, il metodo “Deflection Basin Fit” normalmente usato con tecniche di integrazione numerica oppure l’opzione “FEM/LET/MET” che consente all’utente di scegliere tra il metodo agli elementi finiti (Finite Element Method), la teoria elastica lineare (Linear Elastic Theory) oppure il metodo degli spessori equivalenti (Method of Equivalent Thickness). La

backcalculation fornisce un modulo apparente per le deflessioni così misurate ad ogni

punto di prova FWD o HWD, prendendo in considerazione anche la non linearità del sottofondo (oppure di tutti gli strati con FEM). Inoltre ELMOD 6 può fornire una stima teorica della profondità di uno strato rigido dalle deflessioni misurate;

 poi, i moduli così misurati sono corretti per riflettere le condizioni rappresentative di ogni stagione specificata per il periodo di progetto, fino a 12 stagioni. Per ogni stagione i moduli del conglomerato bituminoso sono calcolati in funzione della temperatura, mentre i moduli dei materiali non legati (incluso il sottofondo) sono funzione del periodo dell’anno in funzione del disgelo primaverile o del periodo umido;

 alla fine, è utilizzata la legge di Miner per sommare i danni strutturali e/o funzionali della pavimentazione causati in ogni stagione da ogni carico (possono essere definiti fino a 24 veicoli di progetto con un totale di 100 configurazioni delle ruote), basandosi sulle relazioni di danno specificate dall’utente (fatica, rugosità o ormaiamento). Il programma calcola poi la vita rimanente prevista per la pavimentazione e lo spessore di ricoprimento richiesto, usando un materiale di ricoprimento specificato per un dato periodo di progetto. È inoltre disponibile l’opzione “Life Cycle Cost Analysis” (LCCA). Questa fa uso di una predizione incrementale – ricorsiva delle condizioni

55 future della pavimentazione e classifica le diverse strategie di manutenzione in base al costo (inclusi volendo i costi per l’utente e per il capitale).

Il programma è ideale per analisi di valutazione strutturale di routine di sistemi di pavimentazione con l’uso dei dati di deflessione di Dynatest FWD o HWD. Inoltre è parte integrante dei due estremamente avanzati Dynatest Pavement Management System (DMS), il

Dynatest AIRPORTS Pavement Management System, che può comprendere valutazioni

strutturali a livello di rete e il Dynatest Performance and Economic Rating System (PERS), che è compatibile con l’opzione LCCA. Questa opzione può significativamente ridurre il grado di soggettività coinvolto nella predizione delle prestazioni di una pavimentazione basata principalmente su indagini visive.

Per ottenere la più alta precisione con ELMOD 6, la struttura da valutare deve preferibilmente rispondere alle seguenti condizioni:

 la struttura deve contenere solo uno strato rigido (E1/Esott > 5). Se la struttura contiene più di uno strato rigido, questi devono essere combinati in un unico strato per lo scopo della valutazione strutturale, oppure deve essere fissato il modulo di uno dei due strati;  i moduli devono diminuire con la profondità (Ei/Ei+1 > 2);

 lo spessore dello strato rigido superiore (H1) deve essere maggiore della metà del raggio della piastra di carico;

 quando si prova vicino a un giunto, una grande fessura o su una strada sterrata la struttura deve essere trattata come un sistema a due strati.

Se la struttura non rispetta queste limitazioni il programma ELMOD 6 può comunque essere usato, ma non si avrà una buona precisione. Tipicamente, ELMOD 6 fornisce risultati eccellenti a meno che siano riscontrate condizioni estremamente inusuali. Per strutture difficili in cui non sono applicabili le condizioni sopra descritte può essere usato il procedimento FEM/LET/MET. Il procedimento di corrispondenza dei bacini di deflessione fornisce un’indicazione di come i moduli ottenuti da backcalculation simulino bene la risposta misurata della pavimentazione.

I moduli della pavimentazione sono calcolati dai bacini di deflessione misurati durante le prove Falling Weight Deflectometer (FWD).

Con il metodo “Radius of curvature” il sottofondo della pavimentazione viene schematizzato con un modello costitutivo di tipo non-lineare nel caso in cui abbia un comportamento rispettivamente “stress softening” o “stress hardening”; i coefficienti costitutivi del modello vengono stimati in base alle deflessioni misurate ai geofoni più lontani dalla piastra di carico. In seguito, sulla base del calcolo del raggio di curvatura relativo alla deflessione dei geofoni più prossimi alla piastra di carico, viene stimata la rigidezza dello strato superiore della pavimentazione, mentre la capacità portante dei rimanenti strati viene calcolata in base alla

56 risposta di tutta la sovrastruttura al carico applicato ed in base agli eventuali rapporti tra i moduli elastici dei vari strati adiacenti determinati preventivamente.

Quando è selezionata l’opzione “Deflection Basin Fit”, è utilizzato l’approccio di trasformazione degli strati di Odemark insieme alle equazioni di Boussinnesq per calcolare le deflessioni, e un procedimento iterativo è usato per determinare quali moduli restituiscano le stesse deflessioni misurate. È stato verificato che questo approccio è una buona approssimazione alle equazioni generalizzate di Burmister sotto le seguenti due condizioni:

 lo spessore dello strato deve essere maggiore della metà del raggio della piastra;  il rapporto dei moduli di due strati adiacenti (Ei/Ei+1) non deve essere minore di 2. È stato trovato che le tensioni, le deformazioni e le deflessioni calcolate tramite il metodo di Odemark-Boussinnesq corrispondono allo stesso modo, se non meglio, rispetto a quelle calcolate con le equazioni generalizzate di Burmister, ai valori misurati di tensioni e deformazioni nelle pavimentazioni reali. Questo accade anche se non sono totalmente soddisfatte le condizioni sopra descritte.

Con il metodo “Deflection Basin Fit” la procedura ha inizio da un set di moduli iniziali per gli strati costituenti la pavimentazione in esame con i quali viene calcolato il bacino teorico di deflessione e l’errore rispetto a quello effettivamente misurato. Successivamente tali moduli vengono aumentati o diminuiti di una quantità variabile (tra il 5% ed il 50%) ed in base al nuovo bacino ottenuto viene calcolato il corrispondente errore. Il set di moduli corrispondente al minore degli errori calcolati viene considerato come la soluzione migliore per la pavimentazione in esame. Questo processo viene eseguito in maniera iterativa finché l’errore tra il bacino teorico calcolato e quello reale misurato non sia minimo. La differenza rispetto alla teoria di Odemark è che in questo caso i coefficienti correttivi fi vengono utilizzati in

maniera semplificata, applicandoli direttamente al valore finale della capacità portante e non agli spessori dei vari strati. Anche con questa procedura vi è la possibilità di modellare il sottofondo come non-lineare in maniera analoga al caso precedente (“Radius of curvature”). Il modulo FEM/LET/MET rappresenta un’opzione aggiuntiva del software ELMOD. Tale funzione permette di effettuare la backcalculation con tre diversi metodi di calcolo, cioè: metodo agli elementi finiti (Finite Element Method, FEM), multistrato elastico (Linear Elastic

Theory, LET) ed infine il metodo degli spessori equivalenti (Method of Equivalent Thickness,

MET).

Il metodo agli elementi finiti (FEM) è un metodo di calcolo numerico nel quale l’intera pavimentazione viene suddivisa in piccoli elementi ciascuno avente determinate caratteristiche prestazionali. Per tale motivo questa procedura di calcolo risulta essere l’unica in grado di poter prevedere un modello di calcolo caratterizzato da un comportamento non-lineare di tutti gli strati costituenti la sovrastruttura in esame, in quanto la rigidezza di ciascun elemento costituente la mesh può essere descritta attraverso un modello non lineare.

57 Il secondo metodo invece (LET) è basato sulla teoria del multistrato elastico, in cui tutti gli strati costituenti hanno un comportamento lineare, indipendente pertanto dai livelli di sollecitazione applicati.

L’ultimo metodo utilizzabile è il metodo degli spessori equivalenti (MET) il quale si basa invece sulla teoria di Odemark in cui, a differenza di quanto previsto nel "Deflection Basin

Fit", i coefficienti correttivi fi, utilizzati per effettuare la trasformazione da multistrato a

semispazio equivalente vengono applicati direttamente agli spessori dei vari strati costituenti la sovrastruttura in esame. Con tale metodo inoltre è possibile schematizzare il sottofondo con un modello costitutivo non-lineare in maniera analoga alle procedure di calcolo “Radius of

Curvature” e “Deflection Basin Fit”.

Lo schema stratigrafico del modello di calcolo può essere modificato in qualsiasi momento, variando inoltre anche alcuni parametri relativi a ciascun strato in esame come ad esempio il coefficiente di Poisson ed il valore del modulo iniziale. Ad ogni passo iterativo le deflessioni teoriche calcolate e quelle misurate vengono confrontate sia in forma analitica che in forma grafica ed il relativo errore viene espresso sia in termini di scarto quadratico medio (RMS) assoluto (abs) che percentuale (%).

In tutti i metodi il coefficiente di Poisson è assunto pari a 0,35 (eccetto nell’opzione FEM/LET/MET). Nella maggior parte dei casi, comunque, il coefficiente di Poisson ha poca influenza sulle deflessioni e sulle tensioni calcolate. Le deformazioni sono influenzate dal coefficiente di Poisson, e anche se sono usate per fini di progetto è molto importante usare lo stesso coefficiente di Poisson che è stato usato per derivare i valori critici. Se è usato il criterio Shell non è un problema, poiché per derivare questo criterio è stato assunto un coefficiente di Poisson di 0,35.

Tutti i materiali sono supposti omogenei, isotropici e elastici lineari, eccetto il sottofondo che è supposto mostrare una risposta non lineare definita da:

𝐸0 = 𝐶0∙ (𝜎1⁄ )𝜎 𝑛

Dove:

E0 = modulo di superficie;

σ1 = tensione principale maggiore;

σ = tensione di riferimento (pressione atmosferica = 0,1 MPa); C0 e n = costanti, n è negativo (o zero).

Questa non linearità è tipica dei terreni coesivi (grana fine).

In molti casi i sottofondi reali possono essere stratificati o avere un modulo variabile con la profondità dovuto dalla pressione del sovraccarico, cambio del contenuto d’acqua ecc. Il carico di impatto del FWD crea inoltre un effetto che è simile ad una non linearità. Tutte le

58 opzioni di backcalculation in ELMOD 6 trattano queste come delle non linearità. Questo non è proprio corretto, ma è sicuramente meglio che non considerare affatto la variazione del modulo del sottofondo con la profondità e la distanza dal carico. Se non fossero considerate queste variazioni, si potrebbero avere errore molto grandi. Questa caratteristica di non linearità di ELMOD 6 tipicamente ha come conseguenza un accordo molto buono tra i bacini di deflessione misurati e calcolati. Inoltre generalmente rimuove il cosiddetto “effetto di compensazione degli strati” che può indurre in errori molto grandi nei moduli ottenuti da

backcalculation assumendo materiali solo elastici lineari.

ELMOD 6 non valuta i parametri di non linearità delle basi granulari e delle fondazioni. Se questo è importante può essere invece usato il modulo FEM. I moduli dei materiali granulari calcolati con ELMOD 6 sono quelli corrispondenti alla linea passante per il centro della piastra e alle tensioni usate nella prova FWD. Visto che la non linearità dei materiali granulari non è considerata, le strade sterrate (senza strato superficiale) devono essere considerate come dei sistemi a due strati.

Se la pavimentazione contiene del materiale stabilizzato fessurato a blocchi, della stessa dimensione o più grandi della piastra di carico, allora deve essere considerata come un sistema a due strati. Questo perché le deflessioni nelle vicinanze della piastra di carico non possono essere correttamente valutate con la teoria elastica quando lo strato non è continuo.

Quando due o più materiali sono combinati a formare un solo strato, i moduli devono essere preferibilmente dello stesso ordine di grandezza. Per pavimentazioni con uno strato sottile di conglomerato bituminoso, potrebbe quindi essere vantaggioso stimarne il modulo, dalla temperatura e dalla quantità di fessure. In questo caso deve essere conosciuto il modulo di un materiale bituminoso intatto alla temperatura di riferimento. Il modulo del conglomerato bituminoso può essere stimato usando varie tecniche. Il programma calcolerà poi il modulo alla temperatura di prova (usando relazioni definite nel file dei parametri), e anche in funzione della quantità di fessure (come input da parte dell’operatore del FWD).

Diversi materiali bituminosi, come lo strato di usura, binder e base devono essere sempre combinate in un solo strato per calcolarne il modulo attuale.

È importante ricordare che le equazioni generalizzate di Burmister sono basate sulla meccanica del continuo e sono valide solo per sistemi stratificati elastici sotto carico statico. I materiali per pavimentazioni non sono continui, molti sono granulari, e tendono ad essere non lineari elastici con deformazioni viscose, visco-elastiche e plastiche in aggiunta a quelle elastiche. L’approccio di Odemark-Boussinnesq usato in ELMOD può considerare la non linearità del sottofondo che è molto importante. Negli studi dove le tensioni e le deformazioni sono state confrontate ai valori calcolati usando diverse procedure, è stato trovato che l’approccio di Odemark-Boussinesq ha una corrispondenza considerevolmente migliore con i valori misurati rispetto alle equazioni di Burmister.

59 È importante sottolineare come il valore del modulo dei materiali bituminosi che risulta dalla procedura di backcalculation, rappresenti il valore della rigidezza dello strato da riferire direttamente alla temperatura caratteristica dello strato al momento della prova.

2.6 MODELLI PER LO STUDIO DELLE PAVIMENTAZIONI

Per giungere alla valutazione della risposta di una pavimentazione, quindi dei moduli, delle tensioni e delle deformazioni dei vari strati, dobbiamo studiare il sistema con dei modelli. Nei paragrafi successivi vengono esposti i principali modelli, i quali sono utilizzati anche nel programma ELMOD.

2.6.1 TEORIA ELASTICITÀ

Fin dai primi anni ’60 il cosiddetto metodo analitico-empirico o meccanico-empirico ha guadagnato sempre più successo tra gli ingegneri delle pavimentazioni. Questo metodo usa fondamentali proprietà fisiche e un modello teorico per prevedere le tensioni, le deformazioni e le deflessioni, quindi la risposta della pavimentazione causata da un carico su di essa (vedi Fig. 2-3). Se le assunzioni di base sui materiali e sulle condizioni al contorno sono corrette, questo metodo è sempre valido e può essere usato per prevedere correttamente la risposta per ogni combinazione di carichi, effetti climatici e materiali.

Fig. 2-3 Risposta della pavimentazione (tensioni, deformazioni e deflessioni).

Nella seconda parte del metodo, si fa sempre uso di relazioni empiriche, ma queste sono basate sulla risposta della pavimentazione. Ad esempio la fessurazione del conglomerato bituminoso può essere predetta dalla deformazione di trazione massima nello strato legato, mentre la deformazione permanente può essere determinata dalla deformazione di compressione massima nei materiali non legati. Attualmente si sta cercando di ridurre la parte empirica del metodo. Ad esempio le deformazioni permanenti possono essere calcolate direttamente se sono note le relazioni tensione – deformazione permanente del materiale. In alcuni metodi, come il metodo agli elementi distinti (Distinct Element Method, DEM), gli spostamenti elastici e plastici sono calcolati nello stesso processo. Nel seguito verranno illustrati brevemente gli elementi essenziali della teoria dell’elasticità, che è il modello più largamente utilizzato per il progetto delle pavimentazioni. Nella maggior parte dei casi si assume che il

60 carico è statico, le deformazioni sono continue (compatibilità tra deformazioni normali e di taglio) e che tutti i materiali sono omogenei, isotropici e lineari elastici.

2.6.1.1 PARAMETRI ELASTICI

Applicando ad un cubo una tensione uniforme sulla direzione z (verticale), σz, come mostrato in Fig. 2-4, otterremo un cambio di lunghezza dei lati. Quando le deformazioni sono molto piccole in confronto alle dimensioni del cubo allora le deformazioni saranno uguali ai relativi cambi di lunghezza.

Fig. 2-4 Parametri elastici per tensione monoassiale.

Se il materiale è lineare elastico, allora il rapporto tra la tensione verticale σz e la deformazione verticale εz, sarà una costante, il coefficiente di elasticità o modulo di Young (E). Questa è conosciuta come legge di Hooke. Il rapporto tra la deformazione orizzontale (εx o εy) e la deformazione verticale è anch’esso costante. Il rapporto sarà negativo, e il valore positivo è noto come coefficiente di Poisson (ν). Una tensione in una direzione produce una deformazione proporzionale a -ν/E nella direzione ad essa perpendicolare.

Una tensione di taglio τxz = τzx, produrrà una deformazione di taglio γxz = γzx. Se il materiale è isotropico, il modulo di taglio G sarà costante e pari a:

𝐺 = 𝜏𝑥𝑧 2𝛾_𝑥𝑧

⁄ (2.1)

Le deformazioni di taglio non influenzano le deformazioni normali.

Per un carico tridimensionale di un materiale isotropico la legge di Hooke può essere scritta tramite l’equazione di G sopra e:

𝜀𝑥 = 𝜎_𝑥 𝐸 + −𝜈𝜎𝑦 𝐸 + −𝜈𝜎_𝑧 𝐸 (2.2)

con la rotazione dei pedici. Per il caso generale anisotropico E e G devono essere presi con lo stesso pedice della tensione corrispondente, mentre ν deve essere preso con lo stesso pedice delle deformazioni.

Poiché pochi materiali per pavimentazioni sono ideali elastici spesso è utile dividere la tensione in una componente idrostatica ed una deviatorica.

61 {𝜎} = { 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏_𝑥𝑦 𝜎_𝑦 𝜏_𝑦𝑧 𝜏_𝑥𝑧 𝜏_𝑦𝑧 𝜎_𝑧} = {𝜎} − 𝑝{𝛿} + 𝑝{𝛿} = {𝑠} + 𝑝{𝛿} (2.3) dove: 𝑝 = (𝜎_𝑥+ 𝜎_𝑦+ 𝜎_𝑧) 3⁄ = 𝐼₁(𝜎) 3⁄ = (𝜎₁+ 𝜎₂+ 𝜎₃) 3⁄ (2.4) {𝛿} = {1 0 00 1 0 0 0 1 } (2.5)

I1(σ) è il primo invariante di tensione (indipendente dall’orientamento del sistema di coordinate), p è la tensione normale media o pressione idrostatica e {s} è il tensore deviatorico delle tensioni. La tensione deviatorica media è ottenuta dal secondo invariante di tensione deviatorica: 𝑞 = √3𝐽₂(𝑠) = √[(𝜎_𝑥− 𝜎_𝑦)2+ (𝜎_𝑥− 𝜎_𝑧)2_{+ (𝜎} 𝑦− 𝜎𝑧) 2 ] 2⁄ + [𝜏_𝑥𝑦2 _{+ 𝜏} 𝑥𝑧 2 _{+ 𝜏} 𝑦𝑧2 ]×3 = √[(𝜎₁− 𝜎₂)2_{+ (𝜎} 1− 𝜎3)2+ (𝜎2− 𝜎3)2] 2⁄ = 3 √2𝜏𝑜𝑐𝑡 (2.6) dove τoct è la tensione di taglio ottaedrica.

Le deformazioni corrispondenti a p e q sono le deformazioni volumetriche e deviatoriche: 𝜀𝑣 = (𝜀𝑥+ 𝜀𝑦+ 𝜀𝑧) = 𝐼1(𝜀) = (𝜀1+ 𝜀2+ 𝜀3) (2.7)

𝜀_𝑑 = √𝐽₂(𝜀) 3⁄ =√2₃ √[(𝜀1− 𝜀2)2 + (𝜀1− 𝜀3)2+ (𝜀2− 𝜀3)2] = √2𝛾𝑜𝑐𝑡 (2.8) dove γoct è la deformazione di taglio ottaedrica.

Il rapporto tra la pressione idrostatica e la deformazione volumetrica è chiamato modulo di compressibilità, K = p/εv. Le relazioni tra K, G, E e ν sono:

𝐾 = 𝑝 𝜀_𝑣 = 𝐸 3(1 − 2𝜈) 𝐺 = 𝑞 3𝜀_𝑑 = 𝐸 2(1 + 𝜈) 𝐸 = 9𝐾𝐺 3𝐾 + 𝐺 𝜈 = 3𝐾 − 2𝐺 6𝐾 + 2𝐺 (2.9) Il secondo ed il terzo invariante di tensione sono:

𝐼₂(𝜎) = 𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦+ 𝜎𝑦𝑦𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑥𝑥𝜎𝑧𝑧− 𝜏𝑥𝑦2 − 𝜏𝑦𝑧2 − 𝜏𝑥𝑧2 = 𝜎1𝜎2+ 𝜎2𝜎3+ 𝜎1𝜎3 (2.10) 𝐼3(𝜎) = 𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜎𝑧𝑧+ 2×𝜏𝑥𝑦𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑧− 𝜎𝑥𝑥𝜏𝑦𝑧2 − 𝜎𝑧𝑧𝜏𝑥𝑦2 − 𝜎𝑦𝑦𝜏𝑥𝑧2 = 𝜎1𝜎2𝜎3 (2.11)

62 2.6.1.2 TENSIONI E DEFORMAZIONI IN UN CONTINUO

La teoria dietro il calcolo delle tensioni e delle deformazioni in un continuo sarà illustrata usando il caso piano (due dimensioni). Molto di quello che segue è basato su Van Cauwelaert (1989).

Per un materiale isotropico e lineare elastico la teoria è basata su tre assunzioni:  Equilibrio;

 Compatibilità;  Legge di Hooke.

L’assunzione dell’equilibrio porta alle seguenti tre equazioni: 𝛿𝜎𝑥 𝛿𝑥 + 𝛿𝜏_𝑥𝑦 𝛿𝑦 = 0 (2.12) 𝛿𝜏_𝑦𝑥 𝛿𝑥 + 𝛿𝜎_𝑦 𝛿𝑦 = 0 (2.13) 𝜏_𝑥𝑦= 𝜏_𝑦𝑥 (2.14)

Scritte così è assunto anche che il carico è statico e che il materiale è privo di peso. Per carichi dinamici dovrebbe essere inclusa la forza d’inerzia.

L’assunzione di continuità (o compatibilità tra le deformazioni normali e di taglio) porta a: 𝛿2_𝜑 𝑥𝑦 𝛿𝑥𝛿𝑦 = 𝛿2_𝜀 𝑥 𝛿𝑦2 + 𝛿2_𝜀 𝑦 𝛿𝑥2 (2.15) dove φ è la deformazione di taglio (angolare).

Infine può essere scritta la legge di Hooke per tensioni piane come: 𝜀𝑥 = 1 𝐸[𝜎𝑥− 𝜈𝜎𝑦] (2.16) 𝜀_𝑦 = 1 𝐸[𝜎𝑦− 𝜈𝜎𝑥] (2.17) 𝜑𝑥𝑦= 2(1 + 𝜈) 𝐸 𝜏𝑥𝑦 (2.18)

Per risolvere le equazioni dalla 2.12 alla 2.18, è introdotta una funzione delle tensioni Φ. Le tensioni espresse con i seguenti differenziali soddisferanno le condizioni di equilibrio, equazioni dalla 2.12 alla 2.14:

𝜎_𝑥 =𝛿2Φ 𝛿𝑦2 𝜎𝑦 = 𝛿2_Φ 𝛿𝑥2 𝜏𝑥𝑦 = − 𝛿2_Φ 𝛿𝑥𝛿𝑦 (2.19)

63 Sostituendo queste ultime tensioni così scritte nelle equazioni dalla 2.16 alla 2.18 e poi sostituendo le deformazioni ottenute nell’equazione di continuità 2.15, si ottengono le seguenti equazioni: 𝛿4_Φ 𝛿𝑥4 + 2 𝛿4_Φ 𝛿𝑥2_𝛿𝑦2+ 𝛿4_Φ 𝛿𝑦4 = 0 (2.20) oppure: (𝛿 2 𝛿𝑥2+ 𝛿2 𝛿𝑦2) ( 𝛿2_Φ 𝛿𝑥2 + 𝛿2_Φ 𝛿𝑦2) = ∇2∇2Φ = 0

La soluzione di questa equazione è determinata dalle condizioni al contorno. La soluzione può essere trovata separando le variabili:

Φ(𝑥, 𝑦) = Φ1(𝑥)×Φ2(𝑦) (2.21)

Per un piano semi-infinito caricato da una forza uniformemente distribuita, p, su una larghezza pari a 2a (vedi Fig. 2-5), la funzione appropriata per Φ1(x) è:

Φ₁(𝑥) = cos(𝑚𝑥) (2.22)

Fig. 2-5 Tensione per uno spazio semi-infinito.

Introducendo l’eq.ne 2.22 in 2.20 si ottiene: 𝑚4_Φ 2(𝑦) − 2𝑚2 𝛿2_Φ 2(𝑦) 𝛿𝑦2 + 𝛿4_Φ 2(𝑦) 𝛿𝑦4 = 0 (2.23) che ha come soluzione:

Φ₂(𝑦) = 𝐴𝑒𝑚𝑦_{+ 𝐵𝑒}−𝑚𝑦 _{+ 𝑦𝐶𝑒}𝑚𝑦_{+ 𝑦𝐷𝑒}−𝑚𝑦 _(2.24)

Poiché se y tende a infinito le tensioni tendono a 0, allora A e C devono essere 0. La funzione delle tensioni può essere scritta come:

64 Le condizioni al contorno per tensione sulla superficie sono:

𝜎𝑦 = 𝑝 𝑝𝑒𝑟 − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 𝜎_𝑦 = 0 𝑝𝑒𝑟 |𝑥| > 𝑎

𝜏𝑥𝑦 = 0

Per ottenere questa distribuzione di tensioni discontinua è introdotto il seguente integrale:

∫ cos(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 𝑑𝑚 ∞ 0 = 𝜋 2⁄ 𝑝𝑒𝑟 𝑥 < 𝑎 𝜋 2⁄ 𝑝𝑒𝑟 𝑥 = 𝑎 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 > 𝑎 (2.26) Se Φ è una soluzione alla 2.20 allora la funzione trasformata:

2𝑝 𝜋 ∫ Φ sin(𝑚𝑎) 𝑚 𝑑𝑚 ∞ 0 (2.27)

sarà anch’essa una soluzione (la trasformazione è indipendente da x y). La funzione di tensione trasformata può essere scritta come:

Φ =2𝑝 𝜋 ∫ cos(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 [𝐵𝑒−𝑚𝑦+ 𝑦𝐷𝑒−𝑚𝑦]𝑑𝑚 ∞ 0 (2.28) e le tensioni ottenute dalla 2.19:

𝜎𝑥 = 2𝑝 𝜋 ∫ cos(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 [𝐵𝑚2𝑒−𝑚𝑦− (2 − 𝑚𝑦)𝐷𝑚𝑒−𝑚𝑦]𝑑𝑚 ∞ 0 𝜎_𝑦 = −2𝑝 𝜋 ∫ cos(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 [𝐵𝑚2𝑒−𝑚𝑦 + 𝑚𝑦𝐷𝑚𝑒−𝑚𝑦]𝑑𝑚 ∞ 0 𝜏_𝑥𝑦 =2𝑝 𝜋 ∫ sin(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 [𝐵𝑚2𝑒−𝑚𝑦 − (1 − 𝑚𝑦)𝐷𝑚𝑒−𝑚𝑦]𝑑𝑚 ∞ 0 (2.29) Sulla superficie, dove y = 0, abbiamo:

𝜎𝑦 = − 2𝑝 𝜋 ∫ cos(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 𝐵𝑚2𝑑𝑚 ∞ 0 𝜏𝑥𝑦= 2𝑝 𝜋 ∫ sin(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 (𝐵𝑚2− 𝐷𝑚)𝑑𝑚 (2.30) ∞ 0

Fissando Bm2 = -1 e Bm2 – Dm = 0 si ottiene la seguente espressione:

𝜎𝑦 = 2𝑝 𝜋 ∫ cos(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 𝑑𝑚 ∞ 0 = 𝑝 𝑝𝑒𝑟 𝑥 < 𝑎 𝑝 2⁄ 𝑝𝑒𝑟 𝑥 = 𝑎 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 > 𝑎 (2.31)

65 e la tensione di taglio sarà uguale a 0, soddisfacendo le condizioni al contorno.

La forma finale della funzione di tensione è: 𝜙 = −2𝑝 𝜋 ∫ cos(𝑚𝑥) sin(𝑚𝑎) 𝑚 (1 + 𝑚𝑦)𝑒−𝑚𝑦𝑑𝑚 (2.32) ∞ 0

Le tensioni in ogni punto del piano semi-infinito possono essere calcolate dalle 2.29 e, conoscendo le tensioni, le deformazioni possono trovate dalla legge di Hooke, equazioni dalla 2.16 alla 2.18. gli spostamenti possono essere trovati integrando le deformazioni normali. Per il caso particolare di carico puntuale P e lunghezza a = 0, sen(ma) = 1 gli integrali hanno una soluzione in forma chiusa:

𝜎_𝑥=2𝑃 𝜋 𝑥2_𝑦 (𝑥2_{+ 𝑦}2₎2 𝜎𝑦 = 2𝑃 𝜋 𝑦3 (𝑥2_{+ 𝑦}2₎2 𝜏𝑥𝑦 = 2𝑃 𝜋 𝑥𝑦2 (𝑥2_{+ 𝑦}2₎2 (2.33)

Per un semi-spazio semi-infinito con un carico assialsimmetrico la soluzione diventa più complessa. Per un carico circolare uniformemente distribuito con raggio a e pressione di contatto p la funzione di tensione è:

𝜙 = −𝑝𝑎 ∫ 𝐽0(𝑚𝑟)𝐽1(𝑚𝑎) 𝑚3 (2𝜈 + 𝑚𝑧)𝑒−𝑚𝑧𝑑𝑚 ∞ 0 dove: 𝐽0(𝑚𝑟) = ∑(−1)𝑘 (𝑚𝑟_{2 )}2𝑘 𝑘! 𝑘! ∞ 0 (𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 𝑑𝑖 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑒 0) 𝐽1(𝑚𝑎) = ∑(−1)𝑘 (𝑚𝑎_{2 )}2𝑘+1 𝑘! (𝑘 + 1)! ∞ 0 (𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 𝑑𝑖 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑒 1) (2.34) e z è la profondità.

Per il caso particolare di un carico puntuale P e per la linea centrale di un carico circolare uniformemente distribuito o trasmesso attraverso una piastra perfettamente rigida, esiste una soluzione in forma chiusa. Queste sono mostrate qui di seguito.

66 2.6.1.3 EQUAZIONI DI BOUSSINESQ

Le equazioni per calcolare le tensioni, le deformazioni e gli spostamenti in uno spazio semi-infinito omogeno, isotropico, elastico lineare, con modulo E e coefficiente di Poisson ν, caricato da un carico puntuale P, perpendicolare alla superficie, sono state date da Boussinesq nel 1885. Qui sotto, alcune delle equazioni di Boussinesq per un carico puntuale sono date in coordinate polari come mostrato in Fig. 2.6.

Fig. 2-6 Notazioni in coordinate polari usate nelle equazioni di Boussinesq.

Tensione normale 𝜎𝑧 = 3𝑃 2𝜋𝑅2cos3𝜃 𝜎𝑟 = 𝑃 2𝜋𝑅2[3 cos 𝜃 sin2𝜃 − 1 − 2𝜈 1 + cos 𝜃] 𝜎𝑡 = (1 − 2𝜈)𝑃 2𝜋𝑅2 [− cos 𝜃 − 1 1 + cos 𝜃] 𝜎₁ = 3𝑃 2𝜋𝑅2cos 𝜃 𝑝 =(1 + 𝜈)𝑃 3𝜋𝑅2 cos 𝜃 Tensioni di taglio 𝜏_𝑟𝑧= 3𝑃 2𝜋𝑅2cos2𝜃 sin 𝜃 𝜏𝑟𝑡 = 𝜏𝑡𝑧 = 0 Deformazioni normali 𝜀𝑧 = (1 + 𝜈)𝑃 2𝜋𝑅2_𝐸 [3 cos3𝜃 − 2𝜈 cos 𝜃]

67 𝜀𝑟 = (1 + 𝜈)𝑃 2𝜋𝑅2_𝐸 [−3 cos3𝜃 + (3 − 2𝜈) cos 𝜃 − 1 − 2𝜈 1 + cos 𝜃] 𝜀_𝑡 =(1 + 𝜈)𝑃 2𝜋𝑅2_𝐸 [− cos 𝜃 − 1 − 2𝜈 1 + cos 𝜃] 𝜀_𝑣 = (1 + 𝜈)𝑃 𝜋𝑅2_𝐸 (1 − 2𝜈) cos 𝜃 Spostamenti 𝑑𝑧= (1 + 𝜈)𝑃 2𝜋𝑅𝐸 [2(1 − 𝜈) − cos2𝜃] 𝑑𝑟 = (1 + 𝜈)𝑃 2𝜋𝑅𝐸 [cos 𝜃 sin 𝜃 − (1 − 2𝜈) sin 𝜃 1 + cos 𝜃 ] 𝑑𝑡 = 0 (2.35)

È interessante notare che la tensione verticale e la tensione principale maggiore sono indipendenti dai parametri elastici. Il modulo non influenza nessuna tensione.

Sulla linea centrale del carico, le equazioni per la tensione verticale, le deformazioni e gli spostamenti si riducono a: 𝜎_𝑧 = 3𝑃 2𝜋𝑧2 𝜀_𝑧= (1 + 𝜈)(3 − 2𝜈)𝑃 2𝜋𝑧2_𝐸 𝑑_𝑧 =(1 + 𝜈)(3 − 2𝜈)𝑃 2𝜋𝑧𝐸 (2.36)

Queste equazioni rivelano una importante differenza tra la variazione con la profondità delle tensioni e delle deformazioni, da una parte, e gli spostamenti dall’altra. Mentre gli spostamenti sono inversamente proporzionali alla profondità, le tensioni e le deformazioni sono inversamente proporzionali al quadrato della profondità.

Una delle conseguenze di questa differenza è che la deflessione superficiale di un sistema stratificato è poco correlata alle tensioni e deformazioni degli strati singoli. La deflessione superficiale è, quindi, un sostituto poco adatto alle tensioni ed alle deformazioni. Visto che il deterioramento di una pavimentazione è correlata alle tensioni ed alle deformazioni nei singoli strati, è infelice che la deflessione superficiale sia ancora largamente usata per la valutazione della capacità portante.

68 La deflessione alla superficie di un semispazio è:

𝑑_𝑧 =(1 − 𝜈2)𝑃

𝜋𝑟𝐸 (2.37) o inversamente proporzionale alla distanza dal carico.

Le equazioni di Boussinesq per un carico puntuale sono abbastanza utili. Non c’è bisogno che la distanza dal carico sia molto grande perché un carico puntuale produca la stessa risposta di uno distribuito su un’area. In Fig. 2-7 vengono confrontate le deflessioni superficiali di un semispazio semi-infinito calcolate con ELSYM5 con quelle ottenute dalla 2.37. Sono stati usati un modulo di 100 MPa, un coefficiente di Poisson di 0,35 ed un carico di 100kN distribuito su un’area circolare con raggio 150 mm. Già ad una distanza di appena un diametro, le deflessioni prodotte dal carico puntuale sono piuttosto vicine alla deflessione corretta.

Fig. 2-7 Confronto tra un carico uniformemente distribuito ed uno puntuale.

Esistono soluzioni in forma chiusa per la linea centrale di un carico circolare uniformemente distribuito (2.38) oppure per uno trasmesso attraverso una piastra perfettamente rigida (2.41). Per il carico uniformemente distribuito sono date alcune equazioni di seguito:

𝜎_𝑧 = 𝜎₀ [ 1 − 1 (√1 + (𝑎_𝑧)2) 3 ] 𝜎𝑟 = 𝜎𝑡= 𝜎0 [ 1 + 2𝜈 2 − 1 + 𝜈 √1 + (𝑎𝑧)2 + 1 2 (√1 + (𝑎_𝑧)2) 3 ] 𝜀𝑧 = (1 + 𝜈)𝜎0 𝐸 [ 𝑧 𝑎 (√1 + (_𝑎)𝑧 2) 3 − (1 − 2𝜈) ( 𝑧 𝑎 √1 + (𝑧𝑎)2 − 1 )_]

69 𝜀_𝑟 =(1 + 𝜈)𝜎0 2𝐸 [ −_𝑎𝑧 (√1 + (_𝑎)𝑧 2) 3− (1 − 2𝜈) ( 𝑧 𝑎 √1 + (𝑧𝑎)2 − 1 )_] 𝑑_𝑧= (1 + 𝜈)𝜎0𝑎 𝐸 [ 1 √1 + (𝑧𝑎)2 + (1 − 2𝜈) (√1 + (𝑧 𝑎) 2 − 𝑧 𝑎) ] (2.38)

La deformazione orizzontale può anche essere calcolata con la legge di Hooke:

𝜀𝑟 = 𝜀𝑡 = 1 − 𝜈

2𝜈 (𝜎𝑧− 𝐸𝜀𝑧) − 𝜈𝜎𝑧

𝐸 (2.39)

Se il carico è trasferito tramite una piastra circolare perfettamente rigida, così che la deflessione superficiale è la stessa su tutti i punti della piastra, allora la distribuzione teorica delle tensioni su un mezzo elastico sarà:

𝜎₀(𝑟) = 𝜎0𝑎

2√𝑎2_{− 𝑟}2 (2.40)

dove σ0 è il valore medio della tensione, a è il raggio della piastra ed r è la distanza dal centro al punto in cui è determinata la tensione superficiale. Per questa condizione di carico è disponibile una soluzione in forma chiusa per la linea centrale:

𝜎_𝑧 = 𝜎0 2 1 + 3 (𝑧_𝑎)2 [1 + (_𝑎)𝑧 2]2 𝜀𝑧= (1 + 𝜈)𝜎₀ 2𝐸 [ 2(1 − 𝜈) 1 + (_𝑎)𝑧 2 − 1 − ( 𝑧 𝑎) 2 (1 + (_𝑎)𝑧 2) 2 ] 𝑑_𝑧 =(1 + 𝜈)𝜎0𝑎 2𝐸 [(1 − 𝜈) (𝜋 − 2 tan−1( 𝑧 𝑎)) + (_𝑎)𝑧 1 + (_𝑎)𝑧 2 ] (2.41)

Le tensioni e le deformazioni orizzontali possono essere calcolate usando la legge di Hooke. La distribuzione teorica delle tensioni sotto una piastra perfettamente rigida su un mezzo elastico ha un valore infinito al perimetro. Questo, ovviamente, non può avvenire nei materiali per pavimentazioni reali. Sui materiali coesivi, come l’argilla, la vera distribuzione delle tensioni può assomigliare a quella teorica, ma per i materiali granulari le tensioni sul perimetro

70 saranno piccole, questo perché la capacità portante alla superficie di un materiale granulare non legato è piccola.

Fig. 2-8 Tipica distribuzione delle tensioni su terreni granulari e coesivi durante una prova di carico su piastra.

Una prova di carico su piastra può essere utilizzata per determinare il modulo di un semispazio semi-infinito (modulo superficiale):

𝐸 = 𝑓(1 − 𝜈2)𝜎0𝑎

𝑑₀ (2.42)

dove d0 è la deflessione al centro del carico circolare e f è un fattore che dipende sula distribuzione delle tensioni:

Distribuzione delle tensioni f

Uniforme 2

Piastra rigida π/2

Parabolica, granulare 8/3

Parabolica, coesivo 4/3

Se non sono conosciuti né la distribuzione delle tensioni né il coefficiente di Poisson, allora il fattore f(1-ν2) può variare da 1 a 2,67. Questa grande incertezza può essere ridotta misurando le deflessioni a diverse distanze dal carico. Come mostrato in Fig. 2-7 le deflessioni causate da un carico puntuale sono molto simili alle deflessioni sotto un carico circolare, per una distanza maggiore del doppio del raggio dal centro di carico. Il modulo superficiale può quindi essere calcolato da:

𝐸 =(1 − 𝜈2)𝜎0𝑎2

𝑟×𝑑₀(𝑟) (2.43) dove d0(r) è la deflessione a distanza r dal centro di carico.

Misurando le deflessioni a diverse distanze dal centro di carico è anche possibile verificare che le misure siano state fatte su un semispazio semi-infinito, lineare ed elastico. Se è così, allora i moduli calcolati a tutte le distanze dovrebbero essere gli stessi. Se non è così, allora le deflessioni dovrebbero essere utilizzate in una analisi inversa (backcalculation) per determinare i moduli o gli spessori degli strati.

71 Nel caso invece in cui il comportamento del sottofondo analizzato sia non-lineare (più comunemente di tipo "stress-softening"), all’aumentare della distanza dal centro-piastra si osserva anche un aumento del modulo superficiale equivalente.

Considerando i moduli superficiali degli interi semispazi equivalenti, quindi quelli derivanti dall’equazione 2.42, è possibile eseguire una immediata valutazione della capacità portante complessiva di una sovrastruttura attraverso le deflessioni ottenute con il FWD. Questa valutazione si fonda sull’ipotesi di semispazio omogeneo, elastico lineare e isotropo. Tali presupposti tuttavia risultano essere difficilmente verificabili nella pratica, sia per la natura ed il comportamento stesso dei materiali impiegati, che per la struttura a multistrato utilizzata per la realizzazione delle pavimentazioni. Ciò nonostante, sebbene le ipotesi di partenza non siano necessariamente verificate, l’analisi dei moduli equivalenti risulta essere un importante strumento per comprendere al meglio il comportamento di una pavimentazione soggetta a determinati carichi.

L'analisi di queste informazioni permette di valutare la differenza relativa di resistenza tra le diverse postazioni (da utilizzare come informazione aggiuntiva anche per la definizione delle sezioni omogenee) e ottenere informazioni preliminari sul comportamento meccanico e sulla resistenza del complesso pavimentazione-sottofondo.

72 2.6.1.4 ASSUNZIONI DELLA TEORIA DELL’ELASTICITÀ RISPETTO ALLA REALTÀ

Le assunzioni su cui si basa la teoria dell’elasticità non sono mai soddisfatte dai materiali per pavimentazioni reali o dalle strutture di pavimentazione. I carichi non sono statici ma dinamici. Nei materiali che contengono fessure o altre discontinuità le deformazioni non sono compatibili, e molto più probabilmente lo stesso sarà nel caso di materiali granulari, almeno ai livelli di tensione che causano ammaloramenti nella pavimentazione (e certamente nella scala di grandezza dei grani). Pochi materiali sono omogeni, molti sono anisotropici e la maggior parte hanno relazioni non lineari molto complesse tra tensioni e deformazioni. Inoltre le deformazioni non sono solo elastiche ma anche plastiche, viscose o visco-elastiche. Anche queste deformazioni sono relazionate alle tensioni in modo complesso.

La tensione tangenziale, σt, calcolata usando l’equazione Boussinesq 2.35, sarà 0 se il coefficiente di Poisson è 0,5, e per coefficiente di Poisson minore di 0,5 sarà negativo quando l’angolo θ è minore di 52°. Secondo il criterio di Mohr – Coulomb si verificherà la rottura in un materiale granulare quando il rapporto tra la minore e la maggiore tensione principale è minore di tan2(45°-φ/2), dove φ è l’angolo d’attrito del materiale. Con tensione principale minore negativa possiamo aspettarci una rottura in una grande parte del semispazio.

Se la maggior delle assunzioni su cui sono basate le equazioni differenziali non sono corrette, la soluzione a queste equazioni può essere corretta? Probabilmente no, ma dipende da quanto sono importanti queste differenze ai fini del risultato finale. Può darsi che le non linearità o gli effetti dinamici, causino solo piccoli cambiamenti alle tensioni ed alle deformazioni. In questo caso la teoria dell’elasticità è un modello utile per determinare la risposta di una pavimentazione. L’unico modo per verificarlo è misurando tensioni, deformazioni e spostamenti in pavimentazioni reali e confrontarli con quelli predetti dalla teoria. Misurare tensioni e deformazioni, comunque, non è semplice.

Le prime misure delle tensioni (Frölich 1934, Kögler & Scheidig 1938) hanno mostrato che la teoria dell’elasticità non è del tutto soddisfacente. Frölich ha consigliato di considerare una “concentrazione delle tensioni”. Questo può essere ottenuto con un modulo elastico che varia in funzione delle coordinate polari. Anche Boussinesq (1876) ha sviluppato una teoria per le tensioni in un mezzo granulare, assumendo il modulo di taglio proporzionale alla tensione idrostatica. È stato sviluppato un grande numero di modelli ad oggi, per ottenere una descrizione corretta delle tensioni e delle deformazioni nei materiali reali. Alcuni di quelli che riguardano le pavimentazioni sono esposti nel seguito.