CAPITOLO 3

CAPITOLO 3

SIMULAZIONE DI UNA GHP CON SONDE ORIZZONTALI

3.1 Ipotesi del modello

Per affrontare lo studio di un impianto a pompa di calore con sonda interrata, bisogna fare delle opportune ipotesi :

• La sonda nel sottosuolo può essere definita come una sorgente di calore cilindrica. • Le proprietà termiche del terreno e della sonda sono omogenee e i loro valori possono

essere ritenuti costanti.

• Lo scambio di calore fra la terra e la sonda interrata è un processo di pura conduzione termica; si trascurano gli altri fenomeni di trasmissione.

• La temperatura della terra è costante dopo una certa profondità y e un certo raggio r dal centro della sonda.

Lo studio che si farà sarà incentrato nel simulare il funzionamento della sonda e per far questo occorre sviluppare delle espressioni matematiche che tengano conto dei fenomeni di

trasmissione del calore fra il terreno e la sonda e fra la sonda stessa e il fluido vettore che gli scorre attraverso.

3.2 Espressioni per il calcolo delle temperature del terreno e della sonda.

Bisogna considerare la temperatura del terreno indisturbato cioè la temperatura del sottosuolo ad una certa profondità quando ancora la sonda non è in funzione.

La sua relazione è data dalla formula seguente:

( )

• Te = temperatura media della superficie della terra ;

• Team= oscillazione annuale della temperatura del suolo;

• ω= frequenza angolare della variazione di temperatura della terra annuale;

• ae = diffusività termica della terra [ 2/ ] s

m ;

• z= profondità.

La relazione citata ci dà la temperatura della terra ad una data profondità e in un certo tempo. Come si può notare l’ampiezza del termine sinusoidale pian piano che si scende in profondità assume un valore sempre più trascurabile e ciò significa che l’andamento di temperatura del sottosuolo dopo una data profondità sarà pressappoco costante e quindi non risentirà più dell’influenza del sole.

In seguito questa temperatura sarà definita T∞.

Valuteremo ora la temperatura del sottosuolo ad un certo raggio r e dopo un tempo di funzionamento τ della pompa, fissando la profondità z

∫

=

∞

−

π

τ

ds

s

e

K

qt

T

r

T

4

)

,

(

• qt = flusso scambiato per unità di lunghezza [W/m]; • K= conduttività termica [W/mK];

• s = variabile di integrazione.

Questa relazione ci dà la temperatura del terreno distante r dall’asse della sonda dopo un tempo τ di funzionamento della sonda; detta relazione considera il flusso per unità di

lunghezza costante( ed è strettamente valido solo per una sorgente lineare, ovvero per una sonda di raggio nullo.

.) cos t qt =

Altro parametro da valutare è la temperatura della parete della sonda necessaria per valutare lo scambio termico fra il terreno e la sonda.

Per determinare approssimativamente questa temperatura non bisogna fare altro che

considerare nella formula precedente il raggio R della sonda, in modo da conoscere il profilo di temperatura della parete.

Calcolato l’andamento della temperatura di parete della sonda saremmo in grado anche di determinare il profilo di temperatura del fluido all’interno della sonda, ma ritenendo il calore scambiato per unità di lunghezza costante su tutta la tubazione si và incontro a un errore di valutazione infatti esso varia in funzione del tempo e della lunghezza della sonda.

A questo punto o si risolve l’integrale esponenziale precedente considerando che il valore di sarà funzione del tempo e dello spazio o si percorre un’altra strada che è quella di ritenere costante il flusso di calore non lungo tutta sonda ma in un tratto elementare dove tale semplificazione può essere ritenuta valida.

qt

3.3 Calcolo iterativo considerando il flusso termico costante a tratti

La sonda viene suddivisa in tanti tratti elementari e in ognuno di essi si procede al calcolo delle grandezze da determinare in funzione del tempo.

Si definisce con

• Tw la temperatura di parete di un pezzo di sonda

• Tf la temperatura del fluido che attraversa un tratto elementare

• qt il flusso di calore scambiato per unità di lunghezza del tratto elementare La sonda è stata considerata come nel disegno seguente:

Tw,1 Tw,i Tw,n

Tf 1 Tf i Tf,i+1 Tf,out,

qt,1 qt,i qt,n

3.3.1 Definizione delle grandezze al tempo zero

Tutte le temperature di parete sono pari a T∞, in quanto la sonda ancora non è in funzione,

Per determinare invece le temperature del fluido di ogni tratto elementare si deve cominciare a considerare che e cioè la temperatura del fluido del primo tratto al tempo 0 sarà uguale alla temperatura del fluido in ingresso.

Ting Tf1,0 =

Da questo valore si può determinare il flusso termico scambiato dal primo tratto elementare:

) ( 1,0 1,0 0 , 1 p Tw Tf qt =α −

Ora per determinare la Tf del tratto elementare seguente si usa la relazione:

cpf G x qt T T_{f f} * * 0 , 1 0 , 1 0 , 2 Δ + = dove

• xΔ la lunghezza del tratto elementare di tubo • G la portata di fluido vettore

• cpf il calore specifico del fluido.

In pratica la temperatura del fluido in ingresso al tratto elementare seguente sarà pari alla temperatura del pezzettino precedente più un ΔT dovuto al flusso termico scambiato sempre

dal tratto precedente.

Avendo a disposizione ora la temperatura del fluido del secondo tratto elementare si può stimare anche il flusso termico scambiato dal pezzettino 2 che sarà uguale a:

) ( 2,0 2,0 0 , 2 p Tw Tf qt =α −

Iterando queste espressioni per tutta la lunghezza della sonda troveremo i valori di Tf , e

per ogni tratto elementare della sonda ma solo al tempo iniziale ( .

Tw

La prima parte dell’iterazione non tiene conto della variabile temporale ma solo della lunghezza della sonda infatti il tempo è ritenuto costante.

3.3.2 Evoluzione delle grandezze in funzione del tempo

Bisogna inizialmente valutare come varia la temperatura di parete Tw ; al primo passo detta temperatura è ritenuta costante e pari a quella del terreno indisturbato ( Tw ) per tutti i tratti elementari.

Al variare del tempo però questa diminuisce sempre più in quanto parte del calore è stato assorbito dal terreno viene scambiato con il fluido all’interno della sonda.

Per tenere in considerazione il fenomeno descritto si considera la seguente espressione: (valida rigorosamente solo per una sonda di raggio nullo)

∑

• k è una costante del terreno;

• ΔTè l’intervallo di tempo considerato;

• isi indica l’i-esimo pezzettino;

• ae è la diffusività termica [ 2] s m

Questa espressione tiene conto dei flussi termici scambiati precedentemente da un tratto elementare per valutare la nuova temperatura di parete del tratto considerato dopo un intervallo di tempo ΔT.

Una volta che si conosce come varia Tw nell’intervallo di tempo ΔT si possono applicare di

nuovo le stesse espressioni utilizzate al passo iniziale dell’iterazione per tutti i tratti elementari della sonda.

3.4 Metodo delle differenze finite

L’iterazione eseguita in precedenza, però, non porta ad una soluzione numericamente stabile e per questo non può essere ritenuta corretta.

Lo studio dell’evoluzione dei parametri del terreno dovrà essere più accurata e per questo motivo rispetto al modello precedente si determineranno anche:

• Il raggio di penetrazione del terreno

• La temperatura del terreno sovrastante la sonda

Il primo parametro ci indicherà i metri di terreno coinvolti dal funzionamento della sonda mentre il secondo ci mostrerà come evolve la temperatura del terreno sovrastante la sonda. Questi due nuovi parametri saranno fondamentali per determinare con più accuratezza l’accoppiamento terreno - sonda. Si studieranno le tematiche del terreno e della sonda con il metodo delle differenze finite del tipo implicito: il tipo implicito è preferito al metodo esplicito in quanto quest’ultimo pone delle condizioni di stabilità che influenzano il valore

dell’intervallo di tempo dt rendendolo molto piccolo, per cui si avrebbero simulazioni molto lente.

L’idea è quella di suddividere il terreno in tanti elementi e calcolare l’evoluzione della temperatura del terreno( Tter ) circostante un tratto elementare di sonda (fig. 1). r k - 1 k Terreno k+1 . . . i -1 i i +1 ……… z Sonda fig. 1 Una volta determinato lo scambio termico che si ha fra il tratto di terreno adiacente con il primo tratto di sonda, si passa ad analizzare il terreno circostante il successivo elemento di sonda; tutto questo studio è fatto al tempo generico t e una volta che è stato analizzato tutto il

terreno sovrastante ogni tratto di sonda, si ripete l’iterazione questa volta ad un tempo t + dt fino al termine temporale della simulazione.

3.4.1 Metodo implicito applicato al modello del terreno e della sonda

Lo scambio termico all’interno del terreno avviene per conduzione in senso radiale ( r ); l’ipotesi alla base dello studio è quella di trascurare la conduzione lungo l’asse z . Le equazioni che governano la conduzione nel terreno sono le seguenti:

• ( ₂ 1 ) 2 r Tter r r Tter ae t Tter ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

a =Raggio della sonda

• Tter(r,0)= T∞ k =Conducibilità termica del terreno ae =Diffusività termica • (T Tf(z)) T Tter k r a = − ∂ ∂ − ₌ α

La prima è l’equazione generale della conduzione (di Fourier) in coordinate cilindriche, la seconda la condizione al contorno che ci dice che la temperatura del terreno su tutto l’asse r al tempo 0 è uguale alla temperatura del suolo indisturbato.

L’ultima equazione uguaglia il flusso termico conduttivo del terreno a quello convettivo della sonda.

L'idea di base del metodo delle differenze finite è di sostituire alle derivate i rapporti incrementali, dato che il limite di questi è appunto la derivata.

Questo metodo sarà applicato al bilancio energetico di un tratto elementare di terreno:

dr T T dr r k dr T T dr r k dt T T cp dr r j k j k j k j k j k j k 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 2 + + + + + − + ₋ + + − − = − _{π π} π ρ

L’equazione appena riportata eguaglia l’energia interna del tratto di terreno di lunghezza dr all’energia che esce dal raggio interno ed esterno del tratto elementare di terreno.

Nella equazione scritta si ha un solo valore di temperatura noto ( ) e tre incognite ( , , ) e cosi quando l’equazione sarà applicata a tutti i tratti elementari di terreno si ottiene un sistema di equazioni algebriche simultanee ognuna con tre incognite.

j k T 1 + j k T T_k−1j+1 T_k+1j+1

Secondo questo metodo non si verificano processi di instabilità al contrario del metodo esplicito dove si doveva tenere conto che il numero di Fourier doveva essere < 0,5.

2 dr dt ae Fo= Δ < 0,5

Con il metodo implicito l’intervallo temporale dt può essere scelto in maniera arbitraria tenendo solo conto che l’accuratezza del modello aumenta al diminuire di dt.

Esistono metodi appropriati per risolvere queste equazioni algebriche tridiagonali, e può anche essere usato il metodo iterativo di Gauss-Siedel; nel nostro caso abbiamo risolto il sistema grazie al programma di simulazione Matlab.

Nella sonda invece il calore si trasmette per convezione e quindi cambieranno le equazioni da scrivere ma il procedimento rimane analogo a quello descritto in precedenza per la

conduzione nel terreno. Il bilancio energetico di un tratto di sonda lungo dz si scrive come

p q dz T T cp m dt T T cp A j i j i j i j i _'' 1 1 1 1 + − = − + + − + &

ρ A = sezione del condotto [m2]

ρ = densità del fluido [ kg/m3

]

cp = calore specifico del fluido [J/kg k] p = perimetro del condotto [m]

m = portata fluido [kg/s] & q’’ = flusso termico [W]

Grazie a questo metodo abbiamo elaborato dei programmi di simulazione che sono stati utilizzati per determinare i principali parametri che sono necessari per il dimensionamento della GHP.

I programmi sono riportati in Appendice 1 ed uno (GeoThProbe) analizza il funzionamento della sonda, mentre il secondo analizza (TerDyn) determina l’evoluzione dei parametri del terreno.