Progettodelcontrollodiunmotoreelettricobrushless 4

(1)

4

Progetto del controllo di un motore

elettrico brushless

4.1 Modello della dinamica del motore

Come illustrato nel capitolo 3 il motore sincrono a magneti permanenti (nel seguito PMSM), è costituito fondamentalmente da uno statore, nel quale sono disposti avvolgimenti alimentati da tensioni sinusoidali, e da un rotore nel quale sono alloggiati dei magneti permanenti che producono un campo diretto lungo l’asse degli stessi. In questo tipo di motori, dunque, il flusso di magnetizzazione non è prodotto da una corrente di eccitazione circolante in avvolgimenti di campo. Il flusso magnetico di rotore si può ritenere costante e pari a ΨP M.

Applicando la seconda legge di Kirchhoff, [4], si ottengono le seguenti equazioni differenziali (figura 4.1):

       vs1 = Rs1is1+ dλ_dts1 vs2 = Rs2is2+ dλ_dts2 vs3 = Rs3is3+ dλ_dts3 (4.1)

dove (definito i = 1,2,3) vsi, isi, λsi ed Rsi rappresentano rispettivamente

la tensione di eccitazione, la corrente, il flusso magnetico concatenato e la resistenza elettrica dell’i-esima fase dello statore. Data la simmetria costrut-tiva del motore, le tre resistenze sono generalmente uguali (Rs1 = Rs2 =

(2)

Figura 4.1: Rappresentazione schematica del motore

per esempio, un guasto che interessi una o, al pi`u, due fasi della macchina. I flussi magnetici concatenati sono forniti da:

       λs1 = Ls11is1+ Ls12is2+ Ls13is3+ λs1P M λs2 = Ls21is1+ Ls22is2+ Ls23is3+ λs2P M λs3 = Ls31is1+ Ls32is2+ Ls33is3+ λs3P M (4.2)

dove Lskk (k = 1,2,3) e Lskj (k,j = 1,2,3 e k 6= j) sono, rispettivamente, le

autoinduttanze e le mutue induttanze di statore, mentre λskP M (k = 1,2,3)

sono i flussi concatenati indotti dal magnete permanente. Posto Ls =     Ls11 Ls12 Ls13 Ls21 Ls22 Ls23 Ls31 Ls32 Ls33     e

(3)

~λsP M =     λs1P M λs2P M λs3P M    

la (4.2) pu`o essere efficacemente sintetizzata nella forma matriciale:

~λs = Ls~is+ ~λsP M (4.3)

Essendo gli avvolgimenti di statore fisicamente sfasati di 120◦ _{nello spazio,}

figura 4.1, si pu`o assumere che i flussi concatenati dovuti al magnete perma-nente (funzioni periodiche di θr) obbediscano a una legge di tipo sinusoidale.

Si ha dunque: ~λsP M =     ΨP Mcos θr ΨP Mcos(θr− 2₃π) ΨP Mcos(θr− 4₃π)     (4.4)

in cui si definisce l’angolo elettrico di rotore θr come l’angolo che misura 360◦

(o 2π radianti) elettrici ogni nP poli della macchina elettrica. Poich`e in un

giro ci sono nP lunghezze d’onda complete, si ha:

θr = θnp

ωr = ωnp

Sostituendo le (4.2) nella (4.1) ed esprimendo quest’ultima in forma ma-triciale, si ottiene: ~vs= Rs~is+ d~λs dt = = Rs~is+ d(Ls~is+ ~λsP M) dt = = (Rs+ dLs dt )~is+ Ls d~is dt + d~λsP M dt (4.5) dove si `e posto:

(4)

Rs =     Rs1 0 0 0 Rs2 0 0 0 Rs3    

Per completare il modello della dinamica, alle tre equazioni scalari fornite dalla (4.5) va aggiunta l’equazione di equilibrio meccanico dell’albero del motore:

Jd2θ

dt2 = Te− TL− B

dθ

dt (4.6)

dove si `e indicato con Te e TL rispettivamente la coppia motore e la

cop-pia resistente, con J il momento di inerzia dell’albero motore, con B lo smorzamento viscoso del sistema e con θ l’angolo di rotazione dell’albero motore.

Ai fini del progetto del sistema di controllo, è conveniente formulare il modello matematico della macchina nel sistema di riferimento rotante (d,q), figura 4.1. Tale sistema di riferimento è rotante rispetto allo statore con velocità angolare ωred ha l’asse d (asse diretto) parallelo all’asse del magnete.

Applicando la trasformazione di Park, [5], alla (4.5) si ottiene:

~vsP = Rs~isP + d~λsP dt (4.7) dove ~λsP = λsdd + λ~ sq~q e quindi d~λsP dt = ˙λsdd + ˙λ~ sq~q + λsd~ωr∧ ~d + λsq~ωr∧ ~q ovvero d~λsP dt = ( ˙λsd− λsqωr)~d + ( ˙λsq+ λsdωr)~q

La (4.7) pu`o essere scomposta secondo le due direzioni d e q, ottenendo: (

vsd = Rsisd+ dλ_dtsd − ωrλsq

vsq = Rsisq+dλ_dtsq + ωrλsd

(4.8) e

(5)

(

λsd = Lsdisd+ ΨP M

λsq = Lsqisq

(4.9)

Nelle precedenti equazioni vsd e vsq, isd e isq, λsd e λsq, rappresentano le

componenti su (d,q) rispettivamente delle tensioni statoriche, delle correnti statoriche e del flusso concatenato con lo statore. L’espressione della coppia elettromagnetica pu`o essere ricavata imponendo l’equilibrio energetico del sistema. Si pu`o scrivere:

PA = vsdisd+ vsqisq= PD + PI+ PM (4.10)

con PApotenza assorbita dal motore, PD potenza dissipata negli

avvolgimen-ti statorici, PI potenza immagazzinata dal circuito magnetico, PM potenza

meccanica generata dal motore. Si ha:

PD = i2sdRs+ i2sqRs

PI = isddλ_dtsd + isqdλ_dtsq

PM = ωr(λsdisq− λsqisd) = ωnp(λsdisq− λsqisd)

La coppia fornita dal motore `e quindi pari a PM/ω:

Te = np(λsdisq− λsqisd) (4.11)

Sostituendo le (4.9) nella (4.11) si ottiene ancora:

Te= np[ΨP Misq− (Lsd− Lsq)isqisd] (4.12)

espressione che evidenzia in maniera semplice la dipendenza della coppia elettromagnetica dalle componenti della corrente di armatura lungo gli assi diretto (d) e di quadratura (q). In particolare, l’equazione (4.12) mostra che la coppia elettromagnetica in un PMSM è composta da due termini, [4]: il primo di essi rappresenta il contributo generato dall’interazione tra il flusso dei magneti permanenti e la componente secondo l’asse q della corrente statorica (esso è prodotto dalla tendenza dei magneti ad allinearsi con l’asse della forza magneto-motrice di statore e, per questo motivo, prende il nome di ”coppia di allineamento di campo”), il secondo termine è legato alla salienza del circuito magnetico percorso dal flusso (spesso indicato come ”coppia di

(6)

riluttanza”). Un tipico andamento della coppia per un PMSM `e visualizzato in figura 4.2, [4].

Figura 4.2: Andamento dei due termini della coppia in funzione dell’angolo δ

Va per`o osservato che nei PMSM a magneti superficiali il termine di riluttanza `e trascurabile (Lsd ' Lsq) e l’espressione (4.12) si semplifica

ulteriormente nella:

Te = npΨP Misq= KCisq (4.13)

dove KC `e detta costante di coppia. La (4.13) mostra come sia possibile

controllare la coppia motore Te agendo esclusivamente sulla componente in

quadratura della corrente statorica, dato che il flusso prodotto dai magneti si può considerare costante. Inoltre si può osservare dalla figura 4.2 che, a parità di corrente statorica is, la coppia massima si ottiene per un angolo

di coppia δ ' 90◦_{, cio`e quando la componente i}

sd `e trascurabile; dunque il

controllo del motore si pu`o effettuare imponendo isd = 0, [6]. Per cui si ha:

(

vsd = −ωrLsqisq

vsq = Rsqisq+ Lsqdi_dtsq + ωKC

(4.14)

Tali equazioni, insieme alle (4.6) e (4.13), descrivono il modello del motore sincrono sinusoidale isotropo. Risulta evidente l’analogia con le equazioni di un motore a c.c., in cui la corrente d’armatura `e qui rappresentata dalla isq.

(7)

Vsq = RsIsq+ E = RsIsq+ ωKC

con E = ωKC forza contro-elettromotrice generata dal flusso concatenato

dovuto al magnete permanente, ΨP M.

Risulta infine evidente che l’implementazione del controllo vettoriale (vedi

§ 3.3), orientato sull’asse di rotore, di un motore sincrono a magneti

perma-nenti superficiali è relativamente semplice se si è in grado di misurare accu-ratamente la posizione angolare di rotore in ogni istante. La determinazione della posizione del rotore si ottiene solitamente o misurandola direttamente attraverso opportuni resolver o encoder ottici, o ricavandola per integrazione della velocità angolare di rotore a sua volta misurata attraverso un oppor-tuno sensore. Sono quindi necessari dei sensori di velocità e posizione per poter applicare la strategia di controllo vettoriale.

4.2 Architettura del controllo

Il motore brushless viene controllato regolando direttamente la corrente di quadratura dello statore. Va infatti osservato che ogni fase dello statore `e stimolata mediante un apposito servoamplificatore che opera un controllo in ciclo chiuso sulla corrente, rendendo molto rapida la risposta dinamica del circuito. Per questo risulta lecito trascurare la dinamica di corrente nel motore.

In tal modo, l’equazione di equilibrio di coppia del motore `e:

Jd2θ

dt2 + B

dθ

dt = KCi − TL (4.15)

dove i = isq, avendo posto isd = 0.

La (4.15) pu`o inoltre essere rappresentata nel dominio della variabile s usando la trasformata di Laplace, ottenendo:

θ(s) = KC

(Js + B)sI(s) − 1

(Js + B)sTL(s) (4.16) Il controllo del sistema `e realizzato mediante due loop di controllo in ciclo chiuso: uno sulla velocit`a angolare dell’albero motore ed uno sulla posizione

(8)

angolare dello stesso, secondo l’architettura rappresentata dal diagramma a blocchi di figura 4.3. 1 teta Kc i2Te dw i K2 dteta wref K1 1 s Integratore 1 J.s+B Funzione di Trasferimento i i’ Filtro Passa−Basso 2 T_L 1 teta_ref

Figura 4.3: Schema dei loops di controllo

Con riferimento alla (4.16), si pone:

I(s) = K2(s)[ωref(s) − ω(s)] =

= K2(s){K1(s)[θref(s) − θ(s)] − ω(s)} (4.17)

dove θref rappresenta la posizione angolare comandata.

La struttura dei blocchi di controllo `e del tipo ”PI”:

K1(s) = G µ 1 + 1 τGs ¶ (4.18) K2(s) = P KC µ 1 + 1 τPs ¶ (4.19)

Questa architettura di controllo `e la medesima che viene implementata dal drive Moog T200 per il controllo del motore brushless G424-400 utilizzato nel presente lavoro per le attivit`a sperimentali su banco, figura 4.4, [3].

Le uniche differenze tra lo schema presentato e quello di figura 4.4 consi-stono nella presenza di blocchi per la saturazione e la limitazione di velocit`a dei comandi, un blocco di saturazione della corrente di statore per evitare un eccessivo aumento di temperatura ed un filtro per l’attenuazione delle

(9)

Figura 4.4: Diagramma a blocchi rappresentativo del controllo realizzato dal drive Moog T200

componenti di alta frequenza della risposta del sistema. Il filtro ha due poli complessi coniugati di pulsazione 200 Hz e la sua presenza risulta giustificata in considerazione del fatto che la scheda di controllo dell’hardware ha una frequenza di campionamento di 2000 Hz, per cui non avrebbe senso cercare di controllare la risposta del sistema a frequenze superiori a 2000

(10)

del Campionamento, [7]).

Introducendo nel modello del controllo gli elementi appena descritti si ottiene lo schema riportato in figura 4.5.

2 w 1 teta deg2rad °2rad i i’ Protezione Termica TL i teta w Motore wr wr’ Limitatore velocità i’ i’’ Limitatore corrente dw i K2 dteta wr K1 i i’ Filtro Passa−Basso 2 _TL 1 teta_i

(11)

Con riferimento alla figura 4.5, i componenti aggiuntivi introdotti sono:

• Limitatori di velocit`a e di corrente. Come si vedr`a anche in seguito

pu`o essere necessario limitare la velocit`a richiesta, ωref, e la corrente

richiesta dal controllo. Ci`o pu`o essere implementato in Simulink con il blocco ”Saturation”, rappresentato in figura 4.6.

Saturation

Figura 4.6: Blocco Saturation

In pratica, se l’input `e inferiore in modulo ad un valore di soglia, il blocco restituisce il valore stesso, se `e superiore ad esso in uscita si ha il valore di soglia.

Assieme alla limitazione del valore del segnale, è necessario limitare la variazione temporale del segnale stesso (velocità o corrente). Ciò viene fatto calcolando la derivata nel tempo del segnale in ingresso e confrontandola con un valore di riferimento; se essa risulta inferiore al valore di riferimento il segnale passa inalterato, se invece risulta super-iore, essa viene posta uguale al valore di riferimento e per integrazione si ha il segnale di uscita. Il blocco Simulink di riferimento è il ”Rate Limiter”, riportato in figura 4.7.

Rate Limiter

Figura 4.7: Blocco Rate Limiter

Quindi ogni limitatore `e costituito dai due blocchi appena descritti, posti in cascata, come mostrato in figura 4.8.

• Filtro Passa Basso. Come detto in precedenza, il filtro serve a

(12)

Saturation Rate Limiter

Figura 4.8: Blocchi limitatori

Esso ha la forma: F (s) = ω 2 f ∆f(s) = ω 2 f s2_{+ 2ξ} fωfs + ωf2 (4.20)

• Thermal Protection. Per evitare che la temperatura dei conduttori

all’interno del motore raggiunga valori eccessivi, compromettendo la corretta funzionalit`a delle resistenze utilizzate nei circuiti, viene imple-mentato un controllo sulla corrente di comando. Tale controllo fa in modo di aprire il circuito quando il valore della corrente di comando supera una certa soglia. Per simulare questa logica di intervento del sistema, si adopera, in Simulink, lo schema di figura 4.9.

1 i’ Relay Product |u| Abs 1 i

Figura 4.9: Blocco Thermal Protection

Nello schema `e presente il blocco Simulink ”Relay”, impostato in modo da fornire un output unitario per valori dell’input che siano inferiori ad un valore di soglia, e nullo altrimenti. Il valore del segnale di output del blocco Relay viene infine moltiplicato per il segnale di corrente di comando, simulando in tal modo l’apertura/chiusura del circuito.

(13)

4.3 Progetto del controllo

4.3.1 Requisiti

I requisiti fissati per il controllo del sistema sono i seguenti, [8]: A) Controllo sulla posizione (F.d.T. θ/θref)

Banda passante ≥ 2 Hz Margine di Fase ≥ 45◦

Margine di Guadagno ≥ 6 dB

Overshoot nella risposta a gradino ≤ 15% B) Rigidezza dinamica dell’attuatore (F.d.T. TL/θ)

¯ ¯TL θ ¯ ¯ min ≥ 0 dB ¯ ¯TL θ ¯ ¯ ≥ 15 dB per ω = 0.5 Hz ∠(TL θ ) ¯ ¯ ≤ 90◦ _{per ω = 0.5 Hz}

4.3.2 Limitazioni sui parametri di controllo

Come si vedr`a nel § 5.4.1, il software Moog WinDrive permette all’utente di impostare direttamente i valori dei parametri di controllo presenti nei blocchi. Con riferimento alla figura 4.10 e alle relazioni (4.18) e (4.19) si ha:

(14)

• ”Velocity Loop Gain” = P ;

• ”Integral Time Const” = τP;

• ”Position Loop Gain” = G;

• ”Position Loop Integral Gain” = τG

Il drive T200 pone delle limitazioni nella scelta dei valori, rappresentate in tabella 4.1.

Parametro Valore minimo Valore massimo

P 10−8 Nm

rad/s 20 rad/sNm

τP 10−3 s 6 s

G 6 Hz 800 Hz

τG 10−3 _s _{50 s}

Tabella 4.1: Limitazioni sui parametri di controllo

4.3.3 Definizione dei parametri del controllo

La struttura del modello matematico risulta essere molto semplice, in consi-derazione del fatto che dipende soltanto dal momento d’inerzia J dell’albero motore e dalla costante di coppia KC, fornite dal costruttore del motore,

oltre che dal coefficiente di attrito B. Si suppone inizialmente di trascurare l’effetto dell’attrito, ponendo B = 0. Inoltre, per lo studio della risposta del sistema ai due ingressi θref e TLnon si considerano le non linearit`a introdotte

dai saturatori e dai rate limiter. La funzione di trasferimento della posizione angolare θ(s), usando la simbologia gi`a introdotta, `e, quindi:

θ(s) = Gθ(s)θref(s) + GT(s)TL(s) (4.21) con Gθ(s) = F (s)K1(s)K2(s) H(s) (4.22) GT(s) = − 1 H(s) (4.23) e H(s) = Js2_{+ F (s)K} 1(s)K2(s) + F (s)K2(s)s (4.24)

(15)

Controllo sulla posizione angolare

Per lo studio di questo controllo si annulla l’ingresso di coppia resistente, 4.11, ponendo TL(s) = 0.

Figura 4.11: Sistema completo (linearizzato)

Nella figura 4.11 si evidenzia il loop di velocit`a all’interno dello schema completo, mentre in figura 4.12 si mostra solo il loop di velocit`a.

1 w P prop P tauP.s integrator Kc i2T 1 J.s Transfer Fcn wf^2 s +2*dampf*wfs+wf^22 Filtro Passa−Basso 1 w_ref

Figura 4.12: Ciclo chiuso per il controllo della velocit`a angolare

Si sceglie di imporre per la risposta in velocit`a una banda passante pi`u elevata di quella voluta per la risposta in posizione in particolare una decade superiore (20 Hz1_).

La funzione di trasferimento in anello aperto `e:

A(s) = s + 1/τP s · F (s) · 1 Js = ω2 f(s + 1/τP) Js2_(s2_{+ 2ξ} fωfs + ωf2) .

1_{Si osserva che con 20 Hz si `e all’interno del campo di frequenze ammesso (2000 Hz) per}

(16)

Al fine di individuare i valori di P e τP idonei al soddisfacimento del

requisito si adopera il toolbox di Matlab ”rltool” (figura 4.13), che permette di visualizzare i diagrammi di Bode e il luogo delle radici per un dato sistema dinamico posto in retroazione con un controllore, al variare dei parametri in gioco.

Figura 4.13: Finestra di ”rltool”

La funzione A(s) presenta i due poli del filtro ad alta frequenza, due poli nell’origine e lo zero dell’integratore, figura 4.14.

Nello studio del luogo delle radici del sistema sembra opportuno utilizzare una semplificazione della A(s), trascurando l’effetto dei poli del filtro, anche a causa delle limitazioni di cui al § 4.3.2. In tal modo la f.d.t. in anello aperto comprende solo i due poli nell’origine e lo zero dell’itegratore. All’aumentare del guadagno di chiusura i due poli diventano complessi coniugati e vanno a coalescenza sull’asse reale ad una pulsazione superiore a quella dello zero, dopo di che uno si dirige verso le alte frequenze, l’altro verso lo zero (figura 4.15).

Lo zero del controllore −1/τP viene collocato a -60 rad/s e il guadagno

P viene scelto pari a 0.015 Nm

(17)

−1200 −1000 −800 −600 −400 −200 0 200 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 Real Axis Imag Axis

Root Locus Editor (C)

Figura 4.14: Luogo delle radici della f.d.t. A(s)

−200 −150 −100 −50 0 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 Real Axis Imag Axis

Figura 4.15: Ingrandimento di bassa frequenza del luogo delle radici della f.d.t.

(18)

una banda passante di circa 26 Hz, un margine di fase di 54.4◦ _{ed un margine}

di guadagno di 24.6 dB (vedi figure 4.16 e 4.17).

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 G.M.: 24.6 dB Freq: 193 Hz Stable loop Magnitude (dB)

Open−Loop Bode Editor (C)

10−1 100 101 102 103 −270 −225 −180 −135 −90 P.M.: 54.4 deg Freq: 17.5 Hz Phase (deg) Frequency (Hz)

Figura 4.16: Diagramma di Bode della f.d.t. di ciclo aperto ω/ω_ref

Diagramma di Bode di ω / ω_ref

Frequenza (Hz) −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 Ampiezza (dB) 10−1 100 101 102 −180 −135 −90 −45 0 Fase (deg) BW = 26.6 Hz

(19)

La f.d.t. in ciclo chiuso `e esprimibile come: ω ωref = (P ω 2 f/J)(s + 1/τP) (s2_{+ 2e}_ξ fωefs + eωf2)(s2+ 2ξ1ω1s + ω12) (4.25)

con eωf ' ωf e eξf ' ξf e con lo smorzamento dei poli in ciclo chiuso di bassa

frequenza, ξ1, pari a 0.626 e la loro pulsazione, ω1, 12.86 Hz.

Determinati questi due parametri si studia il controllo sulla posizione ango-lare, sostituendo il loop interno di velocit`a con la f.d.t. data dalla (4.25). Il sistema `e schematizzato in figura 4.18.

1 teta G tauG.s integrator 1 s Integrator G Gain w / w_ref Funzione di trasferimento 1 teta_ref

Figura 4.18: Ciclo chiuso per il controllo della posizione angolare

La f.d.t. in anello aperto risulta:

B(s) = P ω 2 f ³ s + 1 τP ´ ³ s + 1 τG ´ Js2_(s2_{+ 2e}_ξ_f_ω_e_f_{s + e}_ω2 f)(s2+ 2ξ1ω1s + ω12) (4.26)

In questa forma sono evidenti, oltre ai due poli nell’origine, i due poli di alta frequenza (eωf) prossimi a quelli del filtro F (s) e i due di pulsazione ω1,

figura 4.19.

L’ordine del sistema `e quattro ed esso presenta dunque, sul luogo delle radici, quattro asintoti orientati a 45◦ _{lungo i quali si muovono le due coppie}

di poli complessi coniugati per alti valori del guadagno di chiusura. Trascu-rando queste due coppie di poli e lo zero −1/τP il sistema si semplifica in un

(20)

−1400 −1200 −1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500

Root Locus − θ / θref

Real Axis

Imaginary Axis

Figura 4.19: Luogo delle radici della f.d.t. B(s)

e poi si dirigono uno verso le alte frequenze e l’altro verso lo zero −1/τG. La

necessit`a di ottenere elevata banda passante per il sistema in ciclo chiuso fa si che uno dei due poli risulti quasi coincidente con lo zero −1/τG.

La risposta dinamica di un sistema elementare di questi tipo è caratteriz-zata da due contributi: una curva esponenziale relativa al polo a pulsazione più grande, che ha un residuo associato grande e di segno positivo, ed una curva esponenziale relativa al polo prossimo allo zero, dunque con residuo associato piccolo, di segno negativo, che rappresenta la dinamica di azzera-mento dell’errore; implicitamente legata ad una struttura di questo tipo è la presenza di un overshoot nella risposta.

Alla luce di queste considerazioni conviene collocare lo zero −1/τG a -4

rad/s (figura 4.20) cos`ı da avere un azzeramento dell’errore sufficientemente rapido.

Con un valore del guadagno G pari a 20 Hz si ottiene margine di fase di 78.1◦_{ed un margine di guadagno di 24.5 dB, figura 4.21, valori che rispettano}

ampiamente le specifiche date. Anche la richiesta sulla banda passante risulta soddisfatta da questo valore del guadagno G: tale valore fornisce una banda passante pari a 4.37 Hz (figura 4.22).

(21)

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Imag Axis

Real Axis

1/τ

G

Figura 4.20: Ingrandimento di bassa frequenza del luogo delle radici della f.d.t.

B(s) −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 G.M.: 24.5 dB Freq: 31.5 Hz Stable loop Magnitude (dB)

Open−Loop Bode Editor (C)

10−1 100 101 102 −360 −270 −180 −90 0 P.M.: 78.1 deg Freq: 3.49 Hz Phase (deg) Frequency (Hz)

(22)

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 Ampiezza (dB) 10−1 100 101 −180 −135 −90 −45 0 Fase (deg) BW = 4.37 Hz

Figura 4.22: Diagramma di Bode della f.d.t. di ciclo chiuso θ/θref

La funzione di trasferimento in ciclo chiuso ha una forma espressa da:

θ θref = P Gω 2 f ³ s + 1 τP ´ ³ s + 1 τG ´ J(s2_{+ 2ξ} AωA+ ωA2)(s2+ 2ξBωB+ ωB2) ³ s + 1 τC ´ ³ s + 1 τD ´ (4.27) dove (ωA, ξA) ≈ (ωf, ξf), (ωB, ξB) ≈ (ω1, ξ1), 1 τC ≈ 1 τG, − 1 τP < − 1 τD < − 1 τG.

La risposta a gradino unitario, infine, `e rappresentata nella figura 4.23; la figura dimostra che l’overshoot risulta essere inferiore al 15%.

(23)

Step Response − θ / θ_ref (θ_ref = 1 rad) Time (sec) Amplitude (rad) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Overshoot 11%

Figura 4.23: Risposta a gradino (θref = 1 rad) della f.d.t. θ/θref

Rigidezza dinamica dell’attuatore

Il significato principale di questo requisito risiede nell’applicazione aeronau-tica del motore brushless, cioè come attuatore per superfici di controllo di volo. Oltre al raggiungimento di una certa posizione angolare dell’albero e, eventualmente al termine di una determinata catena cinematica, della super-ficie di controllo comandata, è richiesto che la supersuper-ficie stessa conservi la sua posizione nel tempo, anche in presenza di carichi di disturbo che investono la superficie stessa. Un caso tipico di carichi di disturbo su una superficie aero-dinamica è dato dai carichi dovuti alla raffica, che investono la superficie con una certa legge temporale e danno quindi un disturbo di coppia al motore.

Per l’analisi del controllo e della risposta del sistema di fronte all’ingresso di coppia si pone θref = 0 nello schema a blocchi di figura 4.24.

La funzione di trasferimento in anello chiuso `e:

θ TL

= GT(s) = −

1

(24)

Figura 4.24: Schema del controllo per disturbo di coppia

La funzione TL/θ = −H(s) `e denominata ”rigidezza dinamica” del

mo-tore, [9]. Deve essere effettuata una verifica sulla risposta in frequenza di tale funzione, controllando se sono stati verificati i requisiti di cui al § 4.3.1. Tale verifica rappresenta l’ultima fase del loop di progetto, figura 4.25.

L’eventuale esito negativo della verifica porta alla reiterazione del loop a partire dal progetto del controllo in velocit`a o da quello in posizione angolare, a seconda di quale sia il requisito non soddisfatto.

L’esito delle iterazioni del loop di progetto conduce alla definizione dei parametri di controllo appena descritti, i quali sono riassunti in tabella 4.2.

Parametro Valore scelto

P 0.015 Nm

rad/s

τP 0.0167 s

G 20 Hz

τG 0.25 s

Tabella 4.2: Parametri di controllo

Questo set di parametri di controllo fornisce la f.d.t. in ciclo chiuso di rigidezza dinamica, 1/GT, della quale pu`o essere determinata la risposta in

frequenza, figura 4.26.

Come si pu`o osservare dalla figura 4.26 non `e stato soddisfatto uno dei tre requisiti posti, infatti:

(25)

(26)

Diagramma di Bode di T_L / θ Frequenza (Hz) −10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ampiezza (dB) 10−2 10−1 100 101 102 0 90 180 270 360 Fase (deg) 18.7 dB @ 0.5 Hz −1.68 dB @ 9.8 Hz 44.9° @ 0.5 Hz

Figura 4.26: Diagramma di Bode di TL/θ

¯ ¯ ¯ ¯T_θL ¯ ¯ ¯ ¯ min = −1.68 dB (Requisito : 0 dB)

Un’indicazione su tali risultati pu`o per`o essere fornita sviluppando H(s):

H(s) = J∆f(s)s 4_{+ P ω}2 f h s3₊³_{G +} 1 τP ´ s2_{+ G}³ 1 τP + 1 τG ´ s + G τPτG i ∆f(s)s2 (4.29) e osservando che: lim s→0H(s) = P G s2_τ_P_τ_G lim s→+∞H(s) = Js 2

Si vede quindi che la rigidezza dinamica pu`o essere approssimata in bassa frequenza con

H(s) = P G

s2_τ

PτG

per s ¿ BW (4.30)

(27)

alta frequenza, con

H(s) = Js2 per s À ωf (4.31)

Per approssimare invece la funzione di rigidezza nel campo delle medie frequenze ci si pone nell’intervallo di frequenze:

BW < s < ωf

In questa zona si ha che

∆f(s) ' ωf2

e

H(s) ' Js2+ P s + P (G + 1/τP) (4.32)

In figura 4.27 si mostra il diagramma relativo al sistema completo e quello relativo al sistema approssimato secondo la (4.32).

Diagramma di Bode di T L / θ Frequenza (Hz) −10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Ampiezza (dB) 10−2 10−1 100 101 102 0 90 180 270 360 Fase (deg) approssimazione di BF approssimazione di MF sistema completo

Figura 4.27: Rigidezza dinamica: risposta in frequenza - sistema completo e approssimato

(28)

Si osserva che il diagramma delle ampiezze, relativo alla funzione di tra-sferimento della rigidezza dinamica approssimata in media frequenza, coglie con buona approssimazione l’andamento delle ampiezze relativo al sistema completo ed in particolare nella zona di frequenza attorno alla BW del loop di posizione.

Lo stesso discorso vale per l’approssimazione di bassa frequenza della f.d.t. di rigidezza (sempre in figura 4.27) definita dall’equazione (4.30).

Verificata la validit`a delle approssimazioni fatte della f.d.t. TL/θ, se ne

può dedurre che per quanto riguarda la rigidezza alle basse frequenze, essa può essere migliorata incrementando la quantità P G

τPτG

2_.

Alle medie frequenze, invece, si osserva che la funzione approssimante (4.32) ha guadagno statico pari a

P

µ

G + 1

τP

¶

Questa quantità è quella da incrementare per rendere più grande il valore della rigidezza nel campo di frequenze in cui essa assume i suoi valori più bassi. Questo significa quindi massimizzare i guadagni del proporzionale del ciclo di posizione, G, e di quello di velocità, P , oltre a quello dell’integratore del ciclo di velocità, P/τP.

Queste considerazioni hanno fatto da riferimento nell’ambito delle itera-zioni del loop di progetto. In particolare, essendo l’entit`a dei guadagni P e

G dettate dalla banda passante richiesta, si `e andati ad agire rispettivamente

su τG per migliorare la rigidezza in bassa frequenza, su τP per

incrementar-la alle medie frequenze. Ad esempio si mostra in figura 4.28 il diagramma finale ottenuto a confronto con quello che si aveva in uno step di progetto intermedio.

Come già detto un aspetto del requisito sulla rigidezza dinamica non è stato raggiunto dal momento che ulteriori miglioramenti alla sua risposta in frequenza risultano peggiorativi ai fini della risposta in posizione angolare. Si è scelto quindi di dare priorità al requisito sulla risposta in posizione, anche in considerazione del fatto che gli scostamenti dalle specifiche di rigidezza

2_{Si osserva che il prodotto} P τP ·

G

τG rappresenta il prodotto dei guadagni delle compo-nenti integrali dei controllori, compocompo-nenti che per l’appunto hanno influenza sulla bassa frequenza.

(29)

Diagramma di Bode di T_L / θ Frequenza (Hz) −10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Ampiezza (dB) 10−2 10−1 100 101 102 0 90 180 270 360 Fase (deg) Finale Intermedio Finale Intermedio

Figura 4.28: Rigidezza dinamica: risposta in frequenza a diversi step di progetto

dinamica non sono di notevole entit`a. Inoltre si osserva che il requisito di rigidezza dinamica va riferito alla deflessione della superficie di controllo e non alla rotazione dell’albero motore del brushless. Quando si studia la rigidezza dell’intero sistema di attuazione della superficie di controllo si deve infatti tener conto anche della flessibilit`a delle strutture di collegamento, le quali possono essere soggette a fenomeni di risonanza che portano la rigidezza del sistema a zero.

4.4 Le simulazioni

Le simulazioni vengono effettuate con una routine Matlab che carica i dati del motore e del sistema di controllo e lancia il file Simulink del sistema completo; il blocco pi`u esterno `e mostrato in figura 4.29.

Si evidenzia in tale blocco la possibilit`a data all’utente di selezionare il tipo di ingresso di posizione che si vuol dare tra

(30)

w (rpm) teta_i_sin teta_i teta (°) teta_i TL teta w motore+controllo teta w T (N*m) w (rpm) teta (deg) Uscite T (N*m) T_L = T_L0 + K * teta Input T_L 0 Constant

Figura 4.29: Schema Simulink del controllo in posizione del motore

e

θ(t) = θrefsin(ωt + ϕ).

Inoltre si pu`o scegliere il tipo di ingresso di coppia resistente, tra un valore costante

TL(t) = TL0

ed uno variabile con l’angolo con legge lineare,

TL(t) = TL0+ K0θ(t). (4.33)

La scelta degli ingressi, l’acquisizione delle risposte del modello e la rap-presentazione sono fatte sulla base delle prove sperimentali effettuate con il motore brushless e secondo le modalit`a descritte nei prossimi capitoli.