Metodi Matematici 2

Metodi Matematici 2 A 10 novembre 2009

1^a Prova Parziale - Matematica Finanziaria TEST

Cognome Nome Matricola

Rispondere alle dieci domande sbarrando, nel caso di risposta multipla, la casella che si ritiene corretta (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta ma non il procedimento in caso di risposta aperta. Nel caso si intenda annullare una risposta cerchiare la corrispondente casella.

CIFRE CORRETTE AL SECONDO DECIMALE, TASSI IN FORMA PERCENTUALE. Tempo a disposizione: 50 minuti.

1 - Dato un tasso di sconto del 5% mensile, qual è il tasso di sconto semestrale ad esso equivalente (regime sconto commerciale)?

R:

2 - Si impiega un capitale di e10000 per i primi tre mesi ad interesse semplice del 5% annuo. Per i successivi quattro mesi le condizioni …nanziarie prevedono che il tasso sia del 9% composto annuo. Si determini il montante dell’operazione dopo sette mesi.

R:

3 - La seguente tabella illustra le quotazioni e l’imposta sostitutiva relativi ad un BOT durante la sua vita, dall’emissione (tempo 0) al rimborso …nale (12 mesi dopo l’emissione). Dato che lo si é acquistato 2 mesi dopo l’emissione e, dopo averlo de- tenuto per 3 mesi, si é deciso di rivenderlo determinare il rendimento dell’operazione al netto delle tasse.

Tempo (mesi) 0 2 3 5 12

Prezzo 90 92 93 95 100

IS 1.25 1.04166 0.93750 0.83333 0

R:

4 - Si vende un CTZ con scadenza residua 5 mesi al prezzo di 95. All’emissione, 10 mesi prima, il prezzo era stato di 91. Il rendimento composto annuo ex-post al lordodelle tasse è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi):

R:

5 - Si ammortizza su di un orizzonte di 5 anni, con il metodo italiano un debito di ammontare e100 000 con rate trimestrali posticipate ad un tasso j4 = 8%.

L’importo dell’ultima rata è R:

6 -Il prezzo secco di un’obbligazione a cedola nominale del 6%, pagamenti semes- trali, scadenza 8 mesi è 100. Si determini il fattore di sconto a 8 mesi, nota la struttura per scadenza dei tassi semplici in tabella. Si prescinda dagli aspetti …scali.

Tempo (mesi) 2 4 6

Tasso 3% 3.5% 4%

R:

7 -Determinare il canone mensile in un contratto di leasing della durata di un anno in cui il valore del bene ceduto ammonta a e50000, l’anticipo e il riscatto sono pari al 10% del valore del bene e il tasso j12= 12%:

R:

8 -Le prime due righe della tabella seguente illustrano la struttura per scadenza dei tassi LIBOR nel mercato monetario. Nella terza riga troviamo i ‡ussi di cassa che dovremmo ricevere, se positivi, o pagare, se negativi alle diverse date. Determinare il valore attuale dell’intero portafoglio.

Tempo (mesi) 2 4 6 9 12

Tasso 6% 3% 2% 1.3333% 1.%

Flussi 300 -200 300 100 -500

R:

9 - Si e¤ettua un investimento di e500. Dopo 1 anno si incassano e300 e dopo 2 anni altri e400. Scrivere (senza risolvere) l’equazione la cui soluzione fornisce il TAEG dell’operazione, tenendo conto delle commissioni pari a 10 eche si pagano alle date 0, 1 e 2 anni.

R:

10 -Un decisore con un costo opportunità del 8% ed un capitale disponibile di 10000 valuta la convenienza ad impiegare il proprio capitale in un investimento, eventual- mente in modo congiunto all’attivazione di un …nanziamento. Dopo l’esborso iniziale, l’investimento genera un ‡usso positivo annuo per i prossimi 20 anni pari a 700 e.

Il …nanziamento pari a 5000 eprevede delle rate di rimborso annue posticipate per i prossimi 5 anni per un importo pari a 1200 e. Determinare VAN e APV del progetto di investimento.

a VAN= ; b APV= ;

Metodi Matematici 2

Prima prova parziale - Matematica Finanziaria 10 novembre 2009

Soluzioni Test

Domanda Risultato

1 0:30

2 e1042:006747 = 1000 1 + 0:05 ₁₂³ (1 + 0:09)¹²⁴

3 ¹3

12

95+0:8333

92+1:04166 1 = 12:0018%

4 ⁹⁵₉₁

12

10 1 = 5:2976444 %

5 e5100

6 0.961309955

7 50000 5000 5000 (1+0:01) ¹²

1 (1+0:01) 12 0:01

=e3603.951547

8 0

9 510 + 290 x + 390 x² = 0 dove x = _{1+T AEG}¹ 10 VAN=–10000+700 ^{1 (1+0:08)}

20

0:08 = 3127.297e,

APV=-3127.297+5000-1200 ^{1 (1+0:08)}_0:08 ⁵ = 2918:549e.

Metodi Matematici 2 A 10 novembre 2009

1^a Prova Parziale - Matematica Finanziaria TEST SOLUZIONI

1 - Dato un tasso di sconto del 5% mensile, qual è il tasso di sconto semestrale ad esso equivalente (regime sconto commerciale)?

R: 0.30. Si ha d₂ = 6 d₁₂= 6 0:05 = 0:3.

2 - Si impiega un capitale di e10000 per i primi tre mesi ad interesse semplice del 5% annuo. Per i successivi quattro mesi le condizioni …nanziarie prevedono che il tasso sia del 9% composto annuo. Si determini il montante dell’operazione dopo sette mesi.

R: 1042.006747. Si ha M = 1000 1 + 0:05 ₁₂³ (1 + 0:09)¹²⁴ .

3 - La seguente tabella illustra le quotazioni e l’imposta sostitutiva relativi ad un BOT durante la sua vita, dall’emissione (tempo 0) al rimborso …nale (12 mesi dopo l’emissione). Dato che lo si é acquistato 2 mesi dopo l’emissione e, dopo averlo de- tenuto per 3 mesi, si é deciso di rivenderlo determinare il rendimento dell’operazione al netto delle tasse.

R: 0.120018. Dalla tabella si ha che il prezzo di acquisto ammonta a 93:04166 = (92 + 1:04166), mentre il prezzo di vendita (5 mesi dopo l’emissione e 3 mesi dopo l’acquisto) é pari a 95:83333 = (95 + 0:83333). Il rendimento netto é quindi

1

3 12

95:83333

93:04166 1 = 0:072010748:

n.b. nel testo l’IS dovrebbe essere pari a 0.72916 e non a 0.8333.

4 - Si vende un CTZ con scadenza residua 5 mesi al prezzo di 95. All’emissione, 10 mesi prima, il prezzo era stato di 91. Il rendimento composto annuo ex-post al lordodelle tasse è (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi):

R:0.052976444. Il rendimento lordo é pari 95

91

12 10

1 = 0:052976444:

5 - Si ammortizza su di un orizzonte di 5 anni, con il metodo italiano un debito di ammontare e100 000 con rate trimestrali posticipate ad un tasso j₄ = 8%.

L’importo dell’ultima rata è

R:5100 e. Le quote capitali sono costanti e pari a 5000 e. Il debito residuo all’inizio dell’ultimo periodo, per via della condizione di chiusura elementare, risulta pure di ammontare 5000 e. Quindi l’ultima quota interesse ammonta a I₂₀ =

jm

m D19 = ^0:08₄ 5000 = 100e. Quindi l’ultima rata risulta essere pari a R20 = C₂₀+ I₂₀= 5100 e.

6 -Il prezzo secco di un’obbligazione a cedola nominale del 6%, pagamenti semes- trali, scadenza 8 mesi è 100. Si determini il fattore di sconto a 8 mesi, nota la struttura per scadenza dei tassi semplici in tabella. Si prescinda dagli aspetti …scali.

R: 0.961309955. Il corso tel-quel del titolo é pari a 100 +⁴₆ 3 = 102. Il fattore di sconto = P (0;₁₂⁸ ) a 8 mesi deve risolvere l’equazione

102 = 3

1 + 0:03 ₁₂² + 103 : Si ha quindi:

=

102 ³

1+0:03 ₁₂²

103 = 99:01492537

103 = 0:961309955:

7 -Determinare il canone mensile in un contratto di leasing della durata di un anno in cui il valore del bene ceduto ammonta a e50000, l’anticipo e il riscatto sono pari al 10% del valore del bene e il tasso j12= 12%:

R: 3603.951547. Il canone é pari a

C = 50000 0:1 50000 0:1 50000 (1 + 0:01) ¹² a_12j0:01

= 50000 5000 4437:246 11:25508

= 40562:75387 11:25508

= 3603:951547:

8 -Le prime due righe della tabella seguente illustrano la struttura per scadenza dei tassi LIBOR nel mercato monetario. Nella terza riga troviamo i ‡ussi di cassa che dovremmo ricevere, se positivi, o pagare, se negativi alle diverse date. Determinare il valore attuale dell’intero portafoglio.

R: 0. Abbiamo

V A = 300

1 + 0:06 ₁₂² + 200

1 + 0:03 ₁₂⁴ + 300

1 + 0:02 ₁₂⁶ + 100

1 + 0:01333 ₁₂⁹ + 500 1 + 0:01 ¹²₁₂: Abbiamo quindi:

V A = 300 200 + 300 + 100 500

1 + 0:01 = 0:

9 - Si e¤ettua un investimento di e500. Dopo 1 anno si incassano e300 e dopo 2 anni altri e400. Scrivere (senza risolvere) l’equazione la cui soluzione fornisce il TAEG dell’operazione, tenendo conto delle commissioni pari a 10 eche si pagano alle date 0, 1 e 2 anni.

R: 510 + 290 x + 390 x² = 0; dove x = _{1+T AEG}¹ . Il TAEG (il cui calcolo non é richiesto) risulta essere pari a 0.20385. Dare l’espressione del VAN, cioé 510 + 290 x + 390 x², senza imporre l’uguaglianza a zero é contato come errore.

10 -Un decisore con un costo opportunità del 8% ed un capitale disponibile di 10000 valuta la convenienza ad impiegare il proprio capitale in un investimento, eventual- mente in modo congiunto all’attivazione di un …nanziamento. Dopo l’esborso iniziale, l’investimento genera un ‡usso positivo annuo per i prossimi 20 anni pari a 700 e. Il

…nanziamento pari a 5000 eprevede delle rate di rimborso di 1200 eannui posticipate per i prossimi 5 anni. Determinare VAN e APV del progetto di investimento.

R:V AN = 10000+700 a_20j0:08= 10000+700 9:818147407 = 3127:296815.

R: AP V = 3127:296815+5000 1200 a_5j0:08 = 3127:296815+5000 1200 3:99271 = 3127:296815 + 208:7479555 = 2918:548859:

Metodi Matematici 2 A 10 novembre 2009

1^a Prova Parziale - Matematica Finanziaria Parte B.

Cognome Nome Matricola

Sul mercato sono trattati tre titoli, tutti con stacco annuo delle cedole.

Il primo titolo ha una vita residua di 1 anno, una cedola del 5% ed una quo- tazione pari a 100. Determinare il fattore di sconto a 1 anno.

Il secondo titolo ha una vita residua di 2 anni, una cedola annua del 6% ed una quotazione pari a 100. Determinare il fattore di sconto a 2 anni, tenendo conto della risposta data al punto precedente.

Il terzo titolo ha una vita residua di 3 anni, una cedola annua del 7% ed una quotazione pari a 100. Determinare il fattore di sconto a 3 anni, tenendo conto della risposta data ai punti precedenti.

Date le informazioni ai punti precedenti, un investitore considera un progetto di investimento i cui ‡ussi sono dati nella seguente tabella.

Epoche 0 1 2 3

F lussi 1 40000 15000 25000 5000

Calcolare il VAN dell’investimento usando le informazioni sui fattori di sconto contenute nelle quotazioni dei titoli di cui sopra. Stabilire inoltre se il TIR dell’investimento è maggiore o minore del 6% sapendo che il VAN calcolato al costo opportunità del 6% è pari a circa 598 e.

L’eventuale fabbisogno di fondi può essere risolto con un …nanziamento di 20000 eche è ripagato mediante un ammortamento italiano in 2 rate annue posticipate al tasso del 4%. Determinare l’APV del progetto e la scala ; con 0 1; ottima del …nanziamento.

Se il …nanziamento fosse invece con ammortamento alla francese con rata costante R, determinare R in modo che l’APV del progetto sia pari ad al- meno 500 e.

Nel caso l’APV risulti essere pari proprio a 500 e, senza ulteriori calcoli, stabilire se il tasso del nuovo debito risulta essere maggiore o minore del 4%.

Metodi Matematici 2 10 novembre 2009

Parte B SOLUZIONE

- SOLUZIONE -

I tre fattori di sconto ad 1, 2 e 3 anni possono essere determinati imponendo che siano soddisfatte le seguenti condizioni

100 = 105 P (0; 1);

100 = 6 P (0; 1) + 106 P (0; 2);

100 = 7 P (0; 1) + 7 P (0; 2) + 107 P (0; 3);

Risolvendo partendo dalla prima equazione troviamo P (0; 1) = 100

105 = 0:952380952: (1)

Quindi

P (0; 2) = 100 6 0:952380952

106 = 0:889487871; (2)

ed in…ne

P (0; 3) = 100 7 (0:952380952 + 0:889487871)

107 = 0:814083348: (3)

Data la struttura dei fattori di sconto possiamo calcolare il VAN del primo investimento

V AN = 40000 + 15000 P (0; 1) + 25000 P (0; 2) + 5000 P (0; 3)

= 40000 + 15000 0:952380952 + 25000 0:889487871 + 5000 0:814083348

= 40000 + 14285:71429 + 22237:19677 + 4070:41674

= 593:327795:

Trattandosi di un investimento in senso stretto (prima ci sono i pagamenti e poi gli incassi) il VAN è funzione decrescente del tasso. Dunque il tasso che annulla il VAN non può che essere superiore al 6:00%; dal momento che il testo ci informa che per quest’ultimo valore del tasso il VAN è ancora positivo.

Il …nanziamento viene ripagato mediante due rate di importo rispettivamente R1 = C1+ I1 = 10000 + 0:04 20000 = 10800;

e

R₂ = C₂+ I₂ = 10000 + 0:04 10000 = 10400;

da cui possiamo calcolare il VAN del …nanziamento

V AN_{f in} = +20000 10800 P (0; 1) 10400 P (0; 2)

= +20000 10800 0:952380952 10400 0:889487871

= +20000 10285:71429 9250:673854

= 463:6118598:

Di conseguenza

AP V = 593:327795 + 463:6118598 = 1056:939651;

e poichè il …nanziamento ha VAN positivo conviene attivare interamente il

…nanziamento.

Se il …nanziamento fosse con ammortamento alla francese con rata costante R, per determinare R in modo che l’APV del progetto sia pari ad almeno 500 e, dobbiamo risolvere la seguente disequazione rispetto a R

AP V = 593:327795 + 20000 R (P (0; 1) + P (0; 2)) 500:

da cui

R 20093:327795

(P (0; 1) + P (0; 2)) = 10909:20675 cioè le rate non devono superare l’importo di 10909.20675 e.

Poichè in questo caso le rate sono superiori rispetto al caso del …nanziamento del 4%, il costo del debito risulterà ovviamente maggiore al 4% (in particolare risulta essere pari al 6.003%).