Metodi Matematici e Statistici 2

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(1) . Metodi Matematici e Statistici 2 Revised:18 giugno 2004. I. 16h : 37min. Indice. MMS2. A.A.2003/2004. 1. . • Identificazione dei meccanismi e delle leggi che regolano il problema da modellizzare. • Formulazione delle ipotesi a partire dalle quali il modello va costruito. • Costruzione del modello attraverso il linguaggio matematico. • Analisi del modello. • Interpretazione del modello. • Validazione del modello. • Implementazione del modello.. I. C ARATTERISTICHE. Caratteristiche di un modello matematico. 2.

(2) . I M ODELLI D IFFERENZIALI. I. 3. I. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. Modelli Differenziali - O.D.E. (Ordinary Differential Equations). 4.

(3) Caduta di un grave. . P0 = h0. . O. I. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. Un punto di massa m e` posto ad un’altezza h Sul punto agisce solo la forza di gravita` F = mg Trascuriamo la resistenza dell’aria. 5. . x. P0 = h0. O. Assumiamo un sistema di riferimento che coincide con la retta che il punto percorre cadendo Assumiamo l’origine in corrispondenza del suolo Consideriamo positive le altezze misurate dal suolo. I. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. P = x(t). . 6.

(4) x(t) posizione (altezza) del punto P all’istante t ˙ v(t) = x(t) velocita` del punto P ¨ a(t) = x(t) accelerazione del punto Per le leggi di Newton. . ma(t) = −mg. I. (1). ¨ x(t) =g. (2). ˙ x(t) = −gt + c1. (3). 1 x(t) = − gt2 + c1t + c0 2. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. Il moto inizia all’istante t0 = 0. 7. Il moto e` determinato univocamente se si conoscono posizione e velocita` iniziale.. . h0 = x(0) = c0. Il punto P si muove sull’asse x seguendo la legge (4). 1 x(t) = − gt2 + v0t + h0 2. I. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. ˙ = c1 v0 = x(0). 8.

(5) . y. . x. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. I. 9. . Modello alternativo. . Energia potenziale del punto P. . U(t) = mgx(t). . Energia cinetica del punto P 1 2. . mx˙ 2(t). I. E(t) =. 1 2. mx˙ 2(t) + mgx(t). Per il principio di conservazione dell’energia. E(t) = costante. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. Energia totale del punto P. 10.

(6) . 1. (5). 2 mk =. 1 2. mv20. . mx˙ (t) + mgx(t) = mk 2. + mgh0. ⇐⇒ v0 = ±. . . . 2k − 2gh0. . 2 k − gx(t) ≥ 0. x(t) =. k g. I. x˙ 2(t) = k − gx(t). ⇐⇒. x(t) ≤. k g. e` una soluzione costante dell’equazione 6. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. 1. (6). 11. . Per le soluzioni non costanti. t. . 0. 2k − 2gx(t). 2k − 2gx(t) ˙ gx(t). 2k − 2gx(t) ˙ gx(s). 2k − 2gx(s). u = x(s). ,. = ±1. √ x0. . . = ±g. I. ds = ±gt. ˙ du = x(s)ds. Per s = 0 e s = t avremo x(s) = x(0) = h0 e x(s) = x(t), x(t). . . ˙ x(t). . . gdu 2k − 2gu. = ±gt. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. (7). ˙ x(t) =±. . 12.

(7) . . . . 2k − 2gx(t) − 2k − 2gx0 = ±gt 2k − 2gx(t) = ±gt + v0. . 2k − 2gx(t) = (±gt + v0)2 1 k (±gt + v0)2 x(t) = − g 2g. . ` Il segno ± di ±gt si puo` determinare dalla 7: per continuita. La scelta del segno puo` essere mantenuta fino a che. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. ˙ x(t) = 0. I. 13. . Se v0 < 0 allora. . ∀t ≥ 0. ˙ x(t) = −gt + v0 < 0. . mentre se v0 > 0. . ˙ x(t) = −gt + v0 = 0. ⇐⇒. t0 =. v0. . g. I. x(t0) =. k g. ˙ 0) = 0 x(t. non determinano il segno della radice in 7.. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. Le condizioni iniziali. 14.

(8) . ˙ x(t) = + 2k − 2gx(t). (8). se ipotizziamo che la velocita` del punto sia positiva per t > t0 (2) useremo ˙ x(t) = − 2k − 2gx(t) se ipotizziamo che la velocita` del punto sia negativa per t > t0 (3) anche la soluzione x(t) ≡ gk e` accettabile La soluzione costante risolve il problema della conservazione dell’energia, non quello del moto. Ci sono configurazioni diverse con la stessa energia:. I. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. (1) useremo. 15. . y. . x. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. I. 16.

(9) . Per v0 > 0 la 8 descrive il moto del punto P se t < t0. k Poichè deve essere x(t) ≤ = x(t0) g x non può crescere per t > t0, quindi ˙ x(t) ≤0. per. t > t0. ˙ x(t) = − 2k − 2gx(t) x(t0) =. I. La soluzione costante x(t0) =. k g. non e` fisicamente improponibile. M OD. D IFF . - C ADUTA DI UN GRAVE. k g. 17. I. C RESCITA DI UNA P OPOLAZIONE. Crescita di una Popolazione. 18.

(10) Il Modello Esponenziale di Malthus (1798) Prevede che la crescita di una popolazione sia proporzionale al numero di individui;. . Sia. . n(t). I. il numero di individui di una popolazione al tempo t ˙ n(t) = cn(t) n(t0) = n0. I L M ODELLO DI M ALTHUS. c e` il tasso di crescita si ottiene n(t) = n0ec(t−t0). (9). 19. . Per determinare c bastano due valori. . n0 = n(t0). . n1 = n(t1). . dalla 9 per t = t1. . e. c=. 0. t1 − t0. Per n1 = 2n0 si parla di tempo di raddoppio Per n1 = 12 n0 si parla di tempo di dimezzamento c e` il tasso di crescita istantaneo c=. I. ˙ n(t) n(t). I L M ODELLO DI M ALTHUS. n1 = n0ec(t1−t0). ln( nn1 ). 20.

(11) Tabella dei valori della popolazione mondiale 1950 - 2002.. . 2,555,360,972 2,593,146,958 2,635,207,347 2,680,544,579 2,728,516,402 2,779,968,031 2,832,927,339 2,888,754,389 2,945,260,952 2,997,596,052 3,039,669,330 3,080,461,502 3,136,556,092. 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975. 3,206,072,286 3,277,192,099 3,346,224,081 3,416,462,939 3,486,218,303 3,558,100,709 3,632,780,614 3,708,067,105 3,785,654,106 3,862,348,766 3,938,532,049 4,014,079,183 4,087,344,760. I. I L M ODELLO DI M ALTHUS. 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962. 21. 4,159,142,342 4,231,356,327 4,303,528,613 4,378,614,022 4,454,269,203 4,530,133,767 4,610,238,775 4,690,492,539 4,769,804,546 4,850,401,051 4,932,725,468 5,017,868,280 5,103,535,612 5,189,207,608 5,275,885,289. 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005. 5,359,825,640 5,443,765,351 5,525,169,405 5,605,360,839 5,685,987,096 5,765,160,757 5,844,905,888 5,923,690,063 6,001,998,609 6,079,006,982 6,154,325,843 6,228,641,303 6,302,486,693 6,375,882,069 6,448,780,202. I. I L M ODELLO DI M ALTHUS. 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990. . 22.

(12) Per t0 = 1960 Per t1 = 1970 Pertanto. n(t0) = n0 = 3 × 109 n(t1) = n1 = 3.7 × 109. . c=. ln( nn1 ) 0. t1 − t0. = ln 1.02 ≈ .0198. . e. I. I L M ODELLO DI M ALTHUS. n(t) = 3 × 109eln(1.02)(t−1960). 23. Tabella dei valori effettivi. Anno 1950 2000 2001 2002 2003 2004. previsti dal Modello di Malthus a fronte dei valori. . Valore previsto 414,207,711 8,255,313,138,000 10,062,916,260,000 12,266,316,500,000 14,952,178,520,000 18,226,143,320,000. Valore vero 2,555,360,972 6,079,006,982 6,154,325,843 6,228,641,303 6,302,486,693 —–. I. I L M ODELLO DI M ALTHUS. Il modello Malthusiano sottostima il dato per il 1950 sovrastima i valori degli anni 2000 - 2002.. 24.

(13) ` Una curiosita. La superficie delle terre emerse e` di. . S = 1.48 ∗ 1014 m2. . Il valore previsto per il 2003 e`. . n(2003) = 14, 952, 178, 520, 000. I. I L M ODELLO DI M ALTHUS. Se fosse stato attendibile, ogni abitante della terra avrebbe a disposizione solo 9.9m2. 25. Il modello esponenziale e` adatto a rappresentare il decadimento di materiale radioattivo Ogni elemento radioattivo decade in maniera proporzionale alla propria massa. Ad esempio il torio ha un tempo di dimezzamento di 1.65 ×1010 anni; Pertanto il torio decade seguendo la legge. . q = q0ect. I. dove c si puo` ricavare dalla. 1.65 ×. 1010. = −1.33 × 10−18 I L M ODELLO DI M ALTHUS. c=. ln( 12 ). 26.

(14) Nel modello differenziale c e` il tasso di crescita istantaneo Nel periodo T avremo una crescita pari a γ = cT tasso di crescita nel periodo T Pertanto n(t0 + T ) = n(t0) + cTn(t0) = n(t0) + γn(t0) n(t0) = n0. I. I L M ODELLO E SPONENZIALE D ISCRETO. La discretizzazione del modello esponenziale. 27. n(t0) = n0 Se T e` grande la popolazione, dopo un tempo T , sara` cresciuta anche per opera degli individui nati nei periodi T T t0 + h , t0 + (h + 1) , h = 0, 1, .., k − 1 k k. I. I L M ODELLO E SPONENZIALE D ISCRETO. Si consideri il caso di una popolazione con tasso di accrescimento medio su un periodo T uguale a γ. e pertanto n(t0 + T ) = n(t0) + γn(t0). 28.

(15) Il tasso di accrescimento medio su h Tk , (h + 1) Tk e` γ k nh = n t 0 + h Avremo. . cT. . k. . . . T. h = 0..k. k. n0 = n(t0). I. nh = nh−1 +. cT n k h−1. 1≤h≤k I L M ODELLO E SPONENZIALE D ISCRETO. Posto. =. . 29. . (10) (11) (12) (13). nh =. 1+. cT. . nh−1 = k cT 2 = 1+ nh−2 = k cT h = 1+ n(t0) = k cT h n0 = 1+ k. I. I L M ODELLO E SPONENZIALE D ISCRETO. Si ha. 30.

(16) Confrontando le soluzioni della 9 e della 13, avremo, dopo un tempo. . T n(t0 + T ) = n0ecT oppure n(t0 + T ) = n0 1 +. cT. k. . k. . Si rileva che per k → +∞ cT k 1+ → ecT k. . La soluzione del modello discreto tende alla soluzione del modello continuo. n(t0 + T ) = n0ecT oppure n(t0 + T ) = n0 1 +. cT. k. k. I L M ODELLO E SPONENZIALE D ISCRETO. I. 31. n(t0 + T ) = n0 1 +. cT. k. k. E` il valore maturato al tempo T partendo da un capitale n0 con un tasso di interesse c sul periodo T contabilizzato su k − 1 sottoperiodi.. I. I L M ODELLO E SPONENZIALE D ISCRETO. Con lo stesso procedimento si puo` calcolare il rendimento sul periodo T di un capitale al tasso c se si contabilizzano gli interessi su ognuno dei sottoperiodi di lunghezza Tk (interesse composto),. 32.

(17) . Modello di crescita logistica Una popolazione per svilupparsi consuma le risorse dall’ambiente. Le risorse non sono illimitate condizionano lo sviluppo. Un modello che tenga conto anche di queste condizioni fu proposto da Verhulst (1846) Si assume che il tasso di accrescimento c diminuisca linearmente con il numero degli individui.. I. a, b > 0 C RESCITA L OGISTICA. c(n) = a − bn. . 33. . Poiche` ¯ = a − bn ¯ =0 c(n). ⇐⇒. ¯ = n. a. b ¯ di individui annulla il tasso e` evidente che la presenza di un numero n di crescita ed impedisce una ulteriore crescita ¯ assume pertanto il significato di massimo numero di individui sostenin bili dall’ambiente. Possiamo definire un modello mediante il problema di Cauchy ˙ n(t) = an(t) − bn2(t) = n(t)(a − bn(t)). I. n(t0) = n0. La sua soluzione si chiama funzione logistica.. C RESCITA L OGISTICA. L’equazione differenziale e` nota come equazione logistica. 34.

(18) . L’equazione Logistica • ha due punti di equilibrio (soluzioni costanti) per a n(t) = 0 n(t) = = nmax b corrispondono, rispettivamente, al caso in cui – la popolazione si e` estinta – la popolazione ha saturato l’ambiente • poiche` a per 0<n< an − bn2 > 0 b la soluzione e` – crescente se n0 < ba – decrescente se n0 > ba • poiche` ¨ ˙ n(t) = (a − 2bn(t))n(t). I. a 2b. C RESCITA L OGISTICA. ˙ crescente), se n(t) < – la soluzione e` convessa ( n a ˙ decrescente), per ba > n(t) > 2b – concava ( n .. . 35. I. C RESCITA L OGISTICA. Si puo` congetturare che n tende ad un valore asintotico nmax • crescendo se n0 < nmax • decrescendo se n0 > nmax • (rimane costante se n0 = nmax) per a nmax n(t) = = 2b 2 c’e` un punto di flesso La crescita e` molto rapida fino a a che n(t) = 2b = nmax rallenta 2 avvicinandosi all’asintoto.. 36.

(19) . Possiamo integrare l’equazione. . ˙ n(t) = an(t) − bn2(t) = n(t)(a − bn(t)) n(t0) = n0. I. Vale il teorema di esistenza ed unicita` e ci sono due soluzioni costanti. n(t) =. ,. a b. (soluzioni di equilibrio del modello). C RESCITA L OGISTICA. n(t) = 0. 37. . ˙ n(t) n(t)(a − bn(t)). t0. . ˙ n(s) n(s)(a − bn(s)) n(t). . ds = t − t0. I. dx. n(t0 ) x(a − bx). = t − t0. C RESCITA L OGISTICA. t. =1. 38.

(20) x(a − bx). =. 1. . 1. +. b. . a x a − bx da cui n(t) n(t) dx 1 = dx = ln |x| − ln |a − bx| n x(a − bx) a 0 n0 1 n(t) a − bn0 = ln a a − bn(t) n0 Ne viene t − t0 =. 1 a. ln c. n(t). I. . a − bn(t). n(t) n0 ha lo stesso segno di c = a−bn in ciascuno degli intervalli dove a−bn(t) 0 in cui e` definita Si ricava a 1 (14) n(t) = = b + ce−a(t−t0) β + γe−a(t−t0). C RESCITA L OGISTICA. 1. . 39. dove β =. b a. eγ=. . c a. . Le costanti a, β e γ possono essere determinate se si conoscono n(t0 − h) = p0 n(t0) = p1 n(t0 + h) = p2. I. infatti si ha n(t). = β + γe−a(t−t0). ed e` sufficiente risolvere il sistema ⎧ 1 ah ⎪ ⎪ ⎨ p0 = β + γe 1 =β+γ p 1 ⎪ ⎪ ⎩ 1 = β + γe−ah p2. C RESCITA L OGISTICA. 1. 40.

(21) . Posto H = e−ah otteniamo ⎧ 1 1 ⎪ = β + γ ⎪ H ⎨ p0 1 (15) =β+γ p1 ⎪ ⎪ ⎩ 1 = β + γH p. . 2. (16). . 1 p0 1 p1. − −. 1 p1 1 p2. . =γ. 1 H. . − 1 = γ 1−H H. I. = γ(1 − H) 1 p0 1 p1. − −. 1 p1 1 p2. =. Se ne deduce che 1 p1p2(p1 − p0) = H p0p1(p2 − p1). 1 H. H=. ed e` infine facile ricavare γ e β dalle 15,16.. p0p1(p2 − p1) p1p2(p1 − p0). C RESCITA L OGISTICA. e pertanto. 41. . Per t0 = 1960 h = 10 n(t0 − h) = n0 = 2, 555, 360, 972 n(t0) = n0 = 3, 039, 669, 330 n(t0 + h) = n0 = 3, 708, 067, 105 Pertanto. . n(t) =. I. 1. C RESCITA L OGISTICA. −.8832533412 ∗ 10−9 + .1212236494 ∗ 10−8 ∗ e−.5015558992e−2t+9.830495624. 42.

(22) Tabella dei valori previsti dal Modello di Verhulst a fronte dei valori effettivi. Anno Valore previsto Valore vero 1950 2.555.360.977 2,555,360,972 2000 9.206.029.384 6,079,006,982 2001 9.206.029.384 6,154,325,843 2002 10.129.192.320 6,228,641,303 2003 10.659.649370 6,302,486,693 2004 11.245.626.720 —–. I. C RESCITA L OGISTICA. Il modello Malthusiano sottostima il dato per il 1950 sovrastima i valori degli anni 2000 - 2002.. 43. . I. L OGISTICA CON P RELIEVO. E` il caso di una popolazione il cui sviluppo e` influenzato da un prelievo ad opera di agenti esterni; Ad esempio • un allevamento ittico, da cui viene pescata una quantita` fissa di pesce • una specie in ambiente protetto e senza antagonisti il cui sviluppo deve essere controllato mediante un prelievo periodico per mantenere il numero di esemplari stabile.. . CRESCITA. Modello di crescita logistica con prelievo costante. 44.

(23) n(t0) = n0 a, b, c > 0 Il valore di c e` critico e puo` portare all’estinzione della popolazione. ` utile determinare il massimo prelievo che non causa l’estinzione E della popolazione. Vale il teorema di esistenza ed unicita` L’equazione ha soluzioni costanti se −bx2 + ax − c = 0. I. CRESCITA. ha soluzioni reali.. . L OGISTICA CON P RELIEVO. Se la popolazione si sviluppa con tasso di crescita a − bn ed e` sottoposta ad prelievo costante pari ad una quantita` c avremo ˙ n(t) = an(t) − bn2(t) − c. 45. Possiamo pertanto distinguere tre casi a2 − 4bc < 0. . Non ci sono soluzioni costanti e si ha. . =1 an(t) − bn2(t) − c t ˙ n(s) ds = t − t0 2 (s) − c an(s) − bn t0 n(t) dx = t − t0 2 −c ax − bx n(t0 ). CRESCITA. ˙ n(t). L OGISTICA CON P RELIEVO. I. 46.

(24) . L’integranda puo` essere decomposta in fratti semplici mediante la. ax − bx2 − c. =−. b x−. 1. a 2 2b 1. −. =−. b x−. a2 4b2. +. 1. a 2 2b. c b. . =. +δ. =−. . = 1. bδ. . . . 1 √1 δ. x−. 2 a. 2b. +1. =. dove si e` posto δ= Pertanto . 4bc − a2 4b2. a 1 1 x− + cost. = − √ arctan √ ax − bx2 − c 2b b δ δ dx. I. L OGISTICA CON P RELIEVO. 1. CRESCITA. 1. . 47. . Inoltre n(t) =. a 2b. +. √. 1 a 1 n0 − −t δ tan t0 + √ arctan √ 2b b δ δ . I. L OGISTICA CON P RELIEVO. a 1 1 n(t) − − √ arctan √ + 2b b δ δ a 1 1 n0 − = t − t0 + √ arctan √ 2b b δ δ. CRESCITA. e. 48.

(25) . Popolazione nel caso di crescita logistica con prelievo costante per. . a=2 b=1 c=4. CRESCITA. a2 − 4bc = −12 < 0. L OGISTICA CON P RELIEVO. I. 49. a2 − 4bc = 0 a −bx2 + ax − c = 0 per x = 2b. . a. . . 2b e` una soluzione costante dell’equazione differenziale Si ha inoltre 1. ax − bx2 − c da cui n(t) n0. dx ax − bx2 − c. e n(t) =. 1 2b. 1. =. a 2 2b. 1. a+. − a 2b. 1. I. =−. b x−. b n(t) −.

(26). 1. . 1. b n0 −. a 2b. 2bn0 − a 1 + (n0b − a2 )(t − t0). = t − t0. L OGISTICA CON P RELIEVO. 1. . CRESCITA. n(t) = α =. . 50.

(27) . Popolazione nel caso di crescita logistica con prelievo costante per. . a=2 b=1 c=1. CRESCITA. a2 − 4bc = 0. L OGISTICA CON P RELIEVO. I. 51. . a2 − 4bc > 0 In questo caso l’equazione. . −bx2 + ax − c = 0. . 1 −bx2. da cui . + ax − c. 1. −bx2 + ax − c. dx =. =. b α−β. b α−β. . 1 x−α. −. 1. . x−β. (ln |x − α| − ln |x − β|) + ϕ(x). I. L OGISTICA CON P RELIEVO. e. . CRESCITA. ammette due soluzioni reali e distinte 2 a a − 4bc a2 − 4bc a α= , β= + − 2b 4b2 2b 4b2 e quindi possiamo trovare due soluzioni costanti di equilibrio per il sistema. Si ha −bx2 + ax − c = −b(x − α)(x − β). 52.

(28) e ϕ e` una funzione costante a tratti n(t) n(t) − α n0 − β 1 b ln = t − t0 dx = 2 α−β n(t) − β n0 − α n0 −bx + ax − c. . 0. I. L OGISTICA CON P RELIEVO. n0 −α (t−t0 ) α−β b e n0 −β. CRESCITA. 1−. . 53. . Popolazione nel caso di crescita logistica con prelievo costante per. . a=5 b=1 c=4 a2 − 4bc = 9 > 0. I. L OGISTICA CON P RELIEVO. n(t) =. e α − β nn0−α −β. (t−t0 ) α−β b. CRESCITA. da cui. 54.

(29) . a=3 b=1 c=2. I. CRESCITA. a2 − 4bc = 1 > 0. . L OGISTICA CON P RELIEVO. Andamento della popolazione con prelievo costante nei casi in cui. 55. . L OGISTICA CON P RELIEVO. I. CRESCITA. Come si puo` facilmente osservare dai grafici della soluzione n(t) il modello rende ragione dei seguenti fatti (1) se a2 − 4bc < 0 la popolazione si estingue in un tempo finito (2) se a2 − 4bc = 0 a • la popolazione si estingue in un tempo finito se n0 < 2b a • mentre tende a stabilizzarsi sul valore 2b asintoticamente se a n0 > 2b (3) se a2 − 4bc > 0 • la popolazione si estingue in un tempo finito se n0 < β • mentre tende a stabilizzarsi sul valore β asintoticamente se n0 > β. 56.

(30) Pertanto, pur di partire con un sufficiente numero di individui, non si ha estinzione della popolazione per a. . 2. . 4b. . 2. a e` la piu` alta quantita` che si puo` prelevare senza causare c = 4b l’estinzione della popolazione in un tempo finito E` la rendita massima dell’allevamento. Nel caso la popolazione non si estingua, essa si assesta su un valore di regime pari a . α= a b. 2b. +. a2 − 4bc 4b2. <. a b. e` il valore a regime della popolazione in assenza di prelievo.. I. CRESCITA. dove. a. . L OGISTICA CON P RELIEVO. c≤. . 57. . La diffusione di una epidemia puo` essere descritta mediante un modello simile a quello descritto nella sezione precedente. Possiamo distinguere tra due diversi modelli: • Il modello SIS: • Il modello SIR. I. D IFFUSIONE DI UN ’E PIDEMIA. Diffusione di un’epidemia di tipo SIS o SIR. 58.

(31) I. D IFFUSIONE DI UN ’E PIDEMIA. • Il modello SIS: prevede che la malattia si diffonda tra individui Suscettibili all’infezione che alimentano la categoria degli individui Infetti che, a loro volta, guariscono e tornano Suscettibili. • Il modello SIR prevede che la malattia si diffonda tra individui Suscettibili all’infezione che alimentano la categoria degli individui Infetti. Gli infetti non rientrano piu` nella categoria dei suscettibili, (l’esito della malattia e` fatale oppure genera immunita’). Dopo la malattia gli individui vengono Rimossi dalla popolazione. 59. x e` il numero di individui infetti y e` il numero di individui suscettibili. La malattia si diffonde tra i suscettibili in ragione del numero di incontri tra infetti e suscettibili secondo un coefficiente di proporzionalita` a il tasso di infettività. In altre parole infettati a= incontri. I. E PIDEMIA DI TIPO SIS. Epidemia di tipo SIS. 60.

(32) Gli infetti aumenteranno in ragione del termine. . axy diminuiranno della parte di infetti bx che guariscono, (b e` il tasso di guarigione) b=. guariti. I. infetti. E PIDEMIA DI TIPO SIS. I suscettibili diminuiranno della parte che si infetta aumenteranno della parte che guarisce. 61. L’accrescimento degli infetti e` dato da axy − by L’accrescimento dei suscettibili e` dato da −axy + by. Possiamo scrivere il sistema differenziale.. . (17). ⎧ ⎪ ˙ x(t) = ax(t)y(t) − bx(t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨y(t) ˙ = −ax(t)y(t) + bx(t) (SIS) ⎪ x(t0) = x0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩y(t ) = y 0. I. 0. ˙ x(t) = ax(t)(N − x(t)) − bx(t) ci si riduce allo studio della solita equazione logistica.. E PIDEMIA DI TIPO SIS. Assumiamo che il numero degli infetti ed il numero dei suscettibili abbia somma costante uguale ad N Poiche´ y = N − x si ha. 62.

(33) . Epidemia di tipo SIR. . Nel caso (SIR) il sistema differenziale e` simile a quello precedente; la sola differenza e` nel termine che reintroduce i guariti tra i suscettibili ` ( che in questo caso non c’e). Il sistema pertanto sara`. (18). (SIR). ⎧ ⎪ ˙ x(t) = ax(t)y(t) − bx(t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨y(t) ˙ = −ax(t)y(t). I. ⎪ x(t0) = x0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩y(t ) = y. 0. E PIDEMIA DI TIPO SIR. 0. 63. Non e` immediato risolvere il sistema, ma possiamo ottenere informazioni sulle sue soluzioni. Dividendo la prima equazione per x, la seconda per y ed integrando, si ottiene ⎧. ⎨x(t) = x e tt0 (ay(s)−b)ds 0 t (19) ⎩y(t) = y e t0 −ax(s)ds 0. I. e quindi x, y > 0 Inoltre sommando membro a membro in 18 si ottiene che ˙ ˙ x(t) + y(t) = −bx(t) ≤ 0. e quindi t → x(t) + y(t) e` decrescente e risulta limitata da x(t0) + y(t0) = N. E PIDEMIA DI TIPO SIR. (20). 64.

(34) Quindi x, y sono limitate ed il teorema di prolungabilita` consente di affermare l’esistenza in grande della soluzione del sistema differenziale. Integrando la 20 e ricordando x, y > 0, si ha t x(s)ds ≤ N − x(t) − y(t) ≤ N b. . t0. I. E PIDEMIA DI TIPO SIR. l’integrale a primo membro esiste in senso improprio per t → +∞ ed e` convergente in quanto l’integranda e` positiva e quindi la funzione. t ` t0 x(s)ds e crescente ed ammette limite all’infinito. ne deduciamo che se x(t) ammette limite per t → +∞ allora x(t) → 0.. 65. Possiamo rappresentare le soluzioni del sistema (SIR) nel piano (x, y), che e` detto piano delle fasi. Al di t la soluzione (x(t), y(t)) descrive nel piano (x, y) una curva orbita del sistema Se ϕ rappresenta localmente l’orbita. . x(t) = ϕ(y(t)) = 0. I. ˙ ˙ x(t) = ϕ (y(t))y(t). da cui ϕ (y) =. axy − bx −axy. Se ne ricava x = −y +. b. = −1 +. b ay. ln y + cost a e cio` consente di disegnare facilmente le orbite del sistema (SIR) nel piano delle fasi.. E PIDEMIA DI TIPO SIR. allora. . 66.

(35) . E PIDEMIA DI TIPO SIR. I. 67. . Curve di inseguimento Sia T un bersaglio che si muove su una curva nota Γ a velocita` costante.. I. La curva che descritta da P si chiama curva di inseguimento.. C URVE DI INSEGUIMENTO. Vogliamo determinare la curva che deve percorrere un punto P che insegue T a velocita` costante se si dirige in ogni istante verso il punto T.. 68.

(36) Siano (x(t), y(t)) le equazioni parametriche della curva di inseguimento ˙ ˙ ` (x(t), y(t)) e` il vettore velocita: deve essere parallelo alla direzione (a − x(t), wt − y(t)) dovra` aversi ⎧ ⎪ ˙ = K(a − x(t)) ⎪ ⎨x(t) (21) ˙ y(t) = K(wt − y(t)) ⎪ ⎪ 2 2 ⎩(x(t)) ˙ ˙ + (y(t)) = v2. I. C URVE DI INSEGUIMENTO. Consideriamo alcuni esempi. Il bersaglio T si muove sulla retta x = a a velocita` costante w Γ puo` essere parametrizzata mediante le x(t) = a γ(t) = t≥0 y(t) = wt. 69. Supponiamo che la soluzione sia una funzione y(x) allora. . y(t) = y(x(t)). . e. . ˙ ˙ y(t) = y (x(t))x(t). (22). da cui, tenendo conto della 21. I. wt − y(t) = y (x(t))(a − x(t)). (23). (24). ˙ ˙ ˙ − x(t)) − y (x(t))x(t) w − y(t) = y (x(t))x(t)(a. Per la 22 (25). ˙ w = y (x(t))x(t)(a − x(t)). C URVE DI INSEGUIMENTO. Derivando rispetto t. 70.

(37) Dalla seconda delle 21 possiamo ricavare che 2 2 2 2 dy dx dy dx + = 1+ = v2 (26) dt dt dt dx ˙ Ricavando x(t) dalla 25 e sostituendo nella 26 otteniamo 2 v 2 2 1 + (y (x)) = (a − x)2 (y ) w. I. v Se poniamo p = y e chiamiamo k = w possiamo ricondurci ad una equazione a variabili separabili della forma. 1 + p2 = k2(a − x)2 (p ). C URVE DI INSEGUIMENTO. 2. 71. . Separando le variabili ed integrando otteniamo. . 1 p = 1 + p2 k(a − x). . e. . 1 (sinh)−1(p) = − ln(a − x) + c k. I. da cui p = sinh(ln(γ(a − x)). −1 k. ). p=. 1 2. (γ(a − x)). −1 k. − (γ(a − x)). 1 k. . La costante γ puo` essere ricavata imponendo che p(0) = y (0)) = 0 (Inseguitore inizialmente fermo). C URVE DI INSEGUIMENTO. ed infine. 72.

(38) . Si ottiene che γ = a1 e possiamo scrivere che x 1 x −1 1 ((1 − )) k − ((1 − )) k p= 2 a a. . Integrando nuovamente si puo` ottenere la y, Se k = 1 ka ka x 1− 1 x 1+ 1 1 + d ((1 − )) k − ((1 − )) k y = 2 1−k a 1+k a. I. ka Imponendo y(0) = 0 possiamo ricavare d = − 1−k 2 e ricavare. ka k2. −1. 1+. 1.

(39). . (k − 1) 1 −. 2. x. 1+ 1. k. a. − . −(k + 1) 1 −. x a. 1− 1 k. C URVE DI INSEGUIMENTO. (27) y =.

(40). 73. Se k = 1 p=. 1. . 1. 2 γ(a − x). . − γ(a − x). . Imponendo p(0) = y (0)) = 0 si ottiene γ = a1 e 1 1 x p= − (1 − ) x 2 1−a a. I. y=. a 4.

(41) 1−. x a. 2. − ln 1 −. x a. 2 −1. C URVE DI INSEGUIMENTO. Integrando. 74.

(42) Se k > 1 ( v > w) dala 27 per x → a y(x) → il bersaglio viene raggiunto dall’inseguitore.. ka 2 k −1. che` il punto in cui. . C URVE DI INSEGUIMENTO. I. 75. . Modifichiamo il problema richiedendo che si mantenga costante la distanza tra inseguitore P e bersaglio T , ⎧ ⎪ ˙ = K(a − x(t)) ⎪ ⎨x(t) ˙ y(t) = K(wt − y(t)) ⎪ ⎪ ⎩(wt − y(t))2 + (a − x(t))2 = a2 Da otteniamo per cui. ˙ ˙ y(t) = y (x(t))x(t) (wt − y(t)) = y (x(t))(a − x(t)) (y (x(t))(a − x(t)))2 + (a − x(t))2 = a2. I. C URVA DI PEDINAMENTO. Curva di pedinamento. . 76.

(43) ((y (x(t)))2 + 1)(a − x(t))2 = a2 e. . (y (x)) =. (28). a2. 2. (a − x)2. −1. . C URVA DI PEDINAMENTO. I. 77. . a2. 2. (y (x)) =. (a − x)2. −1=. da cui. y (x) =. a2. √ −1=. 2ax − x2. . (a − x)2. . 2ax − x2. (a − x)2 (a − x) √ 2ax − x2 y(x) = dx + c (a − x). I. 2ax − x2 = x2t2 2a x= 1 + t2 2a dx = − 2tdt (1 + t2)2. C URVA DI PEDINAMENTO. Integriamo per sostituzione ponendo 2ax − x2 = xt. 78.

(44) . √. 2ax − x2. (a − x). . dx = . xt. . 2a. −. . . Poiche` −8at2 (t2 − 1)(1 + t2)2. == −. 4a (1 + t2)2. +. 2a 1 + t2. −. I. C URVA DI PEDINAMENTO. 2tdt = a−x (1 + t2)2 2at 2a 1 = − 2tdt = 2a 2 )2 (1 + t2)2 a − 1+t (1 + t 2 −8a2t2 1 = dt = 1+t2 −2 (1 + t2 )2 2 2 (1 + t ) a 1+t2 −8at2 dt = (t2 − 1)(1 + t2)2 =. 2a t2 − 1. 79. . Si ha −. 1 t2. −1. dt =. 1/2 t−1. dt −. 1/2 t+1. dt =. 1 2. ln. . t−1. . t+1. . −. 2. 1. . 1. . 1. t2. . dt = dt = −2 + 2 − 2 2 2 2 2 2 (1 + t ) t −1 (1 + t ) 1+t (1 + t ) 1 2t − dt = +t (1 + t2) (1 + t2)2 t 1 t 1 = − − + + (1 + t2) (1 + t2) (1 + t2) (1 + t2). Quindi . t 1 t−1 dt = 2a − + ln (t2 − 1)(1 + t2)2 1 + t2 2 t+1 −8at2. I. C URVA DI PEDINAMENTO. . 80.

(45) . √ t=. 2ax −. x2. x. t2 =. ,. 2ax − x. . 2. . x2. . √. 2ax − x2 1 t t−1 = + ln dx = 2a − (a − x) 1 + t2 2 t+1 √ √ 2ax−x2 2ax − x2 − x x = −2a + a ln √ 2ax−x2 2ax − x2 + x 1 + x2 √ 2ax − x2 − x 2 = − 2ax − x + a ln √ = 2 +x 2ax − x √ a − 2ax − x2 2 = − 2ax − x + a ln = a−x a + a2 − (a − x)2 2 2 = = − a − (a − x) + a ln a−x. I. C URVA DI PEDINAMENTO. e poiche`. 81. . la soluzione e` data da (29) y = − a2 − (a − x)2+. . + a ln. a+. . a2. − (a −. a−x. x)2. . +c. Per la 28 la distanza tra inseguitore ed inseguito rimane costante l’inseguitore segue, ma non vuole intercettare, cioe` pedina, il bersaglio. La stessa equazione vale se l’inseguito traina l’inseguitore; la curva descritta dalla 29 si chiama trattrice.. I. C URVA DI PEDINAMENTO.

(46). . 82.

(47) . Curva di inseguimento in generale. I. γ(t) = (a(t), b(t)). (30). E se P e` l’inseguitore che procede a velocita` costante v lungo la curva di equazioni parametriche (x(t), y(t)). I NSEGUIMENTO -S OLUZIONE N UMERICA. Se in generale il bersaglio T si muove lungo una traiettoria γ di equazioni. 83. dovra` aversi. (31). . ⎧ ⎪ ˙ = k(t)(a(t) − x(t)) ⎪ ⎨x(t) ˙ y(t) = k(t)(b(t) − y(t)) ⎪ ⎪ 2 2 ⎩(x(t)) ˙ ˙ + (y(t)) = v2. . Dalla 31 si ricava che. . e otteniamo per sostituzione ⎧ ⎨x(t) ˙ = v√. a(t)−x(t) (a(t)−x(t))2 +(b(t)−y(t))2 b(t)−y(t). ⎩y(t) ˙ = v√. (a(t)−x(t))2 +(b(t)−y(t))2. Il sistema puo` essere integrato numericamente.. I. I NSEGUIMENTO -S OLUZIONE N UMERICA. v k(t) = (a(t) − x(t))2 + (b(t) − y(t))2. 84.

(48) . Curva di pedinamento in generale Per il pedinamento, se T percorre γ di equazioni. I. e P e` il punto inseguitore, si muove lungo la curva (x(t), y(t)) Si avra`. ⎧ ⎪ ˙ = k(t)(a(t) − x(t)) ⎪ ⎨x(t). ˙ y(t) = k(t)(b(t) − y(t)) ⎪ ⎪ ⎩(a(t) − x(t))2 + (b(t) − y(t))2 = d2. (32). P EDINAMENTO -S OLUZIONE NUMERICA. γ(t) = (a(t), b(t)). 85. Dalla 32 si ricava che ˙ ˙ ˙ ˙ 2[(a(t) − x(t)][a(t) − x(t)] + [b(t) − y(t)][b(t) − y(t)] =0 e quindi ˙ [a(t) − x(t)][a(t) − k(t)(a(t) − x(t))]+ ˙ + [b(t) − y(t)][b(t) − k(b(t) − y(t))] = 0. I. ˙ − x(t)] − k(t)[a(t) − x(t)]2+ a(t)[a(t) ˙ + b(t)[b(t) − y(t)] − k(t)[b(t) − y(t)]2 = 0. P EDINAMENTO -S OLUZIONE NUMERICA. e ancora. 86.

(49) . Infine. . ˙ ˙ a(t)[a(t) − x(t)] + b(t)[b(t) − y(t)] − k(t)d = 0 ˙ ˙ a(t)(a(t) − x(t) + b(t)[b(t) − y(t)] k(t) = d2 2. e. ˙ x(t) = ˙ y(t) =. . ˙ ˙ a(t)(a(t)−x(t)+ b(t)[b(t)−y(t)] (a(t) − x(t)) 2 d ˙ ˙ a(t)(a(t)−x(t)+ b(t)[b(t)−y(t)] (b(t) − y(t)) d2. I. P EDINAMENTO -S OLUZIONE NUMERICA. Il sistema puo` essere integrato numericamente.. 87. I. P EDINAMENTO -S OLUZIONE NUMERICA. La curva di inseguimento nel caso in cui il bersaglio si muova di moto circolare. 88.

(50) . La trattrice. si tratta della curva di pedinamento nel caso in cui il bersaglio si muova di moto rettilineo. . P EDINAMENTO -S OLUZIONE NUMERICA. I. 89. I. P EDINAMENTO -S OLUZIONE NUMERICA. La curva di pedinamento nel caso in cui il bersaglio si muova di moto circolare uniforme. 90.

(51) . La spirale logaritmica. (x, y). ρ. I. ρ sin θ. θ O. ρ cos θ. L A S PIRALE L OGARITMICA. Stabiliamo un riferimento polare nel piano; O e` il polo di tale sistema ρ e` il raggio vettore θ e` l’angolo formato dal raggio vettore con il semiasse positivo delle x.. 91. y = ρ sin θ Se e` data ρ = ρ(θ) si individua nel piano una curva di equazioni parametriche x = ρ(θ) cos θ y = ρ(θ) sin θ Si definisce spirale logaritmica una curva nel piano tale che in ogni punto il raggio vettore della curva ed il vettore tangente alla curva formino un angolo fissato α. I. L A S PIRALE L OGARITMICA. Un punto e` individuato dalle coordinate x = ρ cos θ. 92.

(52) ˙ y) ˙ e` uguale al prodotPoiche` il prodotto scalare dei vettori (x, y) e (x, to delle norme dei vettori stessi e del coseno dell’angolo compreso. una curva che soddisfi la proprieta` richiesta deve soddisfare ˙ ˙ ˙ ˙ x(θ)x(θ) + y(θ)y(θ) = (x(θ), y(θ)). (x(θ), y(θ)) (cos α) x(θ) = ρ(θ) cos θ. ⎧ ⎪ ˙ ˙ = + y(θ)y(θ) ⎪ ⎨x(θ)x(θ). d 1 2 ρ (θ) dθ 2. I. y(θ) = ρ(θ) sin θ e che. . ˙ = ρ(θ)ρ(θ). (x(θ), y(θ)) 2 = ρ2(θ) ⎪ ⎪ 2 ⎩ (x(θ), ˙ ˙ = ρ˙ 2(θ) + ρ2(θ) y(θ)). Otteniamo ρ2(θ)ρ˙ 2(θ) = (cos2 α)ρ2(θ)(ρ˙ 2(θ) + ρ2(θ)). L A S PIRALE L OGARITMICA. Se teniamo conto che. . 93. . Pertanto ρ˙ (θ) = (cos )α(ρ˙ (θ) + ρ (θ)) cos2 α 2 ρ˙ (θ) = ρ2(θ) 2 1 − cos α 2. 2. 2. 2. . ed infine ˙ ρ(θ) = (cot α)ρ(θ) ρ(θ) = ke(θ cot α). L’ultima equazione descrive la forma della spirale logaritmica ma non dice nulla riguardo al modo in cui essa viene percorsa. Descrive le proprieta` geometriche della spirale logaritmica ma non le sue proprieta` cinematiche.. L A S PIRALE L OGARITMICA. e. I. 94.

(53) Se teniamo conto che x(t) = ρ(θ(t)) cos θ(t) y(t) = ρ(θ(t)) sin θ(t) da cui. ⎧ ⎪ ˙ ˙ + y(t)y(t) = ⎪ ⎨x(t)x(t). . d 1 2 ρ (t) dt 2. ˙ ˙ θ(t) = ρ(t)ρ(t). (x(t), y(t)) 2 = ρ2(t) ⎪ ⎪ 2 ⎩ (x(t), ˙ ˙ = (ρ˙ 2(t) + ρ2(t))θ˙ 2(t) y(t)). I. Avremo ρ2(t)ρ˙ 2(t)θ˙ 2(t) = (cos2 α)ρ2(t)θ˙ 2(t)(ρ˙ 2(t)ρ2(t)) ρ˙ 2(t) = (cos2)α(ρ˙ 2(t) + ρ2(t)) cos2 α 2 2 ρ (t) ρ˙ (t) = 1 − cos2 α. L A S PIRALE L OGARITMICA. Pertanto. 95. . ed infine ˙ ρ(t) = (cot α)ρ(t). . ρ(t) = ke−t cot α. . da cui. ˙ ˙ La velocita` e` descritta dal vettore (x(t), y(t)) la cui norma e` 2 ˙ ˙ ˙ 2(t) = (ρ˙ 2(t) + ρ2(t))θ˙ 2(t). (x(t), y(t)). = x˙ 2(t) + y. . I. possiamo imporre che la spirale venga percorsa con velocita` costante in modulo chiedendo che. da cui si puo` ricavare θ(t).. L A S PIRALE L OGARITMICA. (ρ˙ 2(t) + ρ2(t))θ˙ 2(t) = |v|. 96.

(54) . Un esempio d’autore Il seguente problema e` dovuto a Hugo Steinhaus puo` essere enunciato come segue:. . Quattro cani si trovano ai quattro vertici A, B, C, D di un prato quadrato. I cani cominciano a correre con velocità costante puntando ciascuno il cane che si trova nel vertice successivo. Dopo quanto tempo i quattro cani si incontrano e quanta strada hanno percorso? Quale percorso hanno compiuto?. I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. I. 97. Per simmetria i quattro cani si trovano sempre ai vertici di un quadrato il cui lato diminuisce con la velocita` con cui ciascun cane si muove. . I quadrati ai vertici dei quali si trovano i cani in ciascun istante sono centrati nel centro O di tutti i quadrati.. I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. I. 98.

(55) I cani si muovono seguendo una traiettoria che si mantiene tangente ad uno dei lati dei quadrati. . Ciascun cane si muove seguendo una traiettoria per la quale in ogni punto il vettore tangente ed il raggio vettore rispetto al centro O formano un angolo costante ed uguale a π4 . Ogni cane raggiunge il successivo nel tempo necessario a percorrere il lato del quadrato e quindi percorre una distanza pari al lato del quadrato stesso. La traiettoria percorsa e` una spirale logaritmica centrata in O e relativa ad un angolo tra tangente e raggio vettore di π4. I. I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. Ogni cane punta il successivo cioe` il vettore tangente alla curva per` punta verso il successivo vertice del quadrato e corsa (vettore velocita) quindi giace su un lato del quadrato.. 99. I. I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. Consideriamo un riferimento polare (ρ, θ) centrato in O e una parametrizzazione della curva descritta dal cane che parte dal vertice in A ed insegue il cane che inizialmente e` in D. 100.

(56) I. I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. In un successivo istante i cani si trovano in A(t) = A , B(t) = B , C(t) = C , D(t) = D La traiettoria e` caratterizzata dal fatto che il raggio vettore A O forma un angolo di π4 con il lato A D che risulta essere tangente alla traiettoria.. 101. Siano (xa(t), ya(t)) e le equazioni (xd(t), yd(t)) parametriche delle curve descritte dai cani in A ed in D e ρ(t) = ρ(θ(t)) descriva la traiettoria (xa(t), ya(t)), avremo che xa(t) = x0 + ρ(t) cos θ(t). I. e. xd(t) = x0 + ρ(t) sin θ(t) yd(t) = y0 − ρ(t) cos θ(t). I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. ya(t) = y0 + ρ(t) sin θ(t). 102.

(57) . Analogamente i cani in B e C percorreranno rispettivamente le traiettorie xb(t) = x0 − ρ(t) sin θ(t). . yb(t) = y0 + ρ(t) cos θ(t) xc(t) = x0 − ρ(t) cos θ(t). I. I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. yc(t) = y0 − ρ(t) sin θ(t). 103. . Il vettore tangente alla curva descritta dal cane in un generico punto A(t) e` dato da. . ˙ ˙ x˙ a(t) = (ρ(t) cos θ(t) − ρ(t) sin θ(t))θ(t) T (t) = ˙ ˙ ˙ a(t) = (ρ(t) sin θ(t) + ρ(t) cos θ(t))θ(t) y. . Il vettore che indica la direzione che il cane deve seguire e` ρ(t) sin θ(t) − ρ(t) cos θ(t) D(t) − A(t) = −ρ(t) cos θ(t) − ρ(t) sin θ(t). . Dovra` aversi T (t) = k[D(t) − A(t)] ` per cui dove k e` una costante di proporzionalita, (33) ˙ ˙ (ρ(t) cos θ(t) − ρ(t) sin θ(t))θ(t) = k(ρ(t) sin θ(t) − ρ(t) cos θ(t)) ˙ ˙ (ρ(t) sin θ(t) + ρ(t) cos θ(t))θ(t) = k(−ρ(t) cos θ(t) − ρ(t) sin θ(t)). I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. I. 104.

(58) Dividendo membro a membro 33 otteniamo ˙ ρ(t) sin θ(t) − ρ(t) cos θ(t) ρ(t) cos θ(t) − ρ(t) sin θ(t) = ˙ ρ(t) sin θ(t) + ρ(t) cos θ(t) −ρ(t) cos θ(t) − ρ(t) sin θ(t) moltiplicando per i denominatori. . ˙ cos2 θ + ρ2 sin θ cos θ − ρρ˙ cos θ sin θ + ρ2 sin2 θ = (34) − ρρ ρρ˙ sin2 θ − ρρ˙ sin θ cos θ + ρ2 sin θ cos θ − ρ2 cos2 θ. I. da cui deduciamo che ρ˙ = ρ. ovvero ˙ =0 ρρ˙ − ρ2θ(t) nel caso in cui ρ(t) = ρ(θ(t)). I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. ρρ˙ − ρ2 = 0. 105. . ed infine. . ρ(t) = ceθ(t) La 34 definisce l’equazione polare della traiettoria percorsa dal cane. Per ottenerne la legge oraria occorre tenere anche conto del fatto che la curva e` percorsa con velocita` costante |v| In altre parole ˙ 2(t) = |v| x˙ 2(t) + y. I. (35). (ρ˙ 2(t) + ρ2(t))θ˙ 2(t) = |v|2. Se ne deduce che 2c2e2θ(t)θ˙ 2(t) = |v|2 |v| ˙ = ±√ eθ(t)θ(t) 2c. I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. da cui. 106.

(59) . e quindi. . 1 eθ(t) = ± √ |v|t + b 2c 1 θ(t) = ln(b ± √ |v|t) 2c. . I QUATTRO CANI DI H UGO S TEINHAUS. I. 107. . Il modello preda-predatore descrive le interazioni di due specie una delle quali si nutre dell’altra.. Fu introdotto attorno al 1925 indipendentemente da Vito Volterra ed Alfred Lotka.. I. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. Il Modello Preda-Predatore di Lotka-Volterra. 108.

(60) • x(t) numero delle prede al tempo t • y(t) numero dei predatori al tempo t • In assenza di predatori le prede crescono secondo un modello malthusiano ˙ x(t) = ax(t) • Il tasso di crescita a delle prede diminuisce in proporzione al numero di predatori. I. • In assenza di prede i predatori si estinguono seguendo un modello malthusiano ˙ y(t) = −by(t) • Il tasso di accrescimento b dei predatori aumenta in maniera proporzionale al numero di prede −b + βx(t). I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. a − αy(t). 109. La dinamica delle due popolazioni puo` essere descritta dal seguente sistema differenziale (Equazioni di Lotka-Volterra). . (36) con i dati iniziali. ˙ x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) ˙ y(t) = −by(t) + βx(t)y(t). I. x(t0) = x0. Il sistema differenziale da studiare e` semplice ma non si puo` integrare esplicitamente. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. y(t0) = y0. 110.

(61) . Si puo` dimostrare che:. I. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. (1) Il sistema ammette due punti stazionari ( βb , αa ), (0, 0) (2) Le orbite che giacciono nel primo quadrante sono curve chiuse (3) Le soluzioni del sistema sono periodiche (4) Vale per le soluzioni del sistema un principio di conservazione delle medie in quanto si vede che b 1 T a 1 T x(s)ds = , y(s)ds = T 0 β T 0 α. 111. . Il sistema 36 ha soluzioni costanti. . Infatti (x(t), y(t)) = (ξ, η) sono soluzioni del sistema se 0 = aξ − αηξ. I. e cioe` quando ξ = 0, η = 0 oppure quando ξ=. b β. ,η =. a α. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. 0 = −bη + βηξ. 112.

(62) . Le orbite del sistema sono curve chiuse nel I quadrante del piano delle fasi.. . Le orbite del sistema, sono descritte da x = x(t). . Il sistema si puo` porre nella forma ˙ x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) = φ(x(t), y(t)) (37) ˙ y(t) = −by(t) + βx(t)y(t) = ψ(x(t), y(t)) Se l’orbita del sistema puo` essere rappresentata localmente da una funzione y = y(x), si avra` x(t) = x y(t) = y(x(t)) = y(x). I. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. y = y(t). 113. . ˙ ˙ y(t) = y (x(t))x(t). per cui, sostituendo nella 37, si ottiene y (x) =. φ(x, y(x)) ψ(x, y(x)). =. . −by(x) + βxy(x). . ax − αxy(x). . Separando le variabili avremo −b a −α = +β y (x) y(x) x ed integrando con i dati iniziali x(t0) = x¯ ¯ y(t0) = y cioe` per ¯ =y ¯ y(x). I. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. e si potra` ricavare. 114.

(63) . ¯ + αy ¯ = −b ln x + βx + b ln x¯ − βx¯ a ln y(x) − αy(x) − a ln y. . Ora se poniamo. . g(y) = a ln y − αy ¯ G(y) = g(y) − g(y). f(x) = −b ln x + βx ¯ F(x) = f(x) − f(x). I. possiamo riscrivere la 14 come ¯ − f(x) ¯ g(y) = f(x) + g(y) I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. ovvero come G(y) = F(x). 115. . Nella figura e` rappresentato il grafico della funzione ¯ G(y) = g(y) − g(y) y0 =. a. I. α. a a g0 = G(y0) = a ln − α = α α a = a ln − 1 > 0 α. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. (38). 116.

(64) . Nella figura e` rappresentato il grafico della funzione ¯ F(x) = f(x) − f(x) b. I. β. b b f0 = f(x0) = −b ln + β = β β b = −b ln − 1 > 0 β. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. x0 =. . 117. Se G−1 e` l’inversa di una opportuna restrizione di G dalla 38 allora y(x) = G−1(F(x)) e possiamo osservare y e` definita se e solo se [f0, g0] = (−∞, g0] ∩ [f0, +∞) = ∅ e che. I. G(ym) = G(yM) = f0 I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. F(xm) = F(xM) = g0. 118.

(65) Possiamo disegnare un’orbita del sistema G−1(F(x)) componendo graficamente G−1 ed F,. . I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. I. 119. I. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. Osserviamo che • F e` decrescente per x ∈ [xm, x0] • F e` crescente per x ∈ [x0, xM] • F assume tutti i valori in [f0, g0], • G e` crescente ed invertibile su [ym, y0] • G assume tutti i valori in [f0, g0] • G e` crescente ed invertibile su [y0, yM] • G assume tutti i valori in [f0, g0] Pertanto • G−1 e` definita da [f0, g0] a valori in [ym, y0] oppure in [y0, yM] • G−1(F(·)) e` definita e decrescente su [xm, x0]. 120.

(66) L’andamento della curva definita dalla 38 si puo` osservare nella figura che segue. . I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. I. 121. . La figura mostra le orbite del sistema.. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. I. 122.

(67) . La funzione U(x, y) = a ln y − αy + b ln x − βx nella 14, si chiama integrale primo del sistema Le orbite del sistema costituiscono le sue curve di livello: Dalla 14 si ha, ¯ − g(y) ¯ U(x, y(x)) = c = f(x). I. Viceversa se U(x(t), y(t)) = c. ˙ ˙ + Uy(x(t), y(t))y(t) =0 Ux(x(t), y(t))x(t) da cui (39). φ(x(t), y(t)) ψ(x(t), y(t)). =. ˙ x(t) Ux(x(t), y(t)) =− ˙ Uy(x(t), y(t)) y(t). I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. allora. 123. Dalla 39 il gradiente di U e` proporzionale al secondo membro del sistema differenziale Il campo di direzioni definito dal sistema ed il campo di direzioni definito dal gradiente di un integrale primo coincidono. Piu` precisamente coincidono le direzioni, non i vettori: il fattore di proporzionalita` non solo puo` non essere 1 ma puo` non essere costante. Lo studio delle orbite del sistema ci consente anche di affermare che. I. xm, xM, ym, yM > 0 • le orbite non passano per nessun punto stazionario (gli unici punti stazionari diversi da (x0, y0) sono sugli assi). I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. • Le orbite del sistema sono chiuse • Le orbite contengono al loro interno il punto stazionario (x0, y0) • Le orbite sono contenute nel primo quadrante cioè. 124.

(68) . Il sistema e` autonomo quindi le traslate di una soluzione sono a loro volta soluzioni. . Se. . (x(t), y(t)) risolve il sistema differenziale. I. allora (x(t + T ), y(t + T )) e` soluzione. infatti. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. ˙ + T ) = ax(t + T ) − αy(t + T )x(t + T ) x(t ˙ + T ) = −by(t + T ) + βx(t + T )y(t + T ) y(t. 125. . Per ogni punto del piano delle fasi passa una ed una sola orbita.. ➥. . Se (x(t), y(t)) e (ξ(t), η(t)) sono orbite del sistema tali che ξ1(t) = x(t − τ0 + t0) ξ(τ0) = x¯ x(t0) = x¯ e se ¯ ¯ y(t0) = y η(τ0) = y η1(t) = y(t − τ0 + t0) allora ξ1, η1) e` soluzione del sistema e soddisfa la condizione ξ1(τ0) = x¯. I. Ne deduciamo che ξ(t) = ξ1(t) = x(t − τ0 + t0) η(t) = η1(t) = y(t − τ0 + t0) e quindi (ξ, η) ed (x, y) percorrono la stessa orbita a meno di una traslazione nel tempo.. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. ¯ η1(τ0) = y. 126.

(69) Possiamo quindi anche provare che. . Le soluzioni del sistema sono periodiche; La curva e` costituita di due tratti che possono essere rappresentati come funzioni su un intervallo limitato quindi la sua lunghezza e` finita,. I. ˙ 2(t) = φ2(^ ^ ) + ψ2(^ ^) ≥ x, y x, y x˙ 2(t) + y {φ2(x, y) + ψ2(x, y)} ≥ m > 0 ≥ min (x − x0 )2 + (y − y0 )2 > . ˜ y) ˜ (φ, ψ si annullano contemporaneamente solo nei punti (0, 0) e (x, che abbiamo gia` visto non appartenere all’orbita.). I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. xm ≤ x ≤ xM , ym ≤ y ≤ yM. 127. . Ne segue che +∞ . . ˙ 2(t)dt = +∞ x˙ 2(t) + y. 0. . e pertanto esiste T > 0 tale che T ˙ 2(t)dt = x˙ 2(t) + y. . 0. I. Ne viene che la soluzione e` periodica.. . I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. Ma allora trascorso il tempo T la soluzione deve ripassare per il punto ¯ y) ¯ e , dal momento che per ogni punto passa una sola orbita, iniziale (x, da li’ e` costretta a ripercorrere quell’orbita stessa.. . 128.

(70) . I valori medi si mantengono costanti, cioè 1 T b 1 T a (40) x(s)ds = , y(s)ds = T 0 β T 0 α. . e per la periodicita` delle soluzioni, integrando sul periodo, T T ) = a − αy(s)ds = aT − α 0 = ln x(T 0 0 y(s)ds x(0) T T ) 0 = ln y(T = −b + βyxs)ds = bT − β 0 0 x(s)ds y(0) da cui si puo` ricavare la 40. I. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. Dal sistema, dividendo la prima equazione per x e la seconda per y, otteniamo x(t) ˙ = a − αy(t) x(t) (41) ˙ y(t) = −b + βx(t) y(t). 129. Modelli Preda Predatore con Prelievo costante Per studiare un sistema preda predatore nel quale si intervenga con un prelievo costante h sulle prede e k sui predatori possiamo scrivere ⎧ ⎪ ˙ x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) − hx(t) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨y(t) ˙ = −by(t) + βx(t)y(t) − ky(t) (42) ⎪ x(t0) = x0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩y(t ) = y. I. 0. Se a − h e b + k sono positivi, ci riconduce immediatamente al caso senza prelievo. Viene modificata la sola condizione di equilibrio ed il valore medio x¯ =. . b+k β. ¯ = y. a−h α. I L M ODELLO DI L OTKA -VOLTERA. 0. . 130.

(71) . Due specie x e y condividono le risorse di uno stesso territorio Ciascuna specie avrebbe un tasso di crescita di tipo logistico se vivesse in un ambiente isolato, ˙ x(t) = (a − Ax(t))x(t) x(t0) = x0 ˙ y(t) = (b − By(t))y(t). y(t0) = y0. A causa dei mutui effetti il tasso di crescita; della popolazione x e` a − Ax − αy (diminuisce proporzionalmente a y). I. S PECIE IN C OMPETIZIONE. Modelli di crescita di due specie in competizione. 131. Analogamente il tasso di crescita della popolazione y e` b − By − βx (diminuisce proporzionalmente a x). . Ciascuna specie si sviluppa sottraendo risorse all’altra.. . Il sistema che descrive lo sviluppo delle due popolazioni e`. I. ˙ y(t) = (b − By(t) − βx(t))y(t). ove a, b, A, B, α, β > 0, con i dati iniziali x(t0) = x0 y(t0) = y0. S PECIE IN C OMPETIZIONE. (43). ˙ x(t) = (a − Ax(t) − αy(t))x(t). 132.

(72) Dalla prima equazione, dividendo per x ed integrando otteniamo che. . ˙ x(t) x(t). x0. ln. ds s. x(t) x0. . t (a − Ax(s) − αy(s))ds. = t0. I. t =. (a − Ax(s) − αy(s))ds t0 t. e. t0 (a−Ax(s)−αy(s))ds. x(t) = x0e. In maniera simile otteniamo che t. y(t) = y0e. t0 (b−By(s)−βx(s))ds. S PECIE IN C OMPETIZIONE. x(t). = (a − Ax(t) − αy(t)). . 133. . Da cui x(t), y(t) > 0 Dal sistema 43, per k = max{a, b} si ha. (x + y) = (a − Ax(t) − αy(t))x(t)+ + (b − By(t) − βx(t))y(t) ≤ k(x + y) Quindi x ed y sono limitate, in quanto. I. e quindi esistono in ogni intervallo [0, T ]. Il sistema 43 ammette soluzioni costanti che si ottengono risolvendo il sistema algebrico 0 = (a − Ax − αy)x 0 = (b − By − βx)y. S PECIE IN C OMPETIZIONE. 0 ≤ (x + y) ≤ ekt ≤ ekT. 134.

(73) Le soluzioni costanti sono individuate dai punti di intersezione degli assi con le rette R1 R2. : :. (a − Ax − αy) = 0 (b − By − βx) = 0. ^ ξ=. a. η# =. A La retta R2 interseca gli assi nei punti. dove ξ# =. b. ^= η. β. . I. a α. ^) (0, η. (ξ#, 0) ,. . S PECIE IN C OMPETIZIONE. dove. . . (0, η#). ,. . . La retta R1 interseca gli assi nei punti (^ ξ, 0). . b B. 135. . Le rette R1 ed R2 si intersecano nel punto. . ˜ y) ˜ (x,. . x˜ =. aB − αb. ,. ˜ = y. Ab − aβ. AB − αβ AB − αβ Pertanto le soluzioni costanti sono individuate dai punti (0, 0). ,. ^) , (0, η. (^ ξ, 0). ,. ˜ y) ˜ (x,. L’ultimo punto si considera solo nel caso in cui (1) R1 ed R2 non siano parallele (AB − αβ = 0) ˜ > 0). (2) si trovi nel primo quadrante (x˜ > 0 , y Possiamo disegnare il campo di vettori associato al sistema e studiare le orbite.. I. S PECIE IN C OMPETIZIONE. dove. 136.

(74) Si presentano quattro casi nei quali (1) Prevale la popolazione x (2) Prevale la popolazione y (3) A seconda dei valori iniziali prevale x oppure y (4) Comunque si scelgano i valori iniziali, la situazione tende ad un unico punto di equilibrio. I. Nel terzo ci sono due punti asintoticamente stabili ed un punto instabile. S PECIE IN C OMPETIZIONE. Nel primo, secondo e quarto caso c’e` un punto asintoticamente stabile. 137. I. S PECIE IN C OMPETIZIONE. Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizione nel caso in cui la popolazione prevalente dipenda dai dati iniziali. 138.

(75) I. S PECIE IN C OMPETIZIONE. Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizione nel caso in cui la popolazione prevalente sia la seconda. 139. I. S PECIE IN C OMPETIZIONE. Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizione nel caso in cui le due popolazioni tendano a raggiungere un equilibrio stabile. 140.

(76) I. S PECIE IN C OMPETIZIONE. Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizione nel caso in cui la popolazione prevalente sia la prima. 141. I. S PECIE IN C OOPERAZIONE. Modello di crescita di due popolazioni in cooperazione. 142.

(77) . Cooperazione obbligatoria. . (1) La popolazione x, isolata, decrescerebbe secondo la legge. . ˙ x(t) = −ax(t) (2) La popolazione y, isolata, decrescerebbe secondo la legge ˙ y(t) = −by(t). . (4) Il tasso di crescita della y aumenta proporzionalmente ad x, cos`ı che ˙ y(t) = (−b + αx(t))y(t) ˙ x(t) = (−a + βy(t))x(t) ˙ y(t) = (−b + αx(t))y(t). I. C OOPERAZIONE O BBLIGATORIA. (3) Il tasso di crescita della x aumenta proporzionalmente ad y, cos`ı che ˙ x(t) = (−a + βy(t))x(t). ne consegue che. . 143. Il sistema ammette come soluzioni costanti (punti critici) ,. . a b ( , ) β α. . ne consegue che ˙ x(t) = (−a + βy(t))x(t) ˙ y(t) = (−b + αx(t))y(t). I. Il sistema ammette come soluzioni costanti (punti critici) (0, 0). ,. a b ( , ) β α. C OOPERAZIONE O BBLIGATORIA. (0, 0). . 144.

(78) . Cooperazione facoltativa (1) La x, in assenza della y, crescerebbe secondo la legge logistica ˙ x(t) = (a − b(x(t))x(t) (2) La y, in assenza della x, crescerebbe secondo la legge logistica. I. ˙ y(t) = (c − dy(t))y(t). ˙ x(t) = (a − b(x(t) + γy(t))x(t) (4) La presenza della x aumenta il tasso di crescita della y proporzionalmente ad x, cos`ı che ˙ y(t) = (c − dy(t) + δx(t))y(t). C OOPERAZIONE FACOLTATIVA. (3) La presenza della y aumenta il tasso di crescita della x proporzionalmente ad x, cos`ı che. 145. . ˙ x(t) = (a − b(x(t) + γy(t))x(t) ˙ y(t) = (c − dy(t) + δx(t))y(t) Che ammette come punti critici A B E1 = (0, 0) , E4 = ( , ) D D a c E2 = ( , 0) , E3 = (0, ) b d dove A = cγ + ad B = cb + aδ D = bd − γδ. I. C OOPERAZIONE FACOLTATIVA. ne consegue che. 146.

(79) . C OOPERAZIONE FACOLTATIVA. I. 147. . Conservazione della massa. . in un sistema isolato il bilancio tra la quantita` di materia che entra, quella che esce e quella che che rimane deve essere in pareggio.. I. C ONSERVAZIONE DELLA M ASSA ODE. Sono basati sulla seguente semplice osservazione:. 148.

(80) . Capacità di un lago. . Ipotizziamo che. . L’acqua entra in un lago con un flusso costante di K litri al minuto e dal lago ne evapora una quantità proporzionale secondo una costante H a v2/3 dove con v si indica il volume di acqua presente nel lago. I. v(t) il volume di acqua nel lago all’istante t; Avremo v(t + ∆t) − v(t) ˙ lim = v(t) ∆t→0 ∆t e quindi, in assenza di evaporazione, C APACIT A` DI UN LAGO. ˙ v(t) =K onde v(t) = v(0) + Kt. 149. L’evaporazione e` proporzionale alla superficie del lago Vol = . 3. Surf = . 2. quindi possiamo stimare che la superficie del lago sia proporzionale a v2/3(t). Ne concludiamo che l’evaporazione e` data da −Hv2/3(t). I. avremo. C APACIT A` DI UN LAGO. ˙ v(t) = K − Hv2/3(t). 150.

(81) . I. C APACIT A` DI UN LAGO. L’equazione 18 ammette una soluzione costante 3/2 K v(t) = H. K 3/2 ˙ se v(t) < H allora v(t) > 0 quindi v(t) e` crescente. K 3/2 ˙ allora v(t) < 0e se v(t) > H v(t) e` decrescente. La soluzione costante e` stabile. . 151. Grado di inquinamento di un lago. I. I NQUINAMENTO IN UN LAGO. Un inquinante entra in un lago con flusso costante σ, p(t)è la massa di inquinante al tempo t; esso viene metabolizzato dai batteri presenti nel lago in quantità proporzionale alla sua massa secondo una costante k In questo processo viene consumata una quantità dell’ossigeno disciolto nelle acque del lago pari alla massa di inquinante decomposto. Il livello o(t) di ossigeno nel lago tuttavia e` reintegrato attraverso il contatto tra la superficie dell’acqua e l’aria in maniera proporzionale alla differenza om − o(t) tra il valore di saturazione dell’ossigeno om e la quantità di ossigeno presente o(t). 152.

(82) Le equazioni che descrivono questo fenomeno possono pertanto essere scritte nella seguente maniera ˙ p(t) = σ − kp(t) (44) ˙ o(t) = −kp(t) + h(om − o(t)). σ k. o¯ = om −. . Le soluzioni di equilibrio della 44 sono p¯ =. . . σ. I. h. o˙ = −k(p −. σ k. + σk ) + h(om − (o − (om − σh ) + (om − σh ))). I NQUINAMENTO IN UN LAGO. ¯ o) ¯ (e` gia` lineare ma non omogeneo) Linearizzando il sistema in (p, ¯ p˙ = −k(p − σk ) = −k(p − p). 153. . da cui ¯ p˙ = −k(p − p) ¯ − om + ¯ − σ + h(om − (o − o) o˙ = −k(p − p) ed ancora. ¯ p˙ = −k(p − p) ¯ − h(o − o) ¯ o˙ = −k(p − p). σ ) h. I. ha autovalori −k, −h, negativi La soluzione del sistema e` stabile.. I NQUINAMENTO IN UN LAGO. la matrice dei coefficienti del sistema e` −k 0 A= −k −h. 154.

(83) . I NQUINAMENTO IN UN LAGO. I. 155. I. O.D.E.. Qualche risultato sulle O.D.E.. 156.

(84) Equazioni differenziali a variabili separabili Il problema e` trovare una funzione y, derivabile per cui si abbia y (x) = f(x)g(y(x)) con f, g assegnate. Piu` precisamente per. . I, J ⊂ R. I. intervalli aperti e non vuoti ed f:I→R. g:J→R. ,. y (x) = f(x)g(y(x)). (45). se la 45 e` soddisfatta da y(x) su un intervallo aperto I ⊂ I. ¯ e` tale che Se y ¯ =0 g(y). VARIABILI S EPARABILI. funzioni continue, y(x) risolve l’equazione. 157. ¯ y(x) = y ` possiamo e` soluzione costante, mentre se g ≡ 0, per la continuita, supporre g(x) = 0 ∀x ∈ J e riscrivere la 45 come (46). . y (x) g(y(x)). = f(x). I. Se F = f in I J e G = 1/g in J otteniamo G(y(x)) = F(x) + c , c ∈ R. G e` invertibile in J in quanto G = 1/g = 0 si puo` sempre scegliere c in modo che (48). R(G) ∩ R(F + c) = D(G−1) ∩ R(F + c) = ∅. (cio` e` necessario affinche` la 47 abbia soluzione).. VARIABILI S EPARABILI. (47). 158.

(85) Infatti se x0 ∈ I ed y0 ∈ J e c = G(y0) − F(x0), per la continuita` di F + c e G, R(F + c) e R(G) sono intervalli aperti contenenti il punto G(y0) = F(x0) + c. I. Quindi R(G) ∩ R(F + c) = D(G−1) ∩ R(F + c). G(y(x)) = F(x) + c , c ∈ R e` vera y(x) = G−1(F(x) + c). ∀x ∈ I . VARIABILI S EPARABILI. e` a sua volta un intervallo aperto non vuoto (contiene G(y0)). Se I e` l’intervallo degli x tali che la. 159. Due primitive F e G possono essere ottenute nella forma: y x ds G(y) = f(t)dt F(x) = g(s) y0 x0. . G(y0) = F(x0) = c = 0. I. VARIABILI S EPARABILI. nel qual caso si ha. 160.

(86) . Il Lemma di Gronwall. . Il lemma di Gronwall consente stime a priori per le soluzioni di equazioni differenziali. Siano y, f : I → R continue e positive su un intervallo I, tali che x (49) y(x) ≤ f(t)y(t)dt + c ∀x ∈ I,. I. c>0. x0. allora 0 ≤ y(x) ≤ ce. | xxo f(t)dt|. ∀x ∈ I. Sia x ≥ x0; dividendo ambo i membri per il secondo e moltiplicando poi per f(x) si ottiene G RONWALL. y(x)f(x) x ≤ f(x) c + x0 f(t)y(t)dt. 161. da cui d dx integrando. x ln c + f(t)y(t)dt ≤ f(x).. . x0. x0. onde. f(t)dt x0. I. x f(t)y(t)dt ≤ ce. c+. . . x. f(t)y(t)dt − ln c ≤. ln c +. . . . x. . x. xo f(t)dt. x0. e dalla 49. x f(t)y(t)dt ≤ ce. y(x) ≤ c +. x. xo f(t)dt. Osserviamo anche che se x y(x) ≤ f(t)y(t)dt x0. ∀x ∈ I. G RONWALL. x0. 162.

(87) si ha. x y(x) ≤ f(t)y(t)dt + c. . ∀c > 0. x0. e pertanto 0 ≤ y(x) ≤ ce|. x. xo f(t)dt|. . ∀c > 0. +. per cui, al limite per c → 0 , si ha y(x) ≡ 0.. I. Le equazioni autonome del primo ordine. y (x) = f(y(x)). (50). Spesso la variabile indipendente rappresenta il tempo; in tal caso una equazione autonoma modellizza fenomeni il cui svolgimento e` indipendente dal momento in cui si svolgono.. E QUAZIONI AUTONOME. Si dicono autonome le equazioni il cui secondo membro non dipende esplicitamente dalla variabile indipendente.. 163. (Un pendolo oscillera` nello stesso modo oggi come domani e altrettanto indipendente dal momento del lancio e` il moto di una pietra lasciata cadere da una certa altezza). Per le equazioni autonome le traslate di una soluzione sono esse stesse soluzioni. Se y(x) risolve la 50 allora, definito z(x) = y(x − α), avremo che z (x) = y (x − α) = f(y(x − α)) = f(z(x)). I. e quindi z risolve 50.. ¯ y(x) = y e` una soluzione (costante dell’equazione 50. Le soluzioni costanti sono, nel caso delle equazioni autonome, particolarmente significative.. E QUAZIONI AUTONOME. ¯ = 0, Se f si annulla cioe` se f(y). 164.

(88) Le traslate di una soluzione sono esse stesse soluzioni quindi non e` restrittivo supporre che x0 = 0. le soluzioni trascurate si ottengono semplicemente per traslazione nel tempo delle soluzioni trovate. Si ha y(x) 1 ds = x f(s) y0 si possono ottenere informazioni su y(x) studiando la sua inversa x(y) definita dalla y 1 (52) ds = x(y) y0 f(s). I. E QUAZIONI AUTONOME. Un problema di Cauchy autonomo si formula come y (x) = f(y(x)) (51) y(x0) = y0. 165. E QUAZIONI AUTONOME. • tranne che nelle vicinanze delle soluzioni costanti, f(y) = 0 e quindi 1f ha segno costante ed il primo membro della 52 e` certamente invertibile almeno localmente. ¯ l’integrale che figura a primo membro della 52 • Quando y = y deve essere considerato in senso improprio e quindi sara` neces sario studiarne la convergenza. • Se l’integrale in questione e` convergente la funzione integrale 1 ¯ e la sua derivata f(y) assume valore x¯ finito in y tende a +∞ o a I −∞. • in x¯ la soluzione puo` essere attaccata alla soluzione costante ¯ e si possono (non pero` si debbono) verificare fenomeni y(x) = y di non unicita` della soluzione. • Se l’integrale e` divergente la soluzione e` definita almeno su una semiretta (non limitata a destra o a sinistra) e risulta asintotica alla soluzione costante. • Se f ∈ C 1 la soluzione esiste ed e` unica, inoltre l’integrale in questione e` divergente e ogni soluzione e` asintotica ad una soluzione. 166.

(89) costante. • gli eventuali zeri della funzione f (soluzioni costanti) dividono il piano (x, y) in strisce in cui f e di conseguenza y ha segno costante.. . Due equazioni in forma non normale. ➥ ➥ ➥. I. Equazioni della forma y(x) = f(y (x)) Consideriamo una equazione nella forma. ove f e` una funzione sufficientemente regolare (ad esempio di classe C 1. Cerchiamo soluzioni derivabili due volte e deriviamo ambo i membri dell’equazione. Avremo y (x) = f (y (x))y (x). y(x) = f(y (x)). y(x) = f(y (x)). (53). 167. . cioe` 1=. f (y (x))y (x). . y (x). . da cui, integrando, x x = x0 + x0. f (y (t))y (t) y (t). dt =. y (x) y (x0 ). Posto y (x) = p possiamo allora concludere che p ds x = x0 + p0 f (s) s. . f (s) s. ds. I. y = f(p). y(x) = f(y (x)). Alternativamente possiamo cercare soluzioni parametriche dell’equazione nella forma x = x(t) (54) y = y(t). 168.

(90) . Se poniamo. . φ(t) = y (x(t)). . avremo dalla 53. . y(t) = y(x(t)) = f(y (x(t))) = f(φ(t)) ed anche, poiche` y(t) = y(x(t)). I. y (x(t)). f (φ(t)). =. φ(t). φ (t). Ne viene che la soluzione del problema puo` essere individuata parametricamente dalle t . x(t) = t0 f (φ(s)) φ (s)ds φ(s) y(t) = f(φ(t)). x = f(y (x)). ˙ x(t) =. ˙ y(t). . ˙ ˙ y(t) = y (x(t))x(t) da cui. . 169. Equazioni della forma x = f(y (x)). . Consideriamo una equazione nella forma. . (55). x = f(y (x)). dove f e` una funzione sufficientemente regolare (ad esempio di classe C 1). Cerchiamo soluzioni derivabili due volte e deriviamo ambo i membri dell’equazione. Avremo. . I. 1 = f (y (x))y (x) da cui,moltiplicando per y (x). ed integrando, y(x) − y0 =. y (x) y (x0 ). f (s)sds. x = f(y (x)). y (x) = y (x)f (y (x))y (x). 170.

(91) Posto y (x) = p possiamo allora concludere che x = f(p) p y = y0 + p0 sf (s)ds Alternativamente cerchiamo soluzioni parametriche della 55 nella forma x = x(t). I. y = y(t) Posto φ(t) = y (x(t)) Avremo dalla 55. e dalla 19 y(t) = y(x(t)) e. ˙ ˙ y(t) = y (x(t))x(t). x = f(y (x)). x(t) = f(y (x(t))) = f(φ(t)). 171. . ˙ ˙ (x(t)) = f (φ(t))φ(t)φ (t) y(t) = x(t)y. La soluzione del problema puo` essere individuata parametricamente dalle x(t) = f(φ(t)) t y(t) = t0 f (φ(s))φ(s)φ (s)ds. I. x = f(y (x)). da cui. 172.

(92) . Stabilità dei sistemi lineari. . S ISTEMI L INEARI. I. 173. Richiami sui sistemi differenziali lineari I ⊂ R intervallo aperto non vuoto, (non necessariamente limitato). . A : I → Mn funzione a valori matrici n × n B : I → Rn A = (aij) B = (bj) ai,j e bj continue.. I. bj, aij : I → R. Risolvere il sistema differenziale lineare del primo ordine u (x) = A(x)u(x) + B(x). significa trovare u : I → Rn derivabile, tale che la 56 e` verificata.. G ENERALIT A`. (56). 174.

(93) L’insieme T di tutte le soluzioni di 56 si chiama integrale generale del sistema Il sistema puo` essere riscritto come. . ⎛. ⎞. ⎞⎛. ⎛. ⎞. ⎛. ⎞. u 1(x) a11(x) a12(x) . . . a1n(x) u1(x) b1(x) ⎜ u (x) ⎟ ⎜ a (x) a (x) . . . a (x) ⎟ ⎜ u (x) ⎟ ⎜ b (x) ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 21 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 22 2n + ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ . . . . . .. .. .. ⎠ ⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎟ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ u n(x) an1(x) an2(x) . . . ann(x) un(x) bn(x). I. ed anche, in forma piu` compatta, n

(94) u i(x) = aij(x)uj(x) + bi(x) , i = 1, ..., n. Se B ≡ 0 il sistema si dice omogeneo e assume la forma (57). u (x) = A(x)u(x). G ENERALIT A`. j=1. 175. Se n = 1 si riduce ad una sola equazione differenziale lineare del primo ordine che, posto A = (a11) = a e B = b1 = b, si scrive nella forma y (x) = a(x)y(x) + b(x) Nel caso sia assegnato un dato iniziale u (x) = A(x)u(x) + B(x) (58) u(x0) = u0. . , ∀x ∈ I. I. E` possibile trovare esplicitamente la soluzione nella forma x x t b(t)e− xo a(s)ds dt (60) y(x) = e xo a(t)dt y0 + x0. G ENERALIT A`. si parla di problema di Cauchy Nel caso di una equazione, (n = 1), avremo y (x) = a(x)y(x) + b(x) (59) y(x0) = y0. 176.

(95) . Possiamo riscrivere la 60 nella forma x. y(x) = y0e. xo a(t)dt. x. +e. x. xo a(t)dt. . − xt o a(s)ds. b(t)e. dt. x0. . Tutte le soluzioni dell’equazione omogenea (b = 0) si ottengono al variare della costante moltiplicativa y0,. . Tutte le soluzioni dell’equazione completa si ottengono aggiungendo un termine che non dipende da costanti arbitrarie.. I. . L’insieme delle soluzioni di 59 e` uno spazio lineare affine, cioe` uno spazio vettoriale traslato.. Facendo uso di tale risultato possiamo provare che. G ENERALIT A`. Si può dimostrare che, se i coefficienti del sistema sono continui allora esiste una ed una sola soluzione del problema di Cauchy 58. 177. . L’integrale generale di un sistema differenziale omogeneo del primo ordine e` uno spazio vettoriale avente dimensione uguale al numero di equazioni del sistema stesso. mentre l’integrale generale del sistema completo e` uno spazio lineare affine. I. Piu` precisamente se. si ha che. S = {u : u = Au} T = {u : u = Au + B}. G ENERALIT A`. (61). 178.

(96) . S e` uno spazio vettoriale di dimensione n (uguale all’ordine del sistema) ¯ e` mentre T e` uno spazio lineare affine di dimensione n. Inoltre se u una soluzione del sistema completo, ogni soluzione del sistema completo e` descritta dalla ¯ +S T =u. I. La verifica di tali fatti e` basata sulla possibilita` di stabilire un isomorfismo Γ : S → Rn definendo Γ(u) = u(x0),. G ENERALIT A`. x0 ∈ I. A proposito di Γ si puo` ricordare che (1) e` banale verificare la linearita` di Γ. 179. (2) la surgettivita` di Γ dipende dal teorema di esistenza della soluzione del problema di Cauchy 58 (3) l’iniettivita` di Γ dipende dal teorema di unicita` della soluzione del problema di Cauchy 58. . Ogni soluzione di un sistema omogeneo di ordine n puo` essere espressa mediante una combinazione di n soluzioni linearmente indipendenti del sistema stesso.. I. Siano esse u1, ..., un e sia (ui)j la componente j-esima della i-esima soluzione. Possiamo costruire la matrice (u1)1 (u2)1 ⎜ ⎜ (u ) (u2)2 G = ⎜ ..1 2 ... ⎝ . (u1)n (u2)n. ⎞. . . . (un)1 ⎟ . . . (un)2 ⎟ ... ⎟ ... ⎠ . . . (un)n. G ENERALIT A`. ⎛. 180.

(97) che indicheremo spesso come. G = u1, u2, ....., un considerando gli ui come vettori colonna G si chiama matrice fondamentale del sistema assegnato. Ogni soluzione del sistema potra` allora essere scritta nella forma u(x) = G(x)C =. n

(98). cj uj. C = (cj) ∈ Rn. ,. I. j=1. ovvero, considerando le componenti, ui(x) =. n

(99). (uj)icj.. Siano u1, u2, ....., un n soluzioni del sistema omogeneo u (x) = A(x)u(x). G ENERALIT A`. j=1. 181. Chiamiamo wronskiano associato alle n soluzioni assegnate il determinante della matrice (u1, u2, ....., un). In altri termini. (u ) (u ) 2 1 1 1 (u ) (u2)2 W(x) = ..1 2 ... . (u1)n (u2)n. ... ... ... .... (un)1 (un)2 ... (un)n. I. Se si conosce la soluzione del sistema omogeneo u (x) = A(x)u(x). ,. x0 ∈ I. G ENERALIT A`. Siano u1,u2,...,un n soluzioni del sistema 56. Sono fatti equivalenti: (1) u1, ..., un sono linearmente indipendenti; (2) W(x) = 0 ∀x ∈ I ; (3) ∃x0 ∈ I tale che W(x0) = 0. 182.