SlLASiaiSSlElJl NAPOLI DALLA TIPOGRAFIA DI RAFFAELLO 01 NAPOLI ISTITUZIONI. D ISCHITELLà'' AB. FRANCESCO DE ANGELIS. rolvme SECONDO.

ISTITUZIONI

DI

SlLASiaiSSlElJl

D

BLl'

AB. FRANCESCO DE ANGELIS D’ISCHITELLà''

>

FEA DIO

Dff

STABIUMErm

DIEOUCAZIOBIESCIENTIFICA.

rOLVME SECONDO.

NAPOLI

DALLA TIPOGRAFIADIRAFFAELLO01NAPOLI

Oilsait

que

Platon grandpBilosoplieappelloltBien

rETEBMEL Geometre

₍ideevraimentjusteetdigne

de r

Etre

Supreme

)etqu’ilregardoit la

Geo-

metrie

Gomme

^sinecessaire al’etude

de

laPhi- losophie qu'il avoitecrit surlaportede son ecole ces

memorables

paroles,qu'

aucun

ignorant

m

Geometrien'entreici.

Encyclopedie

Metodiquc

Art,

Geomi

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LIBRO ^IT.

Le

Proporzionii

JLloggettodelpresentelibro iquelladiscuoprìreilrapporto^

che hatfnofraloro^egrandezze omogeneeosìmili, poiché questehannodelleparti dicomune. Legrandezze dissìmili oeterogeneenon avendodellepartidicomune nonpossono avereniun rapportofraleloroquantità.Orquesto rapporto siscuoprecolparagonarlefraloro,evedere quantevolteI’u- na contienel’altra,equantodifferiscono.

Un

talrapporto vieneespresso colnomediragione. Ragionedunquesignifica ilparagonedipiùgrandezze simili relativamente alla loro quantità

^e secondocchèsìvede quantevolte ^1’una contiene l’altra,o purel’unadifferisce

^U’

altra diressiragione melhcaoaritmtlica.

S-a-

L’ uguaglianzadipiùragioni sichiama proporzione,e questaoècoHlinmodiscreta. Sidice cotUìnm quellache è composta di quattro termini,

ma

cheuno si rirctedue volte,eh' èpropriamente quellodimezzo. Così

8:4

^:•4^->

è una proporzione continua

,perchè ilterm'me 4 ^ripete duevolte.Sidicediscretaquella eh’ ècomposta di quattro terminidiversicome

4*8

::6:iz. Dal che chiaramente tivede,chenellaproporzione continua ilprodotto de’du«

terminimedi, ossiailquadratodiunodiquesti è uguale alprodotto degliestremi, ossia alrettangolode'medesimi quandoiterminidellaproporsionesonoespressidalinee.Si- znilmentenellapri>porxionediscreta quando itermini sono rappresentatidalineeilrettangolodeitermini estremiossiail prodotto de’medesimi è ugualealprodotto orettangolo de’terminidimesso.

Cbiamansifigure .rimili quelleohe hanno gliangoli u- gualì, edìlatiadjaoentiasiSlittiangoliproporsionali, che chiamansi omologhi.C)si(Fìg.ii3.)idue triangoli

ABC,

UFF,sonosimili se gli angoliA, B, C, delprimo sono ugualiri- spettivamenteagliangoli

DEF

delsecondo,ese

AB

,BC,del primosono proporzionaliaOE,

EF

^del-secondo, in guisa chesipossadire

AB

^:BC::

DE

:EF,eBC:

CA

:;

EF

:

FD

; peres., se AB=s3BC,è

DEsb

3

EF

,e se BCaeaACè ancheEFsaFI).

Scolio.

Sièosservato nei scoli i,a,dellibro3.teorema17.

cheleparalleletrailatide’triangoli e parallelogrammita- glianoparlisimilifraloro, esetaglianoparti simili soo parallele.Ora questeparti similioomologhe sonolestesse, cheproporsionali,cosicché questoscolioequivalealcitatoco- rollariosostituendosoltantoiltermine proporsionale.

TEOREMA

i:₍Fig.114.₎

Divt'founangolodiuntriangolo indueparli tignalicon

«noretto,verràdivisa daguel/aanche labase nellapropor- xtone de’latididettoangolo,ereciprocamenteseviendivisa labase nellaproporzionede’lati sidivide( angoloindue parti uguali.

L'angoloD,delsrisngolo

ADC

siadiviso In dueparti ugualidallarettaDE-Dico, che questarettadividelabaso

AC

nelleparti

AE

,

£C

proporzionali ailati

AD,

DC; eoa fa

AE

:

£C

^::

AD

:

DC

,dividei’angolo

ADC

induepar.

ti^uguali.

Dimostrazione.

Siprolunghi

AD

inB,sino allaparallela

CB

menataalla oisecanleDE. Inipcrciocchùdeltriangolo

BDG

illato

BD

*

\

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5 'intendepróTungatoinA,saràI’angoloesterno

ADC=DBG

-{-DCB,

ma

pt;rleparalleleBC,

DE

segatedallaterza

BA

l’angoloesterno

ADE=DBC

interno

^ sicché l’altroangolo

EDC=DCR

,ma ìdue

ADE, EDC

, sonouguali, dunque anchesarà

DRC=DCB

,eperciòilati

DR

,RCsono uguali

,

ma

perleparallele

DE

,BClesezioniAE,£C,sonopropor*

aionalioomologheallesezioniAD,

DB

,Teor,17^.scol.i,a, lib.3.cosi

AD

:

DR

::

AE

;EC, ma

DH=DC

, dunque

AE

;EC::

AD

:DC. Laonde è vero che divisounango- loec.Inoltre.

Siano

AE

:EC::

AD

;

DC

;maleparallele

DE,

BC

,

sono

AE

:EC:;

AD

:DB.Sicchélasezione

AD

haugual ragione con

DB

,e

DC

,perciò1)B=DG

, e cosi gli angoli alla baseDBG,

DCB

, sono uguali, ma l’angolo B=r^DE

,

comel’unointerno,el'altroesternodelleparallele

DE

,BC, eIangoloDCBssCDE,comealternidellesudette parallele,

dunqueanchegliangoli

ADE

,

EDC

,sono uguali. Quindila retta

DE

hadiviso ec.Ciòcheb.d.

Corollariot.

Ond'èchiaro,chequalunque angolo

ADC

,rimanedi- visoinduepartiugualisesiabbassadalmedesimounaretta su quelpuntodellabase

AC

,dicuifalesuesestoni

AE

•

£C

,proporzionaliai lati

AD

,

DC

,di quello.

Corollario a.

Essendo

AD

:

DC

::

AE

:EC,seAD=;DG, Mrà

AEa

EC,eltriangolo

ADC,

taraisosceleoequilatero.

Corollario 3.

Se

AD

,

DC

,

AE

,

EC

sono disugualicomesiarrera io untriangolo scaleno,esono

AD

:

DC

::

AE

:

EC

, forme- ranno queste quattroretteunaproporzionediscreta, definii,e cx>sisaràilrettangolo di

AD

edECuguale alrettangolo di

DC,

AE,ossia

ADX£C=DCXAE.

$.a.

Coronario 4-

Nelìaipotesiche,iltriangolo

ADC

siaequilateroposta la stessacostruzione,sarà

AE=DC=DB

,edintalcaso

AE s

6

AD AB

—

^come

^AD = ^——

. Quindi

AE

:

AD

::

AD

:

AB

, t

"a

a

così

AD

èmedia proporzionaletraAE, AB,lequaliforma*

Bo una proporziane continua,ed

ADsAEXAB.

$.a.

Corollario5.

Nellastessaipotesiessendo

AE

:

AD

::

AD

t

AB

, sa- rà,

AB

,terzaproporzionale di

AE

,ED.

Scolio1.

Sièrilevato,che sono

AE

:

EC

:

AD

::

DB

, e sono quattro grandezzeproporzionaliesprimibili connnmeri a:

4:6:13,eperchè

aX*a=

4

X

^{6> ilrettangolodeHq}

retteestreme

AE

,

DC

ugualeaquellodellemedieEC,AD.

Sicchéquandoquattrorettesono discretamente proporzionali ilrettangolo dell’estreme è ugualeaquello dellemedie.

Corollario 6.₍Fig.ii5. )

Da’corollariantecedentichiaros’intendono leverità in- verse di quelle rilevate ne’medesimicioèche se viabbiano quattrorettetalicheilrettangolodell’estreme è uguale a quellodellemedietalirettesono proporzionali discretamente.

Infatti,comelegrandezze matematiche sonoesprimibiliin sumericosi,peres.laretta

A

siauguale aa, e1’ultima

D

ugualeala,

aXi3=a4,

ilprodottodelledue medie

B, C

perchèperipotesideveesserlo uguale aa4« numeroche siottieneoda 3

X

⁸> °pu>'cda

4X8,

inogni modosono sempre proporzionali facendo 3:3;:8:la, o purea:

4^::6:la.Ancheè evidentel’inversa dellaverità delse- condoscolio.Sifinga,cheilrettangolodelleestreme

A

,C, eiaugualea36,dellequalilaprimasiaugualeaa,e t ul- tima ugualeai8,

aX 18=86

,ilquadrato diBessendo per ipotesiuguale a 36,ilnumerochemoltiplicatopersestesso dauntalprodotto è6, eh’ èmezzo proporzionale tra2« 18,^infattia;6;:6:18.

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(

OtFIItlXIONI.

DellequattroretteA,B,C,D,proporzionalilaprinoa elaferiasidiconoanircedenli dellaseconda cquarta

, che

tichiamanoconseguenti.

Queste grandezzesidirà,ches'invertono sesiparagona- no leconseguenti colleloro antecedenti pronunziando B:

A

::

D

:C.

Sidiràchesipermutanoseilconfrontosifatraglian- tecedenti,etraiconseguentipronunziandoB;

D

;A:C.

Sidiràchesicompongonoseilconfrontoè della

somma somma

degliantecedentieconseguentico’rispettiviconseguen- ti,comeB-{-A:A:;D-{-C:C.

Sidiràchesiordinanosesipronunziano nelmodocon cui vandisposte,come B:

A

::

D

:C.

TEOREMA

1.₍Fig.116.₎

£e

m

untriangolositiriunarettaparallelaad unlata questafaràunaltrotriangolo simile alprimo.

NeltriangoloABC,sitiri

ED

parallelaallatoAC. Di- co,cheiltriangolo

EBD

èsimile al triangoloABC.

Dimostrazione.

looTCrciocchè perleretteparallele

ED

,

AC

idueànsoK esterni

BED, BDE

sono uguali agl’interni

A

,G,eperciòi

duetriangoli

ABC

,

EBC

sono equiangoli

, eperchèlaparte

BD

sta altuttoBC come

BE

a

BA

come

ED

ad

AC

,scol. s.

teor.1^.I.3.iduetriangoli

EBD

,ABC, hannoilatiin- tornoagliangoliugualiproporzionalicioè

BD

:BC::

BE

:

BA

::

ED

:AC. Laondesiffattitriangolisonosimili,defin.

Dunqueèvero, cheseiountriangolositiricc.C;ò che b.d-

^ Corollarioi. t

, s

Perlasimiglianzade’ triangoli

EBD

,

ABC

essendo

BD

:

BC

::

BE

:

BA

,formeranno questequattro grandezzeuna proporzionediscretaeperciò

6DXBA=BCXBE,

ossiailret- tangolodi

BD

e

BA

èugualeaquelloformato daBCeBE.

Similmente

BD

tBC;:

ED

:

AC

,eformanoquestilatiuna proporzionediscreta,e cosi

BDXAC=BCXBD

, ossiache

J

rettangolo di

BD

e

AC

èuguale a quello diBC,ED.

8

TEOREMA

a.(Fig.ii6.

'",1_{triangoliequiangoli}sonosimili cioèhanno%lati (fin*

tornòagliangoliugualiproporxionali.

SianoiduetriangoliABC,

FGH

equiangoli. Dico,che sifTiittitriangolihannoilatiintornoagliangoli ugualiomo*

loghicioèproporzionali.

Sisovrappongailtriangolo

FGH

sul triangolo

ABC

in modochegliangoliuguali

G

,B, sianoposti 1’unosopra.

raltro. Imperciocché essendoquesti angoli uguali, il lato

GU

prenderàladirezionedellatoBC, come

GF

quelladi

BA

,eperciòiltriangolo

E6D

èlostesso cheil triangolo FGIIpostosoprailtriangolo

ABC,

epoichégliangoli F,

B

sono ugualiagliangoli

A

,C, sarannogliangoli

E

,

D

•

ugualiadA,C,

ma

ⁱprimisonoesterni edisecondi in- ternidellerette

AG

,

ED

,dunquequesterettesonoparalle- le

, esìavranno ilati

BD

:BC::

BE

:

BA

::

ED

:

AC

, cor.teor. 17. I.3.

ma BD

,

BE

,

ED

,sono gli stessi che

GH

,

GF

,

FH

,dunquesono

GH

:BC1:

GF

:

BA

::

FH

s AC.Ondeè vero,cheitriangoliec.Ciò cheb.d.

TEOREMA

3.(Fig.117.)

Itriangoli,chehannoilatiproporxionali sono equiangoli esimili.

Abbianoitriangoli

ABC

,DEF,ilati

AB

:

AC

::

DE

;

DF

,ed

AC

:

CB

::

DF

:

FÉ

_;dico, chesifiàtti triangoli

sono equiangoli esimili.

Dimostraxione.

Sifaccianoagliestremidellato

DF

deltriangolo

DEF

* gli angoli

GDF, GFD

ugualiagliangoli

BAC, BCA

per ave- reiduetriangoli

ABC

,

DFG

equiangoli esimili.Impercioc- ché essendo

BA

;

AC

::

GD

^:

DF

,teor.ant.

ma BA

:

AC

, sonocoma

EO

:DF,onde sarà

GD

:

DF

: :

ED

:DF.Sic- ché

GD

,

DE

avendo ugual ragione con

DF

,sono

ED, DG,

ugualifraloro.Similmentesidimostra

EFsFG

,editrian- goli

DEF, DGF

avendoilatiDE,

EF=DG

,GF,ellato

DF

comune,sono perfettamente uguali,

ma

ililtriangolo

DGF

ésimile altriangoloABC,dunqueiltriangolo

ABC

anche è

•muleaitriangoloDEF,

ma

sil^ttitriangoliperipotesibarn»»

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Ilatiproporaioiiati,dooqaeè ver» dieitriangoli che haa*' noec.

Go

che b. d.

.1 , V*. ,

Corollario.

< \

Quindiitriangoliequiangoli_,itriangolisimili,equelli ehehaunoilatiproporxionalisipossonoprendere perlastes- sacosa,ericeTcrsa.Soo questeveritàche dipendono Tuna dall’ altraediunusointeressante edesteso perla pratica geomctrioa.

TEOREMA

3.(Fig.117.)

DuetriangolieheAnimounangolo uguale,eilatiinlor- na•^guetl’angolo proporzionali tona equiangolie eimili.

Sianoiduetriangoli

ABC

<

DEP

, che abbianoglian- goliA,

D,

uguali,esiano

BA

:<AC::

ED

:DF,dico,ehe

aiffittitriangolisonoaunilifraloro.

Dimoitrazione.

Sicostruiscanoin

D

,

F

,gliangoli

FDG

,

DFGsCAB

è

BCA

,per avereiduetriangoli

ABC

,

DGF

equiàngolie ai»

snili.Imperciocché estendo

BA

:

AC

::

GD

:DF, teor.a.

I.cor.

ma BA

:

AC

^::

ED

:

DF

,dunque

GD

:

DF

::

ED

:

DP,sicehèiduelati

GD

,'EDavendo ugual ragione col ter*

no

DF

,sono ugualifraloro,e perchèI’angolo

GDFsA

,S quest'angolo è aguale

EDF

,sarà

GDFssEDF

,ed avendo an*

oorailatiugualifraloro,sarannoitriangoli

EDF

,

GDF

à perfettamente uguali,

ma

iltriangolo

GDF

, èequiangolo e similealtriangolo

ABC

, dunque i triangoliBAC,

EDF, on

puredella stessanatura,

ma

questihannoun angolou- gualeedilatiec.Laondeseduetriangoli ec. Ciò cheJ|.d.

Corollarioi.

Siegue,chetirataHIinmodochelepartiET,EH,siaiM idcnticameotesimili ailoro rispettivitutti£F, ED,scoi.s.teor,i I.3.daranno laproporsione^'de* lati

HE

^:£It:

DE

e

£F,editriangoliHEI,DfiF avendoi'Iatiproporsionali intorna all’angolo

E

comune,sonosimili,teor.ant.e perciAgli an- goliÈiU,Filiesternisono ugualiailoro rispettivi interai

EDF

,

EFD,

esaràHIparaUda a

DF,

c cosiunaretta»

Voi. II. »

»a ^’

di« divide1 latid’qntrian|>oloproporcionalmeate pani- lekall’altro Iato. Scoi. clt.

È

^questaunaverità reciproca• quella del Uor.a.

,

TEOREMA

4.(Fig.ii8.₎ S»

Au

^linee«’ititerueano ediloroestrem

n

mieeano

em

delleparaUeUformeranno duetriangolieinùli.

S’interaechiootelinee

AB

_,

DG

in

O

,ediloroestremi aiuniaoanoColleparallele

AG

,

BD

,dico» che formeranno itriangoli

DOB

,

AOC

•similifraloro.

' Dimottraxione.

Imperciocchéitriangoli

AOG

,

DOB

,hannogli angolite

0

verticali,

DBAsBàC

come.alterni,'dunquesono equian- golie perciòsimili oor.teor.a.Giòcheb.d.

Corollario.

Sono

AO

;

OC

^::

M

^;

^OD

^{,ed è}

AOXODrsCOXBO

,

cioèilprimorettangoloèugualealseeondo.

e ^

TEOREMA

5_;(Fig.«19.)

Se.duetriangolisonditpoetitnmodo,che unlatodel-

r

uno forma unarettacontinuala conunlatoddl' altro, ei hannocUppiù glialtriduetatiparalleli tonoequiangolie firnt/i.

Sianoiduetriangoli

ABC

,

CDE

dispostiin

modo

,che 1 latiAG,

CE

diambidueforminouna retta continuata

AE,

edabbiano dippiùilati

AB

,

BC

rispettivamentepa- ralleliailatiGD,DE,dico_,chesìffittitriangolisono equian- golie simili.

T

1 Dimostrasione.

Infatti,essendoAB,

CD

parallelesegatedallaterzaAE, saràl’angolo

BAC:=DCE

^{l’unointerno,} e l’altroesterno.

Similmente perleparallele

BC

,

DE

,segate dalla retta

DC

, saràralternoangolo

EDCssDCB

anchealterno,

ma

quest'an- golo perlastessaragioneèugualeall’angolo

CBA

,dui'que gliangoli

EDC, CBA,

seno uguali. Sicchéitriangoli

A^

,

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CDE

ioDO equiangoli •aimili,

ma

aifllittitriangolihannoi datidaltaoràuu_jperciò

m

^duetriangoli co.Ciò cheb. d. ^•

Corollari»i.

Sono

AB

:BC:;

CD

:

DE,

esarà

ABXDE=:BCXCD,

ossiailprimorettangolougualealsecondo.

è

Corollarioa.

Itriangoli

ABC

,

CDE

,hannoiIati

AC

,

CE

in diretto*

esono equiangoli_esimili, oral’angolo

EDG

non potrebbe essereuguale all’angolo

ABC,

seilatiBC,

DB,

nonfosse- roparalleli

,comepure1’angolo

DCC

nonsarebbe ugualea

BAC

,seglialtriduelati

AB

,

CD

nonfosseroparalleli, per- ciòitriangoli

ABC

,

CD£

chehanno

AC

,

CE

indirettonoa sarebbero equiangoliesimili,senon avesseroidatidelteo- rema. Laondeduetriangolichehannoduelatiadirittura• sonosimilihannogiialtrilatirispettiramente parallelieh*è rinversadellaveritàdelTeorema.

TEOREMA

6.(Fig.lao.₎

S» dallatodiuntriangolosimeninodueretterispetti- tornente parallelle agli altriduelatidelio stessotriangolon*

risulteràuntriangolosimilealprimo.

Dallato

AC

deitriangolo

ABC

,simeninoDII,

EH

pa- ralleleailati

AB

,BCdello stesso triangolo

ABC

,dico,che iltriangoloche nerisulta

DHE

,èequiangoloc simile al datoABC.

Dimoslrasùme.

Imperciocchél’angoloesterno

HED=BCA

interno. Si- milmente

HDE=BAC

,saràl’angoloI1=Bacompimentodi i8o.**ossia dueretti. Quindiitriangoli

ABC

,

DUE

sono equiangoli esimili.Ciòche^b.d.

Corollario.

Nellaipotesichelerette

DH

,

EH

tirate dalIato

AG

deltriangolo

ABC

,-faccianountriangolo equiangoloesimile

DHE

aldettotriangolo

ABC

, lerette

DH

,

EH

, debbono esserepralleleailati

AB

, BC. Dunquese dal latod'uu

19

triati(;olotitirinAduerettechefjceìanountriangolo equtan-

f

oloesicnilealtriangolo,datosiffatterettesonoparalleleal a tidelmedesimo, eh’èunarerità iurersadi quella del teorematestédimostrato. -

TEOREMA

7.(Fig.lai.₎ / trìmgoliediparallelogrammi uguali

,edunentiunan- golo ugualehannotlatiintornoalmedesimoreciproci,e te glihannoreciprocitonouguali.

Sianoitriangoli

ARC

,

CED

, come iparallelogrammi

HC

,

CF

ugualiedaventi l’angoloBCA=D(iE, dico, che avranno

AG

:

CD

;:

CE

:GB,e se

AG

^:

CD

::

CE

:GB

,

ODO

itriangoliediparallelogrammi ancora uguali.

Dimotlraxione.

Sidisponganoinmodo isudetti triangoli, che Ilati

HC

,

CD,

siano adirittura,eper l’uguaglianzadegliango- liBCA,

ECD

,ancheglialtrilatiBC,

CD

,formerannoUii<

rettacontinuata.Siconginnga BD. Imperciocché ì triangoli ABC,

CBD

ugualmentealtiinBannoinragionedelle hasi

AC

,CD.SimilmenteìtriangoliBDC,

EDC

ugualmentealtiin

D

,sonocome BG:CE. OraisudettiIriangoliessendougua- liperipotesihanno ugual ragionecol.terzo triangolo

CBD, ma

laragionedi

ABC

alterzotriangolo

CBD

è quelladiAC:

CD

,elaragionedi

ECD

allostessotriangolo

CBD

è quella di

EC

:CB, duuque

AG

:

CD

::

CE

:GB. Laondei trian- goliugualire. hannoiIati reciproci prnporkionali intorno agliangolinguali.

Coosrquenteinentesidimostralostesso de’parallelogram- mi,comedoppide’ triangoli.Inoltre.

Abbianosiitriangoli, che i sudetti parallelogrammi

AC

:

CD

:;

EG

;CB,losaranno pureuguali. Infatti. Es- sendo

AG

:

CD

j:

EG

:CB,

ma

laragionede’ triangoliABC,

CDE

e de’parallelogrammi

HC

:

CF

elastessaragionedi

AC

:

CD

i:EC:CB, ossiadella ragione deltriangolo

ABC

al triangolo

CBD

,ediquella del triangolo

CED

al triangola

CBD

,dunqueisudettitriangolihanno ugual ragionecol ter- zotriangoloCBD,eperciòsonouguali,epoichéiparallelo- grammi

HC

,

CF

,sonoildoppiode’triangoli, dunquesono ancheⁱparallelogrammiugualifraloro.Ciò cheb.u-

Diylii^ev.byGooglf

>3

TEOREMA

8.(FIg.133.)

&

diuntriangolo $itiri

ma

rettaparaUeb ad unlato, tdall’angolo oppostosimeninodellealtre sinoal latod’in»

controdelmedesimotriangolo, dico, che ttriangolicheti formano,sonoequiangoli eaùnUiairispetticitutti.

Neltriangolo

ABC

sitiri

DE

parallelaadunlato

AC,

• dall’angolooppostoBsitirinolerette

BP

,BG.Dico, chei triangon

DBH

,

HBK

,

KBE

sono equiangoliesimili aitrian^

goli

ABF

,

FBG

y

GBC

,che sonoirispettivilorotutti.

Dimostrazione.

Infatti.L’angolo

BDH=RAF

l’uno esterno el’altro in- ternodelleparalleleAC,

DE,

el’angolo DBil èCnmuncai triangoliHBD.,

ABF,

perciòitriangoli

UBD

,

ABF,

^sono equiangoliesimili.Similmentesidimostradel triangolo

HBK,

edFBG,edel triangolo

KBE

e delsuotuttoGBC.

Gò

cheh. d.

Corollarioi.

Perlasimiglianzade’triangoli

DBH

,

ABF

,essendo

BD

:

BA

:;

DH

:AF. Se

BD

ètersaparte di

BA

^{Io sarà}DII di

AF

,ecosi

HK

di.FG,

KE

diGC.Quindiin altromodosi rilevalaverilialtroveprovata,chesedel lato

BA

si preti*

111

derà

BD = —

,

—

,

—

^ec.sarannoleintercettale

DH

,

AK

,

a 3 4

KE — Ili

,

—

,

—

,dellatoopposto AC. Teor.i7.sool.i.lib.oori

a 3

4

TEOREMA

_9.(Fig.is3.) '

5sinuntriangolo titiriunarettapoTaffelaadunlato ,

tino ai tati d' incontro,edalV estremodellamedesimatitiri- nodelleparalleleaglialtrilati ne risulterannotre triangoli temili altuttoesimilifraloro.

Nel triangolo

ABC

,aitiri

DE

,parallelaadunlatoAC, c quindi

EF, DG

ancheparallelea

BA

,BC. Dico, che no risulterannotretriangoli

DBE

_,

ADG

,

EFC

similialtutto•

•imili fra loro. >

*1

Dimoitraxione.

Iduetriangoli

ABC

,

DBB

,hannol'angolo

B

eomana^

S

iiangoli

BDE, BEIh=BAC

,BCA,comeesterniedinterni .elleparalleleAC,

DE^

sonperciò detti triangoliequiangoli esimili. Nellomodo aidimostradegli altritriangoli

DAG,

£CF

,che SODO siniilialtriangoloABC,eperciòitresu>

dettitriangoli

DBE

,

DAG

_,

ECF

, sonòpursitaliIraloro.

.Ciòcheb.d.

Corollarioi.

Sesimetta per ipotesi,che itriangoli

DBE

i

DAG

,

ECF

sianosimilimaloroedaltutto

ABC

,losaranno anche equiangoli,ecosiessendogliangoliB

DE

,

BED=BAC,

BCA, iprimicomeesterni,eglialtriinternidelle rette

AC

,DE, sarannotaliretteparallele,ecosì

FE

saràparallelaad

AB

,

e

DG

a BC.Ondesedettitriangolisonosimili vengonofor<

matidalleretteparalleleailatiBC,

BA

_,

AC,

eh’ elaTari- tà inversa delteorema dimostrata.

Corollarioa.

, Selerette

EF

,

DG

,fosserodedottedagKestremi D,E, deiraltra

DE

menata dal-punto D,dellametàdiAB,lesudet- teparalleleaiunirebberoalpuntodellametà dell’altrolato

AC

deitriangoloABG,teor.i4-cor.i.>e si avrebberoin questaipotesiquattrotriangolisimiliUgualifraloro, eeia*

SCUDO ugualeadunquartodeldetto triangoloABC.

. .00'.

Corollario 3. -,

Pe’ triangoli simili

DBB

,

ABC

,sono

BD

:

DE

^;:

BA

:

AC

esaràilrettangolodi

BD

ed

AC

^ugualeaquellodi

DB

eBA,..ossia

BDXAC=D£XBA.

Similmente

DB

^:BE;.‘A6:

BC

_^eleduesezioni

DB

,

B£

fattedalla parallela

DE

ad AC, furmeranno unaproporzione discretacogl’ interni lati

AB

,

BC

diuntriangoloscalenoABC.

TEOREMA

IO,₍Fig.ia4.₎

I-iV

&

inuntriangolo sitiriunarettodaunangoloal lato opposto,edùtquella riprendaunpunto qualunque dal quale

DigilizedbyCoogle

iS

*i(trinodcHeparallelé egli altri latineristdteranno qwtfro triangoli.d$’qtwli sonosimili quelli della stessa parte.

Neltriangolo

ABC

daunangoloB,si tiri unaretta

BD

,incuisiprenda uapunto

0

,d’ondeailati

BA

,

BC

^ti

tirinoleparallele

OF

,

OE

,dico• chede’quattrotriangoli

DOF

,

DBG

,

DOE

,

DBA

,sonosimili i f^rimiiUUa atesM parte,comeisecondi.

Dimostrazione..

E

neltero.L’angolo

DOF=DBC

l’unoesternoel'altra interno,delleprallele BC,

OF

,hanno dippih i triangoli

DOF

,

DBC

^1’angolo

D

,dicomune,sonoperciòequiangolia simili.Collostessomodosidimostraesser iltriangolo

DOE

simile altriangolo

DBA

nellalorparte.

Gò

cheb.d.^

ì

Corollarioi .

Sono

AB

:

OE

::

AD

:ED,esarlt

ABxEl)=^EXAD

,

eeoùde’ lati de'triangolidell’ altraparteDBC.

Coro’larioa.

Poiché l’angolo

DOFrsDBC

,e l’angoloDOEs=DBA.Sa- rituttor angolo

EOFsAHC,

comepurel'angolo

OFDsBCF,

e l’angolo

0£r=BAE,

cosìitriangoli

ABC, EOF

sonosi- mili fraloro,esaranno

AB

:

£0

^::BC:OF,esarà

ABX 0

F=3

BCXEO,

Corollario3.

\

Nelteor. 17.scol.s.sièdimostrato, chelepartiOB,

FC

sono rispettivamenteomologheosimiliparagonatecoita- ti

DB

,

DC

,e cosi

BO

,

AE

, paragonate conDB, DA. Ora essendo

DO

:

OB

::

DF

:FC::

DE

:

EA

,sarà

DF

:FC::

DE

:

EA

, ecomponendo

DC

:

CF

;:

DA

:

AE

,cosi

DCX AE=DAX1-F.

Ondei chiaralasoluzionedelproblema, da- taunalinea retta

AC

, dividerlatalmente,srettangoli delle parli reciprochesianouguali fraloro,intalcasodellarette

AG

siprendaunpunto

D

, esitiriunalinea

DB

,ed unite

BA,BC

,siprenda poiunpunto

0

d’ondeleparallele

OF

,

OE,

sciolgonoilproblema.

6

TEOREMA

tf.(Fig.laS.)

Seilaunjmnto qualunquedel latodiuntriangolo «i{»•

rino rùpeUivamentedelleparallele agHaltridue latisino qt loroùicoiUroue ritultermno quattrotriangolide'*quali idue tarritponéeiUi

mno

toUanle tamii.

Nellato

AC

del triangolo

ABC

,

M

prenda un ponto

B

qualunque,d’ondesitirino

ED

,

EF

rispettire parallelead

AB

,CB. Dico, che de’quattrotriangoli risultati i corri- apoodcptisono soltantosimilicome

AEF

,

CED

,p

BFD

,

cdFED.

Dimottraxione.

Tmpareloflelièiduetriangoli

ACB

,

ECO

,fettidallepa- rallele

AB

,

ED

sono equiangoliesimilit comeper lealtre paralleleFE, BC,sonopurtaliitriangoli,

BAC

,

FaE

,e perciòitriangoli

FAE, DCE

essendosimili ai terso

ABC,

sonosimilifraloro,che sonoicorrispondentidelTeorema_^ divantaggio essendo

BB

unparallelogrammo

, la diagonale

FD

Ifa similiitrimgoli

FBD

,FED.Ciò cheb.d.

TEOREMA

la.(Fig.sa6.₎

1m

perpendicolareabbatsata dalV angolorettosuIV ipotenu- senel triangolo rettangolofa duetriangoli timili al dettoIrmi' gola,e linUUfraloro.

^ Sia

ABC

untriangclorettangolo,incuidall'angoforet- to

B

siabbassisull’ipotenusa

AD

,laperpendicolare BC.Di- co, cheitriangoli

AoC

,

DBC

sonosimili altrùingolo

ABO,

Csimilifraloro.

Dimoetrasùme.

Imperciocchéitrianeoli ABC,

ABD,

hannoFangolo

A

dicomune,l’angolo

ACC=ABD

,comeretti,sarà ilterso

CBAssBDA

,ecosiquestitriangoli sono equiangoli e simili.

Inoltreitriangoli

BCD

,

ABD

,hannol’angolo

D

dicomune, gliangoli

DCB

,

ABD

ugualicomeretti, sondunquequesti triangolipure ^uiangoli esimili.Ora essendo i^duetriangoli

BCA

,

BCD

similientrambialtriangoloABD,sonosimilieoa»

•^guentementefraloro.Ciò cheb.d.

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Corollario >7

de* triangoliABD,

RDv\r

^•••

^AD X ^BC=;

BDXAB.

Similmente

AD

:

AB

::

AB

:AC. Cioèpe/lapri-

ma

piopoMioneilrettangolo fattodaiduecatetiAB,BD*^è Br**V^/!**“*

“ dall’ipotenusa

AD

edallaperpendicoìa-

**rettangolodell'ipotenusa Al), edella '"‘«rcettatatrailcateto

AB

elaperpendicolareBG

AR^èm"d-

ab

,eperciòilcateto

lo *“

•

Corollarioa.

Essendoisimiliitriangoli

ABD

,BGD,sarà

AD

:

BD

::

c!teto ^*'quadratodell’altro

t ^dell’ipotenusa AI)e dalU

-djacentealdettocateto,ossia,che anchel’altro

P«o ^{1’i,»tenusa}elaporaionedi

ibi;:lrs„s«K,r'“ "* “i-"

Corollario3.

Siegue anche.cheperlasimigliansade’ triangoliACB,

DCB,sono

AG

;GB::

GB

:

CD

,ondeilrettangolodi

AG

e

CD

èugualealquadrato diGB,ossiache

C&srAGxCD.

Cosi

b

perpendicolarecalatadall’angolorettoneltriangoloretlanaolo c ugualealrettangolofatto dalle parti dell’ipotenusadivisa, edemediaproporzionalefralepartiistesse.

Corollario 4-

• Essendo

AD

:

BD

:;

AB

:

BC

cor.i. sarà laperpeii- dicolareBCquarta proporzionaledell’ipotenusaede’dueca- tetineltriangolorettangolo.

Corollario5.

Ne’due triangoli

ABD

,

BGD

,

mno AD

:

DB

;;

DB

;

Iw. 11^.

DC

,e cost

BD=ADXCD,

cosiancora

AD

:

AB

::

AB

:AC, e ]9erciò

AH=DAXAG.

Orasiff.itti rettangoli cioèquellodi

AD

e

DC

,hannodicomunefattore

AD

, e perciòsonoco-

me

glialtrifattori

AC

,

CD

,

ma

isudetti rettangoli sono ugualiad

AB

,e

BD

, dunque

AB

:

BD

::

AC

:CD. Cioè cheiquadratide’ cateti sonofralorocome lepartidell' i- potenusadivisa dalla perpendicolare. Ciòsiè rilevatocon altrometodoaltrove.Fig.54^-

* Corollario 6.

Essendo

BD=ADXCD

,ed

AB=ADxAC

,ora

ADXCD

, 9 ,^3

-|-ADXAC=AD

teor.ao.cor.3.dunque

AD=AD-^BD. 0

n«

desiosserva,cheI’uguaglìansadelquadratodell*ipotenusa allasommadeiquadrati fattisopraicateti è una verità,

chesiricavaanchedallaTeoria delleproporzioni geometri- che,chetrovansifrailatideitriangolisimili oltre ladi*

moslrazione,che né somministrailtrattato de’ rettangolie quadratiinventatadalGeometradiSamo,

TEOEMA

i3.(Fig.137.)

Sesiabbiaunsemicerchio, esitirinodue corde da un puntodellasemperiferiasino agliestremideldiametro,1e dal- l'angolodaesseformatosiabbassa suldiametro istesso una perpendicolare.Dico,checiascma corda èmedia proporgio- staletratldiametroe laporzione,che di questol'èadiacente.

Sia

Q

unsemicerchio,nelladicuisemiperiferiasipren*

daunpuntoCqualunque,d’ondetiransilecorde

CA

,CB, esiabbassilaperpendicolare

CD

,dico,che

CA

,e

CB

,so- nomedie proporzionalitraildiametroBA,edAD,efiÀeBD.

Dimostrazione,

Infatti.L’angolo

ACB

daisemicerchio èretto,teor.13.

cor.3.I.3.eperciòle-corde

AC

,CBeldiametroAlisono cateti, ed ipotenusa deltriangolo rettangolo ACB. Quindi

BA

:

àC

:;

AC

:

AD

, e

BA

:

BC

^::BC:

BD

,cor. a.

DigitizedbyGoogle

19 feor.ant.ossiachefécorde

AC

,CBsono inedieproporrio- ralitra^ildiametro

AB

,eleporziooi

AD

,

DB

,adcasead- iacenti ec.Ciòcheh.d.

Corollariai.

Sirìleraanche,che peressere ilquadratodella per- pendicolare abbassata dall’angolo retto sull’'ipotenusa media proporzionaletralepartidell’ipotenusadivisocor.3. teor.

ant.saràlaperpendicolare

CD

abbassatada unpuntoC del- lasemicirconterenzamedia proporzionale trale parti

AD

,

DB

deldiametrodiviso.

Corollarioa.

LaperpendicolareDC,daqualunque punto deldiame- troinnalzatasinoallacirconferenzaèsempre media propor- zionaletralepartideldiametro diviso, poiché l’angolo^alla Semicirconferenzaèretto.

Corollario3.

Nelteor.38.lib.3.siè dimostrato,che

ABXDC=:.VC XCB.

^End’èchiaro,chelaperpendicolare abbassatada qua- lunque puntodellasemicirconferenza _èquartaproporzionale deldiametroedelle dettecorde,cheformanounangoloretto.

Scolio.₍Fig.137.)

Laveritàdimostratanelpresente Teorema somministra ilumiarisolverefacilmenteiseguentiproblemi.

z.**Date dueparti in cuisiditndeildiametrodiuncer- chiodeterminarelacorda delmedesimo che passaperpendico- larmente perlopuntodi delta divisione.

Soluzione.

Sianodeldiametro

AB

delcerchio

M

,notelepartiAE;

EB

,saperelalunghezzadellacordaperpendicolareDC. Im- perciocché

CE=:AEXCB

,cor.a.teor.pres.Quindi

y.AEX EB=CE.

Ora

aCE=CD

corda.Ciòcheb.f.ed.

Sia

AK=4

^•lìh

=9

;4

X 9=36

.

y36=s

.6.lunghezza dellaperpendicolareCE.Quindi CD=:t3.

a«

2 *Dnta

um

partequalunrpie deldiametro ditmeerchio

« laperpendtcolaré innalzatadaltuo estremo«ino alla circon- ferenza diquello conoscere lalungezzadeldiametro.

Soluzione.

Siano noie

AE

partedeldiametro

AB,

ed

EC

perpen- dicolare, aaperelalunghezcadeldiametro AB. Poiché

AE

:

EC

::

EG

:

EB,

cor.a.cosiinordinedi

AE

,

EC

trovato litereoproporzionaleavrassilalunghezza di

EB

,che unita ad

AE

,siotterràildiametro AB.

Sia

AE=8

.EC=ia. Ora8:ra:;13;18terzopro- porzionale.SaràdunqueEB=si8. Cosi

AE+EB=.iB,

(^ia

*lunghezzadeldiametro chesivolea.

3.”Datalalunghezzadiunacorda_edellaperpendicola- reabbassatadal tuo estremosuldiametrodeterminare lalun- ghezzadelmedesimo. "

Soluzione.

Intalcaso poiché

AEG

èuntriangolorettangoloin

E,

in cui secondo i datidelprobi, siconosce l’ipotenusa

AC

corda, e

CE

catetoossia laperpendicolare abbassata, si Mnoswra dagliantecedentii’altrocateto

AE

, econosciuto AE-t-bCSIconoscerà

EB

,probi,ant.Ora

AE-fEB=AB

dia-

metrochesicercava. ^‘

TEOREMA

14.,(Fig.laS.₎

Sesiabbiaunsemicerchio,es’innalzinodue perpendieo- lartugualmente destantidalcentro sino atta circonferenza. eSI(^tlmodellecorde

^

quelle agliestremi del diametro ne ruulteranno duetriangoli rettangoliperfettamenteuguali,

pinti

E, F,

equidistanti del centro

0,8

innalzino leperpendicolari

EC

,

FO

,esia-

ioJnUAcn

ìri

^{' i‘«““soli«t-}

Uogoli

ACB

,

ADB

,sono perfettamente uguali.

Dimostrazione.

Impereiocchèleperpendicolari

EC

,

FD

essendo corde ugualifeor.4.lib.3, sono«guJifr„loro.

Mndo

AE, £C=Bi^

FD,eghangoliE, Fretti, essendo metàd

Oraes saranui

DigitizedbyGoogle

31 I«basi

AG

,

BD

ugualifraloro.Itriangolirettangoli

ADB

,

ACB

hanno

AB

,

fiD=AU

,

AG

, e perciò saranno perfetta- menteuguali.

Corollarioi.

MB*

AD

comequadratodelcateto

AD,

è uguale a

BAXAF,

—

^{* t}

così

BC=BAXBE

,

ma AD=BC

«dunque

BAXAF=:BAXBC.’

««

Corollarioa

Nel semicerchio

ACBD

, posta lacorda

AD=BC

,sarà l'altracorda

AC=KD

, equindi i due triangoli rettangoli

ACB

,

ADB

,sonoperfettamente uguali. Ond’èchiaro, che seduetriangoli rettangoliformatinelsemicerchiohannoun catetouguale,saranno siffatti triangoli rettangoli perfetta- menteuguali.

Corollario3.

Tnnaleateleperpendicolari

FD

,

EC

ugualmente distanti dalcentro

0,

lemedesimesonouguali, egli archi

AD, DB,

sono ugualiagliarchi BC,CA.Quindi lecorde

AD,

Di^=BC,

CA

,econseguentementeitriangoli rettangoliACB, Bl)A sono perfettamente uguali.Ond’èchiaro, che se negli estremiC,

D

,disiffatteperpendicolari sifaccianotriangoli rettangoli

BDA

,

ACB

,chehannoper ipotenusa ildiameti^

AB

,questitriangolirettangolisottoperfettamente uguali.

E

chiaroanche cheI’uguaglianzadelieperpendicolari abbassate dagliangolirettididuetr iangoli rettangolifa imedesimi perfettamente uguali.

' Corollario4-

mmm*

AD-f

BD=AB.

Oraiquadrati diduecorde^alunque

,

chefacciano un angoloretto nella stessasemicirconferenza

*

—

*

ACBD

,saranno uguali ad

AB

econs^uentemente adAD4-BD.

Ond’èchiaro cheiduequadrati didue corde qualunque

,

chefacciano nelsemicerchiounangolorettosono ugualialla sommade’quadratidì altredue corde che fannoilmedesimo

a»

ang<ilonelsemicerchioislesso, poiché ciascuna sommaèu-<

gualealquadratodeldiametrocomeipotenusa.

Corollario5.

—

•

AB AD-fDB

Essendo

A0= —

saràanche ugualead-

—

,come aiduequadrati formati sopraduecorde qualunque formanti unangoloretto.

TEOREMA

i5. ₍Fig. lag.₎

Setuitaltezza diuntriangolo equilatero $i costruiscaun triangolo simile,ilrettangolodel lato delprimo edelt altezza delsecondo è ugualealquadratodell'altezza delprimo.

Sifaccia sull’ alleata

BD

,deltriangolo equilatero

ABC

unaltrotriangolo simileBEO.Dico, che

BCXBH=BD.

Dimostrazione.

Imperciocchél’angolo

ABCssDBB

, etoltodi comune

ABC DBH

_,rimarrà

ABD=£BH

,

ma ABD = -

sarà

EBH DHE

^

3

eperciò

BH

èalteazadiDBE. Oraitriangoli

ABC

, 3

DBE

sonosimili;edhanno

BC

:

BE

::

BD

:

BH

,

ma BEss BD

,dunquesaràBG:

BD

::

BD

:

BH

,ecosiquesterette

• sono continuamente proportionali; onde

BCXBH=BD

,eh’

è

ilquadratodell’ alleatadelprimotriangoloABC. Ciò è chia*

ro anche d’altronde, perchè

BD

ècateto,e

BC

,e

BH

sono ipotenusa e sua portioneneltriangolorettangoloBDC.

Corollarioi.

È BD

,media proporaionaletraBCe

BH

,cioèchel’al- testadiuntriangoloequilatero è mediaproporzionaletrail latodiquestoel’alteztadiunaltrotriangolo simile formato sull’altezzadelprimo.

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Corollario a.

viitriangolo

ABC

èequilatero elpunto

D

èdella metà delIatoAC.Ora abbassata

DU

perpendicolare,eaivogliauna media proporzionale traBC,e

BH

,

1’altezza

£D

èdessa^

D’ altrondeitriangoli

DBG

,

DBH

,sonosimili,es’avràBG:

BD

::

BD

:

BH

,elaterzadiBC,

BD

,è

BH

_>Ioche con- firma conaltrometodoilcor.a.teor.37.I.a.

Corollario 3.

Circoscritto ilcerchio

Q

, etirandoil raggio

OD

, il triangolo

DOC

è equilatero, e

UH

^n’èl’altezza;quindi

HC

= —

BC ^:onde

DE

latoditriangolo equilatero isorittibile inun cerchio

O

tagliadeldiametroBClasezione

HC

,quarta parte diesso,elesezioniBH,

HC

,sonofralorocome 3:!•

Corollario4^*

L’ angolo

BOC

allasemicirconferenzaèretto, e

DH

% mediatra

BH

,

HC

,ossiachelametà dellatod'un trian- golo equilateroiscrittibileinuncerchioèmedia proporzio-

3

naietraunquarto e

—

.deldiametrodelmedesimocerchio, 4

comelostessolato

DE,

ossia

BD

emedia proporzionaletra BCdiametro e

BH = —

delmedesimo.

4 Corollario5. ^•

n

triangolorettangolo

BDG

, ha^1’angoloDBC=s3o.^e 1

r arco

CD = —

dicirconferenza, elacorda

DC

è latodi 6

esagono,come

BD

ditriangoloequilateroiscrittibile. Sicché inuntriangolo deliaprefatanatura1’ipotenusaBC facendosi diametrodiuncerchio,deicateti1’unoèlato ditriangolo equilateroiscrittibilee l’altro è quello diesagono di dettocei (.mio.

Corollario 6.

«4

Nel^teor,a8.lib.a.sièfattovedere, cheilrettangolo dei cateti

BD

,

DG

èugnale aquello dell’ipotenusa

BC

, e dellaperpendicolare

DH

,ora

DC=DO

raggio.Sicchéilret- tangoloformato duilatodeltsiungoloequilatero iscri ttibile in uncerchio e dal raggioèugualeaquelloformato daldia- metroBC,e da

DH

metàdel lato del triangolo isteaso.

Corollario7.

—

• 3

Quindi

BD=:BCXBH.

Perciò

—

del diametro

BC

d’un 4

cerchio èterzaproporzionaledeldiametro edellato

RD

del triangoloequilateroiscrittibileinquello, come l’altezza

BD

èmediaproporzionaletra BC latodel triangoloequilatero

3 e

—

delmedesimo.

4

TEOREMA

16.(Fig.i3o.₎

/peiigonilimililidividonoin triangóliugualidinume- roe limilifraloro.

Sianoipoligoni

ABCDE

,FGIilK,simili,dico, chesi dividonointriangoliugualiinnumeroe simili fraloro.

Dtmoilrazione.

Da’dueangoliuguali,

A

,

F

,siuniscanoagliangoliri- spettivamente oppostileretteAC,

AD

,

FH

,FI, per avere inambidueipoligoniugualnumeroditriangoli. Oral’an- golo

Br=G

,e per lasimiglianza de’ poligoni

AB

:BC::

FG

:

GH

,sarannoitriangoli

ABC

,

FGU

equiangoliesimi- li,teor.3.1.4-Similmente perlasimiglianza de'poligoni essendo

AE

:

ED

; :

FK

:IK; e^1’angolo

£=K

, saranno itriangoli

AED

,FKIsimili, ed è chiaro infine essere il terzo triangolo

ADC

similead IFH.Laondeè verocheip<^

ligonisimilisidividonointriangoliugualidinumeroesi- mililiraloro.Ciòcheb.d.

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a*:

TEOREMA

17:(Tig.i3i.)

Seviabbiaunparallelogrammo,eda unsuo angolosi faccia passareunareitàperlasua diagonalesino al lato d’ in- controdico,che nella intersecaxione della rettacolladiagona- leistessasiformano duetriangoli simili.

Sia

DC

unparallelogrammo,incuitirataladiagonale

AB

daunangoloC«ifacciapassare per

AB

unaretta co-

munque CE

,dico,cheitriangoli

CÒB

,

AOE

nell'interse*

casione

0

sonosimili fraloro.

Dimostrazione.

Imperciocchéisudettitriangoli

AOE, COB

, hannogli angoliin

0

verticali,1^’angoloGB )=sOAE comealterni,per*

ciòsono equiangoliesimili.Ciò cheb.d.

Corollario1.

Oodesaré

CO

1

OB

::

EO

:

OA

,e permutando

CO

\

III

OE

::

BO

:OA.Quindi è chiaro,chese

AO

=;

— —

-

—

ec.

1 a 3

345

di

AB

,sarà

EO —

diCE.

E

siccome nell’ altra

345

nostra operaintitolataNuovaTeoriadellaLineaTrisecantesìè divìsalarettainqualunque numero dìparti uguali proce- dendocon progressione aritmeticaall’infinitocosi qualunque sialadivisione deliadiagonale

AB

in

0

, l’altradi

CE

io

O

sarà sempresimile.

Corollarioa.

Essendo

CO

:

OB

;:

EO

:

OA

,sarà

COXOA=OBXEO.

Corollario3. V

Siegue pure,cheintersecandosiduequalunqueretteRA,

•CE,traleparalleleBC,

CA

,irettangoli dì

BO

per

OE

,e

CE

per

OA

,latidegliangoliverticali

BOE

,

COA

, sono u- gualifraloro.

Voi.IL 4

*6

I

Corollario4.

SirgiiediTantaggioeh’essendosimilii triangoli BOC,

AOE

,edessendo

OÉ

quartaproporzionaleinordinedi

BO

,

OA

,

CE

,conosciutelemedesime, si potrà determinare la estensione di

OE

, come sipotràdeterminarequelladi

OB

,

OC

,

OA

, secondocbè saranno conosciuti nellaproprsionei tre loro rispettivi dati.

Seolio.

it

Poichélamedesimaveritàha luogo per qualunque pun- to di

AB

diagonalesìfaràpassarela

CE

daunangoloC, cosisidebbatenereperproprietàdelparallelogrammoladi- visione similedi

CE

,ed

AB

,«l’ugueglianta àerettangolidi CE,per

OA

,

OB

perOE.

TEOREMA

18.(Fig.iSa.₎

Seviabbiauntriangoloin cui sitiri unaparallelaad unlatosinoall'incontro degli altri due, e gli estremi della parallelaedellutoislessosiuniscano condellefelle nerisul- terannoduetriangolisimili,e seitriangolisonosimilila rei- tàè parallelaaldetto lato.

Sia

ABC

untriangola,incuiad unlato

AC

sitirila

^parallela

DE

,edunicansiiloro estremicondelle rette

DC

•

AE

,dico,cheitriangoli

AOC

,

DOE

sonosimili.

Dimostrazione.

‘Imperciocchéitriangoli

DOE, AOC,

hanno gliangoli in

0

verticali,

ED0=0CA

comealterni, dunquesono equi- angoliesimili.Inoltre.Sianosimiliisudettitriangoli, al- loraiosaranno equiangoli,ecosil’angolo

EDO=OAC

,

ma

questisonoalterni,dunque

DE

parallelaad AC. Ciò che b.d.

Corollarioi.

Poichéitriangoli

AOC

,

DOE

, sonosimili, sono

ÀO

:

OC

::

EO

;OD.Quindi

AOXOU=GOXOE.

SeolioI.

Presene’latiAB, CBleparli simili

AD,

CE,e poi congiunta la

DE

equindi

AE

,

CD

, sempre siavrannoi

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triangolisimiliAOC, DOE.Infatti

;essendo peripotesi

AD

:

AB

::

CE

^:CB, e componendo

AB

:

BD

::CB:

BE

, e permutando

AB

;BC::

DB

:

B£

, ora i triangoli

ABC, DBE

avendo l’angoloB comuneed ilatiproporsionalisono equiangoliesimili eperciò

BDE

,

BEDssBAC

,BCA

, ossia gliangoliesterni ugualiagliangoliinterni delle rette

AG

,

DE,

segatedaRC. Onde AC,

DE

, son parallele, ecosii triangoli

AOC DOE

,sonosimili, comes*èprovatoneipre- senteteorema.

Coro’larioa.

Dalloscolioantecedentene sìegue,chequalunque siano lepartisimili

AD, CE

,diAB,CB,launitaretta

DE

sarà sempreparallelaadAC, poiché se

AD

:

AB

: :

CE

;CB, sarà

AD

:

DB

::

CE

;

EB

,epermutando

AB

:

BG

::

DB

:

BE

,cosiitriangoli

ABC

,

DBE

, sono simili,e sarà

DE

parallelaad AC.

TEOREMA

ig.(Fig.i33.)

• # I

Inuntriangoloqualunque setilirtuna rettapardlela allabase,esiuniscanogliestremidellunaedell’altra op^- posticon unaretta,equinditra siffatte paralleiesimenico- munqueun’ altra retta,ne risulteranno duetriangolisimili.

Sia

ABC

untriangolo,incuisi tiri

DU

parallelaad AG.Si uniscaDC,esimeni unarettacomunque HF. Di- co,cheitriangoli

DOH FOG

^sonosimili,

Dimostrasione.

Imperciocchéitriangoli

DOH

,

FOC

, hanno gliangoli in

O

verticali

,gliangoli

DHO

,

OFC

alternie perciò sono equiangoliesimili,dunqueèvero,cheseioun triangolo

ec.Ciò cheh.d. j '

Corollario.

Sarà

DH

:

FC

: :

HO

:

OF,

e

DHXOF=FCXUO

, c

DO

:

OC

::

DH

!

FC

,esarà

DOXFC=OCXDH,

e

DO

:

OC

;;

HO

:

OF,

esarà

DOXOF=OCXHO.