Esercizi di trigonometria - 4aC Scientifico 24/10/2021

Liceo “E. Fermi” Cecina - Prof. Francesco Daddi

Esercizi di trigonometria - 4

C Scientifico 24/10/2021

Esercizio 1. (Maturità 1976 suppletiva - testo modificato)Facendo riferimento alla figura (dove 0< x < π), si determini l’angoloxin modo che la funzione y(x) = AB²+BC² +AC² risulti massima. [R. Risulta ymax = 9r²; il punto di massimo è x= 2

3π]

Esercizio 2. Facendo riferimento alla figura, si determini l’ampiezza dell’angoloxin modo che il rettangoloABCDabbia perimetro massimo.

[R. x= π 4 − 1

2 arctan 1

2

= 1

2 arctan(2) ; 2p_max = (2 + 2√ 5)r]

Esercizio 3. (Maturità 1974)Assegnata la funzione y = sinx+a cosx+b, con −π ≤ x ≤ π, si determinino i valori dia eb in modo che ammetta un massimo y = 0 nel punto x = π

6 e si disegni la curva rappresentativa della funzione ottenuta.

[R. a=√

3, b=−2]

Esercizio 4. Si determini il minimo della funzione f(x) = 1

sinxcosx sull’intervallo 0< x < π 2 . [R. Il minimo si ha nel punto x= π

4 ]

Esercizio 5. (Maturità 1983)Si studi la funzione y= sin x+ π

3

+ cos x− π

6

e se ne disegni il grafico.

[R. y= 2 sin x+π

3

; massimi per x= π

6 + 2k π; minimi per x=−5

6π+ 2k π]

Esercizio 6. (Maturità 1971)Fra i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio asse- gnato, si determini quello per cui è massima la somma dell’altezza e del doppio della base.

[R. x = π

2 −arctan 1

4

= arctan(4); S_max = (√

17 + 1)r]

Esercizio 7. (Maturità 1977)Data la funzione y=a sinx+b cosx, si determinino i coefficienti a,b(entrambi diversi da0) in modo che per x= 2

3πsiay= 1e che i valori estremanti diysiano

−2 e 2.

•Se ne disegni poi il grafico nell’intervallo 0≤x≤2π.

• Posto y = c sin(x+ϕ), si calcolino c, ϕ in modo che questa funzione coincida con quella assegnata. [R. a=√

3,b= 1]

Esercizio 8. Si determinino i massimi e minimi della funzione f(x) = 4 + cosx−

√3 2

!2

. [R. Massimi assoluti per x =π+ 2k π; minimi assoluti per x=±π

6 + 2k π. Ci sono massimi relativi (ma non assoluti!) per x= 2k π.]

Esercizio 9. Si determinino i massimi e minimi della funzione f(x) = −3−(sinx−cosx)². [R. Massimi per x= π

4 +k π; minimi per x= 3

4π+k π]

Esercizio 10. Si determinino i massimi e minimi della funzione f(x) = 5 + sin²x−3 cos²x. [R. Massimi per x= π

2 +k π; minimi per x=k π] 2

Esercizio 11. (Maturità 1984 suppletiva)Dato il triangolo rettangolo isosceleABCconAb= 90^◦, AB = a, si conduca per il vertice C la retta non secante il triangolo tale che risulti massima la sommaSdelle perpendicolariAM eBN condotte su di essa.

[R. x= arctan(2); S_max=√ 5a ]

Esercizio 12. (Maturità 1989)In un piano sono assegnati una circonferenza di centroOe raggior ed un puntoAtale cheOA= 2r; si conducano perAdue retteaebtali che sianoaperpendicolare alla rettaOAeabb = π

4.

Si determini sulla circonferenza il puntoP tale che, condotte per esso la parallela alla rettaa, che incontra la rettabnel puntoM, e la parallela alla rettab, che incontraanel puntoN, la somma S =P M +P N assuma valore minimo.

[R. x = π

2 −arctan √ 2 + 1

= arctan √ 2−1

= π 8 ]

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