Lez.4 Bipoli elementari

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Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 4 Pagina 1

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Bipoli elementari adinamici

 Sono governati da semplici equazioni del tipo ƒ(v,i)=0 prive di derivate ed integrali

 Hanno una sola caratteristica esterna

 Servono a modellare alcuni fenomeni fisici elementari

Ad esempio, il resistore ideale modella il comportamento di quei componenti che rispettano la legge di OHM

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Resistore ideale

i(t)

R

v(t)

Convenzione utilizzatore :

^v   ^t ^ ^Ri   ^t ^; ⁱ   ^t ^ ^Gv   ^t

R : resistenza [Ω]; G : conduttanza [S]

Nel resistore ideale R = 1/G sono costanti definite positive. Il resistore ideale è tempo-invariante

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Caratteristica esterna

v

i i

v

v=+RI v=-RI

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 Il bipolo resistore è controllabile in tensione e corrente

 Il bipolo resistore è un bipolo normale (ai+bv+c=0)

 Il bipolo resistore è un bipolo inerte (i=0,v=0)

 Il bipolo resistore è un bipolo lineare

 Per il bipolo resistore è valido il principio di sovrapposizione degli effetti

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Potenza elettrica del resistore

Potenza elettrica assorbita:

     

R t t v

Ri vi

t p

2



La potenza elettrica assorbita è sempre positiva.

L’energia elettrica assorbita si trasforma irreversibilmente in calore (Effetto Joule)

  









t t

dt t i R vidt

W

²

Il resistore è un bipolo strettamente passivo

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Quando si trattano bipoli elementari adinamici è molto semplice verificare se i bipoli sono passivi o attivi.

Basta osservare la caratteristica esterna. Fissata la convenzione dell’utilizzatore sul bipolo, se la caratteristica è compresa nel primo e terzo quadrante, allora il bipolo è passivo.

v

i A

A P

P

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Legge di Ohm e effetto Joule

Consideriamo un corpo materiale, che per semplicità riterremo di forma cilindrica, di altezza L e superficie di base S. Supponiamo che sia filiforme (𝐿 ≫ √𝑆)

Supponiamo di riuscire ad applicare (non sappiamo ancora come) una tensione V costante alle sue estremità. Le cariche libere presenti nel mezzo si muoveranno sotto l’azione del campo elettrico applicato e daranno luogo ad una corrente elettrica.

Pensiamo di poter misurare sia la tensione che la corrente secondo i riferimenti indicati in figura e osserviamo cosa accade:

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Sperimentalmente si osserva che al variare della tensione, cambia anche l’intensità di corrente elettrica. In particolare, se V=0, anche I=0, mentre, se la tensione è diversa da zero, tensione e corrente sono legate da una relazione di proporzionalità:

V  RI

V I

L

S

A 𝛾 B

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

V

I

Il coefficiente R è la resistenza elettrica ed ha la dimensione fisica di ohm []. La resistenza R dipende sia dalla natura del materiale (attraverso la resistività ) che dalle dimensioni geometriche del componente.

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Materiale Resistività 𝜂 (per T=293K)

Rame 0.016 mm²/m 0.016 µ m

Alluminio 0.028 mm²/m 0.028 µ m

Oro 0.024 mm²/m 0.024 µ m

Acqua di mare 3·10¹⁰mm²/m 0.3m

Porcellana 10¹⁰mm²/m 10⁴m

Nel caso particolare di mezzo cilindrico, si ha 𝑅 = 𝜂 𝐿

𝑆

E’ possibile provare analiticamente questa relazione, supponendo che il conduttore cilindrico sia uniforme, immerso in un mezzo con conducibilità nulla e compreso tra due elettrodi perfettamente conduttori. Utilizziamo il modello della conduzione stazionaria

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{

∯ 𝑱 ∙ 𝒏 𝑑𝑆

𝛴

= 0

∮ 𝑬 ∙ 𝒕 𝑑𝑙

𝛾

= 0

𝑬 = 𝜂𝑱

1. Con densità di corrente finita, il campo E=0 in un conduttore perfetto 2. Un conduttore perfetto è equipotenziale

3. Il conduttore in un isolante perfetto è un tubo di flusso per J 4. J è uniforme in ogni sezione del conduttore

5. ∬ 𝑱 ∙ 𝒏 𝑑𝑆_𝑆 = 𝑖 → 𝐽𝑆 = 𝑖; ∫_𝐴,𝛾^𝐵 𝑬 ∙ 𝒕 𝑑𝑙 = 𝑉 → 𝐸𝐿 = 𝑉 6. _𝜂^𝐸 𝑆 = 𝑖 → 𝑖 ^𝜂

𝑠 𝐿 = 𝑉 → 𝑅 = 𝜂 ^𝐿

𝑆,

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L’esperienza mostra che l’energia elettrica assorbita da un conduttore percorso da corrente elettrica si trasforma tutta in calore: infatti, il conduttore si riscalda (effetto Joule).

Esistono numerose applicazioni pratiche nelle quali è sfruttato l’effetto Joule, basti pensare alle stufe elettriche, forni elettrici, scaldabagni, lampadine a incandescenza, ecc.. Talvolta, l’effetto Joule deve essere limitato, in quanto costituisce una perdita di energia indesiderata. Ad esempio, nel trasporto di energia elettrica dalle centrali di produzione agli utilizzatori, per contenere la potenza dissipata in calore lungo le linee elettriche, si utilizzano conduttori a

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bassa resistività e con sezione sufficientemente elevata. Altre volte, è necessario predisporre opportuni sistemi di raffreddamento per abbassare la temperatura dei componenti.

La resistività dei conduttori aumenta con la temperatura e, di conseguenza, aumenta la resistenza. La variazione di resistività con la temperatura 𝜃 può essere descritta dal coefficiente 𝛼:

𝜂(θ) = 𝜂(θ₀)[1 + 𝛼(𝜃 − 𝜃₀)]

𝛼 = 1 𝜂(𝜃₀)

[𝜂(𝜃) − 𝜂(𝜃₀)]

𝜃 − 𝜃₀

Il coefficiente  rappresenta allora la variazione relativa di resistività per salto unitario di temperatura. Per il rame è 0.00426 K^-1

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Casi limite del resistore

v

i

bipolo cortocircuito

R  0  i v  0

v

i

bipolo circuito aperto

G  0  v i  0

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Interruttore ideale

interruttore ideale chiuso interruttore ideale aperto

L’interruttore ideale è un bipolo tempo-variante che può assumere in istanti diversi due stati diversi: chiuso o aperto. Quando è chiuso costituisce un cortocircuito ideale; quando è aperto costituisce un circuito aperto ideale.

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Generatore ideale di tensione

E’ il bipolo di equazione:

^v     ^t ^ ^e ^t ^ ⁱ   ^t

i(t) e(t)

+

v(t)

La tensione ai morsetti del bipolo è sempre e(t), indipendentemente dal valore della corrente i(t) che lo attraversa

e(t) : tensione impressa (fem), nota

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La tensione può essere costante (v(t) = E) oppure variabile con legge qualsiasi (sinusoidale, a rampa, onda quadra, ecc.)

v(t) v(t)

i E

v

Caratteristica esterna

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 Il bipolo generatore ideale è normale (è non-lineare)

 Invertendo il riferimento di v la caratteristica si ribalta

 Invertendo il riferimento di i la caratteristica non cambia Il bipolo cortocircuito è un caso limite del generatore di tensione

Potenza del generatore di tensione

 p = v i = e i [W]

 può essere >0, =0, <0.

 il generatore ideale di tensione è un bipolo attivo

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Generatore ideale di corrente

E’ il bipolo di equazione:

i(t) j(t)

v(t)

    ^t ^j ^t ^v   ^t

i  

j(t) : intensità di corrente elettrica impressa, nota

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La corrente erogata può essere costante (i(t) = J) oppure variabile con legge qualsiasi (sinusoidale, a rampa, onda quadra, ecc.)

i(t) i(t)

J i v

Caratteristica esterna

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 È normale (è non lineare)

 Invertendo il riferimento di i la caratteristica si ribalta

 Invertendo il riferimento di v non cambia

Il bipolo circuito aperto è un caso limite del generatole di corrente Potenza del generatore di corrente

 p = v i = v j [W]

 può essere >0, =0, <0.

 il generatore ideale di corrente è un bipolo attivo

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Diodo ideale

E’ il bipolo di equazione (convenzione da utilizzatore):

i(t)

v(t)

i = 0 v≤0; v = 0 i≥0

v i

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Diodo a giunzione pn

La corrente è una funzione non lineare della tensione:

i(t)

v(t)

 

^t ^ ^I_S



^ev^{ }^t ^/^kT ^¹



i



v i

Is

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Diodo Tunnel

i(t)

v(t)

Il bipolo non è controllabile in corrente

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Resistori non lineari

i(t)

R

v(t)

v

i

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