Elettrotecnica
Introduzione ai circuiti
Prof. Massimiliano de Magistris
massimiliano.demagistris@uniparthenope.it
Caratteristiche e proprietà dei bipoli elementari Università di Napoli PARTHENOPE
Dipartimento di Ingegneria
Copyright 2020 - Prof. Massimiliano de Magistris - Università di Napoli "Parthenope"
In questa lezione introdurremo i bipoli elementari, a partire dalle relazioni caratteristiche e delle conseguenti proprietà.
Definiremo anzitutto alcuni elementi di classificazione dei bipoli, in funzione del tipo di relazione matematica tra le grandezze descrittive (tensione e corrente).
Introdurremo i principali bipoli a-dinamici o algebrici (resistore lineare, generatore, interruttore, resistore non lineare),
assegnandone simbolo e caratteristica, e classificandoli in base alle relative proprietà.
Amplieremo poi il campo con i bipoli dinamici (condensatore e induttore), evidenziando gli aspetti di maggiore complessità che intervengono allorquando le caratteristiche sono di tipo differenziale.
Caratteristiche e proprietà dei bipoli elementari
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Unità 1: classificazione dei bipoli, il resistore lineare, resistori non lineari
Unità 2: bipoli tempo varianti: generatori ideali, interruttori Unità 3: bipoli dinamici: condensatore e induttore
Caratteristiche e proprietà dei bipoli elementari
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Unità 1:
classificazione dei bipoli, il resistore lineare, resistori non lineari
Caratteristiche e proprietà dei bipoli elementari
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I bipoli nei circuiti sono descritti dal legame caratteristico tra la tensione e la corrente. A seconda delle relative proprietà
matematiche possiamo classificarli come:
• a-dinamici/dinamici;
• lineari/non lineari;
• tempo invarianti/tempo varianti.
Classificazione dei bipoli in base alle caratteristiche
a-dinamici
dinamici
lineari non-lineari
tempo varianti
tempo invarianti
I bipoli si possono classificare anche in base alle loro proprietà energetiche in passivi e attivi;
ciò lo vedremo in concreto più avanti.
Classificazione dei bipoli
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Il resistore lineare è un bipolo a-dinamico con caratteristica
(legge di Ohm) v=Ri; R è detta resistenza elettrica e si misura in ohm (simbolo W) nel sistema SI; 1W= 1V/1A
Il simbolo e la rappresentazione grafica della caratteristica sono in figura (R=v/i=tan(a)). Ogni punto P della curva
caratteristica è un possibile punto di lavoro del resistore.
La caratteristica è algebrica v=f(i) e lineare, e cioè verifica la proprietà di sovrapposizione: i=i1+i2à v=Ri=Ri1+Ri2=v1+v2 È tempo invariante perché non dipende da t.
simbolo del resistore lineare e relativa curva caratteristica (R>0)
- +
v i
I V
a R
i v
P
Resistore lineare/1
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Osserviamo che la caratteristica data si riferisce alla scelta fatta per i versi di tensione e corrente, e dunque alla
convenzione dell’utilizzatore.
La forma v=Ri si dice controllata in corrente: nota la corrente i si ha la tensione v, in ogni istante. Per R¹0 posto G=1/R
(conduttanza) la caratteristica si può invertire nella forma
“controllata in tensione”: 1
, S (siemens)
i = Gv é ùë ûG = W =- Assumono grande importanza i
due casi limite:
–R=0àv=0 corto circuito (c.c.) –G=0ài=0 circuito aperto (c.a.)
Simboli del corto circuito e del circuito aperto
c.c.
"i +
-
v=0 i=0 +
-
"v c.a.
Resistore lineare/2
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Assumendo la convenzione dell’utilizzatore, l’espressione della potenza assorbita da un resistore diviene:
( )a 2 2
pR = vi = Ri = Gv
Come si vede essa è sempre non negativa se R>0 (G>0). In tal caso si dice che il resistore è passivo.
Considerato un generico intervallo di tempo, l’energia assorbita sarà:
( )
2( )
2( )
2( )
1 1 1
( ) 2 2
1, 2 t t t
a
t t t
W t t =
ò
p t dt =ò
Ri t dt =ò
Gv t dte in generale viene a dipendere dal particolare andamento nel tempo della corrente elettrica (o della tensione) nell’intervallo in esame.
Resistore lineare/3
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Riassumendo, un resistore lineare è un bipolo a-dinamico, tempo invariante e passivo se R>0. Inoltre è simmetrico nel senso che tale è la sua caratteristica rispetto a v,i. Nei casi
limite R=0 e G=0 diviene un corto circuito o un circuito aperto.
Ricordiamo dalla fisica che la caratteristica v=Ri (legge di Ohm) si può ricavare dallo studio del problema di campo
stazionario in un conduttore cilindrico omogeneo; in tal caso il parametro resistenza R ha l’espressione: R l
h s
=
dove l rappresenta la lunghezza, s la sezione ed h la resistività del materiale di cui è costituito.
Va ricordato che legge di Ohm rappresenta un resistore fisico in modo adeguato solo in condizioni stazionarie; in presenza di variazioni temporali molto rapide è necessario introdurre
opportuni termini correttivi.
Resistore lineare/4
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Il resistore non lineare è un bipolo a-dinamico definito dalla generica caratteristica algebrica
f(v,i)=0. Il suo simbolo è in figura. simbolo del resistore non lineare
i
+ v -
Se possiamo esplicitare v=r(i) lo diciamo controllato in
corrente, se i=g(v) controllato in tensione. La non linearità implica che, posto ad esempio i=i1+i2, v=g(i)¹ g(i1)+ g(i2).
Inoltre in generale esso risulterà non simmetrico.
Un resistore non lineare è passivo o attivo a seconda che la sua caratteristica sia tutta compresa nel primo e terzo quadrante del piano i,v o meno.
v i
p=vi>0
(a)
p=vi>0
v i
p=vi>0
(b)
p=vi>0 p=vi<0
esempi di caratteristica di resistore non lineare passivo (a) e attivo (b)
Resistori non lineari/1
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Simboli e caratteristiche del diodo (sx) e del diodo tunnel (dx)
Classico esempio di resistore non lineare è il diodo a
giunzione pn. Esso è passivo (vi³0) e risulta controllato sia in tensione che in corrente (caratteristica monotona). La tipica dissimmetria della caratteristica è la base per le sue
applicazioni (nei raddrizzatori, nei rivelatori di picco, etc... ).
Un altro esempio è il diodo tunnel, che invece è non
monotono. Ciò implica che è controllato in tensione ma non in corrente (cioè fissata la tensione la corrente è unica, ma non sempre vale il viceversa!)
i
v i
v
+
-
i
v i1
i2
i v +
-
Resistori non lineari/2
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Unità 2:
Bipoli tempo varianti: generatori ideali, interruttori
Caratteristiche e proprietà dei bipoli elementari
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Il generatore ideale di tensione è un bipolo a-dinamico con caratteristica v=e(t) dove e(t) è una funzione assegnata (termine noto), in generale variabile nel tempo. Cioè la
tensione ai suoi terminali risulta quella assegnata dalla legge e(t), indipendentemente dai valori della corrente i(t).
Simbolo del generatore ideale di tensione e relativa caratteristica
La caratteristica è algebrica e
tempo variante, in generale. Nel caso in cui e(t)=E (costante) il generatore si dice stazionario.
Al contrario del resistore è un bipolo non simmetrico, e ciò si riflette anche nel simbolo. Cioè invertendo i terminali la
caratteristica cambia segno!
v
i p>0
e p<0
e +
-
i +
- v
Generatori ideali: generatore di tensione
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Il generatore ideale di corrente è un bipolo a-dinamico con caratteristica i=j(t) dove j(t) è una funzione assegnata
(termine noto), in generale variabile nel tempo. Cioè la
corrente nei suoi terminali risulta quella assegnata dalla legge j(t), indipendentemente dai valori della tensione v(t).
Simbolo del generatore ideale di corrente e relativa caratteristica
La caratteristica è algebrica e tempo variante in generale. Nel caso in cui j(t)=J (costante) il generatore si dice stazionario.
Anche il generatore di corrente è un bipolo non simmetrico, e ciò si riflette nel simbolo.
v
i p>0
j p<0 i +
- j v
Generatori ideali: generatore di corrente
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Come evidente dalle caratteristiche, per i generatori ideali di tensione e di corrente, la potenza assorbita può assumere segno qualsiasi:
( ) 0 ( ) 0
;
0 0
a a
e j
P vi ei ì³ P vi vj ì³
= = íî£ = = íî£
Di conseguenza la potenza erogata P(e)=-P(a) può risultare positiva in determinate condizioni di funzionamento (cioè il
bipolo generatore è in grado di erogare effettivamente potenza elettrica). Fatta la convenzione del generatore le espressioni
dell’energia erogata in un intervallo sono:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
( ) ( )
1 2
( ) ( )
1 2
, ,
t t
e e
e t t
t t
e e
j t t
W t t p t dt e t i t dt
W t t p t dt v t j t dt
= =
= =
ò ò
ò ò
Generatori ideali: potenza ed energia/1
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Ad esempio per un generatore di tensione stazionario E si ha:
È possibile dunque avere una energia erogata positiva, in
principio non limitata. Per questo motivo il bipolo generatore si definisce attivo.
Come esempio svolto si veda es.1.6 a pag. 34 del testo
( )
2( )
1
( )
1 2
, 0
0
e t
e t
W t t Ei t dt ì³
=
ò
íî£Generatori ideali: potenza ed energia/1
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Un caso molto importante di generatore tempo variante è quello sinusoidale: e t
( )
= Em cos(
wt + a)
dove Em è l’ampiezza massima della tensione impressa, w è la pulsazione ed a la fase iniziale. Esso rappresenta il modello ideale di sorgenti sinusoidali di energia elettrica, come, ad esempio, un alternatore.
Va osservato che attraverso combinazioni di generatori costanti e sinusoidali è possibile trattare tutti i casi periodici attraverso la serie di Fourier!
È notevole il caso in cui i generatori risultino “spenti”. Infatti:
–il caso v=e(t)=0 (generatore di tensione spento) corrisponde al bipolo corto circuito (v=0).
–ll caso i=j(t)=0 (generatore di corrente spento) corrisponde al bipolo circuito aperto (i=0).
Generatori ideali: casi notevoli
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L’interruttore è un bipolo a-dinamico tempo-variante (simbolo in figura). Quando l’interruttore è aperto, la corrente è nulla indipendentemente dal valore della tensione, mentre quando è chiuso, la tensione è nulla indipendentemente dal valore della corrente. Dunque esso coincide con un corto circuito quando è chiuso e con un circuito aperto quando è aperto.
In ognuno dei due stati la potenza assorbita P(a)=vi è identicamente nulla (infatti v=0 oppure i=0).
Simboli degli interruttori in apertura (sx) e chiusura (dx)
0 0
0 0
0 apertura 0
0 chiusura 0
t t v
t t i
t t i
t t v
< ® = ü
³ ® = ýþ
< ® = ü
³ ® = þý
v + i
-
t=t0 v
+ i
-
t=t0
Interruttori ideali
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Unità 3:
Bipoli dinamici: condensatore ed induttore
Caratteristiche e proprietà dei bipoli elementari
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Il condensatore lineare è un bipolo dinamico la cui
caratteristica è descritta introducendo la carica Q sui terminali:
simbolo del condensatore lineare e curva caratteristica nel piano v,Q
( ) ( ) ( )
0
0
; 1 t
t
dQ dv
Q Cv i C v t v t i t dt
dt dt C
= = = ® = +
ò
v i +
-
Q
v C
C è detta capacità del condensatore e si misura in farad (F) nel sistema SI; 1F= 1C/1V. Il simbolo e la caratteristica sono in figura.
Il condensatore è dunque dinamico e a memoria: v(t)
dipende dal valore precedente v(t0), detta condizione iniziale.
Condensatore/1
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Consideriamo l’espressione della potenza assorbita:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2( )
2( )
( ) 1
2 2
a dv t d Cv t dv t
p t v t i t v t C C
dt dt dt
æ ö
= = = ççè ÷÷ø =
È anzitutto evidente che essa può avere segno qualsiasi. Infatti sarà positiva o negativa a seconda dei segni di v(t) e dv(t)/dt.
Consideriamo ora l’energia assorbita nell’intervallo (t1,t2):
( )
2 2( ) ( )
1 1
( ) ( ) 2 2 2
1 2 2 1
1 1 1
, ( )
2 2 2
t t
a a
t
W t t =
ò
t p t dt = C vé ùë û = Cv t - Cv t Osserviamo che essa:1.non dipende dallo specifico andamento di v(t) nell’intervallo (t1,t2) ma solo dai suoi valori estremi;
2.se v(t2) = v(t1) essa è identicamente nulla (bipolo conservativo);
3.può avere segno qualsiasi, a seconda che |v(t2)| >=< |v(t1)|.
Condensatore/2
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Consideriamo ora l’energia erogata in (t1,t2):
si definisce naturalmente come energia immagazzinata dal
condensatore nell’istante t1. Per un generico istante di tempo t si ha dunque:
Osserviamo subito che il suo massimo si ha quando v(t2)=0.
Infatti abbiamo una differenza tra due quantità positive! Per questo motivo la quantità:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
, ,
2 2
e a
W t t = -W t t = Cv t - Cv t
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) 2
1 2 ( ) 0 max 1 2 1
, , 1
2
e e
W t t v t W t t Cv t
= = =
( ) ( )
( ) 1 2
2 0
W i t = Cv t ³
L’energia immagazzinata in t è dunque per definizione la massima erogabile dal bipolo al circuito a partire da t.
Condensatore/3
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Va osservato anche che l’energia erogata è sempre limitata, in quanto: W( )e
(
t t1, 2)
£ W( )i( )
t1Ciò ci permette di dare la definizione di passività per un bipolo dinamico. Infatti esso si definisce passivo se non è in grado di erogare più energia al circuito di quanta precedentemente da esso ricevuta. In formule:
( )
, tt ( ) 0,w t t* =
ò
* p t td ³ "tdove t* è un qualsiasi istante in cui l’energia immagazzinata è uguale a zero (il condensatore è nel cosiddetto stato di riposo).
Riassumendo, un condensatore lineare è un bipolo dinamico, a memoria, passivo (se C>0) e conservativo.
Condensatore/4
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S ≫ d ⇒ C ≅ ε S d
Condensatore fisico, capacità C e
caratteristica
Condensatore/5
Per un condensatore
cilindrico, con d la distanza tra gli elettrodi, S la loro
superficie ed e la costante dielettrica dell’isolante, si ha:
Ricordiamo dalla fisica che la caratteristica Q=Cv si può
ricavare dallo studio del problema di campo fra due elettrodi piani paralleli separati da un isolante. Invece il legame i=dQ/dt si ricava applicando la legge di conservazione della carica ad una superficie S (come in figura) che racchiude uno solo degli elettrodi ed è forata da un terminale.
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L’induttore lineare è un bipolo dinamico la cui caratteristica è descritta introducendo il flusso magnetico F ad esso
concatenato:
simbolo dell’induttore lineare e curva caratteristica nel piano i,F
( ) ( ) ( )
0
0
; 1 t
t
d di
Li v L i t i t v t dt
dt dt L
F = = F = ® = +
ò
L è detta induttanza dell’induttore e si misura in henry (H) nel sistema SI; 1H= 1Wb/1A(=1V/1s). Il simbolo e la caratteristica sono in figura.
Anche l’induttore è dunque dinamico e a memoria: i(t) dipende dal valore precedente i(t0), detta condizione iniziale.
L i v
+
-
F
i
Induttore/1
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Consideriamo l’espressione della potenza assorbita:
Consideriamo anche l’energia assorbita nell’intervallo (t1,t2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2( )
2( )
( ) 1
2 2
a di t d Ci t di t
p t v t i t L i t L
dt dt dt
æ ö
= = = ççè ÷÷ø =
Anche qui è evidente che essa può avere segno qualsiasi. Sarà positiva o negativa a seconda dei segni di i(t) e di(t)/dt.
( )
2 2( ) ( )
1 1
( ) ( ) 2 2 2
1 2 2 1
1 1 1
, ( )
2 2 2
t t
a a
t
W t t =
ò
t p t dt = L ié ùë û = Li t - Li t Analogamente al condensatore, osserviamo che essa:1.non dipende dall’andamento di i(t) nell’intervallo (t1,t2), ma solo dai suoi valori estremi
2.se i(t2) = i(t1) essa è identicamente nulla (bipolo conservativo) 3.può avere segno qualsiasi, a seconda che |i(t2)| >=< |i(t1)|
Induttore/2
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Anche per l’energia erogata in (t1,t2) valgono considerazioni analoghe al condensatore:
e dunque il massimo si ha quando i(t2)=0. Definiamo quindi l’energia immagazzinata dall’induttore in un generico istante t la massima erogabile dal bipolo al circuito a partire da t. :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
, ,
2 2
e a
W t t = -W t t = Li t - Li t
( ) ( )
( ) 1 2
2 0
W i t = Li t ³
Essendo dunque limitata l’energia erogabile in un generico intervallo: W( )e
(
t t1, 2)
£ W( )i( )
t1anche l’induttore risulta passivo secondo la precedente
definizione. Riassumendo, un induttore lineare è un bipolo dinamico, a memoria, passivo (se L>0) e conservativo.
Induttore/3
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Ricordiamo dalla fisica che la caratteristica F=Li si può ricavare dallo studio del problema di campo magnetico stazionario fra in un solenoide lungo. Invece il legame v=dF/dt applicando la
legge di Faraday ad una linea che percorre il conduttore avvolto, e si chiude all’esterno tra i due terminali.
Per un induttore cilindrico, con lunghezza l, sezione S numero di spire n e permeabilità magnetica µ, si ha:
n S2
S l L
µ
l! Þ @
i(t) +
- v(t)
µ
Induttore fisico e caratteristica
Induttore/4
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Come esercizi sugli argomenti di questa lezione si suggeriscono gli ex. 9-11 a pag. 58 e del testo di riferimento, dove vengono riportati i risultati.
I relativi svolgimenti completi sono disponibili alla pagina:
http://www.elettrotecnica.unina.it/files/demagistris/libro.html
Esercizi proposti
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