[28]con M massa totale del sistema. Quando le forme di energia meccanica
2
2
w gz
e l’energia chimica ec sono trascurabili rispetto all’energia termica u e allora si ha E = U.
3.1 POTENZIALI TERMODINAMICI: ENERGIA INTERNA, ENTALPIA
Le grandezze energia interna ed entalpia sono dette anche potenziali termodinamici. Essi sono grandezze di stato nel senso che vengono definiti in ciascun punto di esistenza dei corpi e non dipendono dai cammini percorsi per arrivarci. Il calore e il lavoro dipendono dal tipo di trasformazione seguita (si suol dire che dipendono dal cammino seguito nella trasformazione) e non sono pertanto definiti univocamente in ciascuno stato dei corpi.
Nella definizione di calore specifico si é osservato che si hanno definizioni e valori diversi a seconda che la trasformazione sia a volume costante, a pressione costante, adiabatica o isotermica. In questo senso il calore scambiato lungo una trasformazione dipende dalla stessa trasformazione e non é in assoluto calcolabile dalla sola conoscenza dei punti iniziali e finali.
La stessa osservazione può essere fatta per il lavoro che dipende, anch'esso, dal tipo di percorso effettuato. Se si ricorda, infatti, che il lavoro é dato dal prodotto di una forza per il percorso effettuato nella direzione della forza si comprende come scegliendo cammini diversi fra due punti si avranno valori diversi del lavoro (vedi Figura 7). Riassumendo, con riferimento alla Figura 7, si ha:
L
A1B L
A2BL
A1B2A=Lavoro del ciclo
Per i potenziali termodinamici non occorre specificare il percorso seguito perché i valori da essi assunti dipendono solamente dagli stati in cui il sistema si trova. Ancora con riferimento alla Figura 7 si ha che l'energia interna nei punti A e B sono rispettivamente UA e UB
indipendentemente dal percorso seguito per andare da A verso B. Pertanto per calcolare la differenza di valore fra due punti di un potenziale termodinamico basta fare la differenza fra i valori assunti nei rispettivi punti; ad esempio, per la differenza di energia interna fra A e B si ha:
v p A B 1 2 H K
Figura 7: Trasformazioni che dipendono dal percorso
Lo stessa dicasi per la differenza di entalpia fra due punti. Sono potenziali termodinamici (o anche funzioni di stato41) le seguenti grandezze (finora incontrate):
p pressione
v volume specifico
T temperatura
U energia interna specifica
h entalpia specifica.
Si vedranno nei prossimi paragrafi altri potenziali termodinamici di particolare importanza.
3.2 LAVORO TERMODINAMICO
L’espressione del lavoro termodinamico è data, con riferimento alla Figura 7, dall’integrale: B
A
L
p dv [29]Lo sviluppo dell’integrale dipende dal tipo di trasformazione termodinamica seguita. Ad esempio, se si suppone p =costante la precedente diviene:
2 1
L p v v [30]
Se si suppone v =costante si ha L=0. Se si suppone una trasformazione isoterma, ricordando l’equazione caratteristica dei gas [9], si ha:
ln B B B B A A A A RT dv v L p dv dv RT RT v v v
[31]Se la trasformazione è adiabatica è noto che l’equazione della trasformazione è: cos
k
pv t
41Lo stato, in senso termodinamico, é dato dall'insieme dei valori delle variabili che il sistema assume in una condizione di equilibrio ed é quindi rappresentato in un diagramma da un punto a cui corrispondono l'insieme (p,v,T,u,h,..) delle coordinate. Una grandezza si dice di stato se dipende solo dalle condizioni corrispondenti ad uno stato e non dal modo con cui si raggiungono. Pertanto un modo di provare che una grandezza è di stato è quello di vedere se essa è indipendente dal cammino scelto per passare da uno stato ad un altro. Infine se si effettua un cammino chiuso e si trova una variazione nulla della grandezza considerata (circuitazione nulla) allora questa è certamente una grandezza di stato (teorema della circuitazione).
ove k =cp/cv è detto rapporto di adiabacità. Allora il calcolo del lavoro termodinamico diviene: 2 2 1 1 2 1 1 1 B B k A A C p v p v T T L p dv dv R v k k
[32]Analogamente si procede per altri tipi di trasformazioni termodinamiche aventi equazioni elasto-termometriche note. Si tratta di esplicitare il legame funzionale fra p e v nella [29] e poi svolgere l’integrale. Si intuisce, anche analiticamente, quanto affermato in precedenza sulla dipendenza del lavoro termodinamico dal cammino seguito per la trasformazione. Il cammino altro non è che l’equazione della trasformazione lungo la quale effettuare il calcolo dell’integrale [29].
3.3 IL LAVORO TECNICO
Se si considera una situazione del tipo indicato in Figura 1 (sistema termodinamico) allora si può facilmente vedere come il lavoro termodinamico svolto all’interno del sistema dal fluido (dato sempre dalla [29]) non è quello che risulta disponibile (e quindi tecnicamente utilizzabile) all’esterno. Occorre, infatti, tener conto dei lavori di immissione (p1v1) nel sistema e di estrazione
(-p2v2) dal sistema. Pertanto si ha che il lavoro disponibile esternamente è dato dalla differenza fra quello che il fluido fornisce nella sua espansione ( 2
1 pdv
) meno il lavoro di flusso (p2v2-p1v1) e quindi: 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ( ) L
p dv p v p v
v dp [33]ove si è tenuto presente la regola dell’integrazione per parti del primo integrale. Alla stessa relazione si perviene se si applica il metodo del bilancio per un sistema aperto. Infatti dovremmo scrivere per il sistema di Figura 8 la seguente equazione di bilancio energetico:
0
entrante tecnico uscente teorico
L L L L
Ovvero, con riferimento ai versi e ai valori indicati in figura:
1 tecnico' 2 Teorico 0
L L L L
che, noti gli stati 1 e 2 e la trasformazione termodinamica di espansione, diviene:
2
1 1 2 2 1 'tecnico
p v p v
pdvLche è la [33] che definisce il lavoro tecnico di un sistema termodinamico.
Quindi il lavoro tecnico è dato dall’area racchiusa dalla linea di trasformazione (vedi Figura 10) e l’asse delle pressioni. Il segno negativo dell’integrale si giustifica osservando che se la pressione cresce il volume decresce e viceversa.
p1v1 p2v2 2 1 L
pdv 2 1 ' L
vdp L1 L2Figura 8: Lavoro tecnico di un sistema termodinamico
Se ricordiamo la definizione di entalpia data dalla [5] e differenziamo ambo i membri si ottiene: Q dh du pdv vdp q vdp da cui si ricava: q dh vdp [34]
Questo risultato, già trovato in precedenza, è di grande importanza nella Termodinamica Applicata. Esso dimostra come l’entalpia sia, in genere, il potenziale termodinamico di maggiore interesse per le applicazioni tecniche e ingegneristiche. Inoltre, come già accennato in precedenza, dalla [34] si ricava che:
Per trasformazioni adiabatiche (q=0) si ha vdp dh e quindi il lavoro tecnico è pari alla diminuzione di entalpia42;
Per trasformazioni isobare (dp=0) si ha (q = dh) e quindi il calore scambiato è dato ancora dalla variazione di entalpia.
Pertanto l’entalpia fornisce le variazioni del lavoro tecnico e del calore scambiato nelle due trasformazioni termodinamiche più usate nell’impiantistica termotecnica. Si vedranno in seguito alcune importanti applicazioni.
3.4 PIANO TERMODINAMICO DI CLAPEYRON
Nei paragrafi precedenti si è spesso utilizzato, per le rappresentazioni grafiche delle trasformazioni termodinamiche esaminate, il piano (p,v) detto Piano di Clapeyron. In esso si ha in ascisse il volume specifico del fluido e in ordinate la pressione. Questo piano ha assunto grandissima importanza ed è uno dei riferimenti fondamentali per l’Ingegneria Meccanica poiché riporta in assi due grandezze meccaniche direttamente misurabili.
Oltre al diagramma (p,v) si può spesso utilizzare anche il piano (p,V) che riporta in ascisse il volume totale del fluido. Questo diagramma non può essere considerato un diagramma termodinamico poiché si riferisce ad una ben precisa massa di fluido (V =mv).
Esso, però, riveste grande importanza pratica perché è immediatamente fornito sperimentalmente riportando in ascisse lo spostamento di una indicatore solidale con la parete del pistone in un cilindro motore.
La rappresentazione delle trasformazioni mediante curve di spessore ideale costituisce una implicita affermazione che esse sono reversibili. Tutti i calcoli relativi a grandezze di scambio ottenuti da queste rappresentazioni (lavoro, energia termica, …) sono, per conseguenza, ideali nel senso che non tengono conto delle perdite reali che comunque sono presenti.
Il lavoro ideale (vedi Figura 9) è quindi maggiore del lavoro reale della trasformazione e così pure il calore scambiato calcolato risulta in difetto del termine di dissipazione.
Nel piano (pv) si possono rappresentare facilmente le grandezze meccaniche (p e v) con segmenti paralleli agli assi cartesiani mentre le grandezze termiche sono rappresentate da curve spesso di difficile tracciamento.
Una isoterma, ad esempio, è rappresentata da un ramo di iperbole equilatera (come si deriva dall’equazione caratteristica pv =RT).
Una isoentalpica ha andamento coincidente con l’isotermica per un gas ideale ma può avere diverso andamento per un fluido reale43. Analogamente sul piano di Clapeyron è possibile calcolare il lavoro tecnico come area sottesa dall’asse delle ordinate e la curva di trasformazione considerata, come indicato in Figura 10.
Si osservi che un piano termodinamico è sempre riferito ad 1 kg massa di sostanza.
v p A B Reve rsibile B A L
pdvFigura 9: Lavoro ideale nel piano di Clapeyron
Spesso si utilizzano diagrammi riferiti a masse diverse o anche variabili, come, ad esempio, nei diagrammi all’indicatore o di Watt ottenuti ponendo in ascissa il volume totale occupato da un fluido di lavoro in un cilindro e in ordinate la pressione in esso regnante.
43 Giustificheremo nel prosieguo (vedasi l’Effetto Joule Thompson) questa diversità fra isoentalpica ideale e isoentalpica reale.
v p A B Reve rsibile B tecnico A L
vdpFigura 10: Lavoro tecnico nel piano di Clapeyron
Questo tipo di diagramma è ottenuto mediante un collegamento automatico di un pennino scrivente collegato al pistone (ascisse) e con movimento in verticale collegato alla pressione.
Il diagramma di Watt non va confuso con il piano di Clapeyron che è un piano termodinamico.