SECONDO ASSIOMA DI KARATHEODARY

Consideriamo la trasformazione irreversibile (ma adiabatica, vedi Figura 22) che porta dal punto 1 al punto 2 e la trasformazione reversibile 1-2 (compressione reversibile) ed inoltre sia isovolumica la 3-1. Il secondo postulato di Karatheodary dice che la T2R è sempre minore della T2

ottenuta con la trasformazione reale.

1 3 2

v p

Figura 22: Rappresentazione nel piano (p,v) di una trasformazione irreversibile

Si dimostra infatti, anche alla luce di quanto detto nel paragrafo precedente e dell’eguaglianza di Clausius, che se non fosse valido l’assioma di Karatheodary si avrebbe una produzione di entropia negativa. Ciò risulta importante in quanto stabilisce che non si possono raggiungere alcuni stati attraverso processi solamente adiabatici quando è raggiunto il volume finale

4.8 CONFRONTO FRA TERMODINAMICA CLASSICA E IRREVERSIBILE

Alla luce dell’eguaglianza di Clausius possiamo dire che il Secondo Principio della Termodinamica si può anche enunciare dicendo che esiste per un sistema termodinamico una funzione, detta entropia, che è somma di due componenti: quella proveniente dall’esterno e quella

prodotta internamente. La produzione di entropia interna è sempre positiva o nulla (caso ideale di trasformazioni reversibili) e pertanto si conclude che tutte le trasformazioni reali sono

irreversibili.

L’irreversibilità può quindi essere associata alla produzione interna di entropia e questa, alla luce delle considerazioni di Boltzmann, alle nozioni di ordine interno del sistema.

Occorre qui puntualizzare qualcosa sul concetto di disordine e ordine di un sistema termodinamico per non cadere in conclusioni affrettate ed errate.

Se consideriamo due recipienti contenenti idrogeno ed azoto a temperatura uniforme si può immaginare che la distribuzione atomica e molecolare dei due componenti sia piuttosto uniforme nei due serbatoi. Se ora portiamo uno dei due serbatoi a temperatura diversa da quella del primo allora si può pensare che l’idrogeno, atomo molto più piccolo dell’azoto, oscillerà maggiormente e pertanto nasceranno disomogeneità evidenti della distribuzione che troverà accumuli di idrogeno da una parte e di azoto dall’altra.

Il sistema appare, allora più ordinato nel senso che le due specie molecolari sono distribuite più disomogeneamente nei due serbatoi. Il fenomeno sopra descritto è detto di antidiffusione. Ordine e disordine appaiono contemporaneamente e sembrano contraddire il ragionamento di

Boltzmann. In realtà occorre vedere le cose con un punto di vista diverso dal classico.

Per la Termodinamica Classica un cristallo rappresenta un esempio di ordine mentre un moto turbolento rappresenta il disordine, il non equilibrio. Eppure la turbolenza è altamente

strutturata e coerente e, così come il caos, tende alla simmetria dei sistemi.

Alla luce di numerose osservazioni possiamo oggi dire che nel dominio dell’equilibrio si hanno considerazioni potenzialmente errate e spesso inconcludenti (vedasi il passaggio di stato di

un cristallo, ordinato, che fonde in un liquido, più disordinato, e che può ritornare cristallo reversibilmente!).

Nel dominio del non equilibrio si stabiliscono nuove relazioni e interazioni di lunga portata: l’universo non in equilibrio è coerente e ciò contraddice tutto quanto stabilito dalla

Termodinamica Classica.

Le Celle di Bénard, ad esempio, sono strutture regolari a celle chiuse molto utilizzate nei sistemi di disperdimento del calore53. In esse si ha la formazione di moti vorticosi quando si riscalda il fluido dal basso. Tali moti vorticosi trasmettono il calore più efficacemente della sola conduzione termica.

In pratica abbiamo l’istaurarsi di fenomeni coerenti che sembrano contraddire la visione dell’ordine boltzmaniano. Queste strutture di non equilibrio sono dissipative e possono rappresentare una biforcazione termodinamica del sistema di partenza: celle fredde e celle calde.

Strutture dissipative

Un sistema termodinamico può essere descritto54 in forme diverse a seconda della distanza dall’equilibrio. Lontano dall’equilibrio si possono generare strutture dissipative molto sensibili alle condizioni al contorno del sistema (massa, superfici, forze, …).

Le strutture dissipative possono, per certi condizionamenti esterni o con il superamento di alcuni valori limiti dei parametri condizionanti, esaltare l’instabilità in modo tale da generare altri tipi di instabilità. In questo modo l’evoluzione temporale del sistema determina anche le trasformazioni che questo può subire e pertanto il tempo non è più, in senso galileiano, un grandezza omogenea che non esercita alcun effetto sugli eventi fisici.

Allo stesso modo lo spazio, in senso euclideo, non è più isotropo in quanto le rotazioni e le traslazioni55 possono modificare la descrizione del mondo fisico legata all’evoluzione del sistema. In definitiva la concezione delle strutture dissipative infrange la concezione euclidea e galileiana di spazio e tempo incapaci di interagire con le trasformazioni del sistema.

53 Si osservino, per avere un’idea delle celle di Bénard, i sistemi di raffreddamento delle lampade dei proiettori luminosi.

54 Nel senso di definizione fisico-matematica.

Una struttura dissipativa può distruggere l’omogeneità del tempo e dello spazio poiché si hanno interazioni forti con il sistema che a sua volta può subire trasformazioni che chiameremo biforcazioni.

Biforcazioni

Una biforcazione è una nuova soluzione delle equazioni differenziali descrittive del fenomeno per effetto di alcuni valori critici delle condizioni al contorno56.

La nascita di una biforcazione e di quindi di un nuovo sistema termodinamico rende il tempo

asimmetrico57 poiché esso testimonia della storia evolutiva del sistema stesso.

La successioni delle trasformazioni dei sistemi termodinamici per effetto delle biforcazioni conseguente alla nascita delle strutture dissipative è segnata dal tempo che assume un significato di indicatore biologico della vita di un sistema termodinamico. In Figura 23 si ha un esempio di biforcazione successiva di un sistema termodinamico per effetto della variazione del parametro p: A e A’ rappresentano punti di biforcazione primaria del sistema mentre B e B’ rappresentano biforcazioni secondarie.

56 Si vedranno nel corso della Trasmissione del Calore le equazioni di Navier Stokes e dell’energia per i fluidi. Ad esse si aggiungono anche le equazioni di equilibrio alla diffusione chimica (Legge di Fick) e di equilibrio chimico (reazione dei componenti che compongono il fluido, ad esempio durante una combustione). L’insieme di queste equazioni differenziali del secondo ordine, non omogenee e non lineari costituisce la descrizione fisica del sistema termodinamico fluido in movimento. La risoluzione di quest’insieme di equazioni differenziali non è semplice ed anzi rappresenta una dei problemi più ardui della Scienza e della Tecnica. La non linearità delle equazioni, ad esempio per i soli fenomeni meccanici:

 

2

Conservazione della Massa:

0

Conservazione della quantità di moto: u Du P F u D  _             

è la causa della complessità del fenomeno e della possibile biforcazione del sistema con la nascita di strutture dissipative, come nelle già citate celle di Bénard.

57 Il termine simmetria risale ai greci, che con esso indicavano una nozione strettamente legata a quelle di proporzione ed armonia. L’accezione moderna è fondata invece sul concetto di relazione d’uguaglianza tra elementi in qualche modo opposti (si pensi all’uguaglianza tra le parti destre e sinistre di una figura). Nella scienza contemporanea la simmetria ha il senso ben preciso di “invarianza rispetto ad un gruppo di trasformazioni”. Il tipo delle trasformazioni (riflessioni, rotazioni, traslazioni, permutazioni…) definisce il tipo di simmetria (simmetrie di riflessione, di rotazione, di traslazione, di scambio…) e la natura gruppale delle trasformazioni (cioè il fatto che esse costituiscano un gruppo in senso matematico) traduce sul piano formale il tipo di unità intrinseca al concetto di simmetria. Con una simile accezione la simmetria ha acquistato una posizione del tutto centrale nella descrizione, spiegazione e previsione dei fenomeni naturali. Le simmetrie sono di diversi tipi ed hanno significato e funzioni diverse a seconda degli ambiti in cui sono applicate, ed in generale quali tra esse siano rilevanti per la descrizione della natura dipende da quale dominio fenomenico si considera. Nella Fisica classica ad ogni simmetria del sistema (o della sua lagrangiana) corrisponde una certa grandezza, a essa legata, che si conserva. Così, ad esempio, se la lagrangiana (che caratterizza una classe di sistemi dinamicamente equivalenti) non varia in corrispondenza di una traslazione delle coordinate:

i i i

q  q q

si ha la conservazione dell’impulso pi. Ogni qual volta si rompe una simmetria, o si ha una diminuzione del suo ordine, deve nascere un campo che la ricrei localmente o globalmente. Con il termine “globale” si intende che essa accade in tutti i punti dello spazio e nello stesso istante; mentre per una simmetria “locale” si può decidere una convenzione indipendentemente per ogni punto dello spazio e per ogni istante del tempo. Il termine “locale” può far pensare ad un dominio più modesto che non una simmetria globale, ma in realtà un tale requisito fissa un vincolo ben più rigoroso alla costruzione di una teoria. Una simmetria globale afferma che alcune leggi fisiche restano invarianti quando si applica contemporaneamente la stessa trasformazione in qualsiasi punto. Perché sia possibile osservare una simmetria locale le leggi fisiche devono mantenere la loro validità anche quando ha luogo una diversa trasformazione in ogni punto dello spazio e del tempo.

Come si può osservare dalla Figura 23, l’interpretazione degli stati termodinamici non è possibile senza la conoscenza della storia della sua evoluzione. Si può dire che un sistema

termodinamico segue le regole deterministiche della Termodinamica Classica quando si evolve fra le biforcazioni A ed A’ mentre segue un comportamento probabilistico quando si avvicina ai punti di possibile biforcazione poiché in questi punti le fluttuazioni delle strutture dissipative giocano un

ruolo fondamentale nella determinazione del ramo che il sistema dovrà seguire. Nella successiva Figura 24 si ha una schematizzazione di biforcazioni primarie, sulla base del solo parametri p, successive del ramo termodinamico. Quanto sopra accennato si collega direttamente alle strutture

caotiche che oggi trovano grande interesse negli studi termodinamici ed applicativi.

A B A' B' B''  Figura 23: Esempio di biforcazioni successive

Ad esempio nella circolazione naturale di un fluido sottoposto a riscaldamento nel tratto BA mediante una resistenza elettrica, vedi Figura 25, e a raffreddamento nel tratto EF, si hanno andamento della temperatura variabile in funzione della potenza di riscaldamento. Alla potenza di 100 W si ha la situazione di Figura 26 a sinistra nella quale si sono riportati gli andamenti delle temperature T5 , T4 e T2, con uno sfasamento di 5  con  = 0.1 s, in diagrammi di stato.

 Figura 24: Esempio di biforcazioni primarie successive

Figura 25: Schematizzazione di un circuito a circolazione naturale

Se forniamo 900 W di potenza al fluido allora si ha instabilità e i diagrammi degli attrattori divengono quelli di Figura 26 a destra. In questo caso le curve di stato mostrano percorsi chiusi che denotano oscillazioni58 termiche tipiche dell’instabilità del sistema.

In queste condizioni si sono attivate strutture dissipative che hanno generato un comportamento instabile e al tempo stesso complesso del sistema considerato.

15 20 25 30 35 15 20 25 30 35 T2(t) T 2 (t + 5 ta u ) 15 20 25 30 35 15 20 25 30 35 T 5 (t + 5 ta u ) T5(t) -5 0 5 10 15 20 25 -10 0 10 20 DT(t) D T (t + 5 ta u ) 40 45 50 55 60 40 45 50 55 60 T2(t) T 2 (t + 5 ta u ) 35 40 45 34 36 38 40 42 44 T5(t) T 5 (t + 5 ta u ) 0 5 10 15 20 -5 0 5 10 15 20 DT(t) D T (t + 5 ta u )

Figura 26: Andamento degli attrattori per protestabili (sinistra) e instabili (destra)

58 Se si portano in assi cartesiani le ampiezze di due sinusoidi in fase si ha una circonferenza o, in generale, una ellisse (detti di Lissajou). Pertanto una oscillazione stabile è rappresentata da una ellisse. Se le curve descritte sono curve chiuse ma non coincidenti allora le oscillazioni sono di ampiezza variabile, tipiche dei fenomeni instabili.

Tale comportamento può essere studiato utilizzando le equazioni costitutive del fenomeno (le equazioni di Navier Stokes e dell’energia) le quali, proprio per la loro natura non lineare generano instabilità, quindi oscillazioni e quindi biforcazioni.

Lo studio analitico di quanto qui accennato esula dalla portata del presente corso di studi. Si rinvia alla letteratura scientifica per ulteriori dettagli.