A NALISI DINAMICA LINEARE

L’analisi dinamica modale è basata sulla ricerca dei modi di vibrare di una struttura e i periodi di ogni singolo modo ne sono i risultati.

Questo tipo di analisi consiste:

nella determinazione dei modi di vibrare della costruzione (analisi modale);

nel calcolo degli effetti dell’azione sismica, rappresentata dallo spettro di risposta di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare individuati;

nella combinazione di questi effetti.

La risposta dinamica di sistemi semplici ad un grado di libertà è governata dall’equazione: 𝑚 ⋅ 𝑢̈(𝑡) + 𝑐 ∙ 𝑢̇(𝑡) + 𝑘 ∙ 𝑢(𝑡) = 𝑓(𝑡)

Nella quale:

𝑚, massa del sistema; 𝑐, costante di smorzamento; 𝑘, costante elastica del sistema;

𝑢(𝑡), spostamento relativo della massa oscillante e la base del sistema vincolata al suolo; 𝑓(𝑡), rappresenta una qualsiasi azione variabile nel tempo.

In caso di sisma è possibile scrivere la precedente equazione in questo modo: 𝑚 ⋅ 𝑢̈(𝑡) + 𝑐 ∙ 𝑢̇(𝑡) + 𝑘 ∙ 𝑢(𝑡) = −𝑚 ∙ 𝑢̈_𝑔(𝑡)

Essendo tale equazione non risolvibile in forma chiusa, si può utilizzare l’integrale di Duhamel, rappresentando l’accelerogramma relativo al terreno 𝑢̈_𝑔(𝑡) come una serie di impulsi di durata infinitesima.

Ciò che interessa sono i valori massimi 𝑢𝑚𝑎𝑥 dello spostamento 𝑢(𝑡) nel tempo, ai quali

corrispondono le massime sollecitazioni. Facendo variare il periodo 𝑇 e mantenendo costante lo smorzamento, si costruisce il diagramma che mette in relazione i massimi spostamenti con i relativi periodi. Tale diagramma è definito spettro di risposta in spostamento 𝑆_𝑑(𝑡).

Se si vuole ottenere lo spettro di risposta in accelerazione: 𝑆_𝑎(𝑇) = 𝜔2_{∙ 𝑆}

104 Dove: 𝜔 =2 ∙ 𝜋 𝑇 = √ 𝑘 𝑚 è la pulsazione naturale del sistema.

La quantità 𝜔2∙ 𝑢𝑚𝑎𝑥, che ha dimensioni di un’accelerazione, è detta pseudo-accelerazione

e, negli istanti in cui lo spostamento assume i valori massimi, coincide con l’accelerazione assoluta dell’oscillatore. La velocità è nulla e quindi anche il termine dissipativo risulta nullo. Per la seconda legge di Newton, l’oscillatore soggetto ad un’accelerazione (𝑢̈(𝑡) + 𝑢̈𝑔(𝑡)) è

soggetto ad una forza inerziale proporzionale alla massa per l’accelerazione: 𝐹 = 𝑀 ∙ 𝜔2∙ 𝑢_𝑚𝑎𝑥 = −𝑘 ∙ 𝑢_𝑚𝑎𝑥

Considerando invece un sistema a più gradi di libertà (MDOF), vale anche in questo caso: [𝑀] ∙ 𝑢̈(𝑡) + [𝐶] ∙ 𝑢̇(𝑡) + [𝐾] ∙ 𝑢(𝑡) = 𝐹(𝑡)

Nella quale si ha:

[𝑀], matrice delle masse del sistema; [𝐶], matrice degli smorzamenti del sistema; [𝐾], matrice delle rigidezze del sistema; 𝑢(𝑡), vettore degli spostamenti;

𝐹(𝑡), vettore della forzante esterna.

Questa è un’equazione che rappresenta un sistema di equazioni differenziali pari al numero di gradi di libertà del sistema.

Per determinare le oscillazioni libere non smorzate del sistema si considera nulla la matrice degli smorzamenti [𝐶] e l’assenza di 𝐹(𝑡); l’equazione risulta la seguente:

[𝑀] ∙ 𝑢̈(𝑡) + [𝐾] ∙ 𝑢(𝑡) = 0

Vista la necessita di complesse integrazioni numeriche, è possibile esprimere 𝑢(𝑡) in questo modo:

105 𝑢(𝑡) = 𝜙 ∙ 𝑞(𝑡) Dove:

𝜙, è il vettore di componenti costanti nel tempo che definisce la forma dell’oscillazione; 𝑞(𝑡), è una funzione variabile nel tempo.

Si può riscrivere l’equazione precedente nella forma:

[𝑀] ∙ 𝜙 ∙ 𝑞̈(𝑡) + [𝐾] ∙ 𝜙 ∙ 𝑞(𝑡) = 0 Ponendo:

𝜔2 = −𝑞̈(𝑡) 𝑞(𝑡) L’equazione si semplifica così:

([𝐾] − 𝜔2_{∙ [𝑀]) ∙ 𝜙 = 0}

Soluzioni diverse da quella banale si hanno ponendo uguale a zero il determinante della matrice dei termini noti:

𝑑𝑒𝑡([𝐾] − 𝜔2_{∙ [𝑀]) ∙ 𝜙 = 0}

Questa espressione rappresenta un’equazione di grado n nelle incognite 𝜔2. Quindi la soluzione è composta da n valori delle frequenze proprie 𝜔𝑖 del sistema, dette autovalori del

sistema.

Da queste è possibile determinare i rispettivi periodi T tramite la seguente relazione: 𝑇_𝑖 =2 ∙ 𝜋

𝜔_𝑖

A ciascuna frequenza è possibile associare il corrispondente autovettore 𝜙. Questi vettori sono definiti “forme modali del sistema” e descrivono i modi di vibrare di un sistema.

E’ possibile dimostrare, attraverso le proprietà di ortogonalità dei modi di vibrare, che questi sono indipendenti tra di loro e che si può descrivere un oscillatore a più gradi di libertà come somma di più oscillatori semplici.

106 𝑚_𝑗∗ =(𝜙𝑗

𝑡_{∙ [𝑀] ∙ {𝑅})}2

𝜙_𝑗𝑡∙ [𝑀] ∙ 𝜙_𝑗

Dove 𝑅 è il vettore di trascinamento caratterizzato da componenti di valore unitario. In un sistema MDOF a n piani con masse concentrate negli impalcati vale:

𝑚_𝑗∗= (∑ 𝑚𝑖 ∙

𝑛

𝑖=1 𝜙𝑖𝑗) 2

∑𝑛_𝑖=1𝑚_𝑖 ∙𝜙_𝑖𝑗2

L’analisi dinamica modale riferita allo spettro di risposta di progetto ed applicata ad un modello tridimensionale della struttura è, per la normativa, il metodo normale da utilizzare per la ricerca delle sollecitazioni di progetto.

Solitamente in caso di irregolarità in altezza e in pianta è opportuno utilizzare questo tipo di analisi applicandola ad un modello spaziale.

Il numero di modi propri di vibrare di una generica struttura è pari ai gradi di libertà del sistema. Visto che nella progettazione non è possibile prendere in considerazione tutti i modi di vibrare, che potrebbero essere molti, e che solo i primi forniscono un contributo sostanziale all’assorbimento dell’azione sismica, allora si utilizza come parametro limite la massa partecipante.

La massa partecipante è definita come quella massa che moltiplicata per l’ordinata spettrale fornisce il taglio alla base della struttura in corrispondenza dell’i-esimo modo di vibrare. La somma delle masse partecipanti di tutti i modi di vibrare è pari alla massa totale dell’edificio. La massa partecipante espressa in percentuale della totale indica l’entità complessiva del contributo del singolo modo.

La normativa indica che devono essere considerati tutti i modi con massa partecipante significativa. In particolare, è opportuno considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%. Nel caso di modelli tridimensionale questa condizione deve essere verificata per entrambe le direzioni principali.

107

Per valutare gli effetti torsionali accidentali si procede spostando il baricentro delle masse della quantità pari all’eccentricità accidentale.

L’analisi dinamica lineare consente di calcolare le sollecitazioni agenti su ciascun elemento per ogni modo di vibrare considerato; queste vengono combinate secondo una Combinazione Quadratica Completa (CQC) degli effetti relativi a ciascun modo, definita in questo modo dalla normativa: 𝐸 = (∑ ∑ 𝜌_𝑖𝑗 ∙ 𝐸_𝑖∙ 𝐸_𝑗 𝑗 𝑖 ) 1/2 Dove:

𝐸_𝑗, è il valore dell’effetto relativo al modo j;

𝜌_𝑖𝑗, coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j, calcolato con questa formula:

con 𝜀𝑖,𝑗 che rappresenta lo smorzamento viscoso dei modi i e j e 𝛽𝑖,𝑗 è il rapporto tra l’inverso

108 7.2.2 Risultati analisi modale

L’analisi modale è stata svolta con l’ausilio del software Aedes PCM. L’analisi ha permesso di determinare i modi di vibrare della struttura con in relativi periodi di vibrazione e masse partecipanti.

Come prescritto dalle NTC2008 sono stati considerati tutti i modi con massa partecipante maggiore del 5%, e comunque in numero sufficiente ad ottenere una massa partecipante totale pari ad almeno l’85% di quella dell’intera struttura. La seguente tabella riassuntiva descrivere efficacemente i risultati ottenuti: ad ogni modo di vibrare è associato il periodo e la massa partecipante in ogni direzione. Nelle ultime colonne sono riportate le sommatorie di massa partecipante in termini percentuali sulla massa dell’intero edificio:

Modo T[sec] Mx [%] My [%] Σ Mx [%] Σ My [%]

1 0.887 95.9 0 95.9 0

2 0.63 0.3 30.6 96.3 30.6

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Modo1

110

111

112 Pressoflessione complanare

Piano terra

Piano1

113 Taglio fessurazione diagonale

114 Pressoflessione ortogonale

115

Per un’efficace sintesi dei risultati si riportano le schede estratte dal software dove per ogni verifica è riportata la percentuale di elementi verificati, e l’indice sicurezza (il rapporto tra meccanismo resistente e sollecitazione corrispondente) più basso tra quelli non soddisfatti:

Verifica Maschio X Maschio Y IR

Pressoflessione comp Asta 405 0.32

Taglio Asta 59 0.64

116 7.2.3 RISULTATI ANALISI PUSHOVER TRAMITE E-PUSH

L’analisi svolta parte da alcune ipotesi che come approfondito nel capitolo 3, sono alla base del modello di calcolo.

 l’analisi considera il solo meccanismo di rottura di taglio fessurazione diagonale, senza quindi considerare eventuali rotture per pressoflessione dei maschi murari in fase sismica;

 nell’analisi non è stata considerata la rigidezza fuori piano dei maschi murari. La scelta risulta un’approssimazione accettabile in quanto la rigidezza nel piano della muratura è molto maggiore di quella fuori piano;

 l’analisi svolta ha considerato l’intera altezza del maschio murario come altezza deformabile, senza considerare zone rigide con sviluppo a 30° dalle aperture che andassero a limitare la zona deformabile;

 nell’analisi svolta la sollecitazione di taglio – dovuta al campo di spostamento a cui è soggetta la struttura – passa dal maschio sovrastante a quello sottostante direttamente, senza che l’intero taglio di piano sia distribuito a tutti i maschi secondo le loro rigidezze dall’impalcato rigido.

A titolo di esempio riportiamo i dati di input del piano terra.

Contenente

Lx : lunghezza parete direzione x

Ly: lunghezza parete direzione y

B(x,y): coordinate baricentro

s : tensione agente sulla parete

H altezza parete

t resistenza a taglio

E modulo elastico (G · 6)

G modulo elastico tangenziale (t· 2000)

fd resistenza a compressione

γ peso specifico muratura

117 SETTO L X (m) L Y (m) BX (m) BY (m) s (t/mq) H (m) t (t/mq) m E G fd (t/mq) γ(t/mc) α 1 1.37 0.30 14.59 19.93 52.92 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 2 1.37 0.30 18.16 19.93 52.92 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 3 1.80 0.50 0.90 16.33 46.36 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 4 0.89 0.50 4.65 16.33 85.89 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 5 1.81 0.50 8.40 16.33 54.28 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 6 0.91 0.50 11.75 16.33 73.90 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 7 0.96 0.50 15.78 16.33 56.52 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 8 1.44 0.50 18.87 16.33 58.48 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 9 0.99 0.50 22.48 16.33 97.03 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 10 3.57 0.50 2.19 8.45 54.44 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 11 3.56 0.50 8.52 8.45 68.61 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 13 5.32 0.50 19.61 8.45 52.22 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 14 3.67 0.50 25.06 8.45 48.89 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 15 1.70 0.50 0.85 0.25 45.16 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 16 1.60 0.50 4.90 0.25 59.21 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 17 2.20 0.50 8.95 0.25 57.73 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 18 1.20 0.50 11.87 0.25 63.84 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 19 1.12 0.50 15.42 0.25 65.75 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 20 2.20 0.50 18.41 0.25 53.44 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 21 1.45 0.50 22.50 0.25 60.81 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 22 1.67 0.50 26.45 0.25 44.01 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 23 _{0.40 15.58 0.20 8.29} 25.41 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 90 24 0.30 1.50 14.13 19.03 23.62 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 90 25 0.30 1.50 18.62 19.03 23.66 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 90 26 0.40 16.08 27.09 8.54 25.45 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 90 27 _{0.12 5.88 15.38 13.14} 31.94 5.25 7.60 1.50 91200 15200 320 1.8 90 28 0.12 6.11 18.53 13.02 31.53 5.25 7.60 1.50 91200 15200 320 1.8 90 29 0.12 6.40 10.22 3.70 22.90 5.25 7.60 1.50 91200 15200 320 1.8 90 30 0.12 6.40 17.03 3.70 21.08 5.25 7.60 1.50 91200 15200 320 1.8 90 34 0.30 1.70 14.13 17.43 9.45 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 90 35 0.30 1.70 18.62 17.43 9.45 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 90 31 1.30 0.50 4.62 8.45 31.77 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 32 _{1.05 0.50 9.83 16.33} 20.46 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0 33 1.45 0.50 14.58 16.33 24.68 5.25 2.60 1.50 31200 5200 140 1.9 0

118

Partendo da queste ipotesi semplificative l’algoritmo ha restituito i seguenti risultati di output: l’indicazione delle curve di capacità per i maschi afferenti ad ogni singolo piano dell’edificio, la curva di capacità totale, la curva di capacità sul diagramma ADRS e l’indicazione dei maschi che risultano collassati con riferimento all’ultimo passo della pushover; queste analisi svolte – come di consueto – con riferimento al controllo di duttilità e al drift di piano. Di seguito si riportano le curve di capacità e il riferimento ai maschi collassati nel caso del controllo di duttilità:

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Ricordiamo che l’analisi svolta dall’algoritmo E-Push ha considerato la sola distribuzione di forze lineare proporzionali alle forze statiche (Tipologia A), dunque per fare un primo confronto preliminare con le analisi svolte con il software Aedes PCM si deve porre l’attenzione solo sulle analisi che presentano la stessa distribuzione di carico. I maschi collassati all’ultimo passo della pushover non coincidono tra i due software.

Di seguito si riportano le curve di capacità calcolate da E-Push: nel diagramma è possibile apprezzare le curve divise piano per piano (che quindi indicano gli spostamenti relativi dei muri appartenenti ad ogni singolo impalcato) e la totale:

infine si riporta la curva ADRS con riportato lo spettro di risposta elastico allo Stato Limite di salvaguardia della Vita, lo spettro relativo al periodo di ritorno del sisma che porta al collasso la struttura e la bilineare equivalente rappresentante la capacità della struttura.

L’indice di rischio calcolato è il minore tra quelli delle due direzioni considerate: IR=0.52 a cui è associato un’azione sismica con periodo di ritorno di 174 anni.

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Le analisi sono state ripetute utilizzando il drift di piano per definire la deformazione ultima dei maschi murari. L’analisi ha condotto ai seguenti risultati:

121 L’indice di rischio risulta IR=0.61

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