sta calcolando la tavola di mortalità abbreviata (ad esempio, la regione a cui appartiene la provincia considerata). In questo caso i valori, ad esempio, di 5𝑎𝑥 possono essere ottenuti come segue:
5𝑎𝑥 = 0,5𝑑𝑥 + 1,5𝑑𝑥+1 + 2,5𝑑𝑥+2 + 3,5𝑑𝑥+3 + 4,5𝑑𝑥+4 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥+1 + 𝑑𝑥+2 + 𝑑𝑥+3 + 𝑑𝑥+4
Problema della stima di 𝒏𝒂𝒙
B) stimare i valori di 𝑛𝑎𝑥 da informazioni sulla distribuzione per età dei decessi (𝑑 𝑎 ) nella tavola di mortalità, assumendo che questa distribuzione assuma la forma di una funzione polinomiale di secondo grado nell’intervallo x-n e x+2n (𝑑 𝑎 = 𝐴 + 𝐵𝑎 + 𝐶𝑎2).
In base a questa assunzione Keyfitz ha mostrato che:
𝑛𝑎𝑥 = − 𝑛
24 𝑛𝑑𝑥−𝑛 + 𝑛
2 𝑛𝑑𝑥 + 𝑛
24 𝑛𝑑𝑥+𝑛
𝑛𝑑𝑥
Questa equazione produce una stima di 𝑛𝑎𝑥 = 𝑛/2 quando i decessi sono uniformemente distribuiti nei tre gruppi di età. Naturalmente questa equazione richiede che sia stata preventivamente costruita la tavola di mortalità abbreviata, ad esempio utilizzando la formula più semplice di passaggio dai tassi alle probabilità ( 𝑛𝑚𝑥 → 𝑛𝑞𝑥ሻ che assume
𝑛𝑎𝑥 = 𝑛/2, in modo da poter disporre di una prima stima della serie dei 𝑛𝑑𝑥 da utilizzare per ottenere una nuova serie di 𝑛𝑎𝑥 da stimare con l’equazione proposta. Questa operazione si potrà ripetere più volte fino ad arrivare a stime stabili dei valori di 𝑛𝑎𝑥. Nei fatti saranno sufficienti due o tre iterazioni della procedura. Un limite di questa soluzione è che non permette la stima dei valori di 𝑛𝑎𝑥 nella prima e nell’ultima classe di età e richiede inoltre che tutte le classi di età considerate abbiano la stessa ampiezza (lo stesso modulo). Tale soluzione non è applicabile per le età da 0 a 4 anni compiuti che generalmente sono distinte in una prima classe di ampiezza uno e in una seconda di ampiezza quattro.
Se la mortalità infantile è calcolata in modo corretto rapportando i decessi a zero anni compiuti di una data generazione al numero delle nascite di tale generazione, si ha direttamente la probabilità di morte a zero anni e non sono necessari passaggi ulteriori.
Quando si calcolano i tassi di mortalità a 0 anni e nella classe di età 1-4 anni compiuti, occorre poi passare alle probabilità di morte. In questo caso occorre tenere presente che il valore di 𝑛𝑎𝑥 è in funzione del livello della mortalità infantile. Più basso è il livello di mortalità e più concentrati nei primi giorni e settimane di vita sono i decessi, in quanto i fattori endogeni di mortalità, legati a tare ereditarie, malformazioni congenite e altre patologie connesse al parto, risultano sempre più prevalenti rispetto ai fattori esogeni legati all’ambiente esterno (condizioni igienico sanitarie, alimentazione, infezioni stagionali, ecc.).
Preston, Heuveline e Guillot sulla base degli studi fatti da Coale e Demeny hanno riadattato i risultati al fine di fornire una strategia, in assenza di altre informazioni, per stimare i valori di 𝑛𝑎𝑥 sulla base dei livelli della mortalità infantile ( 1𝑚0):
Maschi Femmine
Valore di 𝑎1 0
- se 𝑚1 0 ≥ 0,107 0,330 0,350
- se 𝑚1 0 < 0,107 0,045+2,684∙ 𝑚1 0 0,053+2,800∙ 𝑚1 0 Valore di 𝑎4 1
- se 𝑚1 0 ≥ 0,107 1,352 1,361
- se 𝑚1 0 < 0,107 1,651-2,816∙ 𝑚1 0 1,522-1,518∙ 𝑚1 0 Fonte: Preston et al., 2001.
Una soluzione alternativa per il passaggio dai tassi alle probabilità ( 𝑛𝑚𝑥 → 𝑛𝑞𝑥ሻ, che non passa dalla stima dei valori di 𝑛𝑎𝑥, è quella che si avvale di funzioni analitiche che si basino sul legame verificato empiricamente tra𝑛𝑞𝑥. e 𝑛𝑚𝑥. Ad esempio, Reed e Merrel hanno proposto la seguente funzione esponenziale:
5𝑞𝑥 = 1 − ex p[ − 5𝑚𝑥 ∙ 5 + 5𝑚𝑥 ൧
che permette di trasformale i tassi per classi quinquennali ( 5𝑚𝑥) nelle corrispondenti probabilità di morte ( 5𝑞𝑥), soluzione particolarmente soddisfacente al di là dei 5 anni di età.
Rimane da affrontare il cosiddetto problema della chiusura della tavola di mortalità dal momento che esiste un’ultima classe di età aperta che va da una data età fino all’età limite della vita. La probabilità di morte per i sopravviventi all’età corrispondente al limite inferiore della classe aperta finale, che per fini esemplificativi poniamo uguale a 85 anni, è per definizione uguale ad 1 poiché tutte le persone che arrivano a tale età sono destinate successivamente a morire. Il problema è però quello di determinare il numero di anni vissuti in quest’ultimo intervallo di età (𝑤−85𝐿85), che è anche uguale al valore di 𝑇85, necessario per determinare i valori di 𝑇𝑥 alle età precedenti e quindi tutti i valori di 𝑒𝑥. Una possibilità per la stima di𝑤−85𝐿85è tenere presente che su una tavola di mortalità valgono le seguentirelazioni:
𝑤−85𝑚85 = 𝑤−85𝑑85
𝑤−85𝐿85 = 𝑙85
𝑤−85𝐿85
in cui 𝑤−85𝑑85 = 𝑙85 visto che tutti i sopravviventi all’85-esimo compleanno moriranno successivamente. Mettendo in evidenza 𝑤−85𝐿85 si ottiene che
𝑤−85𝐿85 = 𝑙85
𝑤−85𝑚85
Pertanto, una stima degli anni vissuti nella classe di età aperta finale può essere ottenuta rapportando i sopravviventi all’età iniziale di tale classe al valore del tasso di mortalità empirico disponibile per la stessa classi. In sostanza, si ipotizza che il tasso di mortalità empirico sia uguale a quello teorico sconosciuto della tavola di mortalità.
Problema della chiusura della tavola (ultima classe di età aperta)
Età Sopravvi-
Principali formule di calcolo delle variabili biometriche di unatavola di mortalità abbreviata A questo punto sono disponibili gli elementi necessari per il calcolo di tutte le variabili biometriche di una tavola di mortalità abbreviata, utilizzando le relazioni richiamate nella tabella seguente.
Le relazioni tra le variabili biometriche sono le stesse che abbiamo osservato nel caso della tavola di mortalità completa. Occorre però fare molta attenzione ad alcune di esse e tenere bene a mente cosa comporta il fatto che ci si trovi di fronte a classi di età di ampiezza maggiore di uno. Si concentrerà l’attenzione sul calcolo degli anni vissuti (𝒏𝑳𝒙)e della vita media alla nascita (𝒆𝒙).
La stessa denominazione della variabile dovrebbe facilitare il calcolo degli anni persona che esprimeil numero di anni vissuti in un dato intervallo di età dai sopravviventi all’età esatta iniziale dell’intervallo considerato. In modo più esplicito, 𝑛𝐿𝑥 esprime il numero di anni vissuti dai sopravviventi all’età esatta x (𝑙𝑥) nell’intervallo di n anni compreso tra x e x+n. Tutti i sopravviventi all’età esatta x+n (𝑙𝑥+𝑛) avranno vissuto ciascuno n anni, mentre per quelli che muoiono nell’intervallo di età considerata (𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛 = 𝑛𝑑𝑥) si potrà supporre che vivano in media la metà del periodo (𝑛/2), pertanto la formula di calcolo è una delle tre di seguito riportate:
𝑛𝐿𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑙𝑥+𝑛 + 𝑛
Se quelli che muoiono non vivono in media metà del periodo ma un numero medio di anni pari ad 𝑛𝑎𝑥 allora le due formule precedenti vanno riscritte nel modo seguente:
𝑛𝐿𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑙𝑥+𝑛 + 𝑛𝑎𝑥 ∙ 𝑛𝑑𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑙𝑥 − (𝑛 − 𝑛𝑎𝑥ሻ ∙ 𝑛𝑑𝑥 = 𝑛𝑎𝑥 ∙ 𝑙𝑥 + (𝑛 − 𝑛𝑎𝑥ሻ ∙ 𝑙𝑥+𝑛
5𝐿𝑥 = 5 ∙ 𝑙𝑥+5 + 5𝑎𝑥 ∙ 5𝑑𝑥 = 5 ∙ 𝑙𝑥 − (5 − 5𝑎𝑥ሻ ∙ 5𝑑𝑥 = 5𝑎𝑥 ∙ 𝑙𝑥 + (5 − 5𝑎𝑥ሻ ∙ 𝑙𝑥+5
Ricordando che la vita media alla nascita (𝑒0 = 𝑇0 𝑙0) è anche uguale all’età media alla
con alcuni semplici passaggi si può mostrare come possa essere calcolata anche utilizzando esclusivamente la serie dei sopravviventi (𝑙𝑥). A tal fine si ricorda che il denominatore del rapporto, la somma dei decessi di tutte le età, è anche uguale alla radice della tavola (𝑙0), mentre il numeratore può essere riscritto nel modo seguente:
0,5 𝑑0