Tavole di mortalità e mortalità infantile

Tavole di mortalità e mortalità infantile

Corso di Demografia

(Salvatore Strozza)

La mortalità è un fenomeno ad eventi non rinnovabili che può essere studiato adeguatamente, sia per generazioni che per contemporanei attraverso una tavola di eliminazione. Per la costruzione di una tavola completa di mortalità del momento occorre preliminarmente calcolare le probabilità di morte per tutte le età. Ciascuna di queste probabilità esprime il rischio per una persona che ha raggiunto la generica età esatta x (il compleanno x) di morire prima di compiere il compleanno successivo, cioè prima di raggiungere il compleanno (l’età esatta) x+1. Per stimare tali probabilità si ha bisogno di disporre dei seguenti dati di base, per i quali sono indicati nel prospetto anche le rilevazioni o le stime da cui è possibile ricavarli.

Dati necessari Fonti e/o metodi di calcolo/stima Decessi per sesso, età, anno di nascita e anno

di evento

Stato civile e/o Registro della popolazione (Anagrafe)

Immigrati ed emigrati per sesso, età, anno di nascita e anno di evento

Registi di popolazione (Anagrafe) o stime indirette dei saldi migratori

Popolazione residente per sesso, età e anno di nascita generalmente a fine/inizio anno

Censimento demografico, o aggiornamento post-censuario o ricostruzione intercensuaria della popolazione residente

Dati di base e fonti statistiche

A) Partiamo da una situazione astratta (anche detta allo stato puro), cioè ipotizziamo di essere in presenza di una popolazione chiusa, cioè in assenza di migrazioni (senza eventi perturbatori). I dati necessari sono i decessi e la popolazione. La situazione cambia in base al dettaglio con cui sono disponibili i decessi.

Stima della serie per età delle probabilità di morte

A.1) La situazione migliore è quella in cui si dispone dei dati sui decessi distinti, oltre che per sesso, secondo la cosiddetta triplice classificazione, cioè per età (compiuta), anno di evento e anno di nascita (generazione) del deceduto (quindi nei triangoli). In assenza di eventi migratori, la probabilità di morte ad una data età x (𝑞_𝑥) sarà uguale a:

𝑞_𝑥 = 𝑀 𝐴𝐸𝐻𝐷

𝑃 𝐷𝐸 + 𝑀 𝐴𝐸𝐷 = 𝑀 𝐴𝐸𝐷 + 𝑀 𝐸𝐷𝐻 𝑃 𝐷𝐸 + 𝑀 𝐴𝐸𝐷

= 𝑀_𝑥^𝑡−𝑥

1.1.𝑡+1𝑃_𝑥 + _𝑡𝑀_𝑥^𝑡−𝑥 = ^𝑡𝑀_𝑥^𝑡−𝑥 + _𝑡+1𝑀_𝑥^𝑡−𝑥

1.1.𝑡+1𝑃_𝑥 + _𝑡𝑀_𝑥^𝑡−𝑥

Età

x+2 C F I

x+1 B E H

x A D G

generazione

1.1.t+2

t-x

1.1.t-1 t-1 1.1.t t 1.1.t+1 t+1

Età

x+2 C F I

x+1 B E H

x A D G

generazione

1.1.t+2

t-x

1.1.t-1 t-1 1.1.t t 1.1.t+1 t+1

𝑞_𝑥 = 𝑀 𝐴𝐸𝐻𝐷

𝑃 𝐷𝐸 + 𝑀 𝐴𝐸𝐷 = 𝑀 𝐴𝐸𝐷 + 𝑀 𝐸𝐷𝐻 𝑃 𝐷𝐸 + 𝑀 𝐴𝐸𝐷

= 𝑀_𝑥^𝑡−𝑥

1.1.𝑡+1𝑃_𝑥 + _𝑡𝑀_𝑥^𝑡−𝑥 = ^𝑡𝑀_𝑥^𝑡−𝑥 + _𝑡+1𝑀_𝑥^𝑡−𝑥

1.1.𝑡+1𝑃_𝑥 + _𝑡𝑀_𝑥^𝑡−𝑥

che non è altro che il rapporto tra gli eventi favorevoli (in questo caso i decessi) e gli esposti al rischio di sperimentare tali eventi. Questi ultimi sono tutte le persone che nel corso dell’anno t raggiungono l’età x (cioè festeggiano l’x-esimo compleanno), stimabili sommando alle persone di x anni compiuti all’inizio dell’anno t+1 (_1.1.𝑡+1𝑃_𝑥) i morti nell’anno t in età x appartenenti alla generazione t-x ( _𝑡𝑀_𝑥^𝑡−𝑥). Viene utilizzata una doppia notazione, quella con le lettere consente una più immediata lettura degli eventi (superfici), dei coetanei e dei contemporanei (segmenti) sul diagramma di Lexis, l’altra distingue gli eventi per anno in cui si verificano (indice anteposto in pedice), età all’evento (posposto in pedice) e generazione di appartenenza (posposta in apice) e le popolazioni per data di riferimento (anteposta in pedice) ed età in anni compiuti (pospostain pedice).

Come vedremo in seguito la formula di calcolo proposta è la stessa a cui si perviene anche per popolazioni aperte, introducendo però alcune ipotesi aggiuntive.

A.2) Nel caso in cui i decessi sono distinti (oltre che per sesso) solo per età ed anno di evento (si dispone quindi dei decessi nei quadrati e non nei triangoli), si può procedere in uno dei due modi seguenti:

A.2.1) Si ipotizza che i morti M(ABE)=M(DEH), cioè che il numero ignoto dei decessi nei due triangoli indicati sia uguale, e quindi si ottiene la probabilità di morte all’età x nel modo seguente:

𝑞_𝑥 = 𝑀(𝐴𝐵𝐸𝐷ሻ

ቁ 𝑃 𝐷𝐸 + 1

2 𝑀(𝐴𝐵𝐸𝐷

= ^𝑡𝑀_𝑥

1.1.𝑡+1𝑃_𝑥 + 1

2 ^𝑡𝑀_𝑥

Età

x+2 C F I

x+1 B E H

x A D G

generazione t-x

t-x-1

1.1.t-1 t-1 1.1.t t 1.1.t+1 t+1 1.1.t+2

Anche in questo caso questa soluzione è quella a cui si perviene anche per popolazioni aperte se si introducono alcune ipotesi aggiuntive.

A.2.2) Si calcola prima il tasso di mortalità all’età x (𝑚_𝑥) e poi si applica una formula di passaggio dai tassi alle probabilità per ottenere la probabilità di morte all’età x (𝑞_𝑥). I passaggi sono pertanto i seguenti:

𝑚_𝑥 = 𝑀(𝐴𝐵𝐸𝐷ሻ 1 ቃ

2 [𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐷𝐸

= ^𝑡𝑀_𝑥

1

2 (^1.1.𝑡𝑃_𝑥 + _1.1.𝑡+1𝑃_𝑥൯

𝑞_𝑥 = 2 ∙ 𝑚_𝑥 2 + 𝑚_𝑥

in cui viene utilizzata la formula più semplice di passaggio dai tassi alle probabilità, formula sulla quale torneremo in seguito per mostrare come viene ottenuta e a quali condizioni (ipotesi sottese).

Età

x+2 C F I

x+1 B E H

x A D G

generazione

1.1.t+1 t+1 1.1.t+2

t-x-1 t-x

1.1.t-1 t-1 1.1.t t

B.1) In presenza di migrazioni e nel caso in cui i decessi e le migrazioni (per semplicità le sole emigrazioni) siano disponibili con la triplice classificazione (età, anno di evento e generazione) la formula di calcolo è la seguente:

𝑞_𝑥 = 𝑀(𝐴𝐸𝐻𝐷ሻ

ቁ 𝑃 𝐴𝐷 −1

2 𝐸(𝐴𝐸𝐻𝐷

Poiché gli esposti sono uguali a

𝑃 𝐴𝐷 = 𝑃 𝐷𝐸 + 𝑀 𝐴𝐸𝐷 + 𝐸(𝐴𝐸𝐷ሻ, ne consegue che:

𝑞_𝑥 = 𝑀(𝐴𝐵𝐶𝐷ሻ

ቁ 𝑃 𝐷𝐸 + 𝑀 𝐴𝐸𝐷 + 𝐸 𝐴𝐸𝐷 −1

2 𝐸(𝐴𝐸𝐻𝐷 e se si suppone che le emigrazioni siano uniformemente distribuite nei due triangoli, 𝐸(𝐴𝐸𝐷ሻ = ¹

2𝐸(𝐴𝐸𝐻𝐷ሻ e quindi la probabilità di morte potrà essere calcolata nel modo seguente:

𝑞_𝑥 = 𝑀(𝐴𝐸𝐻𝐷ሻ

𝑃 𝐷𝐸 + 𝑀(𝐴𝐸𝐷ሻ = 𝑀_𝑥^𝑡−𝑥

1.1.𝑡+1𝑃_𝑥 + _𝑡𝑀_𝑥^𝑡−𝑥 che è uguale alla soluzione dell’ipotesi A.1 per popolazioni chiuse, avendo supposto che le emigrazioni si distribuiscano equamente tra i due triangoli del parallelogramma.

Età

x+2 C F I

x+1 B E H

x A D G

generazione

1.1.t+2

t-x

1.1.t-1 t-1 1.1.t t 1.1.t+1 t+1

B.2) Nel caso in cui i decessi sono classificati per età ed anno di evento, si arriva alla stessa soluzione di A.2.1 se le ipotesi semplificative sui decessi siano ritenute valide anche per le emigrazioni. Di seguito i passaggi:

𝑞_𝑥 = 𝑀(𝐴𝐵𝐸𝐷ሻ

𝑃 𝐷𝐸 + 1

2 𝑀 𝐴𝐵𝐸𝐷 + 1

2 𝐸 𝐴𝐵𝐸𝐷 − 1

2 𝐸 𝐴𝐵𝐸𝐷

= 𝑀(𝐴𝐵𝐸𝐷ሻ 𝑃 𝐷𝐸 + 1

2 𝑀 𝐴𝐵𝐸𝐷

= ^𝑡𝑀_𝑥

1.1.𝑡+1𝑃_𝑥 + 1

2 ^𝑡𝑀_𝑥

Età

x+2 C F I

x+1 B E H

x A D G

generazione t-x

t-x-1

1.1.t-1 t-1 1.1.t t 1.1.t+1 t+1 1.1.t+2

C) Infine, viene proposto il calcolo delle cosiddette probabilità prospettive di morte o probabilità di morte tra due date successive. La probabilità prospettiva di morte ad una generica età x ( ^∗𝑞_𝑥 ) esprime il rischio che ha una persona di x anni compiuti ad inizio anno di morire prima di arrivare all’inizio dell’anno successivo. Sono indicate come probabilità prospettive perché vengono utilizzate nelle previsioni demografiche.

Disponendo dei dati sui decessi con la triplice classificazione (età, anno di evento e generazione) o solo per anno di evento e generazione, la formula di calcolo è la seguente:

𝑞_𝑥,𝑥+1 = ^∗𝑞_𝑥 = 𝑀(𝐴𝐵𝐹𝐸ሻ

𝑃(𝐴𝐵ሻ = ^𝑡𝑀^{𝑡−𝑥−1}

1.1.𝑡𝑃_𝑥

Età

x+2 C F I

x+1 B E H

x A D G

generazione

1.1.t+2

t-x-1

1.1.t-1 t-1 1.1.t t 1.1.t+1 t+1

Queste probabilità generalmente non vengono utilizzate nella costruzione delle tavole di mortalità, al contrario sono ricavate dalle variabili biometriche della tavola. Vengono qui mostrate per evidenziarne la differenza rispetto alle probabilità classiche di morte.

Dopo aver calcolato tutte le probabilità di morte per età, in genere indicate come probabilità grezze perché affette dall’azione del caso, si arriva alle cosiddette probabilità teoriche di una tavola di mortalità adottando procedure di perequazione per età e spesso di estrapolazione da funzioni analitiche per le età estreme che presentano valori grezzi con un range di oscillazione abbastanza ampio. Disponendo della serie completa delle probabilità di morte si può passare al calcolo delle altre variabili biometriche della tavola di mortalità a partire dalla serie dei sopravviventi (𝑙_𝑥) e dei decessi della tavola (𝑑_𝑥).

Calcolo delle principali variabili biometriche della tavola

Età Sopravviventi Probabilità di morte Decessi della tavola

0 𝑙₀ = 100.000 𝑞₀ 𝑑₀ = 𝑙₀ ∙ 𝑞₀

1 𝑙₁ = 𝑙₀ − 𝑑₀ 𝑞₁ 𝑑₁ = 𝑙₁ ∙ 𝑞₁

2 𝑙₂ = 𝑙₁ − 𝑑₁ 𝑞₂ 𝑑₂ = 𝑙₂ ∙ 𝑞₂

… … … …

𝑥 − 1 𝑙_𝑥−1 = 𝑙_𝑥−2 − 𝑑_𝑥−2 𝑞_𝑥−1 𝑑_𝑥−1 = 𝑙_𝑥−1 ∙ 𝑞_𝑥−1

𝒙 𝒍_𝒙 = 𝒍_𝒙−𝟏 − 𝒅_𝒙−𝟏 𝒒_𝒙 𝒅_𝒙 = 𝒍_𝒙 ∙ 𝒒_𝒙

𝑥 + 1 𝑙_𝑥+1 = 𝑙_𝑥 − 𝑑_𝑥 𝑞_𝑥+1 𝑑_𝑥+1 = 𝑙_𝑥+1 ∙ 𝑞_𝑥+1

… … … …

Relazione tra le tre variabili biometriche fondamentali:

𝑞_𝑥 = 𝑑_𝑥

𝑙_𝑥 ; 𝑙_𝑥 = 𝑑_𝑥

𝑞_𝑥 ; 𝑑_𝑥 = 𝑙_𝑥 ∙ 𝑞_𝑥

ETÀ ESATTA ETÀ IN ANNI COMPIUTI

Etichetta Descrizione Etichetta Descrizione

𝑙_𝑥 Sopravviventi all’età esatta x 𝑑_𝑥 Decessi tra le età esatte x e x+1, ad x anni compiuti

𝑇_𝑥 Retrocumulata degli anni vissuti, anni vissuti dall’età esatta x in poi 𝐿_𝑥

Anni vissuti tra le età esatte x e x+1, ad x anni compiuti, dai sopravviventi all’età x

𝑒_𝑥

Vita media all’età x, numero di anni che restano in media da vivere ai sopravviventi all’età esatta x

𝑞_𝑥 Probabilità di morte tra x e x+1 per i sopravviventi all’età x

𝜋_𝑥

Vita probabile, o età mediana alla morte, età in cui il contingente di 𝑙_𝑥 si dimezza

𝑝_𝑥 Probabilità di sopravvivenza tra x e x+1 per per chi ha raggiunto l’età x

Tutte le variabili biometriche di una tavola di mortalità con indicate le differenze nel riferimento all’età (x):

Età x+1

x

Tempo

l_x+1

l_x

dx

Altri legami tra le variabili biometriche:

𝑙_𝑥+1 = 𝑙_𝑥 − 𝑑_𝑥 = 𝑙_𝑥 − 𝑙_𝑥 ∙ 𝑞_𝑥 = 𝑙_𝑥 1 − 𝑞_𝑥 = 𝑙_𝑥 ∙ 𝑝_𝑥

𝑝_𝑥 = 1 − 𝑞_𝑥 ↔ 𝑝_𝑥 + 𝑞_𝑥 = 1

𝑝_𝑥 = 𝑙_𝑥+1

𝑙_𝑥 = 𝑙_𝑥 − 𝑑_𝑥

𝑙_𝑥 = 1 − 𝑞_𝑥

Il calcolo degli anni vissuti (𝑳_𝒙), nell’ipotesi di uniforme distribuzione dei decessi negli intervalli annuali di età (chi muore vive in media metà del periodo, quindi mezzo anno):

𝐿_𝑥 = 𝑙_𝑥+1 + 1

2𝑑_𝑥 = 𝑙_𝑥+1 + 1

2 𝑙_𝑥 − 𝑙_𝑥+1 = 1

2𝑙_𝑥 + 1

2𝑙_𝑥+1 = 1

2 𝑙_𝑥 + 𝑙_𝑥+1

𝐿_𝑥 = 1

2𝑙_𝑥 + 1

2𝑙_𝑥 − 1

2𝑙_𝑥 + 1

2𝑙_𝑥+1 = 𝑙_𝑥 − 1

2 𝑙_𝑥 − 𝑙_𝑥+1 = 𝑙_𝑥 − 1 2𝑑_𝑥

Età x+1

d_x

x

Tempo

l_x+1

l_x

L_x+1

è possibile nei tre modi equivalenti incorniciati in rosso.

Rimuovendo l’ipotesi di uniforme distribuzione dei decessi, si perviene alle formule di calcolo più generali:

𝐿_𝑥 = 𝑙_𝑥+1 + 𝑎_𝑥 ∙ 𝑑_𝑥 = 𝑙_𝑥 − 1 − 𝑎_𝑥 ∙ 𝑑_𝑥 = 𝑎_𝑥 ∙ 𝑙_𝑥 + (1 − 𝑎_𝑥ሻ ∙ 𝑙_𝑥+1

con 𝑎_𝑥 che rappresenta la frazione media di anno vissuta da chi muore in età x. Nel caso in cui 𝑎_𝑥 = 0,5 si torna alle formule precedenti. Nelle prime età della vita e in particolare nel primo anno di vita l’ipotesi dell’uniforme distribuzione dei decessi non vale, poiché al diminuire della mortalità infantile diminuiscono i decessi che si concentrano sempre più nel primo mese e nei primi giorni e ore di vita. La mortalità per cause endogene, dovuta a tare ereditarie, malformazioni congenite ed altre patologie che agiscono immediatamente dopo la nascita, diventano infatti sempre più prevalenti rispetto alla mortalità dovuta a cause esterne (esogene) che agiscono lungo tutto il primo anno di vita dei neonati e ovviamente anche nelle età seguenti. Pertanto per 𝒙 = 𝟎 occorre adottare una delle formule seguenti per stimare gli anni vissuti nel primo anno di vita:

𝐿₀ = 𝑙₁ + 𝑎₀ ∙ 𝑑₀=𝑙₀ − 1 − 𝑎₀ ∙ 𝑑₀ = 𝑎₀ ∙ 𝑙₀ + (1 − 𝑎₀ሻ ∙ 𝑙₁

Età x+2

L_x+1 d_x+1

x+1

L_x d_x

x

Tempo

l_x

l_x+1

l_x+2

Sulla sezione di diagramma di Lexis qui a destra rappresentata vengono riportate alcune variabili biometriche della tavola di mortalità. Si può notare come nel passaggio da un’età all’altra la prospettiva utilizzata è quella longitudinale, implicita nella tavola di mortalità anche quando è per contemporanei (trasversale).

osservazione per contemporanei

Età generazione

fittizia

Tempo

In sostanza, si assegnano le probabilità di morte osservate in un dato periodo, relative a 100 e più generazioni contemporaneamente in essere in fasi (età) differenti della loro vita, ad un dato collettivo iniziale che di età in età risulta decurtato in base ai rischi di morte osservati, come se quei rischi appartenessero ad una data generazione reale. Si adotta quindi l’ipotesi della generazione (o coorte) FITTIZIA.

La retrocumulata degli anni vissuti (𝑇_𝑥) consente di ottenere il numero di anni vissuti da una certa età x in poi dai sopravviventi a tale età (𝑙_𝑥ሻ:

𝑇_𝑤−1 = 𝐿_𝑤−1

𝑇_𝑤−2 = 𝐿_𝑤−1 + 𝐿_𝑤−2

𝑇_𝑤−3 = 𝐿_𝑤−1 + 𝐿_𝑤−2 + 𝐿_𝑤−3 𝑇_𝑥 = ෍

𝑖=𝑥 𝑤−1

𝐿_𝑖 = 𝐿_𝑥 + 𝐿_𝑥+1 + ⋯ + 𝐿_𝑤−1 𝑇₀ = ෍

𝑥=0 𝑤−1

𝐿_𝑥 = 𝐿₀ + 𝐿₁ + 𝐿₂ + ⋯ + 𝐿_𝑊−1

…

…

𝑇₁ = ෍

𝑥=1 𝑤−1

𝐿_𝑥 = 𝐿₁ + 𝐿₂ + ⋯ + 𝐿_𝑊−1 = 𝑇₀ − 𝐿₀

= 𝑇_𝑥−1 − 𝐿_𝑥−1

Vita media o speranza di vita alla nascita (𝒆_𝟎):

𝑒₀ = 𝑇₀

𝑙₀ = σ_𝑥=0^𝑤−1𝐿₀ 𝑙₀ =

1

2 𝑙⁰ + 𝑙₁ + 1

2 𝑙¹ + 𝑙₂ + ⋯ + 1

2 𝑙^𝑤−1 + 𝑙_𝑤 𝑙₀

= 0,5 + 𝑙₁ + 𝑙₂ + ⋯ + 𝑙_𝑤−1 𝑙₀

che è anche uguale all’età media alla morte (cadenza della mortalità):

𝑒₀ = σ_𝑥=0^𝑤−1 𝑥 + 0,5 ∙ 𝑑_𝑥

σ_𝑥=0^𝑤−1𝑑_𝑥 = 0,5 ∙ 𝑑₀ + 1,5 ∙ 𝑑₁ + 2,5 ∙ 𝑑₂ + ⋯ + (𝑤 − 1 + 0,5ሻ ∙ 𝑑_𝑤−1 𝑑₀ + 𝑑₁ + 𝑑₂ + … + 𝑑_𝑤−1 =

= 0,5 𝑙₀ − 𝑙₁ + 1,5 𝑙₁ − 𝑙₂ + 2,5 𝑙₂ − 𝑙₃ + ⋯ + (𝑤 − 1 + 0,5ሻ ∙ 𝑙_𝑤−1 − 𝑙_𝑤

𝑙₀ =

= 0,5𝑙₀ − 0,5𝑙₁ + 1,5𝑙₁ − 1,5𝑙₂ + 2,5𝑙₂ + ⋯ +

𝑙₀ = 0,5 +𝑙₁ + 𝑙₂ + ⋯ + 𝑙_𝑤−1 𝑙₀

La vita media residua per i sopravviventi ad una data età x è uguale a:

𝑒_𝑥 = 𝑇_𝑥

𝑙_𝑥 = σ_𝑖=𝑥^𝑤−1൫𝑖 + 0,5ሻ ∙ 𝑑_𝑖

σ_𝑖=𝑥^𝑤−1𝑑_𝑖 = 0,5 + 𝑙_𝑥+1 + 𝑙_𝑥+2 + ⋯ + 𝑙_𝑤−1 𝑙_𝑥

La vita probabile (o età mediana alla morte), 𝜋₀, corrisponde a quell’età in cui si dimezzano i sopravviventi a zero anni (𝑙₀). Poiché la radice della tavola di mortalità è per convenzione uguale a 100.000 la vita probabile è uguale all’età in cui i sopravviventi sono 50.000.

𝜋_𝑥= è l’età in cui il contingente dei sopravviventi in età x (𝑙_𝑥) si dimezza (𝑙_𝑥/2), sottratto x.

Età Sopravvi- venti

Decessi Probabilità di morte

Anni vissuti

Retrocumulata anni vissuti

Vita media

𝒙 𝒍_𝒙 𝒅_𝒙 𝒒_𝒙 𝑳_𝒙 𝑻_𝒙 𝒆_𝒙

0 100.000 𝑙₀ ∙ 𝑞₀ 𝑞₀ 𝑙₁ + 𝑎₀ ∙ 𝑑₀ ෍ 𝐿_𝑥

𝑤−1 𝑥=0

𝑇₀ 𝑙₀ 1 𝑙₀ − 𝑑₀ 𝑙₁ ∙ 𝑞₁ 𝑞₁ (𝑙₁ + 𝑙₂) 2 𝑇₀ − 𝐿₀ 𝑇₁ 𝑙₁ 2 𝑙₁ − 𝑑₁ 𝑙₂ ∙ 𝑞₂ 𝑞₂ (𝑙₂ + 𝑙₃) 2 𝑇₁ − 𝐿₁ 𝑇₂ 𝑙₂

… … … … … … …

𝑥 − 1 𝑙_𝑥−2 − 𝑑_𝑥−2 𝑙_𝑥−1 ∙ 𝑞_𝑥−1 𝑞_𝑥−1 (𝑙_𝑥−1 + 𝑙_𝑥) 2 𝑇_𝑥−2 − 𝐿_𝑥−2 𝑇_𝑥−1 𝑙_𝑥−1 𝒙 𝒍_𝒙−𝟏 − 𝒅_𝒙−𝟏 𝒍_𝒙 ∙ 𝒒_𝒙 𝒒_𝒙 (𝒍_𝒙 + 𝒍_𝒙+𝟏) 𝟐 ෍ 𝐿_𝑖

𝑤−1 𝑖=𝑥

𝑻_𝒙 𝒍_𝒙 𝑥 + 1 𝑙_𝑥 − 𝑑_𝑥 𝑙_𝑥+1 ∙ 𝑞_𝑥+1 𝑞_𝑥+1 (𝑙_𝑥+1 + 𝑙_𝑥+2) 2 ෍ 𝐿_𝑖

𝑤−1 𝑖=𝑥+1

𝑇_𝑥+1 𝑙_𝑥+1

… … … … … … …

𝑤 − 2 𝑙_{𝑤 −3} − 𝑑_𝑤−3 𝑙_𝑤−2 ∙ 𝑞_𝑤−2 𝑞_𝑤−1 (𝑙_𝑤−2 + 𝑙_{𝑤 −1}) 2 𝐿_𝑤−1 + 𝐿_𝑤−2 𝑇_𝑤−2 𝑙_𝑤−2

𝑤 − 1 𝑙_{𝑤 −2} − 𝑑_𝑤−2 𝑙_{𝑤 −1} 1,000 𝑙_𝑤−1/2 𝐿_𝑤−1 𝑇_𝑤−1 𝑙_𝑤−1

Principali formule di calcolo delle variabili biometriche di una tavola di mortalità completa

Età

x+2

x+1

x

x-1

2

1

0

Tempo / generazioni -x -2 -1 0

In una popolazione chiusa ai movimenti migratori con un numero di nascite all’anno costante e uguale alla radice della tavola ( _𝒕𝑵 = 𝑵 = 𝒍_𝟎) e una mortalità anch’essa costante nel tempo ed uguale a quella espressa dalla tavola di mortalità ( _𝒕𝒒_𝒙 = 𝒒_𝒙 per x=0, 1, 2, …w-1), dopo un congruo numero di anni (in teoria infinito) che nella realtà è 100 anni o meno, diventa STAZIONARIA, cioè assume una composizione per età costante di anno in anno con un numero di nascite uguale a quello delle morti. Infatti, in assenza di migrazioni alla fine di un dato anno 0 la popolazione di x anni compiuti ( ₀𝑃_𝑥) sarà uguale a:

0𝑃_𝑥 = _−𝑥𝑁 ∙ _𝑥^∗𝑝₀^−𝑥 = _−𝑥𝑁 ∙ 𝐿^−𝑥_𝑥 𝑙₀

che nell’ipotesi di costanza delle nascite e della mortalità per un numero sufficiente di anni diventa:

0𝑆𝑃_𝑥 = _−𝑥𝑁 ∙ 𝐿^−𝑥_𝑥

𝑙₀ = 𝑁 ∙ 𝐿_𝑥

𝑙₀ = 𝑙₀ ∙𝐿_𝑥

𝑙₀ = 𝐿_𝑥

cioè sarà data dalla serie degli anni vissuti.

−𝒙𝑵

Infatti i sopravviventi all’età esatta x e all’età esatta x+1 saranno uguali rispettivamente a:

𝑁 ∙ 𝑙_𝑥

𝑙₀ = 𝑙_𝑥

𝑁 ∙ 𝑙_𝑥+1

𝑙₀ = 𝑙_𝑥+1

e quindi la popolazione a x anni compiuti: ₀^𝑆𝑃_𝑥 = 𝑙_𝑥 + 𝑙_𝑥+1

2 = 𝐿_𝑥

La popolazione totale sarà uguale al totale degli anni vissuti (𝑇₀):

0𝑆𝑃 = ෍

𝑥=0 𝑤−1

0𝑆𝑃_𝑥 = ෍

𝑥=0 𝑤−1

𝐿_𝑥 = 𝑇₀ = 𝑒₀ ∙ 𝑙₀

Il tasso di natalità (𝑛), uguale al rapporto tra i nati e la popolazione media, si può dimostrare che in una popolazione stazionaria è uguale al reciproco della vita media alla nascita (𝑒₀):

𝑛 = 𝑁

𝑃 = 𝑙₀

𝑒₀ ∙ 𝑙₀ = 1

𝑒₀ = 𝑚 Poiché il numero dei decessi è uguale a quello dei nati

𝑀 = ෍

𝑥=0 𝑤−1

𝐿_𝑥 ∙ 𝑚_𝑥 = ෍

𝑥=0 𝑤−1

𝐿_𝑥 ∙ 𝑑_𝑥

𝐿_𝑥 = ෍

𝑥=0 𝑤−1

𝑑_𝑥 = 𝑙₀

anche il tasso generico di mortalità (𝑚) sarà uguale a quello di natalità e quindi al reciproco della vita media alla nascita.

La popolazione stazionaria è un caso particolare di un modello più generale di popolazione che è la popolazione STABILE. Si tratta del caso in cui il tasso di incremento della popolazione è uguale a zero (r=0), visto che le nascite sono uguali alle morti. La popolazione stazionaria è espressa come vedremo dalla serie degli anni vissuti, che assume anche il nome di popolazione stazionaria associata alla tavola.

La struttura per età della popolazione stazionaria associata alla tavola potrà essere facilmente ricavata, come esemplificato con riferimento alle tre principali grandi classi di età:

Classi di età Popolazione stazionaria % per classi di età della popolazione stazionaria 0-14 ^𝑆𝑃₀₋₁₄ = 𝑇₀-𝑇₁₅ (𝑇₀-𝑇₁₅)/ 𝑇₀

15-64 ^𝑆𝑃₁₅₋₆₄ = 𝑇₁₅-𝑇₆₅ (𝑇₁₅-𝑇₆₅)/𝑇₀ 65+ ^𝑆𝑃₆₅₊ = 𝑇₆₅ 𝑇₆₅/𝑇₀

Totale ^𝑆𝑃 = 𝑇₀ 1,00

Su una tavola di mortalità, o meglio con riferimento alla popolazione stazionaria associata alla tavola, è possibile definire la relazione tra i tassi di mortalità (𝑚_𝑥) e la probabilità di morte (𝑞_𝑥), valide alcune ipotesi.

Su una tavola di mortalità il tasso di mortalità è uguale a quanto segue: 𝑚_𝑥 = 𝑑_𝑥 𝐿_𝑥 mentre, come sappiamo, la probabilità di morte è uguale a:

𝑞_𝑥 = 𝑑_𝑥

𝑙_𝑥 = 𝑑_𝑥 𝐿_𝑥 + 1

2 𝑑^𝑥

=

𝑑_𝑥 𝐿_𝑥 𝐿_𝑥 𝐿_𝑥 + 1

2 𝑑_𝑥 𝐿_𝑥

= 𝑚_𝑥 1 + 1

2 𝑚^𝑥

= 2 ∙ 𝑚_𝑥 2 + 𝑚_𝑥

che tenendo conto che 𝐿_𝑥 = 𝑙_𝑥 − ¹

2𝑑_𝑥 e quindi 𝑙_𝑥 = 𝐿_𝑥 + ¹

2𝑑_𝑥, sostituiamo il secondo termine al posto del denominatore del rapporto, inoltre dividiamo numeratore e denominatore per 𝐿_𝑥 e quindi sostituiamo 𝑚_𝑥ai rapporti 𝑑_𝑥 𝐿_𝑥 ottenendo il penultimo risultato in cui appare chiara la relazione tra le due variabili. Se si moltiplica numeratore e denominatore per 2 si ottiene la formula più semplice di passaggio dai tassi di mortalità alle probabilità di morte (𝑚_𝑥 → 𝑞_𝑥ሻ.

Mettendo in evidenza 𝑚_𝑥 si ottiene al contrario la formula di passaggio dalle probabilità ai tassi di mortalità (𝑞_𝑥 → 𝑚_𝑥ሻ:

𝑚_𝑥 = 2 ∙ 𝑞_𝑥 2 − 𝑞_𝑥

𝑞_𝑥 = 2 ∙ 𝑚_𝑥 2 + 𝑚_𝑥

Il tasso di mortalità (𝑚_𝑥) è sempre maggiore della probabilità di morte (𝑞_𝑥) e la differenza (𝑚_𝑥 − 𝑞_𝑥) è tanto maggiore quanto maggiore è il valore del tasso di mortalità (𝑚_𝑥).

Questa è la relazione che lega su una tavola di mortalità le due misure.

Ma a livello pratico è il passaggio dai tassi alle probabilità (𝑚_𝑥 → 𝑞_𝑥ሻ che può risultare utile nella costruzione delle tavole di mortalità, non tanto di quelle complete quanto piuttosto di quelle abbreviate di cui si dirà in seguito. Per questa ragione, occorre richiamare le condizioni necessarie affinché valga la relazione individuata. Si parla della formula più semplice di passaggio per la sua semplicità formale che implica per la sua applicazione che la popolazione reale sia assimilabile a quella stazionaria della tavola di mortalità e che in ogni intervallo annuale di età la funzione di sopravvivenza abbia andamento lineare, detto in altri termini che i decessi in ogni età siano uniformemente distribuiti e quindi i deceduti in ogni età vivono in media mezzo anno. Rimuovendo quest’ultima ipotesi la formula di passaggio può essere riscritta nel modo seguente:

𝑞_𝑥 = 𝑚_𝑥

1 + (1 − 𝑎_𝑥ሻ ∙ 𝑚_𝑥

in cui 𝑎_𝑥 rappresenta la frazione media di anni vissuti dalle persone che muoiono a x anni compiuti.

Nell’ipotesi in cui 𝑎_𝑥 = 0,5 si ritorna alla formula più semplice di passaggio dai tassi alle probabilità (𝑚_𝑥 → 𝑞_𝑥ሻ:

𝑞_𝑥 = 𝑚_𝑥

1 + (1 − 0,5ሻ ∙ 𝑚_𝑥 = 𝑚_𝑥

1 + 0,5 ∙ 𝑚_𝑥 = 2 ∙ 𝑚_𝑥 2 + 𝑚_𝑥

Tale semplificazione non vale per le prime e per le ultime età della vita per le quali più difficilmente è ipotizzabile uniforme distribuzione dei decessi nelle singole età. In particolare, la frazione di anno vissuto da chi muore a zero anni (𝑎₀) è minore di mezzo anno e risulta tanto più piccola quanto più bassa è la mortalità infantile (𝑚₀).

La formula di passaggio dai tassi alle probabilità viene spesso utilizzata nella costruzione delle tavole di mortalità abbreviate, quelle in cui ci sono classi di età di ampiezza maggiore di uno, spesso di diversa ampiezza. Una generalizzazione della formula di passaggio ( _𝑛𝑚_𝑥 → _𝑛𝑞_𝑥ሻ è quindi la seguente:

𝑛𝑞_𝑥 = 𝑛 ∙ _𝑛𝑚_𝑥

1 + (𝑛 −_𝑛𝑎_𝑥ሻ ∙ _𝑛𝑚_𝑥

che nel caso in cui si ipotizza _𝒏𝒂_𝒙 = 𝒏/𝟐, cioè che quelli che muoiono all’interno di una data classe di età di n anni vivano in media metà del periodo, si semplifica nel modo seguente:

𝑛𝑞_𝑥 = 2 ∙ 𝑛 ∙ _𝑛𝑚_𝑥 2 + 𝑛 ∙ _𝑛𝑚_𝑥

Nel caso di classi di età quinquennali la formula semplificata è quindi quella di seguito riportata:

𝑛𝑞_𝑥 = 2 ∙ 5 ∙ ₅𝑚_𝑥 2 + 5 ∙ ₅𝑚_𝑥

Applicazione della formula di passaggio dai tassi alle probabilità nella costruzione delle TdM

Nella costruzione delle tavole di mortalità complete, quando si dispone dei dati sui decessi classificati per anno di evento ed età (i quadrati sul diagramma di Lexis), si può procedere nel seguente modo: prima si calcolano i tassi di mortalità e successivamente si ottengono le probabilità di morte attraverso la formula di passaggio (𝑚_𝑥 → 𝑞_𝑥ሻ.

1) calcolo dei tassi di mortalità:

𝑚

=

𝑃_𝑥

2) passaggio dai tassi alle probabilità (𝑚_𝑥 → 𝑞_𝑥ሻ:

𝑞

=

2+𝑚_𝑥

Probabilità di morte (𝒒_𝒙)

Sopravviventi (𝒍_𝒙) Decessi (𝒅_𝒙) e punto di Lexis

Tavole di mortalità della popolazione residente distinta per sesso. Italia, 2017

Fonte: ISTAT (http://demo.istat.it/; http://dati.istat.it/)

Supermortalità maschile (

𝒒

/

𝒒

∙ 𝟏𝟎𝟎)

Tavole di mortalità della popolazione residente distinta per sesso. Italia, 2017

Fonte: ISTAT (http://demo.istat.it/; http://dati.istat.it/)

Fonte: Human Mortality Database (https://www.mortality.org/).

Probabilità di morte (𝒒

)

Fonte: Human Mortality Database (https://www.mortality.org/).

Sopravviventi (𝒍

)

Fonte: Human Mortality Database (https://www.mortality.org/).

Decessi (𝒅

) e punto di Lexis

Fonte: Human Mortality Database (https://www.mortality.org/).

Supermortalità maschile (

𝒒

/

𝒒

∙ 𝟏𝟎𝟎)

Quando non sono disponibili i dati per la costruzione delle tavole di mortalità complete oppure, pur essendo disponibili i dati necessari, non sono sufficientemente affidabili (ad esempio, errori nell’indicazione dell’età al decesso) o non è opportuno utilizzarli riguardando aggregati demografici di piccole dimensioni, si fa ricorso alle cosiddette tavole di mortalità abbreviate. Esse sono generalmente calcolate considerando la prima classe annuale (0 anni), la seconda di quattro anni (1-4) e le seguenti di cinque anni (5-9, 10-14, 15-19 e così via) fino ad una classe aperta finale (ad esempio, 85 anni e più).

x+5

x+4

x+3

x+2

x+1

x

t-1 t t+1

1.1.t+1Px,x+4

1.1.t+1 1.1.t

tM_x,x+4

1.1.tPx,x+4

l primo passo nel calcolo di tavole di mortalità abbreviate del momento è il calcolo dei tassi di mortalità per classi di età. I dati necessari sono i decessi per classi di età e la popolazione distinta secondo le stesse classi di età all’inizio e alla fine del periodo considerato. L’esempio seguente fa riferimento al calcolo del tasso di mortalità relativo ad un dato anno t per una genericaclasse di età quinquennale:

𝑡𝑚_𝑥,𝑥+4 = ^𝑡𝑀_𝑥,𝑥+4 1 ቁ

2 ∙ (^1.1𝑡𝑃_𝑥,𝑥+4 + _1.1.𝑡+1𝑃_𝑥,𝑥+4

Disponendo della serie dei tassi di mortalità per classi di età è possibile ottenere la serie delle probabilità di morte per classi di età facendo ricorsoalla formula dipassaggiodaitassialle probabilità (_𝑛𝑚_𝑥 → _𝑛𝑞_𝑥ሻ.

5𝑞_𝑥 = 2 ∙ 5 ∙ ₅𝑚_𝑥

2 + 5 ∙ ₅𝑚_𝑥 ^𝑛𝑞_𝑥 = 2 ∙ 𝑛 ∙ _𝑛𝑚_𝑥 2 + 𝑛 ∙ _𝑛𝑚_𝑥

In genere, non viene utilizzata la formula

semplificata ma quella più complessa: ^𝑛𝑞_𝑥 = 𝑛 ∙ _𝑛𝑚_𝑥

1 + (𝑛 − _𝑛𝑎_𝑥ሻ ∙ _𝑛𝑚_𝑥

Ciò implica la necessità di stimare la serie degli _𝒏𝒂_𝒙, ciascuno dei quali rappresenta il numero medio di anni vissuti tra le età esatte x e x+n dalle persone che muoiono in tale intervallo di età. Due possibili soluzioni sono le seguenti:

A) adottare i valori stimati attraverso tavole di mortalità complete di altre aree geografiche con simili livelli di mortalità o di aree geografiche che contengono il territorio per il quale si sta calcolando la tavola di mortalità abbreviata (ad esempio, la regione a cui appartiene la provincia considerata). In questo caso i valori, ad esempio, di ₅𝑎_𝑥 possono essere ottenuti come segue:

5𝑎_𝑥 = 0,5𝑑_𝑥 + 1,5𝑑_𝑥+1 + 2,5𝑑_𝑥+2 + 3,5𝑑_𝑥+3 + 4,5𝑑_𝑥+4 𝑑_𝑥 + 𝑑_𝑥+1 + 𝑑_𝑥+2 + 𝑑_𝑥+3 + 𝑑_𝑥+4

Problema della stima di _𝒏𝒂_𝒙

B) stimare i valori di _𝑛𝑎_𝑥 da informazioni sulla distribuzione per età dei decessi (𝑑 𝑎 ) nella tavola di mortalità, assumendo che questa distribuzione assuma la forma di una funzione polinomiale di secondo grado nell’intervallo x-n e x+2n (𝑑 𝑎 = 𝐴 + 𝐵𝑎 + 𝐶𝑎²).

In base a questa assunzione Keyfitz ha mostrato che:

𝑛𝑎_𝑥 = − 𝑛

24 ^𝑛𝑑_𝑥−𝑛 + 𝑛

2 ^𝑛𝑑_𝑥 + 𝑛

24 ^𝑛𝑑_𝑥+𝑛

𝑛𝑑_𝑥

Questa equazione produce una stima di _𝑛𝑎_𝑥 = 𝑛/2 quando i decessi sono uniformemente distribuiti nei tre gruppi di età. Naturalmente questa equazione richiede che sia stata preventivamente costruita la tavola di mortalità abbreviata, ad esempio utilizzando la formula più semplice di passaggio dai tassi alle probabilità ( _𝑛𝑚_𝑥 → _𝑛𝑞_𝑥ሻ che assume

𝑛𝑎_𝑥 = 𝑛/2, in modo da poter disporre di una prima stima della serie dei _𝑛𝑑_𝑥 da utilizzare per ottenere una nuova serie di _𝑛𝑎_𝑥 da stimare con l’equazione proposta. Questa operazione si potrà ripetere più volte fino ad arrivare a stime stabili dei valori di _𝑛𝑎_𝑥. Nei fatti saranno sufficienti due o tre iterazioni della procedura. Un limite di questa soluzione è che non permette la stima dei valori di _𝑛𝑎_𝑥 nella prima e nell’ultima classe di età e richiede inoltre che tutte le classi di età considerate abbiano la stessa ampiezza (lo stesso modulo). Tale soluzione non è applicabile per le età da 0 a 4 anni compiuti che generalmente sono distinte in una prima classe di ampiezza uno e in una seconda di ampiezza quattro.

Se la mortalità infantile è calcolata in modo corretto rapportando i decessi a zero anni compiuti di una data generazione al numero delle nascite di tale generazione, si ha direttamente la probabilità di morte a zero anni e non sono necessari passaggi ulteriori.

Quando si calcolano i tassi di mortalità a 0 anni e nella classe di età 1-4 anni compiuti, occorre poi passare alle probabilità di morte. In questo caso occorre tenere presente che il valore di _𝑛𝑎_𝑥 è in funzione del livello della mortalità infantile. Più basso è il livello di mortalità e più concentrati nei primi giorni e settimane di vita sono i decessi, in quanto i fattori endogeni di mortalità, legati a tare ereditarie, malformazioni congenite e altre patologie connesse al parto, risultano sempre più prevalenti rispetto ai fattori esogeni legati all’ambiente esterno (condizioni igienico sanitarie, alimentazione, infezioni stagionali, ecc.).

Preston, Heuveline e Guillot sulla base degli studi fatti da Coale e Demeny hanno riadattato i risultati al fine di fornire una strategia, in assenza di altre informazioni, per stimare i valori di _𝑛𝑎_𝑥 sulla base dei livelli della mortalità infantile ( ₁𝑚₀):

Maschi Femmine

Valore di 𝑎_{1 0}

- se 𝑚_{1 0} ≥ 0,107 0,330 0,350

- se 𝑚_{1 0} < 0,107 0,045+2,684∙ 𝑚_{1 0} 0,053+2,800∙ 𝑚_{1 0} Valore di 𝑎_{4 1}

- se 𝑚_{1 0} ≥ 0,107 1,352 1,361

- se 𝑚_{1 0} < 0,107 1,651-2,816∙ 𝑚_{1 0} 1,522-1,518∙ 𝑚_{1 0} Fonte: Preston et al., 2001.

Una soluzione alternativa per il passaggio dai tassi alle probabilità ( _𝑛𝑚_𝑥 → _𝑛𝑞_𝑥ሻ, che non passa dalla stima dei valori di _𝑛𝑎_𝑥, è quella che si avvale di funzioni analitiche che si basino sul legame verificato empiricamente tra_𝑛𝑞_𝑥. e _𝑛𝑚_𝑥. Ad esempio, Reed e Merrel hanno proposto la seguente funzione esponenziale:

5𝑞_𝑥 = 1 − ex p[ − ₅𝑚_𝑥 ∙ 5 + ₅𝑚_𝑥 ൧

che permette di trasformale i tassi per classi quinquennali ( ₅𝑚_𝑥) nelle corrispondenti probabilità di morte ( ₅𝑞_𝑥), soluzione particolarmente soddisfacente al di là dei 5 anni di età.

Rimane da affrontare il cosiddetto problema della chiusura della tavola di mortalità dal momento che esiste un’ultima classe di età aperta che va da una data età fino all’età limite della vita. La probabilità di morte per i sopravviventi all’età corrispondente al limite inferiore della classe aperta finale, che per fini esemplificativi poniamo uguale a 85 anni, è per definizione uguale ad 1 poiché tutte le persone che arrivano a tale età sono destinate successivamente a morire. Il problema è però quello di determinare il numero di anni vissuti in quest’ultimo intervallo di età (_𝑤−85𝐿₈₅), che è anche uguale al valore di 𝑇₈₅, necessario per determinare i valori di 𝑇_𝑥 alle età precedenti e quindi tutti i valori di 𝑒_𝑥. Una possibilità per la stima di_𝑤−85𝐿₈₅è tenere presente che su una tavola di mortalità valgono le seguentirelazioni:

𝑤−85𝑚₈₅ = ^𝑤−85𝑑₈₅

𝑤−85𝐿₈₅ = 𝑙₈₅

𝑤−85𝐿₈₅

in cui _𝑤−85𝑑₈₅ = 𝑙₈₅ visto che tutti i sopravviventi all’85-esimo compleanno moriranno successivamente. Mettendo in evidenza _𝑤−85𝐿₈₅ si ottiene che

𝑤−85𝐿₈₅ = 𝑙₈₅

𝑤−85𝑚₈₅

Pertanto, una stima degli anni vissuti nella classe di età aperta finale può essere ottenuta rapportando i sopravviventi all’età iniziale di tale classe al valore del tasso di mortalità empirico disponibile per la stessa classi. In sostanza, si ipotizza che il tasso di mortalità empirico sia uguale a quello teorico sconosciuto della tavola di mortalità.

Problema della chiusura della tavola (ultima classe di età aperta)

Età Sopravvi- venti

Decessi Probabilità di morte

Anni vissuti

Retrocumulata anni vissuti

Vita media

𝒙 𝒍_{𝒙 𝒏 𝒙}𝒅 _{𝒏 𝒙}𝒒 _{𝒏 𝒙}𝑳 𝑻_𝒙 𝒆_𝒙

0 100.000 𝑙₀ ∙ 𝑞_{1 0 1 0}𝑞 𝑙₁ + 𝑎_{1 0} ∙ 𝑑_{1 0} ෍ _{𝑛 𝑥}𝐿

85 𝑥=0

𝑇₀ 𝑙₀ 1 𝑙₀ − 𝑑_{1 0} 𝑙₁ ∙ 𝑞_{4 1 4 1}𝑞 4 ∙ (𝑙₁ + 𝑙₅) 2 𝑇₀ − 𝐿_{1 0} 𝑇₁ 𝑙₁ 5 𝑙₁ − 𝑑_{4 1} 𝑙₅ ∙ 𝑞_{5 5 5 5}𝑞 5 ∙ (𝑙₅ + 𝑙₁₀) 2 𝑇₁ − 𝐿_{4 1} 𝑇₅ 𝑙₅

… … … … … … …

𝑥 − 5 𝑙_𝑥−10 − 𝑑_{5 𝑥−10} 𝑙_𝑥−5 ∙ 𝑞_{5 𝑥−5 5 𝑥−5}𝑞 5 ∙ (𝑙_𝑥−5 + 𝑙_𝑥) 2 𝑇_𝑥−10 − 𝐿_{5 𝑥−10} 𝑇𝑥−5 𝑙_𝑥−5 𝒙 𝒍_𝒙−𝟓 − 𝒅_{𝟓 𝒙−𝟓} 𝒍_𝒙 ∙ 𝒒_{𝟓 𝒙 𝟓 𝒙}𝒒 𝟓 ∙ (𝒍_𝒙+ 𝒍_𝒙+𝟓) 𝟐 ෍ _{𝑛 𝑖}𝐿

85 𝑖=𝑥

𝑻_𝒙 𝒍_𝒙 𝑥 + 5 𝑙_𝑥 − 𝑑_{5 𝑥} 𝑙_𝑥+5 ∙ 𝑞_{5 𝑥+5 5 𝑥+1}𝑞 5 ∙ (𝑙_𝑥+5 + 𝑙_𝑥+10) 2 ෍ _𝑛𝐿_𝑖

85 𝑖=𝑥+5

𝑇_𝑥+5 𝑙_𝑥+5

… … … … … … …

85 𝑙₈₀ − 𝑑_{5 80} 𝑙₈₅ 1,000 𝑙₈₅/_𝑤−85𝑚₈₅ 𝐿₈₅ 𝑇₈₅ 𝑙₈₅

Principali formule di calcolo delle variabili biometriche di unatavola di mortalità abbreviata A questo punto sono disponibili gli elementi necessari per il calcolo di tutte le variabili biometriche di una tavola di mortalità abbreviata, utilizzando le relazioni richiamate nella tabella seguente.