Sia g un’algebra di Lie di dimensione finita su k.
Definizione 10.1.1. L’algebra inviluppante universale di g `e l’algebra associati-va unitaria G che si ottiene come quoziente dell’algebra tensoriale T∗(g) rispetto all’ideale bilatero generato dagli elementi
X ⊗ Y − Y ⊗ X −[X, Y], al variare di X ed Y in g.
Abbiamo un’inclusione naturale g ,→ G, che ci permette di identificare g a un sottospazio di G.
Indicheremo con u · v, od anche uv per semplicit`a, il prodotto associativo in G. L’algebra inviluppante universale `e caratterizzata dalla propriet`a universale:
Teorema 10.1.2. Sia A un’algebra associativa unitaria. Per ogni applicazione k-lineare α : g → A tale che
(10.1.1) α([X, Y]) = α(X)α(Y) − α(Y)α(X), ∀X, Y ∈ g
esiste un unico morfismo di algebre associative unitarie α : G → A che renda˜ commutativo il diagramma (10.1.2) g −−−−−→ G α y yα˜ A A.
Dimostrazione. Per la propriet`a universale del prodotto tensoriale, ogni appli-cazione k-lineare α di g in un’algebra associativa unitaria A si estende in modo unico ad un morfismo di algebre associative unitarie
ˆ α : T∗
(g) −→ A.
Per (10.1.1) il nucleo di ˆα contiene l’ideale bilatero di T∗(g) generato dagli elementi X ⊗ Y − Y ⊗ X −[X, Y], al variare di X, Y ∈ g, e quindi definisce per passaggio al quoziente un morfismo di alebre associative unitarie ˜α : G → A che rende
commutativo il diagramma (10.1.2).
In particolare
142 X. ALGEBRA INVILUPPANTE UNIVERSALE E TEOREMA DI ADO
Corollario 10.1.3. Ogni rappresentazione lineareρ : g → glk(V) di g si estende in modo unico ad una rappresentazione lineare1ρ : G → End˜ k(V).
Ogni derivazione D ∈ Der(g, g) si estende in modo unico ad una derivazione di G.
Teorema 10.1.4 (Poincar´e-Birkhoff-Witt). Supponiamo che g abbia dimensione finita e sia X1, . . . , Xnuna base di g come spazio vettoriale su k. Allora ogni ele-mento di G si rappresenta in modo unico con un’espressione polinomiale della forma
(10.1.3) Xd
i1,...,in=1ai1,...,inXi1
1 · · · Xin
n, con ai1,...,in ∈ k.
Di conseguenza, G `e isomorfo, come spazio vettoriale su k, allo spazio k[X1, . . . , Xn] dei polimoni in n indeterminate con coefficienti in k. Non lo `e come anello asso-ciativo unitario, a meno che g non sia commutativa.
Definiamo una filtrazione di G, ponendo
Gd= Xd h=0 X 1≤i1,··· ,ih≤nai1,...,ihXi1· · · Xih con ai1,...,ih ∈ k , (10.1.4) per d= 0, 1, 2, . . . . Il graduato associato `e proprio l’anello dei polinomi a coefficienti in k in n indeter-minate.
Corollario 10.1.5. Se g `e un’algebra di Lie di dimensione finita su k, la sua algebra inviluppante universale G `e Noetheriana sia a destra che a sinistra.
10.2. Ideali cofiniti e rappresentazioni ideali
Siano g un’algebra di Lie di dimensione finita su un campo k e G la sua algebra inviluppante universale.
Definizione 10.2.1. Un ideale bilatero M di G si dice cofinito se il quoziente G/M `e uno spazio vettoriale di dimensione finita su k.
Proposizione 10.2.2. (1) Condizione necessaria e sufficiente affinch´e un idea-le bilatero M di G sia cofinito `e che, per ogni x ∈ G, esista un polinomio non nullo px ∈ k[T ] tale che px(x) ∈ M.
(2) Il prodotto M = M1· · · Mk di un numero finito di ideali bilateri cofiniti Mi, i= 1, . . . , k, di G `e ancora un ideale bilatero cofinito di G.
Dimostrazione. Se dimkG/M < ∞, per ogni x ∈ G esiste un intero positivo d per cui gli elementi 1, x, x2, . . . , xd
siano linearmente dipendenti su k e quindi un polinomio non nullo px∈ k[T ], di grado ≤ d, per cui px(x) ∈ M.
Viceversa, supponiamo che X1, . . . , Xn generino g come spazio vettoriale su k e che, per ogni i = 1, . . . , n, vi sia un polinomio pi ∈ k[T ], di grado positivo
1
Indichiamo lo spazio degli endomorfismi lineri di uno spazio vettoriale V su k con glk(V), quando vogliamo sottolinearne la struttura di algebra di Lie, e con Endk(V) quando vogliamo invece considerarne la struttura di anello commutativo unitario.
10.3. RAPPRESENTAZIONI DI DIMENSIONE FINITA ED IDEALI COFINITI 143
di, tale che pi(Xi) ∈ M. Allora, per ogni x ∈ G possiamo trovare un polinomio p= Pii<diai1,...,inTi1 1 · · · Tin n ∈ k[T1, . . . , Tn], tale che x −X ii<diai1,...,inXi1 1 · · · Xin n ∈ M.
Quindi G/M `e uno spazio vettoriale di dimensione finita minore o uguale di d1· · · dn
su k.
La (2) `e facile conseguenza della (1). Se x ∈ G e, per ogni i= 1, . . . , k, pi, x ∈ k[T ] `e un polinomio non nullo tale che pi, x(x) ∈ Mi, allora px = p1, x· · · pk, x ∈
k[T ] `e un polinomio non nullo tale che px(x) ∈ M.
Se M `e un ideale bilatero di G, detta π : G → VM = G/M la proiezione nel quoziente, la
(10.2.1) X ·π(x) = π(X · x), ∀X ∈ g, ∀x ∈ G
definisce una rappresentazione lineare ρM: g → glk(VM).
Definizione 10.2.3. La rappresentazione lineare ρM definita dalla (10.2.1) si dice la rappresentazione ideale associata all’ideale bilatero M.
La rappresentazione ideale ρM`e di dimensione finita se e solo se M `e cofinito.
10.3. Rappresentazioni di dimensione finita ed ideali cofiniti Sia g un’algebra di Lie di dimensione finita su un campo k.
Per il Corollario 10.1.3, ogni rappresentazione lineare ρV : g → glk(V) si estende ad una rappresentazione lineare ˜ρV : G → Endk(V). Se x ∈ G e v ∈ V, scriveremo a volte, per semplicit`a, x · v invece di ˜ρV(x)(v).
Proposizione 10.3.1. Il nucleo M di ˜ρV `e un ideale bilatero di G. Dimostrazione. Se x ∈ M, y ∈ G, v ∈ V, abbiamo
(x · y) · v= x · (y · v) = 0, (y · x) · v = y · (x · v) = y · 0 = 0.
Definizione 10.3.2. Il nucleo di ˜ρV si dice l’annullatore di V.
Una rappresentazione lineare ρV : g → glk(V) ci permette di considerare lo spazio vettoriale V come un G-modulo sinistro.
Definizione 10.3.3. Diciamo che V `e di tipo finito se `e finitamente generato come G-modulo sinistro.
Se V `e di tipo finito, la scelta di un sistema finito v1, . . . , vk di generatori del G-modulo V ci permette di dare una presentazione di V, cio`e un epimorfismo della forma:
$ : Gk3 (x1, . . . , xk) −→ x1· e1+ · · · + xk· ek ∈ V.
Poich´e G `e Noetheriana, il nucleo di $ `e finitamente generato e possiamo includere l’omomorfismo $ in una successione esatta
(10.3.1) Gh −−−−−→ GP k $
144 X. ALGEBRA INVILUPPANTE UNIVERSALE E TEOREMA DI ADO
di G-moduli sinistri e di omomorfismi, ove
(10.3.2) P(x1, . . . , xh)= Xh
i=1xipi,1, . . . ,Xh i=1xipi,k
per una matrice (pi, j)1≤i≤h, 1≤ j≤k
di tipo h × k a coefficienti in G.
Definizione 10.3.4. La (10.3.1) si dice una presentazione finita di V. Osservazione 10.3.5. Se x ∈ G, l’endomorfismo ˜ρV(x) si descrive mediante
˜
ρV(x)($(x1, . . . , xk)= $(x · x1, . . . , x · xk), ∀x1, . . . , xk ∈ G. In particolare
Lemma 10.3.6. Sia x ∈ G. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e ˜ρV(x) sia nilpotente `e che esista un intero positivo p per cui xp∈ M. Proposizione 10.3.7. Sia V un G-modulo sinistro di tipo finito ed M ⊂ G il suo annullatore. Allora V ha dimensione finita su k se e soltanto se M `e cofinito.
Dimostrazione. Consideriamo una presentazione finita (10.3.1) di V. Poich´e M · Gk ⊂ P(Gh), abbiamo un omomorfismo surgettivo
Gk/(M · Gk) ' (G/M)k→ Gk/P(Gh), e dunque
k ·dimkG/M ≥ dimkV.
Questo dimostra che V ha dimensione finita su k se G/M ha dimensione finita su k. Supponiamo che, viceversa, V abbia dimensione finita su k e siano v1, . . . , vn ge-neratori di V come spazio vettoriale su k. Allora per ogni x ∈ G esistono polinomi pi ∈ k[T ] tali che pi(x) · vi = 0. Se p `e il minimo comune multiplo di p1, . . . , pn, abbiamo allora p(x) ∈ M. Per la Proposizione 10.2.2 questo implica che G/M ha
dimensione finita su k.
Proposizione 10.3.8. SiaρV : g → glk(V) una rappresentazione lineare di dimen-sione finita, M ⊂ G l’annullatore di V e ρM : g → glk(VM) la corrispondente rappresentazione ideale. Allora:
ker ρM⊂ ker ρV, (10.3.3)
ρ(X) nilpotente ⇐⇒ ρM(X) nilpotente. (10.3.4)
Dimostrazione. Dalla presentazione finita (10.3.1) di V otteniamo un’applica-zione lineare surgettiva
π : Vk
M→ V,
tale che
ρV(X)(π(v1, . . . , vk))= π(ρM(X)(v1), . . . , ρM(X)(vk)), ∀X ∈ g, ∀v1, . . . , vk ∈ VM.
10.4. ESTENSIONE DI RAPPRESENTAZIONI IDEALI 145
10.4. Estensione di rappresentazioni ideali
Siano g un’algebra di Lie di dimensione finita su un campo k ed n un ideale di g.
Lo spazio Der(g, n) delle derivazioni di g a valori in n `e un’algebra di Lie per il commutatore del prodotto di composizione:
[D1, D2](X)= D1(D2(X)) − D2(D1(X)), (10.4.1)
∀D1, D2∈ Der(g, n), ∀X ∈ g.
Proposizione 10.4.1. Siano n un ideale di g, M un ideale bilatero cofinito di G e ρM, definita da(10.2.1), la corrispondente rappresentazione ideale. Allora:
(a) L’applicazione D → ˆD, che fa corrispondere a D ∈Der(g, n) la2
(10.4.2) D(π(x))ˆ = π( ˜D(x)), ∀x ∈ G,
`e una rappresentazione lineare diDer(g, n) in VM; (b) Se x ∈ G e D ∈ Der(g, n), allora ˜ρM( ˜D(x))= [ ˆD, ˜ρM(x)]; (c) Se D ∈ Der(g, n) `e nilpotente, allora anche ˆD `e nilpotente.
Dimostrazione. La (a) `e di verifica immediata, perch´e il prodotto di Lie in Der(g, n) `e il commutatore.
Siano x, y ∈ G. Abbiamo allora: ˜
ρM( ˜D(x))(π(y))= π( ˜D(x)y) = π( ˜D(xy) − x ˜D(y))
= ˆD(π(xy)) − ˜ρM(x)( ˜D(y))= ( ˆD ◦ ˜ρM(x) − ˜ρM(x) ◦ ˆD)(π(y)). Questo dimostra la (b).
(c). Se D` = 0, allora, per ogni intero positivo h, la ˜Dh`annulla tutti i monomi Y1· · · Yrcon r ≤ h ed Y1, . . . , Yr∈ g. Da questo segue che per ogni v ∈ V, esiste un intero positivo kvtale che ˆDkvv= 0. Poich´e V ha dimensione finita, questo implica
che ˆD`e nilpotente.
Su g0 = g ⊕ Der(g, n) possiamo definire una struttura naturale di algebra di Lie, che rende le inclusioni naturali g ,→ g0 e Der(g, n) ,→ g0 morfismi di algebre di Lie. ll prodotto [[ , ]] : g0× g0 → g0 `e definito da:
[[X1, X2]]= [X1, X2], [[D, X]]= D(X), [[D1, D2]]= D1◦ D2− D2◦ D1, (10.4.3)
∀X1, X2, X ∈ g, ∀D, D1, D2∈ Der(g, n). Osserviamo che, per ogni X, Y ∈ g, D ∈ Der(g, n), x ∈ G,
˜
ρM([X, Y])(x)= π([X, Y] · x) = π((X · Y − Y · X) · x = (˜ρM(X) ◦ ˜ρM(Y) − ˜ρM(Y) ◦ ˜ρM(X))(π(x)), π(D(X) · (x)) = π( ˜D(X · x) − X · ˜D(x))
= ( ˆD ◦ ˜ρM(X) − ˜ρM(X) ◦ ˆD)(x).
146 X. ALGEBRA INVILUPPANTE UNIVERSALE E TEOREMA DI ADO
Risulta perci`o definita una rappresentazione lineare ρ0M: g0→ glk(V) tale che
(10.4.4) ρ0 M(X)(π(x))= π(X · x), se X ∈ g, x ∈ G, ρ0 M(D)(π(x))= π( ˜D(x)) se D ∈ Der(g, n), x ∈ G, Possiamo allora riformulare la Proposizione 10.4.1 nel modo seguente:
Proposizione 10.4.2. Siano M un ideale bilatero cofinito dell’algebra inviluppante universale G dell’algebra di Lie g, n un ideale di g e g0 = g ⊕ Der(g, n). Allora la (10.4.4) definisce una rappresentazione lineare ρ0M: g0 → glk(VM), che estende la rappresentazione idealeρM.
Se gli elementi ρM(X), al variare di X in n sono nilpotenti, allora anche gli elementiρ0
M(D), al variare di D in Der(g, n), sono nilpotenti. Possiamo ora formulare il seguente
Teorema 10.4.3 (di estensione). Sia a un’algebra di Lie di dimensione finita su k e
(10.4.5) a= g ⊕ b
una decomposizione di a nella somma diretta di un ideale g e di una sottoalgebra b. Sia G l’algebra inviluppante universale di g ed M un ideale bilatero cofinito di G.
Allora la rappresentazione idealeρMdi g si estende ad una rappresentazione ρ : a → glk(VM) di a, tale che
(10.4.6) X ∈ b, ad(X)|g nilpotente=⇒ ρ(X) nilpotente.
Dimostrazione. Sia g0 = g ⊕ Der(g, g). Definiamo un’applicazione lineare α : a → g0 ponendo α(X) = X, se X ∈ g, α(X) = ad(X)|g, se X ∈ b.
Si verifica facilmente che la α `e un omomorfismo di algebre di Lie. Per la Proposi-zione 10.4.2, la ρMsi estende ad una rappresentazione ρ0Mdi g0su V. La ρ= ρ0◦α
`e la rappresentazione cercata.
10.5. Il teorema di Ado
Sia g un’algebra di Lie di dimensione finita su un campo k.
Definizione 10.5.1. Una rappresentazione lineare ρV : g → glk(V) si dice nilpo-tentese, per ogni X ∈ g, l’endomorfismo ρV(X) `e nilpotente.
Osservazione 10.5.2. Se V ha dimensione finita e ρV `e nilpotente, anche ˜ρV `e nilpotente. Se infatti
{0}= V0⊂ V1⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vs= V
`e una serie di Jordan-H¨older di ρV, abbiamo ρV(X)(Vj) ⊂ Vj−1 per X ∈ g e j = 1, . . . , s e quindi anche ρV(x)(Vj) ⊂ Vj−1per x ∈ G e j= 1, . . . , s.
10.5. IL TEOREMA DI ADO 147
Esempio 10.5.3. Se g `e un’algebra di Lie abeliana di dimensione n, possiamo costruire una rappresentazione lineare nilpotente fedele di dimensione finita nel modo seguente. Indichiamo con V lo spazio vettoriale g ⊕ kE, ove E `e un vettore linearmente indipendente da g. Ad X ∈ g facciamo corrispondere l’endomorfismo AXdi V definito da
AX(g)= 0, AX(E)= X.
Proposizione 10.5.4 (Caso nilpotente). Ogni algebra di Lie nilpotente ammette una rappresentazione lineare nilpotente fedele di dimensione finita.
Dimostrazione. Sia g un’algebra di Lie nilpotente su k.
Ragioniamo per induzione sulla dimensione di g. Se g ha dimensione 1 `e abe-liana ed ammette quindi in modo banale una rappresentazione lineare nilpotente fedele di dimensione finita.
Se dimkg > 1, per il Teorema di Engel g contiene un ideale a di codimen-sione 1. Per l’ipotesi induttiva, a ammette una rappresentazione lineare nilpotente fedele di dimensione finita. Per la Proposizione 10.3.8 possiamo supporre che questa sia una rappresentazione ideale. Per il Teorema d’estensione 10.4.3 questa rappresentazione si estende ad una rappresentazione lineare nilpotente di g.
Abbiamo quindi dimostrato che esiste una rappresentazione nilpotente ρ1 : g → glk(V1) con ker ρ1∩ a = {0}. Se ker ρ1 = {0}, la ρ1 `e fedele e la tesi `e ve-rificata. Altrimenti, ker ρ1 `e un ideale di dimensione 1 di g. Esso possiede una rappresentazione lineare nilpotente fedele di dimensione finita, che, per la Propo-sizione 10.3.8 ed il Teorema 10.4.3 ci permette di costruire una rappresentazione lineare nilpotente di dimensione finita ρ2 : g → glk(V2) con ker ρ2∩ ker ρ1 = {0}. La somma diretta ρ= ρ1⊕ρ2delle due rappresentazioni ci d`a una rappresentazione
lineare nilpotente di dimensione finita e fedele di g.
Proposizione 10.5.5 (Caso risolubile). Sia g un’algebra di Lie risolubile ed n il suo nilradicale. La g ammette una rappresentazione lineare di dimensione finita e fedeleρV : g → glk(V) per cui ogni ρV(X) con X ∈ n sia nilpotente.
Dimostrazione. Se g `e nilpotente, la tesi segue dalla Proposizione 10.5.4. In particolare, la tesi `e verificata se g ha dimensione 1. Ragioniamo per induzio-ne sulla dimensioinduzio-ne di g, suppoinduzio-nendo la tesi vera per algebre di Lie risolubili di dimensione positiva minore della dimensione di g.
Possiamo fissare un ideale a, di codimensione 1 in g, con n ⊂ a. Chiaramente il nilradicale di a contiene n e quindi, per l’ipotesi induttiva, esiste una rappresen-tazione lineare fedele di dimensione finita di a che faccia corrispondere a tutti gli elementi di n endomorfismi nilpotenti. Per la proposizione 10.3.8 possiamo sup-porre sia una rappresentazione ideale. Per il Teorema d’estensione 10.4.3 questa si estende ad una rappresentazione lineare di dimensione finita ρ1 : g → glk(V1) tale che ρ1(X) sia nilpotente per ogni X ∈ n e ker ρ1 ∩ a = {0}. Se ker ρ1 = {0} abbiamo finito. Altrimenti, osserviamo che ker ρ1 `e un ideale di dimensione 1 di g ed [n, ker ρ1] = {0}. Possiamo allora considerare una rappresentazione ideale nilpotente fedele di ker ρ1. Per il teorema d’estensione, essa si estende ad una rappresentazione lineare di dimensione finita ρ2 : g → glk(V2) tale che ρ2(X) sia
148 X. ALGEBRA INVILUPPANTE UNIVERSALE E TEOREMA DI ADO
nilpotente per ogni X ∈ n. La somma diretta ρ= ρ1⊕ρ2delle due rappresentazioni
`e una rappresentazione fedele di g che soddisfa la tesi.
Teorema 10.5.6 (Teorema di Ado). Sia n il nilradicale di g. Esiste una rappre-sentazione lineare fedele di dimensione finitaρV : g → glk(V) tale che ρV(X) sia nilpotente per ogni X ∈ n.
Dimostrazione. Sia g = r ⊕ s una decomposizione di Levi-Malcev di g, in cui r `e il radicale di g ed s una sua sottoalgebra di Levi. Per la Proposizione 10.5.5 esiste una rappresentazione lineare fedele di dimensione finita di r per cui ad ogni elemento di n corrisponda un endomorfismo nilpotente. Per la Proposizione 10.5.4 possiamo supporre che questa sia una rappresentazione ideale. Per il Teorema d’estensione 10.4.3 tale rappresentazione si estende ad una rappresentazione ρ1 : g → glk(V1), con ker ρ1 ∩ r = {0} e ρ(X) nilpotente per ogni X ∈ n. La somma diretta ρ di ρ1e della rappresentazione aggiunta di g soddisfa allora la tesi.
CAPITOLO XI