Un gruppo di Lie `e un gruppo topologico separato localmente isomorfo1ad un sottogruppo di Lie del gruppo lineare reale.
La sua algebra di Lie g si identifica all’algebra di Lie del corrispondente sotto-gruppo di Lie del sotto-gruppo lineare.
Ogni gruppo di Lie G con un numero finito di componenti connesse `e di ffeo-morfo ad una variet`a prodotto K × Rk, ove K `e un sottogruppo di Lie compatto massimale di G. In questo capitolo introduciamo i gruppi lineari classici della lista di Cartan e per ciascuno di essi descriviamo questa decomposizione.
Per una presentazione opportuna di G come gruppo lineare, cio`e come sotto-gruppo chiuso di GL(n, C), il sottosotto-gruppo compatto massimale K sar`a l’intersezio-ne G ∩ U(n) di G con il gruppo delle matrici unitarie.
5.1. Decomposizione di Cartan dei gruppi classici
Definizione 5.1.1. Un sottogruppo G del gruppo lineare GL(n, C) si dice pseu-doalgebricose pu`o essere definito mediante un sistema di equazioni:
(∗) f1(g, g∗)= 0, . . . , fN(g, g∗)= 0
dove f1, ..., fN sono polinomi a coefficienti reali delle parti reali e immaginarie dei coefficienti di g ∈ GL(n, C).
I sottogruppi pseudoalgebrici sono ovviamente chiusi.
I gruppi classici della lista di Cartan che introdurremo nel paragrafo seguente sono tutti pseudoalgebrici.
Il seguente teorema ci mostra che possiamo rappresentarli come prodotto del topologico del sottogruppo compatto G ∩ U(n) e di uno spazio euclideo.
Teorema 5.1.2. Sia G un sottogruppo pseudoalgebrico connesso, di GL(n, C), con albegra di Lie g ⊂ gl(n, C). Se
(5.1.1) g∗∈ G, ∀g ∈ G,
allora l’applicazione
(5.1.2) (G ∩ U(n)) × (g ∩ p(n)) 3 (u, B) −→ u exp(B) ∈ G,
ove p(n)= {X ∈ gl(n, C) | X∗ = X} `e lo spazio vettoriale delle matrici Hermitiane, `e un omeomorfismo.
1G`e un gruppo di Lie se esiste un sottogruppo di Lie G0
di un gruppo lineare GL(n, C) e un omeomorfismo φ : U → U0
di un intorno dell’identit`a di G su un intorno dell’identit`a U0
di G0
tale che, se g1, g2, g1g2∈ U, allora φ(g1g2)= φ(g1)φ(g2).
68 V. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
Dimostrazione. Per il Teorema 2.4.1 del Capitolo II, ogni elemento g ∈ GL(n, C) si scrive in modo unico come
g= u ◦ p con u ∈ U(n), p ∈ p(n). Sia g ∈ G. Poich´e per ipotesi anche
g∗= p ◦ u∗= p ◦ u−1∈ G, il gruppo G contiene l’elemento g∗g= p2.
Per il Teorema 2.3.2 del Capitolo II, vi `e un unico elemento B ∈ p(n) tale che p= exp(B).
Sia a ∈ U(n) tale che a ◦ B ◦ a∗sia in forma diagonale:
a ◦ B ◦ a∗= θ1 0 0 . . . 0 0 θ2 0 . . . 0 0 0 θ3 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . θn ,
con θj ∈ R per j = 1, ..., n. Il gruppo ad(a)(G) `e ancora un sottogruppo pseu-doalgebrico di GL(n, C) e quindi le matrici diagonali reali di ad(a)(G) formano un sottogruppo pseudoalgebrico Q di GL(n, C). Possiamo perci`o trovare un insieme finito di polinomi f1, ..., fN ∈ R[x1, ..., xn] tali che la matrice diagonale reale
ξ1 0 . . . 0 0 ξ2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . ξn ∈ GL(n, R) appartenga a Q se e soltanto se fj(ξ1, ξ2, ..., ξN)= 0 per j = 1, ..., N. Abbiamo allora (5.1.3) fj(e2kθ1, e2kθ2, ..., e2kθn)= 0 ∀k ∈ Z, ∀ j = 1, ..., N. Per concludere la dimostrazione, utilizziamo il seguente
Lemma 5.1.3. Sia f : R → R una funzione esponenziale-polinomiale della forma:
(5.1.4) f(t)= N X j=1 cjebjt t ∈ R
con cj, bj ∈ R e bi , bj se i , j. Se f si annulla per ogni t ∈ Z \ {0}, allora f si annulla per ogni t ∈ R.
Dimostrazione. Poniamo exp(bj) = ξj. Se f (t) = 0 per i valori interi t = 0, 1, . . . , N − 1, otteniamo in particolare che
5.1. DECOMPOSIZIONE DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI 69
ove V(ξ1, . . . , ξN) `e la matrice di Vandermonde
V(ξ1, . . . , ξN)= 1 1 . . . 1 ξ1 ξ2 . . . ξN ξ2 1 ξ2 2 . . . ξ2 N ... ... ... ... ξN−1 1 ξN−1 2 . . . ξN−1 N .
Il determinante2della matrice di Vandermonde `e det V(ξ1, ..., ξN)= Y
1≤i< j≤N
(ξj−ξi),
e quindi diverso da zero perch´e gli ξ1, . . . , ξN sono tra loro distinti. La (5.1.5)
implica dunque che c1= ... = cN = 0.
Concludiamo ora la dimostrazione del Teorema 5.1.2. Per il Lemma 5.1.3 appena dimostrato, dalla (5.1.3) otteniamo che
fj(etθ1, ..., etθn)= 0 ∀t ∈ R, j = 1, ..., N. Quindi exp(2t(aBa∗)) ∈ Q per ogni t ∈ R e ci`o mostra che
B ∈ g ∩ p(n).
Allora p ∈ G e perci`o u= g ◦ p−1∈ G ∩ U(n). L’applicazione (G ∩ U(n)) × (g ∩ p(n)) 3 (u, B) → u exp(B) ∈ G `e quindi continua e surgettiva. La sua inversa
G 3 g → (g ◦ (g∗g)−1/2, (g∗
g)1/2) ∈ (G ∩ U(n)) × (g ∩ p(n))
`e continua, onde `e un omeomorfismo.
Nello studiare i gruppi classici G ⊂ GL(n, C) della lista di Cartan seguiremo quindi il procedimento seguente:
(1) verificheremo che esso contenga l’aggiunto di ogni suo elemento;
2Per dimostrare questa formula, ragioniamo per ricorrenza su N. La formula del determinante di Vandermonde `e facilmente verificata nel caso N = 2. Supponiamo quindi N > 2 e la formula vera per determinanti di Vandermonde di ordine N − 1. Sottraendo alla j+ 1-esima riga ξ1volte la
j-esima, per j= 1, ..., N − 1, otteniamo:
det V(ξ1,...,ξN)=det 1 1 1 ... 1 0 ξ2−ξ1 ξ3−ξ1 ... ξN−ξ1 0 ξ2(ξ2−ξ1) ξ3(ξ3−ξ1) ... ξN(ξN−ξ1) 0 ξ2 2(ξ2−ξ1) ξ2 3(ξ3−ξ1) ... ξ2 N(ξN−ξ1) .. . ... ... ... ... 0 ξN−2 2 (ξ2−ξ1) ξN−2 3 (ξ3−ξ1) ... ξN−2 N (ξN−ξ1) .
Raccogliendo il fattore (ξj−ξ1) nella j-esima colonna, per j= 2, ..., N, si ottiene det V(ξ1, ..., ξN)= (ξ2−ξ1) · ... · (ξN−ξ1) · det V(ξ2, ..., ξN) da cui la formula desiderata segue per l’ipotesi di ricorrenza.
70 V. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
(2) calcoleremo l’insieme g ∩ p(n) delle matrici Hermitiane contenute nella sua algebra di Lie g;
(3) studieremo il sottogruppo compatto G ∩ U(n).
Osserviamo ancora che l’algebra di Lie di G ∩ U(n) `e g ∩ u(n) e che l’applicazione esponenziale
g ∩ u(n) 3 X → exp(X) ∈ G ∩ U(n)
ha come immagine la componente connessa dell’identit`a in G ∩ U(n). Abbiamo infatti
Teorema 5.1.4 (Cartan-Weyl-Hopf). Sia G un sottogruppo compatto e connesso di GL(n, C), con algebra di Lie g. Allora
g 3X −→exp(X) ∈ G `e surgettiva.
Non diamo qui la dimostrazione di questo teorema 3, la cui validit`a `e stata verificata per ciascuno dei gruppi classici compatti e connessi: SO(n), U(n), SU(n) e Sp(n).
Osserviamo infine che g∩p(n) `e invariante per l’azione aggiunta degli elementi di H ∩ U(n).
5.2. Alcuni gruppi di matrici e le loro algebre di Lie
Nel capitolo precedente abbiamo esaminato i gruppi classici compatti della li-sta di Cartan. Completiamo ora la lili-sta di Cartan dando l’elenco dei gruppi classici non compatti, con le loro algebre di Lie.
(1) U(p, q) `e il gruppo delle matrici complesse a ∈ GL(p + q, C) che soddisfano a∗K a = K per una matrice Hermitiana simmetrica K con segnatura (p, q). Ad esempio, possiamo prendere K = Ip
−Iq . La sua algebra di Lie `e u(p, q)= {X ∈ gl(p + q, C) | X∗ K + K X = 0 } .
(2) SU(p, q) `e il gruppo delle matrici complesse a ∈ U(p, q) con deter-minante 1: SU(p, q)= U(p, q)∩SL(p+q, C). L’algebra di Lie corrispon-dente `e
su(p, q)= {X ∈ u(p, q) | tr X = 0} = u(p, q) ∩ sl(p + q, C) . (3) SU∗(2n) `e il gruppo delle matrici4a ∈ SL(2n, C) tali che
a J = J ¯a
3Possiamo introdurre su G una metrica Riemanniana invariante per le traslazioni a destra e a sinistra; allora le geodetiche per l’origine sono tutti e soli i sottogruppi a un parametro di G. La tesi segue allora dal fatto che l’identit`a e di G si pu`o congiungere a un qualsiasi punto g ∈ G mediante una geodetica γ : [0, 1] 3 t → exp(tX) ∈ G di lunghezza minima per cui γ(0)= e e γ(1) = g.
4Questo gruppo si pu`o indicare anche mediante SL(n, H) e la corrispondente algebra di Lie mediante sl(n, H).
5.2. ALCUNI GRUPPI DI MATRICI E LE LORO ALGEBRE DI LIE 71
dove ¯a `e la matrice i cui coefficienti sono i coniugati dei coefficienti di a e J `e una matrice reale antisimmetrica di rango 2n. Ad esempio possiamo fissare J= In
−In
. La sua algebra di Lie `e:
su∗(2n)=n
X ∈ sl(2n, C)
X J = J ¯X ∀z, w ∈ Cno .
(4) SO(n, C) `e il gruppo delle matrici a di SL(n, C) che lasciano invariata una matrice simmetrica non degenere Q:
SO(n, C) = {a ∈ SL(n, C) | tr a Q a = Q} . La sua algebra di Lie `e:
so(n, C) = {X ∈ sl(n, C) | tr X Q + Q X = 0 }.
(5) SO(p, q) `e il gruppo delle matrici reali a ∈ SL(p+ q, R) tali che tr a K a = K per una matrice reale simmetrica K ∈ M((p + q), (p + q); R) di segnatura (p, q). La corrispondente algebra di Lie `e:
o(p, q)= {X ∈ sl(p + q, R) | tr X K + K X = 0 }. (6) SO∗(2n) `e il gruppo delle matrici a ∈ SL(2n, C) tali che
a∗J a= J e tr a a = K
ove J `e una matrice antihermitiana di rango 2n e K `e una matrice simme-trica di rango 2n con JK = KJ. Possiamo ad esempio fissare K = I2n e J = In
−In
. L’algebra di Lie corrispondente `e: so∗(2n)= {X ∈ sl(2n, C) | X∗
J+ JX = 0 , tr XK + KX = 0 } .
(7) Sp(n, C) `e il gruppo delle matrici a ∈ GL(2n, C) tali che tr aJa = J per una matrice antisimmetrica J ∈ M(2n, C) di rango 2n. La corrispon-dente algebra di Lie `e:
sp(n, C) = {X ∈ gl(2n, C) | tr XJ + JX = 0 } .
(8) Sp(n, R) `e il gruppo delle matrici a ∈ GL(2n, R) tali che tr aJa = J per una matrice antisimmetrica J ∈ M(2n, R) di rango 2n. La corrispon-dente algebra di Lie `e:
sp(n, R) = {X ∈ gl(2n, R) | tr XJ + JX = 0 } .
(9) Sp(p, q) `e il gruppo delle matrici a ∈ Sp(n, C) (con p + q = n) tali che a∗Ka = K per una matrice Hermitiana K di segnatura (2p, 2q) che commuta con J. Se J= In
−In
, possiamo fissare ad esempio
K = Ip −Iq Ip −Iq . La corrispondente algebra di Lie `e:
sp(p, q)= {X ∈ sp(n, C) | X∗
K+ KX = 0 } .
72 V. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
5.3. I gruppi U(p, q) e SU(p, q)
Fissiamo K= Ip,q=Ip −Iq
e poniamo n= p + q. Lemma 5.3.1. Se g ∈ U(p, q), allora g∗∈ U(p, q).
Dimostrazione. Per la definizione del gruppo U(p, q) , abbiamo g∗Ip,q= Ip,qg−1.
Da questa otteniamo, passando alle inverse: gIp,q= (g∗
)∗Ip,q= Ip,q(g∗)−1
e quindi g∗∈ U(p, q).
Lemma 5.3.2. U(p, q) ∩ U(n) U(p) ./ U(q).
Dimostrazione. Scriviamo un elemento g ∈ U(p, q) ∩ U(n) nella forma g= a cd b
!
con matrici a di tipo p × p, b di tipo q × q, c di tipo p × q, d di tipo q × p. Poich´e g ∈ U(p, q), abbiamo
a∗a − d∗d= Ip, a∗
c= d∗b, b∗
b − c∗c= Iq. Essendo g ∈ U(n), abbiamo anche:
a∗a+ d∗ d= Ip, a∗ c+ d∗ b= 0, b∗ b+ c∗ c= Iq. Da queste uguaglianze ricaviamo
c= 0, d = 0
da cui segue la tesi.
Corollario 5.3.3. SU(p, q) ∩ U(n) `e omeomorfo al prodotto topologico SU(p) × SU(q) × S1.
Dimostrazione. Se σ ∈ C, per ogni intero positivo h indichiamo con Dh(σ) la matrice diagonale h × h: Dh(σ)= σ 1 ... 1 . L’applicazione
SU(p) × SU(q) × S13 (a, b, σ) −→ Dp(σ) a 0 0 Dq(σ−1) b
!
∈ SU(p, q) ∩ U(n)
`e continua e bigettiva e dunque un omeomorfismo perch´e i due spazi sono compatti
di Hausdorff.
Teorema 5.3.4. SU(p, q) `e omeomorfo al prodotto topologico SU(p) × SU(q) × S1× Cpq. U(p, q) `e omeomorfo al prodotto topologico SU(p, q) × S1. I due gruppi sono pertanto connessi per archi ma non compatti se pq , 0.
5.4. I GRUPPI Sp(n, C) E SU∗(2n) 73
Dimostrazione. Calcoliamo l’intersezione u(p, q)∩p(n). Scriviamo X ∈ u(p, q)∩ p(n) nella forma X =X11X12
X∗ 12X22
con X11∈ p(p), X22∈ p(q) e X12matrice complessa di tipo p × q. Allora: 0 = X∗Ip,q+ Ip,qX = X Ip,q+ Ip,qX =2X11 0 0 2X22 . Quindi u(p, q) ∩ p(n)= su(p, q) ∩ p(n) = n 0 X12 X∗12 0 X12 ∈ M(p × q, C)
La tesi `e perci`o conseguenza dei lemmi precedenti e del Teorema V.1.1. 5.4. I gruppi Sp(n, C) e SU∗(2n) Lemma 5.4.1. Se g ∈ Sp(n, C), allora g∗∈ Sp(n, C). Dimostrazione. Abbiamo t gJg= J e dunque Jg= tr g−1J da cui, passando alle inverse:
g−1J= J tr g. Passando ai coniugati, otteniamo:
¯g−1J = Jg∗ da cui t g∗Jg∗= J e dunque g∗∈ Sp(n, C). Teorema 5.4.2. Sp(n, C) `e omeomorfo a Sp(n) × Rn(2n+1).
Dimostrazione. Sia g ∈ Sp(n, C). Possiamo decomporre g in modo unico nella forma:
g= ab con a ∈ Sp(n, C) ∩ U(2n) e b ∈ Sp(n, C) ∩ P+(2n).
La b si pu`o rappresentare in modo unico come esponenziale di una matrice B ∈( n, C) ∩ p(2n). Scriviamo B nella forma
B= B11 B12 B∗12 B22
con Bhkmatrici complesse n×n, B11e B22Hermitiane. Da tr BJ+JB = 0 otteniamo allora le uguaglianze:
B11= −tr B22
74 V. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
La matrice B `e dunque della forma
(∗) B=B11 B12
¯ B12− ¯B11
con B11Hermitiana e B12 simmetrica. Le matrici Hermitiane della forma (∗) for-mano uno spazio vettoriale reale L di dimensione n2+n(n+1) = n(2n+1) e dunque la tesi segue dall’omeomorfismo del Teorema V.1.1:
Sp(n) × L 3 (a, B) −→ a exp(B) ∈ Sp(n, C).
Teorema 5.4.3. Il gruppo SU∗(2n) `e omeomorfo a Sp(n) × R2n2−n−1.
Dimostrazione. Ricordiamo che g ∈ SU∗(2n) se g ∈ SL(2n, C) e Jg= ¯gJ.
Ne segue che, se g ∈ SU∗(2n) ∩ U(2n) abbiamo
tgJg= J
e dunque g ∈ Sp(n).
Si verifica immediatamente che g∗ ∈ SU∗(2n) se g ∈ SU∗(2n) e dunque pos-siamo ripetere il ragionamento fatto nella dimostrazione del teorema precedente, decomponendo g mediante
g= ab con a ∈ SU∗
(2n) ∩ U(2n)e b ∈ SU∗(2n) ∩ P(2n) .
La b `e l’esponenziale di una matrice Hermitiana B in su∗(2n): questo `e lo spazio vettoriale reale L di dimensione 2n2− n − 1 delle matrici della forma:
B= B11 B12 − ¯B12B¯11
con B11matrice n × n Hermitiana con traccia nulla e B12matrice n × n complessa antisimmetrica:tB12= −B12. Per il Teorema V.1.1 otteniamo un omeomorfismo:
Sp(n) × L 3 (a, B) −→ a exp(B) ∈ SU∗(2n),
che dimostra la tesi.
5.5. I gruppi SO(n, C) e SO∗(2n) Teorema 5.5.1. SO(n, C) `e omeomorfo a SO(n) × R(n2−n)/2.
Dimostrazione. Osserviamo in primo luogo che l’aggiunta g∗di un elemento gdi SO(n, C) `e ancora un elemento del gruppo. Infatti le equazioni che definiscono il gruppo sono:
det(g)= 1, tr g g = I. Quindi, poich´e anche g tr g= I:
det(g∗)= det(g) = 1 e tg∗g∗=
gtg∗= I . Un elemento g di SO(n, C) ∩ U(n) soddisfa
5.5. I GRUPPI SO(n, C) E SO∗(2n) 75
e dunque `e una matrice a coefficienti reali. Otteniamo perci`o: SO(n, C) ∩ U(n) = SO(n). Decomponiamo g ∈ SO(n, C) in modo unico mediante
g= ab con a ∈ SO(n, C) ∩ U(n) e b ∈ SO(n, C) ∩ P(n).
Gli elementi di SO(n, C) ∩ P(n) sono tutti e soli gli esponenziali delle matrici dello spazio vettoriale reale L di dimensione (n2− n)/2:
L= {B|B Hermitiana e tr B = −B} = i · o(n)
cio`e delle matrici a coefficienti puramente immaginari antisimmetriche. La tesi
segue dal Teorema V.1.1.
Teorema 5.5.2. SO∗(2n) `e omeomorfo a U(n) × Rn2−n.
Dimostrazione. Dimostriamo in primo luogo che il gruppo SO∗(2n) ∩ U(2n) `e isomorfo, come gruppo topologico, a U(n). Infatti, per un elemento g di tale gruppo, valgono le equazioni:
tr gg= I, g∗
Jg= J, g∗
g= I, det(g) = 1.
La prima e la terza di queste equazioni ci dicono che g `e una matrice reale di SO(2n). La seconda ci dice allora che g commuta con J e dunque `e C-lineare per la struttura complessa su R2ndefinita da J. Si verifica facilmente che, se definiamo l’isomorfismo R-lineare σ : R2n−→ Cnmediante
σ(ek)= ek per 1 ≤ k ≤ n e σ(Jek)= σ(ek+n)= iek
l’applicazione
SO∗(2n) ∩ U(2n) 3 g −→ σ ◦ g ◦ σ−1∈ U(n)
`e un isomorfismo di gruppi topologici. Per concludere la dimostrazione, osser-viamo che il gruppo SO∗(2n) `e chiuso rispetto all’aggiunzione e dunque, dalla decomposizione
g= ab con a ∈ SO∗
(2n) ∩ U(2n) e b ∈ SO∗(2n) ∩ P(2n) .
Troviamo allora che b = exp(B) dove B ∈ so∗(2n) ∩ p(2n) `e univocamente deter-minata come un elemento dello spazio vettoriale reale L di dimensione n2− n delle matrici:
B = i XY −XY !
con X, Y ∈ o(n) .
76 V. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
5.6. I gruppi Sp(p, q; C) Teorema 5.6.1. Abbiamo l’omeomorfismo
Sp(p, q) Sp(p) × Sp(q) × R4pq.
Dimostrazione. Ricordiamo che il gruppo Sp(p, q; C) `e caratterizzato dalle equazioni:
tr gJg= J e g∗Ip,qIp,qg=Ip,q
Ip,q .
Come abbiamo visto in precedenza, possiamo considerare un elemento g dell’ in-tersezione Sp(p, q; C) ∩ U(2n) ⊂ Sp(n) come un elemento di GL(n, H). Scriviamo ˜g per la matrice a coefficienti quaternioni corrispondente a g. Troviamo allora: se g ∈ Sp(p, q; C), allora ˜g∗˜g= I ˜g∗Ip,qg= Ip,q. Si ottiene quindi ˜g= g1 g2 ! con g1∈ Sp(p), g2 ∈ Sp(q).
D’altra parte abbiamo al solito l’invarianza di Sp(p, q; C) rispetto all’aggiunzione. Dal Teorema V.1.1 otteniamo un omeomorfismo
Sp(p) × Sp(q) × L 3 (g1, g2, B) −→ g1
g2 !
exp(B) ∈ Sp(p, q; C)
ove in questo caso L=( p, q; C) ∩ p(2n) `e uno spazio vettoriale reale di dimensione 4pq di matrici Hermitiane. Le matrici di L hanno la forma:
B= 0 B12 0 B14 B∗ 12 0 tB14 0 0 B¯14 0 − ¯B12 B∗14 0 −tB12 0
con B12e B14matrici complesse di tipo p × q.
5.7. I gruppi SO(p, q)
Teorema 5.7.1. Siano p, q due interi positivi con p + q = n. Allora il gruppo SO(p, q) `e omeomorfo a {−1, 1} × S O(p) × S O(q) × Rpq.
Dimostrazione. Ragioniamo come nella dimostrazione dei teoremi precedenti. Ricaviamo in primo luogo che SO(p, q) ∩ U(n) `e formato dalle matrici:
g=g1 0 0 g2
con g1∈ O(p), g2∈ O(q) e det(g1) · det(g2)= 1. Quindi abbiamo l’omeomorfismo:
SO(p, q) ∩ U(n) {−1, 1} × SO(p) × SO(q).
D’altra parte SO(p, q) ∩ P(n) `e l’immagine iniettiva mediante l’applicazione espo-nenziale delle matrici
B= 0 B12
tB12 0
5.7. I GRUPPI SO(p, q) 77
CAPITOLO VI