Vale in generale il seguente:
Teorema 6.1.1. Il gruppo fondamentale di un gruppo topologico localmente con-nesso per archi `e commutativo.
Sia G un gruppo topologico localmente connesso per archi e connesso e sia ˜
G−→ G un suo rivestimento connesso. Fissato un punto ˜e ∈ ππ −1(e), vi `e un’unica struttura di gruppo topologico su ˜G per cui ˜e sia l’identit`a e π un omomorfismo di gruppi topologici.
Dimostrazione. Se α, β : [0, 1] → G sono cammini continui con α(0) = α(1) = β(0) = β(1) = e, consideriamo l’applicazione continua:
F : [0, 1] × [0, 1] 3 (t, s) → α(t) · β(s) ∈ G . Allora (α · β)(t)= F(2t, 0) se 0 ≤ t ≤ 12 F(1, 2t − 1) se 12 ≤ t ≤ 1 e (β · α)(t)= F(0, 2t) se 0 ≤ t ≤ 12 F(2t − 1, 1) se 12 ≤ t ≤ 1 e possiamo definire un’omotetia tra α · β e β · α mediante:
G(s, t)= F((1 − s)2t, 2st) se 0 ≤ t ≤ 12 F((1 − s)+ s(2t − 1), s + (1 − s)(2t − 1)) se 12 ≤ t ≤ 1 .
Ci`o dimostra che π1(G) `e un gruppo abeliano.
Sia ora π : ˜G → G un rivestimento connesso di G. Osserviamo che ˜G `e connesso per archi.
Per ogni ˜g ∈ ˜G indichiamo con π1( ˜G, ˜g) il gruppo fondamentale di ˜G con punto base ˜g. Dimostriamo innanzitutto il seguente:
Lemma 6.1.2. Siano g ∈ G e ˜g ∈ π−1(g). Allora, per ogni ξ ∈ π∗(π1( ˜G, ˜e)), risulta Lg∗(ξ) ∈ π∗(π1( ˜G, ˜g)).
Dimostrazione. Sia ˜α : [0, 1] → ˜G un laccetto con ˜α(0) = ˜α(1) = ˜e e poniamo α = π ◦ ˜α. Dobbiamo dimostrare che il laccetto Lg◦α : [0, 1] 3 t → Lg(α(t)) ∈ G, si rialza a un laccetto di punto iniziale ˜g.
80 VI. SPINORI
Sia ˜γ : [0, 1] → ˜G un cammino continuo con estremi ˜e e ˜g e sia γ = π ◦ ˜γ. Consideriamo l’applicazione continua:
[0, 1] × [0, 1] 3 (t, s) → G(t, s)= γ(s) · α(t) ∈ G .
Essa si rialza ad un’applicazione continua ˜g(t, s) e t → ˜g(t, 1) rialza Lg◦α. Per dimostrare che questo `e un laccetto, consideriamo l’insieme A degli s ∈ [0, 1] tali che ˜g(0, s) = ˜g(1, s). Esso contiene 0, `e chiuso perch´e ˜G `e uno spazio di Hausdorff, ed `e aperto perch´e π ◦ ˜g(0, s) = γ(s) = π ◦ ˜g(1, s) e ˜G −−→ G `e unπ rivestimento. Coincide quindi con [0, 1]: in particolare ˜g(0, 1) = ˜g(1, 1) e t →
˜g(t, 1) `e un laccetto.
conclusione della dimostrazione del Teorema. Siano ˜g1e ˜g2due elementi di ˜
G e siano ˜α1, ˜α2, ˜β1, ˜β2 : [0, 1] → ˜G cammini continui con ˜αi(0) = ˜βi(0) = ˜ei, ˜
αi(1) = ˜βi(1) = ˜gi, per i = 1, 2. Poniamo αi = π ◦ ˜αi, βi = π ◦ ˜βi (i = 1, 2). Consideriamo i cammini continui α : [0, 1] 3 t → α1(t)α2(t) ∈ G e β : [0, 1] 3 t → β1(t)β2(t) ∈ G e siano ˜α : [0, 1] → ˜G e ˜β : [0, 1] → ˜G i loro rialzamenti con punto iniziale ˜e. Dimostriamo che ˜α(1) = ˜β(1). A questo scopo osserviamo che
F(t, s)= α1(t+ st) · α2(t − st) se 0 ≤ t ≤ 12 α1(s+ t − st) · α2(t+ st − s) se 12 ≤ t ≤ 1 `e un’omotetia tra α ed α0= α1· (Lg1◦α2)= α1(2t) se 0 ≤ t ≤ 12 g1·α2(2t − 1) se 12 ≤ t ≤ 1 .
Se indichiamo con ˜α0 il rilevamento di α0 con punto iniziale ˜e, avremo quindi ˜ α0(1)= ˜α(1). Analogamente, posto β0 = β1· (Lg1◦β2)= β1(2t) se 0 ≤ t ≤ 12 g1·β2(2t − 1) se 12 ≤ t ≤ 1 ,
i rilevamenti ˜β e ˜β0di β e β0con punto iniziale ˜e hanno lo stesso punto finale in ˜G. Osserviamo ora che i punti finali di ˜α e di ˜β sono i punti finali dei rialzamenti dei cammini Lg1 ◦α2 e Lg1 ◦β2 con punto iniziale ˜g1. Questi coincidono perch´e (Lg1 ◦α2) · (Lg1 ◦β2)−1 = Lg1 ◦ (α2·β−1
2 ) `e l’immagine mediante la traslazione a sinistra per g1 del laccetto α2·β−1
2 , che per ipotesi `e immagine mediante π di un laccetto in ˜G di punto iniziale ˜e. Per il Lemma 6.1.2, esso `e allora l’immagine di un laccetto di punto iniziale ˜g1in ˜G.
Possiamo quindi definire:
˜g1˜g2 = ˜α(1)
in quanto la definizione non dipende dalla scelta dei cammini α1e β1che congiun-gono ˜e ai punti ˜g1, ˜g2rispettivamente.
Si verifica senza difficolt`a che, con questa definizione di prodotto, ˜G `e un gruppo topologico con unit`a ˜e e che π : ˜G → G `e un omomorfismo di gruppi.
6.3. ALGEBRE DI CLIFFORD 81
6.2. Il gruppo degli spinori
Definizione 6.2.1. Il rivestimento universale di SO(n), per n ≥ 3, `e un gruppo topologico, che si indica con Spin(n), e si dice il gruppo degli spinori di ordine n. Il rivestimento Spin(n)−−π→ SO(n) `e a due fogli ed `e un omomorfismo di gruppi.
Osserviamo che Spin(3) ' SU(2).
6.3. Algebre di Clifford
Sia k un campo di caratteristica 0, V uno spazio vettoriale di dimensione n su k e sia β : V × V → k una forma bilineare simmetrica.
Indichiamo conT (V) = L∞ h=0T⊗n
(V) l’algebra tensoriale di V. SiaI (V, β) l’ideale bilatero in T (V) generato dai tensori
v ⊗ w+ w ⊗ v − β(v, w) · 1, al variare di v, w in V.
Definizione 6.3.1. L’algebra di Clifford1Cliff(V, β) `e il quoziente
(6.3.1) Cliff(V, β) = T (V)/I (V, β).
Dati due elementi τ1, τ2 ∈ Cliff(V, β) indicheremo il loro prodotto mediante τ1? τ2.
Identifichiamo V aT⊗1
(V) ed indichiamo con ι(v) l’immagine di un vettore v ∈ V 'T⊗1
(V) in Cliff(V, β).
Proposizione 6.3.2. L’algebra di Clifford Cliff(V, β) `e caratterizzata, a meno di isomorfismi, dalle propriet`a:
esiste un’inclusioneι : V ,→ Cliff(V, β) tale che
(C1) ι(v)? ι(w) + ι(w) ? ι(v) = β(v, w) 1 per ogni v, w∈ V; (C2) ι(V) genera Cliff(V, β) come algegbra associativa unitaria;
(C3) Se A, con prodotto A × A 3 (a1, a2) → a1 a2∈ A, `e un’algebra associa-tiva e unitaria per cui `e definita un’applicazione lineareγ : V → A con la propriet`a che
γ(v) γ(w) + γ(w) γ(v) = β(v, w) · 1, ∀v, w ∈ V, allora vi `e un unico omomorfismo di algebre associative unitarie
˜γ : Cliff(V, β) → A che renda commutativo il diagramma:
V γ // ι A Cliff(V, β). ˜γ ::t t t t t t t t t t
1Queste algebre furono introdotte da W.K.Clifford nel 1878 (Amer.J.Math. 1, 350-358) come un’unificazione dei quaternioni di Hamilton e dell’algebra esterna di Grassmann.
82 VI. SPINORI
Poich´e ι : V → Cliff(V, β) `e iniettiva, identificheremo nel seguito V a un sotto-spazio di Cliff(V, β), usando lo stesso simbolo per il vettore v ∈ V e la sua immagine ι(v) in Cliff(V, β).
Indichiamo con Cliffk(V, β) il sottospazio vettoriale di Cliff(V, β) generato dai prodotti v1? v2?· · ·? vscon s ≤ k e v1, v2, . . . , vs∈ V. Poich´e
Cliffk1(V, β)Cliffk2(V, β) ⊂ Cliffk1+k2(V, β)
per ogni coppia di interi non negativi k1, k2, otteniamo in questo modo una filtra-zione di Cliff(V, β). Vale il
Lemma 6.3.3. Sia e1, . . . , enuna base di V. Allora, per ogni k ≥1, 1 e i vettori ei1 ? ei2?· · ·? eis con 1 ≤ s ≤ k, 1 ≤ i1< i2< · · · < is≤ n
formano una base di Cliffk(V, β). In particolare Cliff(V, β) = Cliffn(V, β) `e uno spazio vettoriale di dimensione2n.
Per la propriet`a (C3), l’applicazione γ : V 3 v → −v ∈ Cliff(V, β) si estende ad un automorfismo α : Cliff(V, β) → Cliff(V, β), con α2 = 1. Otteniamo quindi una decomposizione
Cliff(V, β) = Cliff+(V, β) ⊕ Cliff−
(V, β) ,
dove Cliff+(V, β) `e costituito dalla sottoalgebra unitaria degli elementi lasciati fissi dall’involuzione α e Cliff−(V, β) dagli elementi τ ∈ Cliff(V, β) tali che α(τ) = −τ.
Il sottospazio Cliff+(V, β) ha dimensione 2n−1 ed `e generato dai prodotti di un numero pari di elementi di V. Il sottospazio Cliff−
(V, β) ha la stessa dimensione ed `e generato dai prodotti di un numero dispari di elementi di V.
Se β= 0, l’algebra di Clifford coincide con l’algebra di Grassmann Λ(V). Nel seguito ci restringeremo al caso in cui β sia non degenere.
6.4. Spazi di Spinori
Supponiamo ora che V sia uno spazio vettoriale complesso di dimensione n e che β sia non degenere. Studiamo le rappresentazioni di Cliff(V, β) come algebra di endomorfismi lineari di uno spazio vettoriale complesso.
Definizione 6.4.1. Uno spazio di spinori per (V, β) `e la coppia formata da uno spazio vettoriale complesso S e da un’applicazione γ : V → EndC(S ) che goda delle propriet`a:
(S1) γ(x) ◦ γ(y)+ γ(y) ◦ γ(x) = β(x, y) IS per ogni x, y ∈ V;
(S2) Gli unici sottospazi di S invarianti rispetto a tutti gli endomorfismi γ(x), per x ∈ V, sono {0} ed S .
Osserviamo che per le propriet`a (C1), (C2) e (C3), la γ si estende in modo unico a un omomorfismo ˜γ : Cliff(V, β) → EndC(S ); viceversa ogni rappresenta-zione lineare irriducibile di Cliff(V, β) `e associata a un’applicazione γ che verifica la (S1).
Poich´e Cliff(V, β) ha dimensione finita ed S = {˜γ(x)(s) | x ∈ Cliff(V, β)} se s ∈ S \ {0}, lo spazio vettoriale S ha dimensione finita.
6.4. SPAZI DI SPINORI 83
Diremo che due spazi di spinori (S , γ) ed S0, γ0) per (V, β) sono equivalenti se c’`e un isomorfismo lineare T : S → S0tale che T ◦ γ(v)= γ0(v) ◦ T per ogni v ∈ V. Teorema 6.4.2. Sia n= dimCV. Allora:
(1) Se n `e pari, allora vi `e a meno di equivalenza un unico spazio di spinori per(V, β).
(2) Se n `e dispari, vi sono, a meno di equivalenza, esattamente due spazi di spinori non equivalenti per(V, β).
6.4.1. Costruzione di uno spazio di spinori nel caso n= 2m pari. Fissiamo una decomposizione V = W ⊕ W∗ di V nella somma diretta di due sottospazi totalmente isotropi per β. Osserviamo che β definisce un accoppiamento di dualit`a tra W e W∗con cui identifichiamo W∗al duale di W:
hx, x∗ i = β(x, x∗ ), per x ∈ W, x∗∈ W∗ ed abbiamo: β(x + x∗, y + y∗ )= hx | y∗ i+ hy | x∗i, per ogni x, y ∈ W, x∗, y∗ ∈ W∗. Indichiamo conΛk(W∗) lo spazio vettoriale delle k-forme multilineari alternate su W. SiaΛ•
(W∗)= Lm
k=0Λk(W∗) l’algebra di Grassmann delle forme multilinea-ri alternate su W. Ricordiamo che il prodotto inΛ•(W∗) `e definito sugli elementi omogenei φ ∈Λp(W∗), ψ ∈Λq(W∗) da:
(φ ∧ ψ)(w1, . . . , wp+q)= X
σ∈Sp,q
sgn(σ)φ(vσ1, . . . , vσp)ψ(vσp+1, . . . , vσp+q) ove sgn(σ) = ±1 `e la segnatura della permutazione σ e Sp,q `e l’insieme delle permutazioni σ di {1, . . . , p+ q} tali che σ1< · · · < σpe σp+1< · · · < σp+q.
Per ogni w∗∈ W∗indichiamo con ε(w∗) l’operatore: ε(w∗
) :Λ•
(W∗) 3 φ → w∗∧φ ∈ Λ•
(W∗) . Per ogni w ∈ W indichiamo con ι(w) l’operatore di prodotto interno:
ι(w) : Λ•
(W∗) 3 φ → wcφ ∈Λ•
(W∗). Se φ ∈Λk(W∗), wcφ ∈Λk−1(W∗) `e definito da:
(wcφ)(w1, . . . , wk−1)= φ(w, w1, . . . , wk−1) ∀w1, . . . , wk−1∈ W. Osserviamo che valgono le:
ε(w∗ 1) ◦ ε(w∗2)= −ε(w∗ 2) ◦ ε(w∗1) e ι(w1) ◦ ι(w2)= −ι(w2) ◦ ι(w1) ∀w1, w2 ∈ W, ∀w∗ 1, w∗ 2 ∈ W∗. Inoltre si verifica immediatamente che:
wc(w∗∧φ) = hw, w∗iφ − w∗∧ (wcφ) per ogni w ∈ W, w∗∈ W∗e φ ∈Λ•(W∗), cio`e: ε(w∗ ) ◦ ι(w)+ ι(w) ◦ ε(w∗ ) = hw, w∗ i IΛ•(W∗) ∀w ∈ W, ∀w∗ ∈ W∗. Definiamo ora γ : V = W ⊕ W∗ 3 (w+ w∗ ) → ε(w∗)+ ι(w) ∈ EndC(Λ• (W∗)) .
84 VI. SPINORI
Poich´e
γ(v1) ◦ γ(v2)+ γ(v2) ◦ γ(v1)= β(v1, v2) IΛ•(W∗)per ogni v1, v2∈ V la γ si estende a un omomorfismo ˜γ : Cliff(V, β) → EndC(Λ•(W∗)).
Dimostriamo che Λ•(W∗) non contiene sottospazi propri invarianti rispetto a ˜γ(Cliff(V, β)). Se E `e un sottospazio ˜γ(Cliff(V, β))-invariante di Λ•(W∗) diverso da {0}, fissiamo un elemento φ ∈ E \ {0}. Decomponiamo φ nella somma del-le sue componenti omogenee: φ = φ0 + · · · φj + · · · + φp con φj ∈ Λj(W∗) e φd , 0. Siano w1, . . . , wd ∈ W tali che φd(v1, . . . , vd) , 0. Allora γ(wd) ◦ · · · ◦ γ(w1)(φ) = φd(v1, . . . , vd) ∈ Λ0(W∗) \ {0}∩ E. Quindi E contiene ele-menti non nulli omogenei di grado zero, quindi contiene 1 e tutti gli eleele-menti w∗1 ∧ · · · ∧ w∗p = ε(w∗
1) ◦ · · · ◦ ε(w∗p)(1) al variare di p e di w∗1, . . . , w∗
p in W∗ e
perci`o coincide conΛ•(W∗). Quindi: Se n `e pari, (Λ•
(W∗), ˜γ) `e uno spazio di spinori per (V, β).
6.4.2. Costruzione di uno spazio di spinori nel caso n = 2m + 1 dispari. Fissiamo un vettore e0 ∈ V con β(e0.e0) = 2. Sia U = C e0 e siano W, W∗due sottospazi totalmente isotropi di U⊥tali che U⊥= W ⊕ W∗, V = W ⊕ U ⊕ W∗.
Ripetiamo la costruzione del punto 1. Definiamo le applicazioni γ± : V → EndC(Λ•(W∗)) mediante: γ(w + λe0+ w∗ )(φ)= wc ± (−1)pλ + w∗ ∧φ se φ ∈ Λp(W∗) . Abbiamo {γ(v1), γ(v2)}= γ(v1) ◦ γ(v2)+ γ(v2) ◦ γ(v1)= β(v1, v2) IΛ•(W∗).
Per le propriet`a (C1), (C2) e (C3) le applicazioni γ±si estendono in modo unico ad omomorfismi
˜γ±: Cliff(V, β) → EndC(Λ•
(W∗)) .
Il fatto cheΛ•(W∗) non abbia sottospazi propri non nulli che siano ˜γ±(Cliff(V, β)-invariante segue con lo stesso argomento usato nel caso pari.
Quindi: Se n `e dispari, (Λ•(W∗), ˜γ+) e (Λ•(W∗), ˜γ−) sono spazi di spinori per (V, β). Per completare la dimostrazione, utilizzeremo il seguente:
Lemma 6.4.3. Sia W un sottospazio totalmente isotropo massimale di V per la formaβ. Se (S0, γ0) `e uno spazio di spinori per (V, β), poniamo
Z = \
w∈W
ker γ0(w) .
(1) Z ha dimensione 1; fissiamo z0∈ Z \ {0}.
(2) Se n `e pari, vi `e un unico isomorfismo di spazi spinoriali (Λ•
(W∗), γ)−−→ (ST 0, γ0
) tale che T(1)= z0.
(3) Se n `e dispari, vi `e un unico isomorfismo di spazi spinoriali (Λ•
(W∗), γδ)−−→ (ST 0, γ0
) con T(1)= z0eγ0(e0)(z0)= δz0conδ = ±.
6.4. SPAZI DI SPINORI 85
(4) Se n `e dispari, i due spazi spinoriali (Λ•(W∗), γ+) e (Λ•(W∗), γ−) non sono equivalenti.
Dimostrazione. Fissiamo una base e1, . . . , emdi W (m=hn 2
i
). Poich´e γ0(ej)2= 1
2β(ej, ej)IΛ•(W∗) = 0,
abbiamo ker γ0(ej) , {0}. Inoltre γ0(ei) ◦ γ0(ej) = −γ0(ej) ◦ γ0(ei) per ogni i, j = 1, . . . , m e quindi ogni sottospazio ker γ0(ei) `e γ0(ej)-invariante per ogni i, j = 1, . . . , m. Abbiamo perci`o Z = m \ j=1 ker γ0(ej) , {0} . Definiamo ora un’applicazione lineare
T :Λ• (W∗) → S0 mediante: T(w∗1∧ · · · ∧ w∗p)= γ0 (w∗1) ◦ · · · ◦ γ0(w∗p)(z0) ∀w∗1, . . . , w∗ p∈ W∗.
Dalle relazioni (S1) segue che l’immagine `e invariante rispetto a γ0(V) e quindi l’applicazione T `e surgettiva. Dimostriamo ora che T ◦ γ(w+ w∗)= γ0(w+ w∗) ◦ T per ogni w ∈ W e w∗∈ W∗. Poich´e per definizione T ◦ γ(w∗)= γ0(w∗) ◦ T per ogni w∗∈ W∗, `e sufficiente verificare che
(∗) T ◦γ(w)(φ) = γ0(w) ◦ T (φ) ∀w ∈ W, ∀φ ∈ Λp(W∗)
per ogni p = 0, 1, . . . , m . Questa uguaglianza `e verificata (ambo i membri sono nulli) quando p = 0. Supponiamo per induzione di averla dimostrata per ogni p ≤ k< m. Sia ψ ∈ Λk(W∗) e w∗∈ W∗. Abbiamo allora
T(γ(w)(w∗∧ψ) = T(hw, w∗ iψ − w∗ ∧ (γ(w)(ψ))) = hw, w∗ i IS0− γ0 (w∗) ◦ γ0(w) ◦ T (ψ) = γ0 (w) ◦ γ0(w∗) ◦ T (ψ) = γ0 (w) ◦ T (w∗∧ψ) .
Questo dimostra che la (∗) vale per p = k + 1 e quindi, per induzione, per ogni p= 0, 1, . . . , m. Se n `e dispari, se φ ∈Λp(W∗), abbiamo: T(γδ(e0)(φ)= δ(−1)p T(φ) = δ(−1)pγ0 (φ)(z0) = (−1)pγ0 (φ) ◦ γ0(e0)(z0) = γ0 (e0) ◦ γ0(φ)(z0) = γ0 (e0)(T (φ)) .
Questo dimostra che (S0, γ0) `e isomorfo allo spazio spinoriale (Λ•(W∗), γδ). Rimane da dimostrare che (Λ•(W∗), γ+) e (Λ•(W∗), γ−) non sono equivalenti. Se lo fossero ci sarebbe un isomorfismo R :Λ•(W∗) →Λ•(W∗) tale che R◦γ+(v)= γ(v) ◦ R per ogni v ∈ V. In particolare R commuta con ε(w∗) per ogni w∗ ∈ W∗
86 VI. SPINORI
e con ogni ι(w) con w ∈ W. Per l’irriducibilit`a (Lemma di Schur) ne segue che R = λ IΛ•(W∗), con λ ∈ C \ {0}. Ma questo implica che γ−(e0) = γ+(e0) e ci d`a
quindi una contraddizione.
C. Struttura delle algebre di Clifford complesse
Teorema 6.4.4. Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione pari n= 2m eβ una forma bilineare simmetrica non degenere su V. Se (S, γ) `e uno spazio di spinori per(V, β), allora l’applicazione γ : V → EndC(S ) si estende in modo unico a un isomorfismo di algebre associative unitarie
˜γ : Cliff(V, β)−−→ End∼ C(S ) . In particolareCliff(V, β) `e semplice.
Dimostrazione. Poich´e la ˜γ : Cliff(V, β) −−→ End∼ C(S ) `e una rappresentazione irriducibile, per il Teorema di Burnside ˜γ(Cliff(V, β)) = EndC(S ). Quindi, poich´e S ha dimensione 2m = 2n/2, la dimensione di Cliff(V, β) `e ≥ dimCEndC(S ) = 2n. D’altra parte Cliff(V, β), essendo generata dai prodotti ei1 ?· · ·? eik con 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, per una base e1, . . . , en di V, ha dimensione ≤ 2n. Ne segue che Cliff(V, β) ha dimensione 2ne la ˜γ `e un isomorfismo lineare. Teorema 6.4.5. Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione dispari n = 2m+1 e β una forma bilineare simmetrica non degenere su V. Se (S, γ+) ed (S , γ−) sono due spazi di spinori non equivalenti per(V, β), definiamo
γ : V → EndC(S ) ⊕ EndC(S ) mediante γ(v) = γ+(v) ⊕ γ−(v) ∀v ∈ V. Allora laγ si estende in modo unico a un isomorfismo di algebre associative uni-tarie ˜γ : Cliff(V, β)@ > ∼ >> EndC(S ) ⊕ EndC(S ). In particolare Cliff(V, β) `e semisemplice ed `e somma diretta di due ideali bilateri semplici isomorfi ciascuno aEndC(S ).
Dimostrazione. Siano W, W∗due sottospazi totalmente isotropi massimali di V, posti in dualit`a dalla forma β e poniamo, come al punto B, S = Λ•(W∗). Fissia-mo una base w1, . . . , wmdi W e sia w∗1, . . . , w∗
mla base duale in W∗: β(wj, w∗ h)= δj,h
per 1 ≤ j, h ≤ m. Sia w0∈ (W ⊕ W∗)⊥tale che β(w0, w0)= 2. Si verifica allora che [γ±(w1), γ±(w∗1)] ◦ · · · ◦ [γ±(wm), γ±(w∗m)]= γ+(w0) .
Quindi l’immagine ˜γ(Cliff(V, β)) contiene l’endomorfismo IS ⊕ IS. D’altra parte γ(w0) = IS ⊕ (−IS) e quindi l’immagine ˜γ(Cliff(V, β)) contiene sia IS ⊕ 0 che 0 ⊕ IS. Per il teorema precedente ne segue che ˜γ `e surgettiva e quindi, ripetendo l’argomento alla fine della dimostrazione del teorema precedente, ricaviamo che ˜γ
`e anche un isomorfismo lineare.
Corollario 6.4.6. Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione dispari n = 2m + 1 e β una forma bilineare simmetrica non degenere su V; siano W e W∗ sottospazi totalmente isotropi massimali di V con W ∩ W∗ = {0} e sia V0 = W ⊕ W∗= {0}. Allora Cliff+(V, β) ' Cliff(V0, β|V0).
6.6. I GRUPPI Ok(V, β), Pink(V, β), Spink(V, β) 87
Dimostrazione. Definiamo un’applicazione
ϕ : V03 v → i w0? v∈ Cliff+(V, β) . Essa soddisfa: {ϕ(v1), ϕ(v2)}= ϕ(v1)? ϕ(v2)+ ϕ(v2)? ϕ(v1) = −w0? v1? w0? v2− w0? v2? w0? v1 = (w0? w0)? (v1? v2+ v2? v1) = β(v1, v2) 1
e quindi si estende in modo unico a un’applicazione
˜ ϕ : Cliff(V0, β|V0) → Cliff+(V, β). Abbiamo: ˜ ϕ(v1?· · ·? vk)= ikw0? v1?· · ·? w0? vk = ik2 → kvoltew0?· · ·? w0 | {z } ? v1?· · ·? vk
Da questo, poich´e w0? w0 = 1, si ricava immediatamente che la ˜ϕ `e iniettiva e quindi anche surgettiva, perch´e i due spazi hanno entrambi dimensione 22m.
6.5. Immersione dell’algebra di Lie ortogonale nell’algebra di Clifford Supponiamo come in precedenza che V sia uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita n e β una forma bilineare simmetrica non degenere su V.
Definiamo l’algebra di Lie ortogonale complessa o(V, β) come la sottoalge-bra dell’algesottoalge-bra di Lie glC(V) degli endomorfismi complessi di V formata dagli endomorfismi X tali che
β(X(v), w) + β(v, X(w)) = 0 ∀v, w ∈ V .
Si pu`o facilmente verificare che o(V, β) `e l’algebra di Lie del gruppo lineare O(V, β)= {g ∈ GLC(V) | β(g(v), g(v))= β(v, v) ∀v ∈ V } .
6.6. I gruppi Ok(V, β), Pink(V, β), Spink(V, β)
Consideriamo fissata su V una forma bilineare simmetrica non degenere β e definiamo il gruppo Ok(V, β) mediante
Ok(V, β)= {g ∈ GLk(V) | β(g(v1), g(v2))= β(v1, v2) ∀v1, v2∈ V }.
Se g ∈ Ok(V, β), l’applicazione V 3 v → g(v) ∈ Cliff(V, β) si estende per (C3) a un automorfismo di Cliff(V, β). Definiamo su Cliff(V, β) la trasposizione τ : Cliff(V, β) → Cliff(V, β) mediante:
τ(v1? v2?· · · vk)= vk?· · · v2? v1 ∀v1, v2, . . . , vk ∈ V.
La sua composizione con l’involuzione α del punto A definisce un’involuzione: Cliff(V, β) 3 u → u∗∈ Cliff(V, β),
tale che (v1?· · ·? vk)∗= (−1)k
88 VI. SPINORI
∀v1, . . . , vk ∈ V. Osserviamo che per ogni v ∈ V:
v∗= −v , v? v
∗= −1
2β(v, v) .
In particolare, se v `e anisotropo2e β(v, v)= −2, otteniamo: v? v
∗ = v∗
? v = 1, cio`e v∗= v−1. Se w ∈ V otteniamo allora:
α(v)? w ? v∗= (−v)? w ? (−v)
= ([v? w + w ? v] ? v)− w? v ? v = β(v, w) v + w
= sv(w)
ove sv(w)= w−2β(w,v)β(v,v)v= w+β(w, v) v `e la simmetria rispetto al vettore anisotropo v. Supponiamo ora che β sia una forma bilineare simmetrica non degenere tale che −β(u, u) ∈ {k2| k ∈ k} per ogni u ∈ V. Definiamo
Pink(V, β)= {x ∈ Cliff(V, β) | x? x
∗= 1, α(x)? w ? x
∗
∈ V ∀w ∈ V }. Lemma 6.6.1. Pink(V, β) `e un sottogruppo del gruppo degli elementi invertibili di Cliff(V, β).
Dimostrazione. Siano x1, x2∈ Pink(V, β). Allora: (x1? x2)? (x1? x2)∗= x1? x2? x ∗ 2? x ∗ 1= x1? x ∗ 1= 1 , e se w ∈ V abbiamo: α(x1? x2)? w ? (x1? x2)∗= α(x1)? (α( x2)? w ? x∗2)? x∗1∈ V. Se x ∈ Pink(V, β), allora x−1= x∗implica che x−1?(x−1)∗= x∗
? x
∗∗ = x∗
? x = 1. Infine, osserviamo che Cliff(V, β) 3 y → α(x−1)? y ? (x−1)∗ ∈ Cliff(V, β) `e l’inversa della: Cliff(V, β) 3 y → α(x)? y ? x
∗∈ Cliff(V, β). Se quindi quest’ultima `e un isomorfismo di V in s´e, anche la sua inversa trasforma V in s´e.
Indichiamo con Ok(V, β) il gruppo ortogonale:
Ok(V, β)= {a ∈ Endk(V) | β(a(v), a(w))= β(v, w) ∀v, w ∈ V } e mediante SOk(V, β) il gruppo speciale ortogonale:
SOk(V, β)= {a ∈ Ok(V, β) | det(a)= 1} . Vale il seguente:
Teorema 6.6.2. Vi `e un unico omomorfismo di gruppi ρ : Pink(V, β) → Ok(V, β) tale che ρ(x)(v) = α(x)? v ? x ∗ ∀x ∈ Pink(V, β), ∀v ∈ V . 2
Se k = C, o pi`u in generale un campo di quadrati, per ogni u ∈ V anisotropo, vi sono esattamente due elementi ±k ∈ k tali che v = ±ku verifica la condizione β(v, v) = −2. Lo stesso succede se k = R e β `e definita negativa.
6.6. I GRUPPI Ok(V, β), Pink(V, β), Spink(V, β) 89
L’omomorfismoρ `e surgettivo e ker ρ = {±1}. Inoltre, ρ−1(SOk(V, β))= Pink(V, β) ∩ Cliff+(V, β) →
def==Spink(V, β) .
Se V = Rne β = − ( | ) `e l’opposto del prodotto scalare, scriviamo Pin(n) e Spin(n) invece di PinR(V, β) e SpinR(V, β). In questo caso ρ `e un rivestimento a due fogli di O(n) e quindi i gruppi Pin(n) e Spin(n) sono gruppi topologici com-patti. Il gruppo Spin(n) `e semplicemente connesso ed `e la componente connessa dell’identit`a in Pin(n).
CAPITOLO VII