Abbiamo gi`a detto che cos’`e un atomo in un’algebra di Boole: un elemento minimale fra quelli non nulli. Vediamo subito l’importanza degli atomi; occorre per`o osservare che non `e detto che un’algebra di Boole abbia atomi.
Diamo una facile caratterizzazione degli atomi.
Lemma 14.1. Sia a ∈ A, a , 0. Allora a `e un atomo se e solo se, per ogni b ∈ A, a ∧ b = 0 oppure a ∧ b = a.
Dimostrazione. Esercizio.
Proposizione 14.2. Sia a un atomo dell’algebra di Boole A. Allora esiste uno ed un solo ultrafiltro Ua in A tale che a ∈ Ua.
Dimostrazione. La minimalit`a di a in A \ {0} dice subito che Ua = { x ∈ A : a ≤ x } `e un ultrafiltro: infatti, se F `e un filtro che contiene propriamente Ua, allora esiste b ∈ F \ Ua, quindi a 6≤ b. Ma allora a ∧ b= 0 ∈ F: assurdo.
Sia F un ultrafiltro contenente a; allora, se a 6≤ b, abbiamo a ∧ b = 0 e quindi b < F. In particolare, se a `e un atomo,W (a) contiene un solo elemento, che quindi `e un punto isolato di S(A).
Definizione 14.3. Un’algebra di Boole A si dice atomica se, per ogni x ∈ A, x , 0, esiste un
atomo a tale che a ≤ x.
Proposizione 14.4. Sia A un’algebra di Boole. Allora A `e atomica se e solo se S(A) ha un insieme denso di punti isolati.
Dimostrazione. Indichiamo con E l’insieme dei punti isolati di S(A).
(⇒) Dobbiamo verificare che, per ogni x ∈ A, x , 0, E ∩ W (x) , ∅. Ora, esiste un atomo a con a ≤ x, cosicch´eW (a) ⊆ W (x). Per l’osservazione precedente, W (a) contiene un unico punto isolato.
(⇐) Sia x ∈ A, x , 0. Allora E ∩ W (x) contiene un punto isolato di S(A), sia esso U. Esiste pertanto un apertoW (a) della base tale che W (a) = {U}, e quindi a ≤ x. Affermiamo che a `e un atomo. Se non lo fosse, esisterebbe b ∈ A con 0 < b < a. Ne segue ∅ , W (b) ⊂ W (a):
assurdo.
Un esempio ovvio di algebra atomica `e P(X): gli atomi sono gli insiemi con un solo elemento. Ogni algebra finita `e atomica: fissato x , 0, l’insieme (non vuoto) degli elementi x ∧ y , 0 ha un elemento minimale. Notiamo che ciascuna delle algebre menzionate `e completa. Questo non `e casuale, perch´e l’essere atomica caratterizza le algebre complete come nel teorema che segue. Teorema 14.5. Sia A un’algebra di Boole completa. Allora A `e atomica se e solo se A `e isomorfa a P(E), per un insieme E.
Dimostrazione. Supponiamo A atomica e completa. Allora il sottoinsieme E dei punti isolati di S(A) `e denso e S(A) `e estremamente sconnesso.
Sia allora X uno spazio booleano estrememente sconnesso nel quale l’insieme E dei punti isolati `e denso. Dimostriamo che l’applicazione ϕ : B(X) → P(E) definita da U 7→ U ∩ E `e un isomorfismo di algebre di Boole. Questo baster`a a provare la tesi.
Che ϕ sia un omomorfismo `e ovvio. Sia U un chiusaperto di X; allora U ⊆ Cl(E ∩ U), per l’esercizio 3.4, in quanto U `e aperto. Ma U `e anche chiuso e, da E∩U ⊆ U segue Cl(E∩U) ⊆ U. Abbiamo allora U = Cl(E ∩ U),
Basta allora vedere che, per ogni sottoinsieme Z di E, Cl(Z) `e un chiusaperto di X (esercizio).
Quindi abbiamo trovato l’inversa di ϕ.
Non `e facile dare esempi di algebre non atomiche.
Definizione 14.6. Sia X uno spazio topologico e sia E ⊆ X. L’interno di X `e Int(E)= X\(Cl(X\ E)); in altre parole, Int(E) `e il pi`u grande aperto contenuto in E (esercizio). In particolare, E `e
aperto se e solo se E = Int(E).
L’operazione di prendere l’interno ha dunque propriet`a duali di quelle di un operatore di chiusura (definizione 3.5).
Proposizione 14.7. Sia X uno spazio topologico. Allora, se E, E0 ⊆ X, abbiamo: (OI-1) Int(X) = X;
(OI-2) Int(E) ⊆ E;
(OI-3) Int(E) ⊆ Int(Int(E));
(OI-4) Int(E ∩ E0)= Int(E) ∩ Int(E0).
Notiamo che la (OI-2) insieme alla (OI-3) dicono che Int(E) = Int(Int(E)). La (OI-4) dice anche che, se E ⊆ E0, allora Int(E) ⊆ Int(E0). Come per gli operatori di chiusura, se `e definita un’operazione su P(X) con le propriet`a della proposizione precedente, allora `e possibile definire un’unica topologia su X tale che gli aperti siano gli insiemi uguali al loro interno (esercizio). Definizione 14.8. Un aperto U dello spazio topologico X si dice regolare se U = Int(Cl(U)).
I chiusaperti di uno spazio topologico sono sempre aperti regolari. Dato E ⊆ X, poniamo ˇE = Int(Cl(E)).
Proposizione 14.9. Sia X uno spazio topologico. Per ogni aperto U di X, l’aperto ˇU `e regolare; inoltre, U ⊆ ˇU. Se V `e un altro aperto di X e U ⊆ V, allora ˇU ⊆ ˇV.
66 Enrico Gregorio
Dimostrazione. Poich´e U `e aperto, da U ⊆ Cl(U) segue U = Int(U) ⊆ Int(Cl(U)) = ˇU. Ne segue allora ˇU ⊆ ˇˇU.
Inoltre ˇU ⊆ Cl(U), quindi Cl( ˇU) ⊆ Cl(U), da cui Int(Cl( ˇU)) ⊆ Int(Cl(U)), cio`e l’altra inclusione.
Per finire, da U ⊆ V segue Cl(U) ⊆ Cl(V) e quindi anche Int(Cl(U)) ⊆ Int(Cl(V)). Chiameremo ˇU la regolarizzazione di U. Indicheremo poi con R(X) l’insieme degli aperti regolari di X, che `e ovviamente ordinato per inclusione. Notiamo che ∅ e X sono aperti regolari. Teorema 14.10. Sia X uno spazio topologico; allora R(X) `e un’algebra di Boole completa. Dimostrazione. Dati U, V ∈ R(X), poniamo
U ∧ V = Int(Cl(U ∩ V)) e U ∨ V = Int(Cl(U ∪ V)).
Verifichiamo che, effettivamente, U ∧ V `e il massimo dei minoranti di {U, V} in R(X). Per 14.9, U ∧ V ∈ R(X). Inoltre U ∩ V ⊆ U, quindi Cl(U ∩ V) ⊆ Cl(U) e, di conseguenza,
U ∧ V = Int(Cl(U ∩ V)) ⊆ Int(Cl(U)) = U. Analogamente, U ∧ V ⊆ V.
Sia ora W ∈ R(X) un minorante di {U, V}. Allora W ⊆ U ∩ V, quindi W = ˇW ⊆ U ∧ V. La dimostrazione che U ∨ V `e il minimo dei maggioranti di {U, V} `e analoga. Perci`o R(X) `e un reticolo con minimo e massimo.
Lasciamo come esercizio la verifica che R(X) `e un reticolo distributivo.
Il complemento di U ∈ R(X) `e U∗ = X \ Cl(U). Occorre vedere che X \ Cl(U) ∈ R(X), dopo di che U ∩ U∗ = ∅, quindi U ∧ V = ∅; inoltre U ∪ U∗ = U ∪ (X \ Cl(U)) = X \ (Cl(U) \ U); basta allora osservare che questo insieme `e denso in X per ottenere che U ∨ U∗= X. Ora nessun aperto di X pu`o essere contenuto in Cl(U) \ U, per definizione di chiusura.
Dimostriamo allora che X \ Cl(U) `e regolare. Poich´e U `e regolare, U = Int(Cl(U)); per la definizione di Int(E), questo equivale a X \ U = Cl(X \ Cl(U)). Ora
Int(Cl(X \ Cl(U)))= Int(X \ U) = X \ Cl(X \ (X \ U)) = X \ Cl(U).
Il fatto che R(X) `e completa discende dall’osservazione che, seX ⊆ R(X), allora sup X `e la regolarizzazione diSX . Questo si dimostra allo stesso modo usato prima per due aperti.
Possiamo allora presentare una vasta classe di algebre di Boole non atomiche.
Teorema 14.11. Sia X uno spazio topologico in cui R(X) `e una base. Allora R(X) `e atomica se e solo se X `e discreto.
Dimostrazione. Sia U ∈ R(X) e siano x, y ∈ U, x , y. Allora esistono aperti regolari V, W ∈ R(X) tali che x ∈ V, y ∈ W e V ∩ W = ∅ (ricordiamo che X `e di Hausdorff). Allora x ∈ U ∩ V e quindi x ∈ U ∧ V. Inoltre y < Cl(U ∩ V), perch´e W ∩ (U ∩ V) = ∅, quindi y < U ∧ V. Allora ∅U ∧ V , U e quindi U non `e un atomo.
Questo prova che U ∈ R(X) `e un atomo se e solo se U = {x} ha un solo elemento e, in tal caso, x `e un punto isolato di X. Allora R(X) `e atomica se e solo se ogni aperto regolare `e unione di insiemi di punti isolati (infatti `e completa). Ne segue che X `e discreto.
Esempio 14.12. L’algebra R([0, 1]) `e non atomica; pi`u in particolare, nessun suo elemento `e un
atomo.
Esiste, nel caso di un spazio booleano X una connessione fra B(X) e R(X).
Definizione 14.13. Una sottoalgebra B dell’algebra di Boole A `e densa se e solo se, per ogni
a ∈ A, a , 0, esiste B ∈ B, b , 0 tale che b ≤ a.
Al solito, la definizione sembra asimmetrica, ma non lo `e. Supponiamo B densa in A; se a ∈ A, a , 1, allora a∗
, 0 ed esiste b ∈ B, b , 0 tale che b ≤ a∗. Perci`o a ≤ b∗e b∗ , 1.
Se siamo nella situazione di B sottoalgebra di A, dato E ⊆ B, indichiamo rispettivamente con supBEe supAEgli estremi superiori di E calcolati in B e in A (ammesso che esistano). In generale, se questi estremi superiori esistono, si ha supAE ≤supBE.
Proposizione 14.14. Sia B una sottoalgebra densa dell’algebra di Boole A e sia E ⊆ B. Allora supBE esiste se e solo se esistesupAE esupAE ∈ B; in tal casosupBE = supAE.
Dimostrazione. Supponiamo che esista supBE= b. Questo non `e l’estremo superiore calcolato in A se e solo se esiste un maggiorante a ∈ A di E con a < b. Se questo `e il caso, consideriamo x= a + b ∈ A; allora x = a + b , 0, quindi esiste y ∈ B, y , 0, con y ≤ x.
(1) Vale y= ay + by: infatti, questo `e yx = y.
(2) Abbiamo a ≤ b+ y. Infatti a(b + y) = ab + ay = a + ay = a + a(ay + by) = a + a2y+ aby = a+ ay + ay = a.
(3) Di conseguenza, b+ y ∈ B `e un maggiorante di E; questo `e assurdo, perch´e b + y , b e inoltre
(b+ y)b = b + by = b + b(ay + by) = b + aby + b2
y= b + ay + by = b + y, cio`e b+ y ≤ b.
Viceversa, se supAEesiste e appartiene a B, `e ovvio che non pu`o esistere in B un maggiorante
di E minore di questo.
Proposizione 14.15. Sia X uno spazio booleano. Allora B(X) `e una sottoalgebra densa di R(X). Dimostrazione. Abbiamo gi`a osservato che ogni chiusaperto `e un aperto regolare. Quindi B(X) `e una sottoalgebra di R(X). Inoltre, se U `e un aperto regolare di X, U `e unione di chiusaperti.