D’ora in poi tutti gli spazi topologici considerati saranno, a meno che non si dica il contrario, di Hausdorff.
Definizione 9.1. Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice chiusaperto se `e sia chiuso che aperto. Uno spazio topologico compatto si dice booleano se i suoi sottoinsiemi chiusi e
aperti formano una base della topologia.
Esempi banali di chiusaperti in X sono ∅ e X. `E chiaro che unioni e intersezioni finite di chiu-saperti sono chiuchiu-saperti. Inoltre, immagini inverse tramite applicazioni continue di chiuchiu-saperti sono chiusaperti.
`
E anche immediato verificare che uno spazio compatto `e booleano se e solo se la sua topologia ha una base formata da chiusaperti.
Notiamo che, seT `e una topologia su X, l’insieme dei chiusaperti di X `e sempre una base per una topologiaT0su X, che tuttavia non `e necessariamente di Hausdorff; chiaramente T0 ⊆ T . Se X,T `e compatto, le due topologie coincidono se e solo se T0 `e di Hausdorff, per 7.15. Quindi, dati due punti distinti x, y ∈ X, esistono A e B chiusaperti in X disgiunti tali che a ∈ A e y ∈ B.
Proposizione 9.2. Uno spazio booleano `e totalmente sconnesso.
Dimostrazione. Sia X booleano. Allora, per la discussione precedente, dati x, y ∈ X distinti, esiste A chiusaperto in X tale che x ∈ A e y < A. Ma allora B = X \ A `e chiusaperto e A e B formano una sconnessione di X. Dunque la componente connessa di x `e {x}.
Dimostriamo una propriet`a che ci sar`a utile in seguito.
Proposizione 9.3. Sia X uno spazio booleano; siano C un chiuso di X e x ∈ X \ C. Allora esiste un chiusaperto U di X tale che C ⊆ U e x < U.
Dimostrazione. Per ogni c ∈ C, fissiamo Uc chiusaperto di X tale che x < Uc e c ∈ Uc; questi formano un ricoprimento aperto di C, il quale `e compatto. Quindi esistono c1, c2, . . . , cntali che
C ⊆ U = Uc1 ∪ · · · ∪ Ucn e x < U.
Indicheremo con 2 lo spazio topologico (discreto) 2= {0, 1}.
Proposizione 9.4. SeΛ `e un insieme, allora 2Λ `e uno spazio booleano.
Dimostrazione. Il prodotto 2Λ `e compatto per il teorema di Tychonov. Indicando con pλ: 2Λ→ 2 le proiezioni, sappiamo che una base per la topologia su 2Λ`e data dalle intersezioni finite degli insiemi della forma p←λ (U), dove U `e un aperto di 2. Ci basta perci`o dimostrare che p←λ ({0}) `e chiusaperto. Questo `e ora ovvio, perch´e pλ `e continua: per definizione, l’immagine inversa di un chiusaperto tramite un’applicazione continua `e un chiusaperto. Proposizione 9.5. Sia X uno spazio booleano e sia Y un chiuso di X. Allora Y, con la topologia relativa, `e booleano.
Dimostrazione. Poich´e Y `e chiuso, Y `e compatto. Inoltre una base della topologia relativa si ottiene intersecando con Y gli elementi di una base della topologia su X. Sia allora U un chiusaperto di X; abbiamo che U ∩ Y `e chiuso in X, quindi anche in Y. Perci`o U ∩ Y `e sia chiuso che aperto in Y. Dunque la topologia su Y ha una base formata da chiusaperti. Gli spazi booleani hanno questo nome perch´e l’insieme dei chiusaperti in essi `e un’algebra di Boole. Ricordiamo alcune definizioni.
Definizione 9.6. Un insieme parzialmente ordinato L, ≤ si dice un reticolo se, dati x, y ∈ L,
esistono sup≤{x, y} e inf≤{x, y}.
Una definizione equivalente `e tramite due operazioni.
Definizione 9.7. Un insieme L dotato di due operazioni ∨ e ∧ si dice un reticolo se, per ogni x, y, z ∈ L,
(1∨) x ∨ x= x, (1∧) x ∧ x= x,
(2∨) x ∨ y= y ∨ x, (2∧) x ∧ y= y ∧ x,
(3∨) (x ∨ y) ∨ z= x ∨ (y ∨ z), (3∧) (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z), (4∨) x ∨(x ∧ y)= x, (4∧) x ∧(x ∨ y)= x.
Le propriet`a si dicono, rispettivamente, propriet`a di idempotenza, propriet`a commutativit`a,
propriet`a associativit`a e propriet`a di assorbimento.
Le definizioni sono equivalenti perch´e, se in un reticolo secondo la prima definizione poniamo x ∨ y = sup≤{x, y} e x ∧ y = inf≤{x, y}, le due operazioni soddisfano le richieste della seconda definizione.
Viceversa, se abbiamo un reticolo per la seconda definizione, `e facile vedere che x ∨ y= y se e solo se x ∧ y= x;
se poniamo
x ≤ y per x ∨ y= y, la relazione cos`ı ottenuta `e una relazione d’ordine e, per ogni x e y,
sup≤{x, y} = x ∨ y e inf≤{x, y}= x ∧ y. Nel seguito, useremo una o l’altra formulazione, a seconda della convenienza.
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Se in un reticolo L, ≤ esistono il minimo o il massimo, vengono indicati rispettivamente con 0 e con 1 (a meno che non esistano nomi specifici per tali elementi).
Esempio 9.8. L’insieme P(X) delle parti di X, ordinato per inclusione, `e un reticolo, con minimo ∅ e massimo X. Dati A, B ∈ P(X), sup⊆{A, B}= A ∪ B e inf⊆{A, B}= A ∩ B. Proposizione 9.9. Sia L, ∨, ∧ un reticolo. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(a) per ogni x, y, z ∈ L, x ∨ (y ∧ z)= (x ∨ y) ∧ (x ∨ z); (b) per ogni x, y, z ∈ L, x ∧ (y ∨ z)= (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
Dimostrazione. Esercizio.
Un reticolo in cui vale una delle due condizioni precedenti si dice distributivo.
Sia L, ≤ un reticolo con minimo 0 e massimo 1. Dato x ∈ L, un elemento y ∈ L si dice un complementodi x se
x ∨ y= 1 e x ∧ y= 0. Un reticolo `e complementato se ogni elemento ha un complemento.
Proposizione 9.10. Sia L, ≤ un reticolo distributivo con minimo 0 e massimo 1. Se x ∈ L ha un complemento, questo `e unico.
Dimostrazione. Esercizio.
Quando il complemento di un elemento x di un reticolo esiste ed `e unico, esso si indica con x∗.
Definizione 9.11. Un reticolo con minimo e massimo, distributivo e complementato si chiama
un’algebra di Boole.
Esempio 9.12. L’insieme dei divisori di n > 0, ordinato per divisibilit`a, `e un’algebra di Boole. L’insieme dei naturali, ordinato per divisibilit`a, non `e un’algebra di Boole.
Esiste un’altra formulazione del concetto di algebra di Boole.
Definizione 9.13. Un anello A si dice un anello booleano se, per ogni a ∈ A, a2= a. Le seguenti propriet`a sono (o dovrebbero essere) ben note.
Proposizione 9.14. Sia A un anello booleano. Allora, per ogni a ∈ A, 2a = a + a = 0; inoltre A `e commutativo.
Dimostrazione. Abbiamo a+ a = (a + a)2= a2+ a2+ a2+ a2 = a + a + a + a, da cui a + a = 0 e quindi −a= a.
Inoltre a+ b = (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab + ba + b, da cui ab + ba = 0, cio`e
ba= −ab = ab.
Sia A un anello booleano; poniamo, per a, b ∈ A,
`
E facile verificare che queste operazioni soddisfano le condizioni che fanno di A, ∨, ∧ un reti-colo. Inoltre questo reticolo `e distributivo ed ha minimo 0 e massimo 1. Ogni elemento a ha un complemento a∗ = 1 + a. La relazione d’ordine `e:
a ≤ b ⇐⇒ ab = a ⇐⇒ a + b + ab = b. (Esercizio.)
Viceversa, se L, ≤ `e un’algebra di Boole, possiamo definire, per x, y ∈ L, x+ y = (x ∧ y∗
) ∨ (x∗∧ y) e xy= x ∧ y,
ottenendo un anello booleano (esercizio). Abbiamo anche x+ y = (x ∨ y) ∧ (x ∧ y)∗
(esercizio). Teorema 9.15. Sia X uno spazio booleano. Allora l’insieme B(X) dei chiusaperti di X, ordinato per inclusione, `e un’algebra di Boole.
Dimostrazione. `E chiaro che B(X) `e un sottoreticolo di P(X), il quale `e un’algebra di Boole. L’unica verifica da fare `e che il complementare di un chiusaperto `e un chiusaperto: ci`o `e ovvio. Indicheremo le operazioni di B(X) come unione e intersezione; il complementare di U sar`a indicato con X \ U o anche con U∗, se il contesto `e chiaro. Inoltre porremo
U4V = (U ∩ (X \ V)) ∪ (V ∩ (X \ U)) = (U ∪ V) \ (U ∩ V)
(differenza simmetrica di U e V). Perci`o, vedendo B(X) come anello booleano, l’addizione corrisponde alla differenza simmetrica e la moltiplicazione all’intersezione.
Il teorema appena dimostrato `e il fondamento della dualit`a di Stone. Esiste una descrizione diversa di B(X), utile quando si devono eseguire operazioni algebriche. Ricordiamo che, se A `e un sottoinsieme di X, la funzione caratteristica di A `e χA: X → 2, dove χA(x) = 1 se x ∈ A, χA(x)= 0 se x < A.
L’insieme 2= {0, 1} pu`o essere considerato un anello booleano, identificandolo con Z/2Z. In particolare, l’insieme 2Xdi tutte le applicazioni X → 2 `e un anello, dove si ponga, per α, β ∈ 2X,
α + β : x 7→ α(x) + β(x), αβ : x 7→ α(x)β(x).
Se X `e uno spazio booleano, l’insieme di tutte le funzioni caratteristiche dei chiusaperti coincide con l’insieme di tutte le applicazioni continue X → 2, e viene denotato con C(X). `E chiaro che C(X) `e un sottoanello di 2X e, come tale, un anello booleano.
Proposizione 9.16. Se X `e uno spazio booleano, allora B(X) e C(X) sono algebre di Boole isomorfe.
Dimostrazione. Facciamo vedere che l’applicazione ηX: U 7→ χU `e un isomorfismo. Sappiamo gi`a che `e biiettiva. Basta allora vedere che `e un isomorfismo di reticoli, cio`e che sia ηX che la sua inversa rispettano l’ordinamento. L’inversa di ηX `e α 7→ α←({1}).
Siano U, V ∈ B(X), con U ⊆ V. Allora `e facile vedere che χUχV = χU, cio`e che χU ≤ χV. Viceversa, siano α, β ∈ C(X), con α ≤ β, cio`e αβ= α. Allora, se U = α←({1}) e V = β←({1}), `e
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Teorema 9.17. Sia f : X → Y un’applicazione continua di spazi booleani; allora l’applicazione B( f )= f[
: B(Y) → B(X)
definita da f[(U)= f←(U) `e un omomorfismo di anelli booleani. Inoltre, se g : Y → Z `e un’altra applicazione continua di spazi booleani, B(g ◦ f )= B( f ) ◦ B(g). Vale anche che B(idX)= idB(X). Dimostrazione. Facile applicazione delle formule delle immagini inverse. Notiamo solo che, se
U `e un chiusaperto di Y, f←(U) `e un chiusaperto di X.
La medesima costruzione `e possibile per le algebre C(X).
Teorema 9.18. Sia f : X → Y un’applicazione continua di spazi booleani; allora l’applicazione C( f ) : C(Y) → C(X)
definita da C( f )(α)= α◦ f `e un omomorfismo di anelli booleani. Inoltre, se g: Y → Z `e un’altra applicazione continua di spazi booleani, C(g ◦ f ) = C( f )◦C(g). Vale anche che C(idX)= idC(X).
Dimostrazione. Esercizio.
Gli isomorfismi ηX sono collegati fra loro: sia f : X → Y un’applicazione continua di spazi booleani. Allora il diagramma
B(Y) ηY // B( f ) C(Y) C( f ) B(X) ηX // C(X) `e commutativo, cio`e ηX ◦ B( f )= C( f ) ◦ ηY. Esercizi
9.1. Sia E un insieme e siaF(E) l’insieme dei sottoinsiemi finiti oppure a complementare finito di E.
AlloraF(E) `e un’algebra di Boole, se ordinata per inclusione, ed `e una sottoalgebra diP(E).
9.2. Sia A un’algebra di Boole e sia E un sottoinsieme (non vuoto) di A. La minima sottoalgebra di A
contenente E `e formata dagli elementi della forma
m _ i=1 ni ^ j=1 xi j ,
dove xi j ∈ E oppure x∗i j∈ E. Questa sottoalgebra si dice generata da E; la sottoalgebra di A generata da
∅ `e {0, 1}.
Dimostrare che la sottoalgebra generata da E coincide anche con l’insieme degli elementi della forma
m ^ i=1 ni _ j=1 xi j , dove xi j ∈ E oppure x∗i j∈ E.
9.3. Sia B una sottoalgebra dell’algebra di Boole A. Se a ∈ A, la sottoalgebra di A generata da B ∪ {a} `e
formata dagli elementi della forma (x ∧ a) ∨ (y ∧ a∗), per x, y ∈ A. Dimostrare che questa sottoalgebra
coincide con { x+ ya : x, y ∈ B }.
9.4. Sia A un’algebra di Boole e sia E ⊆ A; poniamo E∗ = { a∗ : a ∈ E }. Se esiste sup E, allora esiste
anche inf E∗e si ha inf E∗ = (sup E)∗. Inoltre, per ogni a ∈ A, esiste sup{ a ∧ x : x ∈ E } e coincide con