obbligazionari “U.S.”
Al fine di determinare qual è l’effetto sulla decisione di portafoglio in caso di deviazioni dalla normalità e in caso di modifiche dell’orizzonte temporale considerato per il calcolo del VaR, si presenta un’indagine empirica nella quale sono stati stimati portafogli ottimi attraverso la selezione delle quote ottimali di azioni e Titoli di Stato “U.S.” in modo che sia rispettato, su vari orizzonti temporali di investimento, un vincolo di tipo VaR. I risultati ottenuti ci permettono infatti di osservare come la selezione del portafoglio ottimo sia influenzata sia dalle caratteristiche non-normali della distribuzione del rendimento atteso dei titoli finanziari, sia dalla lunghezza dell’orizzonte temporale dell’investimento.
Statistiche descrittive
Sono state utilizzate informazioni ottenute dalla banca dati Datastream relative al tasso di rendimento trimestrale dei Buoni del Tesoro americani (3-month U.S.
Treasury Bill), che è stato impiegato come “risk-free rate” ed informazioni
relative a due indici:
- lo Standard and Poor’s 500 (“S&P 500 composite return index for the
U.S.”);
- l’indice benchmark del rendimento delle obbligazioni a dieci anni del governo americano (10-year datastream benchmark U.S. government
bond return index).
In merito alla scelta del tasso di rendimento trimestrale dei Buoni del Tesoro quale tasso privo di rischio, essa è giustificata dal fatto che i Treasury Bills giocano un ruolo centrale nella teoria finanziaria. Considerando che sono privi di
118
rischio di default (non c’è alcun rischio di inadempimento)83
, che hanno un rendimento certo e scadenze a breve termine (le scadenze che in genere vengono proposte al momento dell’emissione sono a tre, a sei e a dodici mesi), essi sono le approssimazioni più vicine che esistono di un investimento privo di rischio.84 Per quanto riguarda gli indici, l’importanza di questi in finanza sta nella loro capacità di riassumere in un unico numero l’evoluzione e la performance di tutto il mercato o di un particolare settore. Gli indici più noti sono probabilmente quelli del mercato azionario, ma anche in quello obbligazionario il loro ruolo è estremamente importante.85 Lo S&P 500, sviluppato dall’agenzia di rating aziendale Standard & Poor’s, è l’indice azionario composito più usato per misurare l'andamento del mercato azionario americano ed è riconosciuto come benchmark per le performance di portafoglio. Segue l’andamento di un paniere azionario formato dalle cinquecento aziende statunitensi a maggiore capitalizzazione, appartenenti a diversi settori e, avendo una composizione molto ampia, approssima bene il portafoglio di mercato degli Stati Uniti.86
Per i suddetti indici, sono stati estratti dati giornalieri da Gennaio 1990 fino a Dicembre 1998, che hanno fornito 2.364 osservazioni. Il rendimento medio
83
Brealey, R. A., Myers, S. C., Allen, F., Sandri, S. (2011). Principi di Finanza aziendale, Op. Cit. (p. 186).
84
Gli U.S Treasury Bills rappresentano un “IOU” a breve termine del governo federale degli Stati Uniti, sigla che sta ad indicare una formula con cui si riconosce un debito per iscritto. Si tratta quindi di titoli del debito pubblico. Essi non conferiscono espliciti pagamenti degli interessi: la differenza tra il prezzo di acquisto e il valore nominale, ossia il pagamento in contanti che l’investitore riceverà alla scadenza, costituisce il rendimento percepito dall’investitore. Rif.: E. J. Elton, M. J. Gruber. (1995). Modern Portfolio Theory and Investment
Analysis, Op. Cit. (p. 13).
85
Pastorello, S. (2001). Rischio e Rendimento. Teoria finanziaria e applicazioni econometriche, Op. Cit. (p. 21).
86
Il peso attribuito a ciascuna azienda è direttamente proporzionale al valore di mercato della stessa. In questo modo, l’indice è pesato in base alla capitalizzazione di borsa. Esso si basa su cinquecento titoli di imprese appartenenti a vari settori (finanziario, industriale, servizi pubblici, trasporti) e rappresenta l’ottanta per cento della capitalizzazione complessiva della New York
stock Exchange. Le aziende ricomprese nell’indice sono selezionate dallo “S&P Index
Committee”, un team di analisti ed economisti di Standard & Poor’s. Rif.: E. J. Elton, M. J.
119
annuo dell’indice S&P 500 durante il periodo campione è stato pari al 16,81%, di poco più del doppio rispetto al rendimento medio annuo dell’indice obbligazionario, che è stato pari all’8,35%. Anche la deviazione standard annuale è maggiore per lo S&P 500 essendo pari al 13,42%, rispetto alla natura meno volatile dei Government Bonds la cui deviazione standard annuale risulta pari solamente al 6,31%.
Per quanto riguarda le frequenze temporali alternative a quella annuale, che sono riportate nella Tabella 3.1, si osserva che il rendimento mensile medio è naturalmente maggiore rispetto a quello medio giornaliero; anche la deviazione standard della distribuzione è maggiore. Si può osservare anche che per tutte e tre le frequenze dei dati sono prevalenti asimmetria e curtosi significative.
Tab. 3.1 - Statistiche di sintesi dell’indice S&P 500 e dell’indice benchmark del rendimento delle obbligazioni decennali U.S. Government, per il periodo Gennaio 1990 – Dicembre 1998.
Daily Bi-weekly Monthly
S&P 500 composite return index
Observations 2364 248 132 Average return 0,000528 0,00523 0,010804 Standard deviation 0,007717 0,028459 0,037896 Maximum return 0,058101 0,098783 0,106718 Minimum return -0,03532 -0,07666 -0,11075 Skewness 0,179661 0,170371 -0,06104 Kurtosis 6,78397 3,73567 3,45994
10-year datastream U.S. benchmark Government Bond index
Observations 2364 248 132 Average return 0,000331 0,003317 0,006572 Standard deviation 0,003972 0,012421 0,018705 Maximum return 0,016462 0,031485 0,039118 Minimum return -0,02826 -0,04402 -0,05199 Skewness -0,39087 -0,38734 -0,46151 Kurtosis 6,23627 3,34004 2,8721
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L’indice sintetico della asimmetria (“Skewness”), che è il grado di scostamento dalla simmetria, rappresenta il momento terzo della distribuzione. Per una distribuzione normale con media zero e varianza unitaria, l’indice di asimmetria è pari a zero; un indice minore di zero significa generalmente che la coda sinistra della distribuzione è più spessa e si parla in questo caso di distribuzioni asimmetriche a sinistra; l’opposto vale per distribuzioni asimmetriche a destra.87 La curtosi (“Kurtosis”) è il grado di altezza raggiunto da una distribuzione, generalmente in relazione alla distribuzione normale e misura la dimensione delle code di una distribuzione. In particolare, misura quanto esse siano spesse, ossia quanti eventi estremi si possono osservare. L’indice di curtosi rappresenta il momento quarto della distribuzione e per una normale assume un valore pari a 3. Una distribuzione di altezza relativamente notevole che appare “appuntita” è detta leptocurtica e presenta un indice di curtosi superiore a 3 e code più spesse rispetto alla distribuzione normale, mentre una distribuzione più piatta e con code meno spesse è detta platicurtica e in questo caso il valore di curtosi è inferiore a 3.88
Selezione del portafoglio ottimo usando la distribuzione empirica
Per ricavare la combinazione di titoli rischiosi che massimizza l’indice di performance S(p) della (2.19), sono stati stimati sia il rendimento atteso r(p) sia il VaR per varie combinazioni di azioni e obbligazioni. A seconda dell’orizzonte di tempo scelto per il calcolo del VaR, sono stati usati dati giornalieri, bisettimanali oppure mensili riferiti al periodo campione. Costruendo il trade-off rischio- rendimento per le diverse combinazioni dei titoli è possibile ricavare una frontiera VaR efficiente ad un dato livello di confidenza, muovendoci da un
87
Se la curva di frequenza di una distribuzione ha una coda più lunga a destra del massimo centrale, piuttosto che a sinistra, la distribuzione si dice positivamente asimmetrica. Se è vero il contrario, la distribuzione si dice negativamente asimmetrica. Per approfondimenti si vedano tra gli altri: M. R. Spiegel. (1976). Statistica. Milano: Etas Libri. (p. 90-91).
88
Elton, E., J., Gruber, M. J. (1995). Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Op. Cit. (p. 247-248).
121
portafoglio contenente 100% obbligazioni situato sulla frontiera in basso a sinistra ad un investimento 100% in azioni situato in alto a destra.
Nella Figura 3.1 sono illustrate più frontiere VaR efficienti al livello di confidenza del 95%, costruite usando informazioni giornaliere con φ il parametro per il rischio. Per il calcolo del VaR delle varie combinazioni di titoli, e dunque per la stima di φ, sono state infatti usate più ipotesi distributive: a ciascuna frontiera efficiente corrisponde una determinata ipotesi distributiva. Pertanto, osservando ad esempio la frontiera relativa alla distribuzione empirica, ogni punto su di essa rappresenta una certa combinazione di titoli rischiosi ovvero un portafoglio, del quale sono stati stimati mediante l’utilizzo dei dati giornalieri raccolti, il rendimento atteso r(p) e il VaR al livello di confidenza del 95%. In relazione a questa frontiera quindi, il calcolo del VaR al 95% delle varie combinazioni di azioni e obbligazioni è stato direttamente ricavato dalla distribuzione empirica dei rendimenti.
122
Fig. 3.1 - Frontiere VaR efficienti che illustrano il trade off rischio-rendimento per portafogli costituiti da azioni e obbligazioni dove il rischio di ogni portafoglio è misurato dalla misura φ di downside risk al livello del 95%. I rendimenti e le stime di VaR sono state ottenute utilizzando dati giornalieri, estratti dal periodo campione, sull’indice S&P 500 e sull’indice benchmark del rendimento delle obbligazioni decennali U.S. Government. Sono rappresentate le frontiere efficienti per la distribuzione empirica, per l’approccio normale parametrico e sotto l’ipotesi di una distribuzione t di Student con 5 gradi di libertà.
Fonte: Campbell, R. et al. (2001)
La frontiera VaR efficiente è simile ad una frontiera media-varianza ad eccezione della definizione del rischio: il VaR rispetto al rendimento benchmark (𝜑𝑝) anziché la deviazione standard (𝜎𝑝). La distribuzione empirica fornisce il vero trade-off rischio-rendimento come osservato nei mercati finanziari; tuttavia, maggiore è l’orizzonte temporale dell’investimento, minore è la precisione della frontiera VaR efficiente.
Un investitore che vuole essere sicuro al 95% che la sua ricchezza non diminuirà oltre un certo limite di VaR giornaliero, ma allo stesso tempo intende conseguire
R E T U R N RISK Empirical Empirical CML Normal Normal CML Student-t(5) Student-t(5) CML
123
il più alto rendimento possibile, selezionerà il punto sulla frontiera VaR efficiente in cui il rendimento per unità di rischio è massimizzato. Per determinare l’allocazione ottimale tra azioni e obbligazioni (quindi per la determinazione di S(p)), il tasso rf è nella presente indagine pari a 4,47%, ossia il valore dell’ultimo tasso trimestrale (Treasury Bill) disponibile nel periodo campione. La combinazione ottimale tra titoli azionari e obbligazionari U.S. con un limite VaR al livello di confidenza del 95% risulta verificarsi quando il 36% della ricchezza è detenuta sotto forma di azioni e il 64% investita in obbligazioni, come è possibile vedere dalla Tabella 3.2.
Se viene modificato il livello di confidenza, naturalmente cambiano i VaR e quindi i parametri di rischio φ delle diverse combinazioni dei titoli e cambieranno conseguentemente le combinazioni ottimali. Le nuove combinazioni ottimali di azioni e di obbligazioni al variare del livello di confidenza sono riportate nelle due colonne centrali della Tabella 3.2 e nella quarta colonna è riportato il corrispondente VaR di portafoglio.
Tab. 3.2 - Portafogli ottimi contenenti azioni e obbligazioni U.S. e corrispondenti VaR calcolati con orizzonte giornaliero usando la distribuzione empirica e per 1.000 dollari investiti. I portafogli ottimi sono ricavati al punto in cui il trade-off rischio-rendimento dell’Equazione (2.19) è massimizzato.
Confidence level (%) Stocks(%) Bonds(%) Portfolio VaR ($) Daily 95 36 64 -6,84 96 40 60 -7,66 97 33 67 -7,9 98 45 55 -10,22 99 34 66 -11,4
Fonte: Campbell, R. et al. (2001)
Laddove il VaR* desiderato non coincida con quello empirico stimato per le varie combinazioni ottimali, allora parte della ricchezza dovrà essere concessa in prestito oppure saranno richiesti fondi addizionali a titolo di finanziamento, al tasso rf, in accordo con l’Equazione (2.20). Al fine di determinare l’esatta
124
proporzione del portafoglio che è necessario sia detenuta al tasso privo di rischio, vi è dunque la necessità di conoscere il profilo di rischio dell’investitore determinato dal livello richiesto di VaR*.
Nell’esempio empirico riportato, il livello desiderato di VaR (VaR*) è il VaR al livello di confidenza del 95% della distribuzione storica relativo al portafoglio rischioso ottimale, per 1.000 dollari investiti. In questo modo, è stato stabilito un benchmark con cui confrontare sia le ipotesi di distribuzione alternative che i diversi orizzonti di tempo utilizzati per il periodo di investimento. Dalla Tabella 3.2 si può osservare che all’aumentare del livello di confidenza, risulta naturalmente maggiore il VaR del portafoglio rischioso, che diviene eccessivo rispetto al vincolo di shortfall dell’investitore.
Nella Tabella 3.3 sono riportate le quote finali del portafoglio che ottimizzano il trade-off rischio-rendimento per il livello di VaR* selezionato ed è possibile vedere come la decisione di selezione del portafoglio sia sensibile a cambiamenti del livello di confidenza. Assegnare il 36% ad azioni e il 64% in obbligazioni genera un VaR giornaliero del portafoglio al livello di confidenza del 95% pari a 6,84 dollari e poiché questo è il VaR* desiderato, affinché sia rispettato il vincolo non è richiesto alcun prestito né concesso alcun finanziamento. Se però il risk manager desidera una maggiore sicurezza nella probabilità che la ricchezza iniziale non diminuirà oltre un certo limite, allora sceglierà un livello di confidenza superiore al 95% (supponiamo sia scelto un livello di confidenza del 99%) e il VaR giornaliero associato al portafoglio ottimo risulterà maggiore di 6,84 dollari (risulta pari a 11,4 dollari).89 Emergerebbe quindi che è stato assunto troppo rischio. Al fine di incontrare il benchmark VaR*, dovrà allora essere assunto meno rischio, per cui una quota della ricchezza iniziale di 1.000 dollari è sottratta all’investimento in attività rischiose e investita al tasso privo di rischio. Ciò è mostrato nella colonna finale della Tabella 3.3, dove è possibile vedere che all’aumentare del livello di confidenza quindi al diminuire della tolleranza al rischio, aumenta la parte di ricchezza, espressa in percentuale rispetto a quella
89
Per definizione, la scelta di un livello di confidenza più elevato avrà come risultato un VaR maggiore.
125
iniziale, che necessariamente deve essere investita al tasso privo di rischio. Con un livello di confidenza del 99% si ha che il 39,56% della ricchezza iniziale deve essere prestata al tasso rf per cui B ammonta a 395,6 dollari. Analogamente, il
risk manager che specifica un livello di confidenza più basso del 95% quindi
ottiene una stima di VaR inferiore associata ai portafogli rischiosi, mostra una minore avversione al rischio e sarà disposto ad assumersi rischio aggiuntivo prendendo a prestito fondi ulteriori al tasso rf .
Tab. 3.3 - Portafogli ottimi che rispettano il vincolo VaR*. Assumendo che i rendimenti attesi siano distribuiti come in passato, l’allocazione ottimale del portafoglio è ricavata in modo che sia incorporata la decisione di ricevere oppure di concedere finanziamento.
Confidence level (%) Stocks(%) Bonds(%) Cash (%)
Daily 95 36 64 0 96 35,78 53,68 10,54 97 28,63 58,12 13,25 98 30,3 37,04 32,66 99 20,55 39,89 39,56 Bi-weekly 95 39 61 0 96 23,38 57,24 19,38 97 31,66 28,08 40,26 98 30,33 21,96 47,7 99 23,2 25,14 51,66 Monthly 95 90 10 0 96 80,04 6,02 13,94 97 62,77 11,08 26,15 98 48,62 0,49 50,89 99 40,83 2,15 57,02
Fonte: Campbell, R. et al. (2001)
La porzione da detenere in contanti per diminuire la rischiosità dell’investimento, sarà tanto maggiore tanto più è elevato il livello di confidenza: ciò comporta un movimento lungo la Capital Market Line finché non viene raggiunto il trade-off desiderato.
126
È stato fino a qui mostrato come sia possibile ricercare una combinazione ottima di titoli attraverso l’utilizzo della distribuzione empirica, dove è stato assunto che i rendimenti futuri delle attività finanziarie siano distribuiti esattamente come in passato. L’affidabilità di un campione di osservazioni di grandi dimensioni e la scelta del periodo campione sono perciò estremamente importanti cosicché i quantili possano essere stimati in modo preciso.
Se si assume che la distribuzione futura dei rendimenti possa essere approssimata da una distribuzione di probabilità normale, allora l’unico fattore di rischio nella misura φ di rischio downside è la deviazione standard della distribuzione. Ciò significa che il quantile stimato è semplicemente un multiplo della deviazione standard e per orizzonti di tempo brevi la misura di rischio φ dell’Equazione (2.18) dipenderà quasi interamente da tale multiplo. Questo risultato nel trade-off rischio-rendimento è quasi identico a quello derivato nel contesto media-varianza in cui è massimizzato l’indice di Sharpe. La massimizzazione dell’indice S(p) in ipotesi di normalità della distribuzione si manifesterà quindi allo stesso livello al quale l’indice di Sharpe è massimizzato e il modello oggetto della presente analisi si piega sul CAPM.
Poiché con il modello in questione vi è la possibilità di assumere diverse ipotesi distributive, non ci limitiamo a ricavare il portafoglio ottimo secondo i primi due momenti della distribuzione dei rendimenti; mantenendo lo stesso periodo campione sarà quindi confrontata l’allocazione ottima del capitale derivata usando sia la distribuzione normale sia la t di Student, ossia una distribuzione caratterizzata da “fatter tails”.
Combinazioni ottimali per azioni e obbligazioni “U.S.” con distribuzioni parametriche alternative
La distribuzione di probabilità normale approssima la distribuzione empirica di moltissimi fenomeni reali ed è anche un punto di riferimento per stabilire confronti.90 Gli autori del modello hanno ipotizzato che la distribuzione dei futuri
90
127
rendimenti di azioni e titoli di Stato possa essere catturata da una normale. Per osservare quanto sia accurato l’uso della sola deviazione standard come misura del rischio, sono state rappresentate graficamente le frontiere VaR efficienti per il trade-off rischio-rendimento al livello di confidenza del 95% sia per la distribuzione di probabilità normale, sia per quella empirica, in modo che queste possano essere confrontate. Si può osservare dalla Figura 3.1 che al livello di confidenza del 95%, l’ipotesi di normalità riflette abbastanza correttamente il reale trade-off rischio-rendimento: mediamente essa sovrastima solo leggermente il rischio, per un dato livello di rendimento (in media la distribuzione normale sovrastima il trade-off rischio-rendimento del 2,12%). Si osserva infatti che la frontiera efficiente relativa alla distribuzione di probabilità normale è spostata più a destra rispetto a quella relativa alla distribuzione empirica: a parità di tasso atteso di rendimento, un portafoglio collocato sulla prima è di poco più rischioso rispetto ad un portafoglio collocato sulla seconda.
Dalla Tabella 3.4 si rileva che in caso di normalità della distribuzione dei rendimenti, il rischio è minimizzato per la combinazione ottima del 40% investita in azioni e del 60% in obbligazioni e tale assegnazione ottima si manifesta per i diversi livelli di confidenza scelti per la stima del VaR giornaliero (95%, 97,5% e 99%).91
91
L’uso di dati relativi a frequenze temporali più elevate conduce ai seguenti ottimi: del 45% in azioni e del 55% in obbligazioni per dati bisettimanali e del 61% in azioni e del 39% in obbligazioni per dati mensili.
128
Tab. 3.4 - Asset Allocation ottimale in ipotesi Normale e Student-t. La Tabella illustra le quote ottimali di titoli azionari e obbligazionari ricavate utilizzando i dati, estratti dal periodo campione, dello S&P 500 composite return index for the US e del 10-year Datastream benchmark US government bond return index. Le combinazioni indicate massimizzano il trade off rischio-rendimento dell’Equazione (2.19), dove il tasso di rendimento risk-free è pari a 4,47%. Per la stima del VaR giornaliero dei portafogli sono state usate la distribuzione normale e la t di Student con cinque gradi di libertà.
Confidence level (%)
Optimal
Portfolio (%) Normality Student-t
Stocks Bonds VaR Lending VaR Borrowing/ Lending
95 40 60 7,16 -44,43 6,771 9,45
97,5 40 60 8,621 -203,82 8,766 -216,76
99 40 60 10,32 -333,17 11,618 -406,8
Fonte: Campbell, R. et al. (2001)
Inoltre, per tutti e tre i tipi di frequenze usate, anche la massimizzazione dell’indice Sharpe conduce praticamente agli stessi risultati, essendo la differenza nelle combinazioni ottimali ricavate trascurabile per orizzonti di tempo giornalieri, bisettimanali e mensili. Tuttavia, all’aumentare dell’orizzonte temporale dell’investimento e del tasso di rendimento risk-free, le due misure di rischio forniranno punti di ottimo diversi.
Al fine di comprendere la precisione con cui la distribuzione normale possa approssimare quella empirica, gli autori utilizzano nuovamente il VaR storico al livello di confidenza del 95% come livello benchmark di VaR* desiderato. La stima di VaR associata alla combinazione ottima risulta pari a 7,160 e un importo di 44,43 dollari deve essere prestato dall’investitore al tasso privo di rischio, al fine di rispettare il VaR empirico al livello di confidenza del 95%.
La natura non parametrica della distribuzione empirica ha condotto, come verificato, al modificarsi delle combinazioni ottime degli assets al variare dei livelli di confidenza, dove la selezione ottima di portafoglio risultava in un incremento proporzionale dell’investimento nel titolo risk-free all’aumentare del livello di confidenza cosicché venisse rispettato il vincolo VaR*. Sotto l’ipotesi
129
di normalità, con la sola deviazione standard come misura di rischio, questo effetto non è colto; l’ipotesi rende infatti l’attitudine dell’investitore nei confronti del rischio trascurabile nel processo di ottimizzazione e solo dopo che è stato derivato il portafoglio ottimale le preferenze dell’investitore riguardanti il rischio entrano in gioco.
Le esatte proporzioni di portafoglio in titoli azionari, obbligazionari e in contanti al fine di rispettare il VaR empirico al 95% sono riportate nella Tabella 3.5 per diversi livelli di confidenza e nuovamente per le diverse frequenze temporali, sia per la distribuzione normale, sia per la t di Student con cinque gradi di libertà. Tab. 3.5 - Portafogli ottimi che rispettano il vincolo VaR* e tali che sia incorporata la decisione di concedere o di ricevere finanziamento, in ipotesi che i rendimenti attesi siano distribuiti secondo la distribuzione di probabilità normale e secondo la t di Student con cinque gradi di libertà.
Confidence level (%) Normality Student-t
Stocks (%) Bonds (%) Cash (%) Stocks (%) Bonds (%) Cash (%)
Daily 95 38,22 57,33 4,44 40,38 60,57 -0,95 96 35,81 53,72 10,46 36,99 55,49 7,51 97 33,24 49,86 16,9 33,33 50 16,67 98 30,34 45,51 24,15 29,14 43,72 27,14 99 26,67 40,01 33,32 23,73 35,59 40,68 Bi-weekly 95 48,47 59,24 -7,71 55,59 67,94 -23,54 96 41,73 51,01 7,26 44,89 54,87 0,24 97 35,64 43,56 20,8 35,84 43,81 20,35 98 29,85 36,48 33,66 27,73 33,89 38,38 99 23,76 29,05 47,19 19,65 24,02 56,34 Monthly 95 84,33 53,91 -38,24 190,43 121,75 -212,17 96 49,54 31,68 18,78 62,62 40,04 -2,66 97 32,88 21,02 46,1 33,31 21,3 45,39 98 22,72 14,52 62,76 19,83 12,68 67,49 99 15,28 9,77 74,96 11,43 7,31 81,26
130
Sotto l’ipotesi di normalità risulta inoltre che per un livello di confidenza del