Un confronto dei vincoli VaR e CVaR per la scelta di portafoglio con il modello Media-Varianza
Al fine di realizzare un confronto delle misure di Value-at-Risk e di Conditional Value-at-Risk laddove entrambe siano considerate come vincoli in un problema di scelta di portafoglio, si è ritenuto interessante prendere in esame un modello proposto dagli autori Alexander e Baptista, pubblicato nella rivista “Management Science”.66 Esso risulta particolarmente attinente alla presente trattazione in quanto analizza le implicazioni sulla selezione del portafoglio ottimale di investimento derivanti dall’imposizione di un vincolo di Value-at-Risk (VaR) nell’approccio media-varianza; tali implicazioni vengono quindi confrontate con quelle che derivano dall’imposizione di un vincolo di Conditional Value-at-Risk (CVaR).
Mediante la presente analisi e con l’ausilio di rappresentazioni grafiche che il modello considerato rende necessarie, vengono dimostrati alcuni interessanti risultati dell’impiego di queste tipologie di vincoli, includendo i casi in cui il CVaR si dimostra un valido strumento di gestione del rischio e anche alcune condizioni nelle quali esso non risulta uno strumento idoneo al controllo della rischiosità degli investimenti. Più nello specifico, le principali questioni alle quali il presente studio si rivolge sono le seguenti:
1) Quali sono le conseguenze che insorgono dall’imposizione di un vincolo VaR come strumento di gestione del rischio nell’ambito del problema di scelta di portafoglio da parte di un investitore;
2) Come queste implicazioni differiscono da quelle che derivano dall’imposizione di un vincolo CVaR;
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Alexander, G. J., Baptista, A. M. (2004). “A comparison of VaR and CVaR constraints on
Portfolio Selection with the Mean-Variance model”. Management Science, 50(9). (p. 1261-
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3) Vi sono delle condizioni sotto le quali un vincolo CVaR “domina” un vincolo VaR come strumento di gestione del rischio?
L’analisi del modello si sviluppa nel modo seguente: in primo luogo esso viene descritto, quindi vengono fornite le principali caratteristiche delle frontiere efficienti media-VaR e media-CVaR. Successivamente, sono analizzate le conseguenze di una scelta di investimento vincolata attraverso gli strumenti di Value-at-Risk e di Conditional Value-at-Risk. A ciò segue un’ulteriore approfondimento del contesto ipotizzando di aggiungere all’insieme di scelta degli agenti un’attività priva di rischio.
Il modello
Prima di descrivere le possibili implicazioni derivanti dall’imposizione dei vincoli, è di seguito riportata la cornice teorica del modello oggetto di analisi. Si supponga che non vi sia alcuna attività priva di rischio e che vi siano n ≥ 2 attività. Sia W ≡ { w ∈ Rn : ∑ 𝑤
𝑗 = 1 𝑛
𝑗=1 } l’insieme dei portafogli con tassi attesi di rendimento definiti (𝑤𝑗 è la frazione di ricchezza investita nel titolo j).67 𝐹𝑤(∙) è la funzione di distribuzione cumulata di 𝑟𝑤, ossia la variabile aleatoria costituita dal tasso di rendimento del portafoglio w. Si definiscono E[𝑟𝑤] e σ[𝑟𝑤] rispettivamente il tasso atteso di rendimento e la deviazione standard del portafoglio w.
Sono fissati un periodo di investimento ed un livello di confidenza t. Il Value-at- Risk di un portafoglio è la massima perdita che il soggetto prevede di subire secondo quel livello di confidenza detenendo il portafoglio fino al termine del periodo di investimento. Formalmente, il VaR del portafoglio w al livello di confidenza t è
V[t, 𝑟𝑤] ≡ −𝐹𝑤−1( 1 − t ) .
Diversamente, il CVaR di un portafoglio è la perdita che il soggetto prevede di subire con quel livello di confidenza e detenendo il portafoglio fino al termine
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del periodo di investimento, nel caso in cui essa sia pari oppure superiore al VaR del portafoglio. Formalmente, il CVaR del portafoglio w al livello di confidenza t è
L[t, 𝑟𝑤] ≡ - E{𝑟𝑤| 𝑟𝑤 ≤ - V[t, 𝑟𝑤] } .
Si ipotizza che i tassi di rendimento delle attività abbiano una distribuzione normale multivariata. Nella pratica si tratta di una comune assumption in caso di calcolo del VaR di un portafoglio.
Siano Φ(∙) la funzione di distribuzione normale standard cumulata e 𝜙(∙) la funzione di densità della normale standard.
Per qualsiasi livello di confidenza t ∈ (1/2, 1) 𝑧𝑡≡ −Φ−1(1 – t ) ossia,
∫−𝑧𝑡𝜙
− ∞ (x) dx = 1 – t .
Usando la definizione del VaR e l’Equazione (2.1), abbiamo V[t, 𝑟𝑤] ≡ 𝑧𝑡σ[𝑟𝑤] – E[𝑟𝑤] . Similmente, segue dalla definizione del CVaR che
L[t, 𝑟𝑤] ≡ 𝑘𝑡σ[𝑟𝑤] – E[𝑟𝑤] 68,
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Per variabili casuali distribuite normalmente, il VaR è proporzionale alla deviazione standard. Sia X una variabile casuale con una funzione di distribuzione cumulata 𝐹𝑋(z) = 𝑃{𝑋 ≤ 𝑧}. Se X ~N(𝜇, 𝜎2) e 𝐹
𝑋(z) è la funzione di distribuzione cumulata di X, allora il VaR di X al livello di confidenza α è: VaRα (X)= 𝐹𝑋−1(𝛼) = 𝜇 + 𝑘(𝛼)𝜎, dove 𝑘(𝛼) = √2𝑒𝑟𝑓−1(2𝛼 − 1) e erf(z)= (2/√𝜋) ∫ 𝑒0𝑧 −𝑡2𝑑𝑡.
Per variabili casuali distribuite normalmente, una deviazione CVaR è proporzionale alla deviazione standard. Se X ~N(𝜇, 𝜎2), allora CVaRα (X)= 𝐸[𝑋| 𝑋 ≥ 𝑉𝑎𝑅𝛼 (𝑋)] = 𝜇 + 𝑘1(𝛼)𝜎, dove 𝑘1(𝛼) = (√2𝜋𝑒𝑥𝑝(𝑒𝑟𝑓−1(2𝛼 − 1))2(1 − 𝛼))−1 e erf(z)= (2/√𝜋) ∫ 𝑒𝑧 −𝑡2
0 𝑑𝑡.
Rif.: Sarykalin, S., Serraino, G., Uryasev, S. (2008). “Value-at-Risk vs. Conditional Value-at-
Risk in Risk Management and Optimization”. INFORMS, Tutorial in Operations Research. (p.
272 e 275);Rockafellar, R. T., Uryasev, S. P. (2000). “Optimization of conditional value-at-
risk”. Journal of Risk, 2(3). (p. 29).
(2.3)
(2.4) (2.1)
80 dove 𝑘𝑡 ≡
− ∫− ∞−𝑧𝑡𝑥𝜙(𝑥)𝑑𝑥
1 − 𝑡 .
L’Equazione (2.5) implica che 𝑘𝑡 > 𝑧𝑡 essendo –x𝜙(x) ≥ 𝑧𝑡𝜙(x). Quindi, usando le Equazioni (2.3) e (2.4) abbiamo che L[t, 𝑟𝑤] > V[t, 𝑟𝑤].
Le frontiere media-VaR e media-CVaR
Di seguito sono riportate le definizioni delle frontiere rischio-rendimento quando sono usati il VaR, il CVaR e la varianza come misure di rischio.
Per qualsiasi Ē ∈ R, sia W(Ē) ≡ {w ∈ W : E[𝑟𝑤] = Ē}.
DEFINIZIONE 1. Un portafoglio w* ∈ W appartiene alla frontiera media-VaR al livello di confidenza del 100t% se e solo se, per un dato valore atteso Ē ∈ R, w* risolve min 𝑤∈𝑊(Ē)V[t, 𝑟𝑤].
DEFINIZIONE 2. Un portafoglio w* ∈ W appartiene alla frontiera media-CVaR al livello di confidenza del 100t% se e solo se, per un dato valore atteso Ē ∈ R,
w* risolve min 𝑤∈𝑊(Ē)L[t, 𝑟𝑤].
DEFINIZIONE 3. Un portafoglio w* ∈ W appartiene alla frontiera media- varianza se e solo se, per un dato valore atteso Ē ∈ R, w* risolve min 𝑤∈𝑊(Ē) σ2[𝑟
𝑤].
Le frontiere efficienti Media-VaR e Media-CVaR
Di seguito sono fornite le nozioni di efficienza associate a quelle di frontiera sopraenunciate.
DEFINIZIONE 4. Un portafoglio w appartiene alla frontiera media-VaR efficiente al livello di confidenza 100t% se e solo se non esiste alcun portafoglio
v ∈ W tale che E[𝑟𝑣] ≥ E[𝑟𝑤] e V[t, 𝑟𝑣] ≤ V[t, 𝑟𝑤], dove almeno una delle disequazioni è stretta. Se esiste un portafoglio v che presenta un maggiore rendimento atteso e un VaR inferiore rispetto a w, allora quest’ultimo non appartiene alla frontiera media-VaR efficiente.
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Per quanto riguarda l’appartenenza del portafoglio w alla frontiera media-CVaR efficiente e media-varianza efficiente, il concetto è analogo ed è spiegato dalle seguenti definizioni.
DEFINIZIONE 5. Un portafoglio w appartiene alla frontiera media-CVaR efficiente al livello di confidenza 100t% se e solo se non esiste alcun portafoglio
v ∈ W tale che E[𝑟𝑣] ≥ E[𝑟𝑤] e L[t, 𝑟𝑣] ≤ L[t, 𝑟𝑤], dove almeno una delle disequazioni è stretta.
DEFINIZIONE 6. Un portafoglio w appartiene alla frontiera media-varianza efficiente al livello di confidenza 100t% se e solo se non esiste alcun portafoglio
v ∈ W tale che E[𝑟𝑣] ≥ E[𝑟𝑤] e σ[𝑟𝑣] ≤ σ[𝑟𝑤], dove almeno una delle disequazioni è stretta.
I portafogli a minimo VaR e a minimo CVaR
Di seguito è caratterizzato il portafoglio a minimo VaR.
LEMMA 1. Se esiste il portafoglio a minimo VaR al livello di confidenza 100t%, allora è efficiente in termini di media-varianza.
L’idea del Lemma 1 è semplice. Assumiamo che w sia il portafoglio a minimo VaR, ma non è efficiente in termini di media-varianza. La Definizione 6 implica che se un portafoglio w non è efficiente in termini di media-varianza, allora esiste un portafoglio v tale che E[𝑟𝑣] ≥ E[𝑟𝑤] e σ[𝑟𝑣] ≤ σ[𝑟𝑤], dove almeno una delle disequazioni è stretta. Utilizzando l’Equazione (2.3), abbiamo allora che V[t, 𝑟𝑣] < V[t, 𝑟𝑤], dunque w non è un portafoglio con il minimo VaR perché il portafoglio v presenta un VaR inferiore a quello di w. Pertanto, se il portafoglio con il minimo VaR esiste, è anche efficiente in termini di media-varianza. Analogamente, quando esiste il portafoglio a minimo CVaR, esso è efficiente in termini di media-varianza. Si può affermare allora che i portafogli a minimo VaR e a minimo CVaR si collocano entrambi sul tratto crescente della frontiera media-varianza.
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Assumendo che esista, è indicato con 𝑚𝑉(𝑡) ∈ W il portafoglio con il minimo VaR al livello di confidenza del 100t%. Sia 𝑚𝜎 ∈ W il portafoglio a minima varianza. Assumendo che esista è indicato con 𝑚𝐿(𝑡) ∈ W il portafoglio con il minimo CVaR al livello di confidenza del 100t%.
COROLLARIO 1. Se esiste il portafoglio a minimo VaR al livello di confidenza del 100t%, allora E[𝑟𝑚𝑉(𝑡)] > E[𝑟𝑚𝐿(𝑡)]. Se esiste il portafoglio a minimo CVaR al livello di confidenza del 100t%, allora E[𝑟𝑚𝐿(𝑡)] > E[𝑟𝑚𝜎].
Il Corollario 1 ci dice che quando entrambi i portafogli a minimo VaR e a minimo CVaR esistono, quello a minimo CVaR si trova sulla frontiera media- varianza efficiente tra il portafoglio a minima varianza e quello a minimo VaR.
Le implicazioni del modello
Esaminiamo a questo punto le implicazioni dei vincoli CVaR e VaR sul problema inerente alla scelta di portafoglio da parte di un soggetto, considerando che quest’ultimo abbia preferenze media-varianza.
In questa sezione sono confrontati il portafoglio ottimo di un soggetto in assenza di vincoli (unconstrained optimal portfolio), rispetto al portafoglio ottimo nei casi in cui siano imposti un vincolo VaR (VaR-constrained optimal portfolio) oppure un vincolo CVaR (CVar-constrained optimal portfolio).
Consideriamo il vincolo VaR
V[t, 𝑟𝑤] ≤ V,
Dove V ∈ R è il limite VaR (“VaR bound”), ossia la massima perdita potenziale che l’investitore è disposto a sostenere. Il vincolo (2.6) dipende da due parametri: il livello di confidenza t prescelto e il limite VaR, ossia V.
Usando l’Equazione (2.3), il vincolo (2.6) è equivalente a E[𝑟𝑤] ≥ 𝑧𝑡 σ[𝑟𝑤] – V.
Usando la disequazione (2.7), l’insieme dei portafogli che soddisfano un vincolo VaR consiste in tutti i portafogli che giacciono sulla oppure al di sopra di una
(2.6)
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retta con intercetta –V e coefficiente angolare 𝑧𝑡 nello spazio media-deviazione standard. L’intercetta di tale retta aumenta se il limite V diminuisce e la sua inclinazione aumenta se il livello di confidenza aumenta. In entrambi i casi si può affermare che il vincolo diviene più “stretto”.
Consideriamo il vincolo CVaR
L[t, 𝑟𝑤] ≤ L,
dove L ∈ R è il limite CVaR (“CVaR bound”), ossia la perdita attesa oltre il VaR per la quale l’investitore stabilisce un limite estremo. Usando l’Equazione (2.4), il vincolo (2.8) è equivalente a
E[𝑟𝑤] ≥ 𝑘𝑡 σ[𝑟𝑤] – L .
Usando la disequazione (2.9), l’insieme dei portafogli che soddisfano un vincolo CVaR consiste in tutti i portafogli che giacciono sulla oppure al di sopra di una retta con intercetta –L e coefficiente angolare 𝑘𝑡 nello spazio media-deviazione standard.
Fissando un livello di confidenza t sia per il vincolo VaR che per il vincolo CVaR e supponendo che il limite CVaR e il limite VaR coincidono (L=V), poiché 𝑘𝑡 > 𝑧𝑡, le Equazioni (2.7) e (2.9) implicano che un vincolo CVaR è simile ad un vincolo VaR ad eccezione che il primo possiede una maggiore inclinazione, perciò è più restrittivo.69
Nell’esaminare le implicazioni della scelta di portafoglio derivanti dall’imporre un vincolo VaR e un vincolo CVaR, in primo luogo si descrive il caso in cui L = V, mentre il caso L > V verrà discusso successivamente.
Si dice che il limite è ampio quando L ≥ L[t, 𝑟𝑚𝜎], ossia entrambi i vincoli ammettono il portafoglio a minima varianza indicato con 𝑚𝜎; moderato quando
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Quindi, affinché i vincoli siano equivalenti devono utilizzare lo stesso limite (“bound”), ma diversi livelli di confidenza. Dato un livello di confidenza t scelto per il vincolo VaR, vi è un solo livello di confidenza t’ < t scelto per il vincolo CVaR tale che 𝑘𝑡′ = 𝑧𝑡 cosicché i vincoli risultino equivalenti quando i limiti V ed L coincidono.
(2.8)
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V[t, 𝑟𝑚𝜎] ≤ L < L[t, 𝑟𝑚𝜎], ossia il vincolo CVaR non ammette il portafoglio a minima varianza mentre il vincolo VaR lo comprende; piccolo se L < V[t, 𝑟𝑚𝜎],
ossia nessuno dei due vincoli ammette il portafoglio a minima varianza. Tali definizioni riguardanti il limite massimo accettabile di Value-at-Risk (V) e di Conditional-Value-at-Risk (L) valgono per tutti i livelli di confidenza considerati ai fini dell’analisi, ovvero i livelli di confidenza basso, moderato e alto.
Passando da un livello di confidenza basso ad un livello elevato, le rette che individuano i due vincoli divengono via via più inclinate nello spazio media- deviazione standard. Per ogni livello di confidenza, saranno descritte le conseguenze derivanti dall’imposizione dei vincoli e quindi le implicazioni sulla scelta del portafoglio ottimo che si riflettono su due classi di investitori: quelli fortemente avversi al rischio e quelli più tolleranti nei confronti del rischio. I soggetti che appartengono alla prima categoria sono interessati a combinazioni di titoli che si trovano in prossimità del portafoglio a minima varianza 𝑚𝜎; i soggetti appartenenti alla seconda categoria sono invece disposti ad investire in portafogli caratterizzati da un trade-off rischio-rendimento più elevato, quindi a scegliere combinazioni collocate nella parte più alta e a destra della frontiera efficiente.
Livello di confidenza basso
Assumiamo che il livello di confidenza sia basso, in ipotesi di soggetto fortemente avverso al rischio.
Nelle Figure di seguito riportate il vincolo CVaR è rappresentato dalla retta tratteggiata, mentre il vincolo VaR è rappresentato dalla retta sottostante.
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Fig. 2.1 - Effetto dei vincoli VaR e CVaR sulla Frontiera Efficiente quando il livello di confidenza è basso.
(a) Limite ampio (b) Limite moderato (c) Limite piccolo Fonte: Alexander, G. J. et al. (2004)
(a) Quando il limite è ampio, tutti i portafogli efficienti soddisfano entrambi i vincoli. (b) Quando il limite è moderato, solo i portafogli efficienti con bassa deviazione standard soddisfano il vincolo VaR, ma questi non soddisfano il vincolo CVaR. (c) Quando il limite è piccolo, nemmeno i portafogli efficienti con bassa deviazione standard soddisfano i vincoli; inoltre, mentre il vincolo VaR preclude solo pochi portafogli efficienti caratterizzati da basso rischio, il vincolo CVaR ne preclude molti di più.
Assumiamo inoltre come primo caso quello in cui il limite L = V è ampio come illustrato nella Figura 2.1(a). Poiché il portafoglio ottimo non vincolato si trova al di sopra del portafoglio 𝑚𝜎, imporre entrambi i vincoli non modificherà il portafoglio ottimo.
Se il limite è moderato come illustrato in Figura 2.1(b) e ipotizzando che il portafoglio ottimo non vincolato si trovi tra 𝑚𝜎 e c, in caso di imposizione del vincolo VaR il portafoglio ottimo non cambierà; tuttavia, se è imposto il vincolo CVaR sarà scelto necessariamente c: la deviazione standard di c è maggiore rispetto a quella del portafoglio ottimo sotto vincolo VaR.
Infine assumiamo che il limite sia piccolo come raffigurato nella Figura 2.1(c). Si supponga che il portafoglio ottimo non vincolato si trovi tra 𝑚𝜎 e f: se viene imposto il vincolo VaR, sarà scelto il portafoglio f, ma se viene imposto il
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vincolo CVaR allora verrà scelto e. Mentre entrambi i vincoli incrementeranno la deviazione standard del portafoglio ottimo, la deviazione standard del portafoglio ottimo sotto vincolo CVaR è maggiore rispetto a quella del portafoglio ottimo sotto vincolo VaR.
Rimanendo nell’ipotesi di basso livello di confidenza, passiamo ora al caso di un soggetto lievemente avverso al rischio. Poiché il portafoglio ottimo non vincolato si collocherebbe al di sopra di 𝑚𝜎 nella Figura 2.1(a), o nella Figura 2.1(b) al di sopra di c o al di sopra di e nella 2.1(c)70, imporre entrambi i vincoli non modificherà la scelta del portafoglio ottimo.
Da queste prime considerazioni, è possibile affermare che l’imposizione di un vincolo CVaR in ipotesi di basso livello di confidenza conduce gli investitori avversi al rischio a selezionare portafogli caratterizzati da una più elevata deviazione standard, mentre il vincolo VaR permette di includere un maggior numero di portafogli a basso rischio. Inoltre, tale effetto perverso del CVaR diviene più evidente e di maggiore portata al diminuire del limite L = V imposto. Per quanto invece concerne gli investitori scarsamente avversi al rischio, possiamo affermare che un livello di confidenza basso non ha alcun effetto restrittivo sulla loro scelta di investimento.
Livello di confidenza moderato
Assumiamo adesso che il livello di confidenza sia non più basso, bensì moderato. Supponiamo anche che L ≥ L[t, 𝑟𝑚𝐿(𝑡)], ossia il limite di CVaR è tale da includere il portafoglio con il minimo CVaR, cosicché esistano portafogli che soddisfano questo vincolo. Poiché il portafoglio a minimo CVaR è collocato tra quello a minima varianza e quello a minimo VaR, allora esistono portafogli che soddisfano il vincolo VaR.
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Ciò trova ragione nel fatto che essendo il soggetto poco avverso al rischio, sarà disposto ad allontanarsi dal portafoglio 𝑚𝜎 scegliendo combinazioni di titoli che presentano un più alto rischio quindi una più elevata deviazione standard, in quanto tali portafogli sono caratterizzati da più alti rendimenti attesi.
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Assumendo che il grado di avversione al rischio dell’investitore sia forte, la Figura 2.2 illustra che le implicazioni dei vincoli CVaR e VaR sulla scelta del portafoglio sono simili a quelle descritte quando il livello di confidenza è basso; tuttavia, per un dato limite V = L, quando vi è un incremento della deviazione standard del portafoglio ottimo, questo incremento è maggiore rispetto a quello che si manifesta quando il livello di confidenza è basso e ciò è dovuto alla maggiore pendenza delle due rette. Consideriamo ad esempio la Figura 2.2(c): se il portafoglio scelto dall’investitore avverso al rischio si trovasse tra 𝑚𝜎 e l, l’effetto perverso del vincolo CVaR si manifesterebbe in maniera evidente in quanto porterebbe alla scelta del portafoglio k.
Consideriamo invece un basso grado di avversione al rischio del soggetto, che lo conduce a preferire un portafoglio non vincolato collocato al di sopra di g’ nella Figura 2.2(a). Se viene imposto il vincolo VaR, la preferenza non cambia; tuttavia, l’imposizione del vincolo CVaR porterebbe il soggetto a scegliere il portafoglio g’, la cui deviazione standard è minore rispetto a quella del portafoglio che sarebbe stato scelto con il solo vincolo VaR. Un risultato simile può essere osservato nelle Figure 2.2(b) e 2.2(c) relativamente ai portafogli i’ e
k’.
Fig. 2.2 - Effetto dei vincoli VaR e CVaR sulla Frontiera Efficiente quando il livello di confidenza è moderato.
(a) Limite ampio (b) Limite moderato (c) Limite piccolo Fonte: Alexander, G. J. et al. (2004)
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(a) Quando il limite è ampio, portafogli efficienti con bassa deviazione standard soddisfano entrambi i vincoli; inoltre, portafogli efficienti con elevata deviazione standard soddisfano il vincolo VaR ma non il vincolo CVaR. (b) Quando il limite è moderato, sia portafogli efficienti con bassa che con elevata deviazione standard soddisfano il vincolo VaR, ma non il vincolo CVaR. (c) Quando il limite è piccolo, mentre il vincolo VaR preclude solo alcuni portafogli efficienti con bassa deviazione standard, il vincolo CVaR preclude portafogli efficienti sia con bassa che con alta deviazione standard.
Da quanto detto è dunque possibile affermare che l’imposizione del vincolo CVaR determina la diminuzione della deviazione standard dei portafogli ottimi dei soli soggetti che sono scarsamente avversi al rischio e solo se il livello di confidenza è moderato.
Livello di confidenza elevato
Assumiamo infine che il livello di confidenza sia alto.
Supponiamo che L ≥ L[t, 𝑟𝑚𝐿(𝑡)] cosicché esistano portafogli che soddisfano il vincolo CVaR.71
Consideriamo un soggetto fortemente avverso al rischio. La Figura 2.3 illustra che le implicazioni dei vincoli CVaR e VaR sulla scelta del portafoglio sono simili a quelle descritte quando il livello di confidenza è basso o moderato; tuttavia, per un dato limite V = L, quando si manifesta un incremento della deviazione standard del portafoglio ottimo, questo incremento è maggiore rispetto a quello che si manifesta quando il livello di confidenza è basso o moderato.
Consideriamo quindi il caso di un soggetto lievemente avverso al rischio. Supponiamo che il portafoglio ottimo non vincolato si trovi tra n’ e o’ nella Figura 2.3(a). Se è imposto il vincolo VaR, allora il portafoglio ottimo non cambierà. Tuttavia, se è imposto il vincolo CVaR, allora verrà scelto il
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Poiché 𝑘𝑡 > 𝑧𝑡, abbiamo che L[t, 𝑟𝑚𝐿(𝑡)] > V[t, 𝑟𝑚𝐿(𝑡)] > V[t, 𝑟𝑚𝑉(𝑡)]. Allora esistono anche portafogli che soddisfano il vincolo VaR.
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portafoglio n’. Pertanto, solo il vincolo CVaR consentirà la diminuzione della deviazione standard del portafoglio ottimo. Conseguentemente, la deviazione standard del portafoglio ottimo sotto vincolo CVaR è minore rispetto a quella del portafoglio ottimo sotto vincolo VaR. Un risultato analogo può essere osservato nelle Figure 2.3(b) e 2.3(c).
Supponiamo ora che il portafoglio ottimo non vincolato scelto dall’investitore si trova al di sopra di o’ nella Figura 2.3(a). Il vincolo VaR condurrebbe a scegliere
o’, mentre il vincolo CVaR condurrebbe alla scelta di n’. La deviazione standard
del portafoglio ottimo vincolato dal CVaR risulta ancora una volta inferiore rispetto a quella che caratterizza il portafoglio ottimo sotto vincolo VaR e tale risultato può essere derivato anche osservando le Figure 2.3(b) e 2.3(c).
Fig. 2.3 - Effetto dei vincoli VaR e CVaR sulla Frontiera Efficiente quando il livello di confidenza è alto.
(a) Limite ampio (b) Limite moderato (c) Limite piccolo Fonte: Alexander, G. J. et al. (2004)
(a) Quando il limite è ampio, il vincolo VaR preclude meno portafogli efficienti con elevata deviazione standard, rispetto a quelli che preclude il CVaR. (b) Quando il limite è moderato, il vincolo VaR preclude solo portafogli efficienti con elevata deviazione standard; tuttavia, sia portafogli efficienti con bassa che con elevata deviazione standard non soddisfano il vincolo CVaR. (c) Quando il limite è piccolo, né portafogli efficienti con bassa deviazione standard, né quelli con elevata deviazione standard soddisfano il vincolo CVaR; inoltre, il vincolo
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VaR esclude una quantità inferiore di portafogli efficienti rispetto al numero che viene escluso imponendo il vincolo CVaR.
Dall’analisi effettuata fin qui, possiamo riassumere che l’imposizione del vincolo CVaR determina:
1. nei confronti di agenti molto avversi al rischio, un aumento della deviazione standard dei portafogli ottimali di investimento per qualsiasi livello di confidenza, ad eccezione dell’ipotesi (a) di limite L = V ampio,