La correzione al punto critico osservata in presenza di fermioni, sia con con- dizioni aperte che con bordi random, risulta opposta rispetto a quanto visto per la pura gauge: mentre la temperatura critica del sistema risulta nel primo caso spostarsi a valori inferiori di T , i risultati ottenuti in assenza di quark sembrano suggerire invece un aumento della temperatura critica. Per ricer- care un’eventuale convergenza del particolare comportamento osservato per i fermioni a quello della pura gauge, sono state effettuate delle simulazioni ag- giuntive, utilizzando per i quark delle masse maggiori; ci si aspetta infatti che
Figura 3.12: Temperatura critica con bordi random in funzione di 1/Nt, con
aspect ratio fissato R = 3
Figura 3.13: Tc/Tcperiodic con bordi random in funzione di 1/Nt, con aspect
Risultati numerici Altre linee fisiche
nel limite quenched ml, ms → ∞, la QCD riproduca il comportamento della
teoria di pura SU (3).
3.3.1
Osservabili e impostazione numerica
In queste simulazioni, i parametri sono stati scelti lungo una differente linea fisica, corrispondente ad una massa del pione mπ ≈ 664 MeV; il resto del-
l’impostazione numerica `e avvenuto come nella situazione precedente, con le dimensioni dei reticoli scelte per analizzare principalmente il caso di aspect ratio Ns/Nt = 3. Questa linea fisica `e quella utilizzata in [35], dove `e stato
analizzato il comportamento della QCD per varie masse del pione in presenza di campo magnetico, nel caso Nt= 6. Utilizzandola per simulazioni su reticoli
con Nt ≥ 10 e condizioni aperte, sono stati ottenuti dei risultati non attendi-
bili, a causa del range limitato in β della linea fisica, e del fatto che per questi valori di Nt il punto critico apparisse proprio ai bordi di tale intervallo, in cui
la determinazione dei parametri conteneva un’incertezza maggiore. Per questo motivo, ci si `e limitati qui a considerare Nt = 6, 8.
Il condensato chirale `e stato rinormalizzato qui secondo la prescrizione 3.12, che `e risultata in questo caso portare ad una determinazione pi`u precisa di Tc,
sia per le condizioni aperte che per i bordi random. La temperatura critica del sistema `e stata dunque definita attraverso la posizione del punto di flesso diψψ¯ r2l , stimata tramite fit con arcotangente o cubica (Figura 3.14a). Per effettuare la rinormalizzazione di condensato e suscettivit`a chirale, le quan- tit`a a T = 0 sono state misurate attraverso delle simulazioni su reticoli di dimensioni 243× 32, facendo variare β tra 3.45 e 4.1; su tali reticoli sono state utilizzate condizioni periodiche ai bordi.
Poich´e all’aumentare della massa dei quark P tende ad essere un parametro d’ordine esatto, `e stato utilizzato qui anche il loop di Polyakov non rinorma- lizzato per individuare la transizione, attraverso la posizione del suo punto di flesso (Figura 3.14b).
3.3.2
Risultati e analisi
In Tabella 3.6 sono riportate le stime della temperatura critica per i reticoli con condizioni aperte; in Tabella 3.7 sono riportati i corrispondenti risultati per i bordi random, e in Tabella 3.8 per condizioni periodiche. A scopo indicativo, sono riportate anche le stime della temperatura critica Tcp attraverso il loop di Polyakov non rinormalizzato.
In Figura 3.15 `e riportato l’andamento del condensato chirale in funzione della temperatura per varie dimensioni dei reticoli. Per Nt fissato, si osserva
nuovamente, in Figura 3.15, che¯ ψψ r2
l si avvicina al comportamento periodico
(a) (b)
Figura 3.14: Valore medio di (a)ψψ¯ r2l e (b) P in funzione della temperatura per un reticolo 303× 6; le due curve riportate sono delle arcotangenti.
Nt= 6 Ns Tc (MeV) Tcp (MeV) 18 207 (4) 220 (3) 24 201 (3) 216 (3) 30 193 (3) 210 (3) 36 194 (2) 214 (3) 42 194 (2) 216 (2) Nt= 8 Ns Tc (MeV) Tcp (MeV) 24 214 (2) 222 (3) 32 208 (3) 223 (4) 40 203 (2) 216 (2)
Tabella 3.6: Valori critici della temperatura stimati tramite il condensato chirale ψψ¯ r2l e il loop di Polyakov P , per reticoli con condizioni aperte
Risultati numerici Altre linee fisiche Nt = 6 Ns T ¯ ψψ c (MeV) T p c (MeV) 18 194 (4) 230 (3) 24 189 (4) 223 (1) 30 189 (2) 219 (2) Nt = 8 Ns T ¯ ψψ c (MeV) T p c (MeV) 24 209 (4) 225 (2)
Tabella 3.7: Valori critici della temperatura stimati tramite il condensato chirale ψψ¯ r2l e il loop di Polyakov P , per reticoli con bordi random
Nt = 6 Ns T ¯ ψψ c (MeV) T p c (MeV) 24 197 (2) 208 (1) Nt = 8 Ns T ¯ ψψ c (MeV) T p c (MeV) 32 201 (2) 211 (2)
Tabella 3.8: Valori critici della temperatura stimati tramite il condensato chi- rale ψψ¯ r2l e il loop di Polyakov P , per reticoli con condizioni periodiche ai bordi
suscettivit`a chirale e loop di Polyakov, rispettivamente in Figura 3.16 e 3.17.
(a) (b)
Figura 3.15: Andamento di ψψ¯ r2l in funzione della temperatura per varie dimensioni del reticolo per (a) condizioni aperte e (b) bordi random; sono riportati per confronto anche i risultati con condizioni periodiche
(a) (b)
Figura 3.16: Andamento di χrψψ¯ /m4π in funzione della temperatura per varie
dimensioni del reticolo per (a) condizioni aperte e (b) bordi random; sono riportati per confronto anche i risultati con condizioni periodiche
La maggior incertezza nella determinazione del punto critico dovuta alla minor visibilit`a dei punti di flesso rende pi`u difficile in questo caso determi- nare con precisione la variazione delle correzioni di volume finito da Ns. A
differenza del caso analizzato precedente, tuttavia, si nota come l’entit`a di ta- li effetti sia ridotta, con la temperatura critica che rimane consistente con il valore periodico, o di poco pi`u grande in alcuni casi. Ci`o sembra suggerire che aumentando la masse dei quark, l’effetto di diminuzione della temperatura critica dovuto al volume finito in presenza di fermioni si attenui o si inverta; sembra dunque ragionevole che nel limite quenched m → ∞ si possa arrivare
Risultati numerici Conclusioni
(a) (b)
Figura 3.17: Andamento di P in funzione della temperatura per varie dimen- sioni del reticolo per (a) condizioni aperte e (b) bordi random; sono riportati per confronto anche i risultati con condizioni periodiche
a recuperare l’aumento osservato nel caso di pura gauge.
Date le differenze nelle temperatura critiche misurate anche sui reticoli perio- dici per diversi Nt, il comportamento del sistema per aspect ratio fissato viene
qui analizzato solo in termini dei rapporti adimensionali Tc/Tcperiodic
cont . Le temperature osservate per il caso di aspect ratio Ns/Nt = 3 sono, per entram-
be le condizioni al bordo, consistenti tra loro per diversi valori di Nt (Figura
3.18).
3.4
Conclusioni
In seguito all’introduzione dei fermioni, gli effetti di volume finito dovuti all’u- tilizzo delle condizioni ai bordi introdotte in questa tesi sono risultati opposti rispetto a quanto osservato per il caso di pura gauge, con una diminuzione della temperatura critica rispetto al valore stimato facendo uso di reticoli pe- riodici. All’aumentare del volume spaziale del sistema, tale spostamento del punto critico appare ridursi, come ci si aspetterebbe dall’utilizzo delle condizio- ni periodiche per rappresentare sistemi di volume infinito. Condizioni aperte e bordi random hanno mostrato differenze principalmente nel fatto che le quan- tit`a (condensato chirale, suscettivit`a chirale) misurate utilizzando quest’ultime sono risultate maggiori rispetto alle prime. Per entrambe, tuttavia, i risultati sul continuo per il punto critico che sono stati estrapolati mantenendo l’aspect ratio fissato a Ns/Nt= 3 sono consistenti tra loro, confermando la diminuzione
della temperatura critica anche nel limite al continuo; considerando il rappor- to adimensionale Tc/Tcperiodic, si `e ottenuto 0.35(6) per le condizioni aperte e
0.39(5) per i bordi random.
(a)
(b)
Figura 3.18: Tc/Tcperiodic con (a) condizioni aperte e (b) bordi random in
Risultati numerici Conclusioni
ni di temperatura fisica, per il caso di aspect ratio Ns/Nt = 3 si ottiene
Tc/Tcperiodic(Nt = 4) = 2.10(2) e Tc/Tcperiodic(Nt = 6) = 2.52(2). Anche in
assenza di fermioni, dunque, le correzioni dovute al volume finito appaiono pi`u evidenti all’aumentare di Nt.
Il caso relativo a mπ ≈ 664 MeV, invece, mostra un comportamento interme-
dio: i rapporti Tc/Tcperiodic per diversi valori di Nt risultano consistenti tra loro
entro gli errori statistici. Ci`o sembra suggerire la possibilit`a di un passaggio tra i due comportamenti estremi osservati in precedenza al variare delle masse dei quark, con un ripristino del comportamento di pura gauge nel limite quenched m → ∞.
In questa tesi sono state proposte delle possibili condizioni al bordo alternative per cercare di rappresentare pi`u realisticamente all’interno di una simulazione numerica su reticolo la situazione sperimentale della fireball creata nelle colli- sioni tra ioni pesanti, in cui la materia deconfinata `e racchiusa in una regione spaziale limitata e circondata da un esterno freddo. Tali condizioni sono state implementate per studiare numericamente gli effetti di volume finito in pre- senza di 2+1 flavour di fermioni fisici. Mentre da una parte all’aumentare del volume del reticolo si `e riscontrato un avvicinamento al comportamento delle condizioni periodiche, all’aumentare di Nt per aspect ratio fissato l’entit`a delle
correzioni di volume finito `e stata osservata aumentare; la convergenza ad un valore finito della temperatura critica nel limite al continuo `e stata osservata nel caso di aspect ratio Ns/Nt= 3. La scelta di considerare questo valore per
l’aspect ratio `e avvenuta sia per permettere di allargare lo studio a pi`u valori di Nt, sia per cercare di riprodurre la situazione sperimentale: ricordando che la
stima effettuata per la dimensione della zona deconfinata prodotta in seguito ad una collisione `e π × (0.6 × rAu)2 × c × (texp) = (55f m2) × (qualche f m)
[3, 18], i reticoli che sono stati analizzati in tale limite al continuo corrispon- dono a sistemi di dimensioni fisiche comprese nel range tra 4.4 e 6.9 fm. L’effetto riscontrato per la QCD con fermioni in un volume finito `e stato op- posto a quanto ci si sarebbe potuti aspettare dagli analoghi risultati per la pura gauge in [3]: la temperatura critica, anzich´e aumentare, risulta pi`u pic- cola rispetto al valore ottenuto attraverso condizioni periodiche. Ci`o potrebbe significare che la effettiva temperatura critica di deconfinamento sarebbe in realt`a inferiore al valore solitamente considerato.
Tuttavia, ci sono numerosi altri aspetti da tenere in considerazione. In primo luogo, in questa analisi si `e cercato di estendere lo studio degli effetti di volu- me finito ad un range pi`u esteso di dimensioni di reticoli, in maniera da poter estrarre un limite al continuo, e ci`o ha richiesto di effettuare delle approssi- mazioni. Per non appesantire eccessivamente le simulazioni, infatti, sono state utilizzate delle costruzioni per i bordi che permettessero di rappresentare un volume finito circondato da un esterno freddo senza necessariamente includere la regione esterna nel reticolo. Mentre ci`o `e facilmente realizzabile per la pura gauge, non `e invece cos`ı ovvio fisicamente per la parte fermionica. I bordi ran-
Risultati numerici Conclusioni
dom ad esempio costituiscono un’approssimazione, in cui tutto ci`o che viene considerato della parte esterna sono i link di comunicazione tra le due regioni. Per le condizioni aperte l’approssimazione `e ancora pi`u estrema, con l’esclusio- ne anche di quei link vengono trascurati; `e stato comunque osservato come nel limite al continuo le due costruzioni abbiano fornito risultati compatibili tra loro. Volendo cercare di riprodurre una situazione pi`u realistica, una possibi- lit`a per futuri studi potrebbe dunque essere quella di estendere ulteriormente la zona esterna nel reticolo, per verificare eventualmente la presenza di effetti di volume finito consistenti con quelli qui osservati. Un’implementazione delle condizioni aperte insieme al disorder wall, ad esempio, potrebbe ridurre gli effetti indesiderati dovuti alla periodicit`a complessiva del reticolo, rilassando la richiesta di avere una zona esterna di dimensione molto pi`u estesa di quella interna.
D’altra parte, l’analisi effettuata si `e limitata qui al solo caso di densit`a nul- la; una descrizione fisicamente pi`u accurata della situazione sperimentale della fireball renderebbe dunque necessaria l’introduzione di un potenziale chimico non nullo.
Concludendo, si sottolinea il fatto che in presenza delle condizioni al bordo uti- lizzate `e stato pi`u difficile individuare con precisione il punto critico, a causa ad esempio della maggiore larghezza della suscettivit`a chirale. Un’altro possibile obiettivo potrebbe dunque essere quello di raggiungere una maggiore precesio- ne nell’analisi, estendendo lo studio per considerare anche il limite al continuo per altri valori dell’aspect ratio e verificare la consistenza di tali risultati.
Note sugli algoritmi utilizzati
Le procedure utilizzate per effettuare simulazioni numeriche in LQCD si basano su metodi Monte Carlo e catene di Markov : partendo da una configurazione iniziale del sistema, se ne fornisce una regola di update e, dopo una serie di step, si ottiene un campione di configurazioni. Se l’algoritmo utilizzato in tale evoluzione soddisfa determinate propriet`a, come indipendenza dal tempo della regola di update, regolarit`a della catena e bilancio dettagliato, `e possibile mostrare che, dopo alcuni step necessari al raggiungimento di un equilibrio, le configurazioni verranno estratte secondo una distribuzione di probabilit`a, unica, e la cui forma `e determinata dall’algoritmo. Per questa caratteristica, questo metodo `e noto come importance sampling.
Si ricorda che il valore medio di una generica osservabile in LQCD con Nf
flavour degeneri di fermioni `e dato da hOi = 1 Z Z DU O (det D[U ])Nf [U ] e−Sg[U ] ≡ Z DU O p[U ] . (A.1) Si pu`o mostrare che
p[U ] = 1
Z (det D[U ])
Nf
e−Sg[U ] (A.2)
ha le caratteristiche per rappresentare una distribuzione di probabilit`a. Quin- di, in una simulazione numerica della LQCD, tramite una catena di Markov si estrae una serie di n configurazioni di gauge del sistema {Ui} distribui-
te come p[U ]; la media effettuata su tale campione di configurazioni fornisce un’approssimazione del valore medio sulla distribuzione originaria:
hOi ≈ 1 n
X
U ∈{Ui}
O[U ] . (A.3)
Il codice che `e stato utilizzato per le simulazioni in questa tesi genera una tale catena di Markov facendo evolvere una configurazione di partenza tramite
Note sugli algoritmi utilizzati Nozioni introduttive
un algoritmo rational hybrid Monte Carlo (RHMC) con fermioni staggered [26, 27, 28, 29], utilizzando stout-smearing [22] dei link per la costruzione della matrice fermionica e un’azione ottimizzata tree-level Symanzik [11, 12] per la parte di pura gauge. Di seguito `e riportata una descrizione generale degli algoritmi implementati in tale codice; per una descrizione pi`u approfondita, e per maggiori propriet`a delle catene di Markov, si rimanda a [34].
A.1
Nozioni introduttive
Nella formulazione della LQCD con fermioni staggered, la matrice di Dirac `e data esplicitamente da Dn,m = m0δn,m+ 1 2 4 X µ=1 ηµ(n)Uµ(n)δn,m−ˆµ− Uµ†(n − ˆµ)δn,m+ˆµ . (A.4)
Si ricorda che i fermioni staggered hanno come conseguenza la comparsa di 4 taste degeneri; per poter simulare un numero generico di flavour, `e dunque necessario effettuare un passaggio ulteriore, il cosiddetto rooting [7, 8, 9]:
Z = Z DU (det D)14Nf e−Sg (A.5) e hOi = 1 Z Z DU O (det D)14Nf e−Sg ≡ Z DU O p[U ] (A.6) Prima di descrivere come venga effettuato l’update della configurazione di gauge all’interno di uno step Monte Carlo, `e necessario introdurre una nuova notazione e alcune tecniche numeriche.