Quella appena descritta rappresenta la base per ottenere una catena di Markov da cui estrarre stime di funzioni di correlazioni ed altre osservabili. Tuttavia, `e possibile includere anche altre ottimizzazioni, allo scopo di ridurre i tempi necessari alla simulazione, o migliorare la precisione dei risultati rimuovendo effetti indesiderati. Si riportano qui le caratteristiche di alcune di quelle incluse nel codice utilizzato per effettuare le simulazioni.
A.4.1
Fasi staggered
Una peculiarit`a della formulazione dei fermioni staggered `e la presenza delle fasi ηµ(n) all’interno della matrice di Dirac, eq. (A.4). Anzich´e calcolarle sito
per sito ogni volta che `e richiesto l’utilizzo di D, `e possibile invece tenerne conto andando ad includerle all’interno dei link. In modo specifico, si definiscono delle nuove variabili
Uµ0(n) = ηµ(n) Uµ(n) , (A.28)
moltiplicando dunque ogni link per la corrispondente fase staggered. Si pu`o mostrare che in seguito a questa operazione ogni plaquette cambia di segno:
Wµν01×1(n) = Uµ0(n)Uν0(n + ˆµ)Uµ0†(n + ˆν)Uν0†(n) = ηµ(n)ην(n + ˆµ)ηµ(n + ˆν)ην(n)Wµν1×1(n)
= −Wµν(n) ,
(A.29)
dove nell’ultimo passaggio `e stata usata la definizione delle fasi staggered. Dal punto di vista pratico, dunque, `e sufficiente all’inizio moltiplicare ogni link per la corrispondente fase, cambiare un segno all’interno dell’azione di gauge, ad esempio Sg0 ≡ βX n X µ<ν 1 + 1 3Re Tr W 01×1 µν (n) , (A.30)
ed ignorare poi tutte le fasi staggered. Ogni volta che si deve calcolare un’osser- vabile dipendente dalla configurazione di gauge, tuttavia, `e necessario utilizzare i link originali.
A.4.2
Stout-smearing
Lo scopo generale delle procedure di smearing `e quello di ridurre le fluttuazio- ni a breve distanza (ultraviolette) di una configurazione; in questa maniera si ottiene una migliore precisione nelle stime su reticolo di quantit`a come masse adroniche, potenziale quark-antiquark, elementi di matrice, con la costruzione di operatori che subiscono minor contaminazione dagli stati a frequenza pi`u
alta.
Lo smearing consiste in una trasformazione della configurazione di gauge, mo- dificando ogni variabile di link tramite la media pesata del prodotto di link che connettono i suoi estremi.
Una procedura,che prende il nome di stout-smearing [22], `e la seguente. Sia Cµ(n) = X ν6=µ ρµνUν(n)Uµ(n + ˆν)Uν†(n + ˆµ) + +X ν6=µ ρµνUν†(n − ˆν)Uµ(n − ˆν)Uν(n − ˆν + ˆµ) , (A.31)
la somma delle staple che partono dal sito n e terminano in n + ˆµ, pesate con un fattore ρµν. Chiamando adesso
Ωµ(n) = Cµ(n)Uµ†(n) (A.32)
e
Qµ(n) = [Ωµ(n)]T A , (A.33)
si verifica facilmente che eQµ(n)`e un elemento di SU (3). Partendo dalla confi-
gurazione iniziale, l’algoritmo di smearing `e definito iterativamente, con i link Uµ(k) dopo k step dati da
Uµ(k)= eQµ(n)U(k−1)
µ . (A.34)
Ripetendo la procedura nρvolte, si ottengono infine i cosiddetti stout link ˜Uµ:
Uµ→ Uµ(1) → ... → U (nρ)
µ ≡ ˜Uµ. (A.35)
Uno dei vantaggi dello stout-smearing `e che, essendo eQµ(n) un elemento di
SU (3), anche Uµ(k) appartiene ad SU (3), e quindi non ha bisogno di ulteriori trasformazioni per essere una valida variabile di link; inoltre, gli stout link mantengono le stesse propriet`a di simmetria della configurazione iniziale. Nel caso di fermioni staggered, lo stout-smearing aiuta anche a risolvere problemi come la violazione della simmetria di taste.
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