Effetti delle condizioni ai bordi spaziali sulla transizione di fase in LQCD con quark fisici

(1)

U

NIVERSITÀ

DI

P

ISA

F

acoltà di

S

cienze

M

atematiche

F

isiche e

N

aturali

Corso di Laurea Magistrale in Fisica

Effetti delle condizioni ai bordi

spaziali sulla transizione di fase

in LQCD con quark fisici

Tesi di laurea magistrale

Relatore

Candidato

Prof. Massimo D’Elia

Riccardo Rigutini

(2)

(3)

Nell’ambito della fisica delle alte energie, la Cromodinamica Quantistica (QCD) `

e ritenuta essere la teoria di campo corretta per la descrizione delle interazioni forti tra particelle. L’analisi dei vari aspetti di questa teoria comporta però delle difficoltà: non è infatti nota una soluzione analitica delle sue equazioni del moto, e un approccio perturbativo è possibile solo nel regime di alte ener-gie, in cui la costante di accoppiamento della teoria, che dipende dalla scala di energia, è piccola.

Un fondamentale passo avanti in questo senso è stato compiuto negli anni ’70, quando K. Wilson e F. Wegner [1, 2], ispirandosi ai metodi numerici impiegati nella meccanica statistica, svilupparono quella che è nota come lattice QCD (LQCD), capace di ottenere risultati non perturbativi. Nella LQCD, la teoria viene discretizzata su un reticolo spazio-temporale euclideo; questo tipo di for-mulazione, oltre a rappresentare una forma di rinormalizzazione UV, permette anche l’utilizzo di tecniche numeriche come metodi Monte Carlo e catene di Markov per calcolare quantità come valori medi di osservabili o funzioni di correlazione. Infine, il risultato continuo è recuperato rimuovendo il reticolo, riducendo progressivamente il passo reticolare.

Nel corso degli anni, e con lo sviluppo di algoritmi più efficienti e di calcolatori più potenti, la LQCD ha permesso di studiare con precisione sempre maggiore le caratteristiche della teoria. Tra le predizioni di maggior interesse, studi nu-merici della teoria su reticolo hanno osservato che la materia, all’aumentare di temperatura e densità, subisce due transizioni di fase: una relativa al deconfi-namento dei quark, l’altra al ripristino della simmetria chirale.

Queste previsioni sono state oggetto anche di test sperimentali: esperimenti recenti hanno fatto uso di collisioni ad alta energia tra ioni pesanti per ricrea-re in laboratorio le condizioni necessarie per il passaggio alla fase deconfinata della materia, il plasma di quark e gluoni, al fine di confermarne l’esistenza ed eventualmente ottenere maggiori informazioni sulle sue propriet`a.

In uno studio, A. Bazavov e B. A. Berg hanno sottolineato come la situazio-ne rappresentata situazio-nelle simulazioni numeriche differisca da ci`o che avviene in queste procedure sperimentali. In uno studio numerico, infatti, si utilizzano solitamente condizioni periodiche ai bordi spaziali, in modo da ridurre gli ef-fetti dovuti alle dimensioni finite dei reticoli analizzati ed estrarre risultati nel

(4)

limite di volume infinito. La situazione sperimentale, invece, `e ben diversa. In seguito all’urto tra ioni pesanti, si forma una regione calda, chiamata fireball, contenente la fase deconfinata della materia; tale regione, in contrasto con i modelli numerici, ha una dimensione spaziale limitata, ed `e circondata da una regione esterna fredda, confinata.

Introducendo dei modelli fisicamente pi`u realistici, gli autori in [3] hanno quindi effettuato delle simulazioni numeriche per analizzare gli effetti sulla transizione di fase dovuti al volume finito del sistema. Tale studio, che si `e ristretto al caso della teoria di pura gauge SU (3), ha evidenziato uno spostamento della temperatura critica a valori maggiori rispetto a quanto predetto dall’utilizzo di reticoli periodici.

Lo scopo di questa tesi `e stato quello di estendere questa analisi anche al caso della QCD completa, introducendo nel sistema 2+1 flavour di quark fisici e studiando gli effetti di volume finito sulla transizione di fase. Il Capitolo 1 in-clude un’introduzione alla formulazione della QCD su reticolo, con attenzione rivolta soprattutto agli argomenti maggiormente pertinenti al tema trattato, e all’impostazione dei parametri per effettuare simulazioni numeriche.

Il Capitolo 2 tratta invece della fenomenologia della QCD, con una descrizione delle transizioni di fase e dello stato dell’arte per quanto riguarda studi nume-rici e sperimentali. Sono qui inclusi in maggior dettaglio i risultati ottenuti in [3], insieme all’introduzione di condizioni al bordo per approssimare su reticolo la situazione fisica della fireball in presenza di fermioni.

Infine, il Capitolo 3 `e dedicato alla presentazione dei risultati ottenuti attra-verso le simulazioni numeriche, e alla loro discussione.

Maggiori dettagli sugli algoritmi utilizzati per tali simulazioni sono contenuti in Appendice.

(5)

Introduzione i

1 Introduzione alla LQCD 1

1.1 Fermioni su reticolo . . . 1

1.1.1 Discretizzazione della teoria fermionica libera . . . 1

1.1.2 Fermion doubling e fermioni staggered . . . 4

1.2 QCD su reticolo e simmetria di gauge . . . 7

1.3 Impostazione dei parametri . . . 13

1.3.1 Termodinamica . . . 13

1.3.2 Linee di fisica costante e limite al continuo . . . 14

1.3.3 Limite al continuo . . . 15 2 Fenomenologia della QCD 19 2.1 Simmetrie . . . 19 2.1.1 Simmetria chirale . . . 20 2.1.2 Simmetria centrale . . . 21 2.2 Transizioni di fase . . . 23 2.2.1 Situazione sperimentale . . . 24

2.3 Il problema delle condizioni al bordo . . . 26

2.3.1 Disorder wall . . . 26

2.3.2 Risultati . . . 27

2.4 Condizioni al bordo per fermioni . . . 28

2.4.1 Bordi aperti e random . . . 29

3 Risultati numerici 31 3.1 Pura gauge e verifiche . . . 31

3.1.1 Osservabili e impostazione numerica . . . 31

3.1.2 Risultati e analisi . . . 34

3.1.3 Conclusioni . . . 35

3.2 QCD . . . 37

(6)

3.4 Conclusioni . . . 52

Conclusioni e prospettive 55 A Note sugli algoritmi utilizzati 57 A.1 Nozioni introduttive . . . 58

A.1.1 Decomposizione even-odd . . . 58

A.1.2 I campi pseudofermionici . . . 59

A.1.3 Approssimazioni numeriche . . . 60

A.2 Dinamica molecolare . . . 61

A.3 L’algoritmo RHMC . . . 63

A.4 Altre ottimizzazioni . . . 64

A.4.1 Fasi staggered . . . 64

(7)

Introduzione alla LQCD

Le simulazioni numeriche della QCD si basano sulla formulazione su retico-lo della teoria, che prende il nome di Lattice QCD (LQCD ): le coordinate spazio-temporali vengono discretizzate mediante l’introduzione di un reticolo, sul quale sono poi definiti i vari campi fermionici e bosonici. Questa operazio-ne, che corrisponde ad una regolarizzazione ultravioletta, consente di utilizzare approcci numerici per calcolare quantità come funzioni di correlazione; il col-legamento alla teoria originale richiede poi una procedura per rimuovere il reticolo cos`ı introdotto, effettuando un’operazione di limite al continuo. Questo capitolo è dedicato ad un’introduzione alla LQCD, focalizzata princi-palmente sugli aspetti di maggiore interesse per l’argomento di questa tesi; per una trattazione più completa si rimanda a testi come [4, 5].

1.1 Fermioni su reticolo

1.1.1 Discretizzazione della teoria fermionica libera

Si consideri inizialmente solamente la teoria fermionica libera; ciò permetterà di introdurre con maggiore semplicità la procedura di formulazione della teoria su reticolo. Inoltre, si vedrà come la discretizzazione dell’azione fermionica porti a delle importanti problematiche.

Sul continuo, l’azione `e data da SF[ψ, ¯ψ] = Z d4x ¯ψ(x)(iγµ∂µ− m0)ψ(x) = Z d4x ¯ψα(x)(iγ_αβµ ∂µ− m0δαβ)ψβ(x) , (1.1)

che descrive un singolo flavour di particella libera di spin 1/2 e massa m0, con

α, β = 0, ..., 3 gli indici di Dirac. Per poter adeguatamente rappresentare dei fermioni, i campi ψ(x) e ¯ψ(≡ ψ†γ0) devono essere variabili di Grassmann.

(8)

Introduzione alla LQCD Fermioni su reticolo

Le matrici 4×4 di Dirac γµ , con µ = 0, ..., 3, soddisfano le regole di anticom-mutazione

{γµ_{, γ}ν_{} = 2g}µν_. _(1.2)

`

E possibile riscrivere l’azione nella forma SF[ψ, ¯ψ] = X α,β Z d4x d4y ¯ψα(x)Dαβ(x, y)ψβ(y) , (1.3) con Dαβ(x, y) = (iγ µ αβ∂µ− m0δαβ)δ(4)(x − y) . (1.4)

Da qui, la procedura standard di quantizzazione consisterebbe nel rendere ψ e ¯ψ degli operatori, Ψ e Ψ† rispettivamente, che soddisfano le relazioni canoniche di commutazione a tempi uguali,

n

Ψ_α(~x, t), Ψ†_β(~y, t)o= δαβδ(3)(~x − ~y) . (1.5)

La teoria `e quindi definita tramite le varie funzioni di Green, come ad esempio il propagatore fermionico

D Ω T Ψ_α(x)Ψ†_β(y) Ω E = iD−1_αβ(x, y) , (1.6)

dove T indica qui il prodotto T-ordinato degli operatori.

Risulta utile utilizzare per queste funzioni la formulazione di path-integral: D Ω T Ψ_α₁(x1)...Ψαl(xl)Ψ † β1(y1)...Ψ † βl(yl) Ω E = 1 Z Z D ¯ψDψψα1(x1)...ψαl(xl) ¯ψβ1(y1)... ¯ψβl(yl)e iSF[ψ, ¯ψ]_, (1.7) con Z = Z D ¯ψDψeiSF[ψ, ¯ψ] _(1.8)

la funzione di partizione. Ad esempio, il propagatore fermionico `e dato in questa formulazione da D Ω T Ψ_α(x)Ψ†_β(y) Ω E = R D ¯ψDψψα(x) ¯ψβ(y)e iSF[ψ, ¯ψ] R D ¯ψDψeiSF[ψ, ¯ψ] = iD−1_αβ(x, y) . (1.9) La misura di integrazione, D ¯ψDψ =Y α,x d ¯ψα(x) Y β,y dψβ(y) , (1.10)

(9)

estendendosi su infiniti gradi di libertà, è qui definita solo formalmente. La formulazione su reticolo richiede che le direzioni spaziali e quella temporale vengano trattate allo stesso modo; ciò si ottiene effettuando una rotazione di Wick x0 = −ix4 y0 = −iy4, ovvero prolungando il tempo reale a valori

immaginari. In seguito a questa procedura la metrica di Minkowski diventa quella Euclidea in quattro dimensioni, e si definiscono delle nuove matrici γ:

( γ₄E = γ0 γ_kE = iγk, k = 1, 2, 3 (1.11) {γE µ, γ E ν } = 2δµν. (1.12)

Per le quantit`a definite nell’euclideo, la notazione sugli indici µ = 0, ...3 viene sostituita da µ = 1, ..., 4, dove µ = 4 rappresenta la nuova direzione temporale. L’azione assume la forma

iSF = i Z dx0d~x ¯ψ(x) (iγ0∂0 − iγk∂k− m0) ψ(x) = i Z d~x (−idx4) ¯ψ(x) −γ4E∂4− γkE∂k− m0 ψ(x) = − Z d4x ¯ψ(x) γ_µE∂µ+ m0 ψ(x) ≡ −SFE. (1.13)

Da qui in poi l’indice E non sar`a riportato, in quanto ci si riferir`a sempre a grandezze definite nell’euclideo (eccetto dove esplicitamente indicato).

Lo step successivo `e quello di introdurre il reticolo spazio-temporale. De-nominando a il passo reticolare o lattice spacing, la posizione sul reticolo sar`a indicata attraverso dei quadrivettori n ≡ (n1, n2, n3, n4), con n1, n2, n3, n4 ∈ N,

tali che ad esempio xµ= a nµ, ψ(x) = ψ(an) ≡ ψ(n) ecc.

Scalando con le appropriate potenze di a, `e possibile ridefinire la teoria in termini di sole quantit`a adimensionali, che saranno identificate mediante il simbolo ^. In seguito alle sostituzioni

m0 = a−1mˆ0 (1.14a) ψα(x) = a−3/2ψˆα(x) (1.14b) ¯ ψα(x) = a−3/2ψˆ¯α(x) (1.14c) ∂µψα(x) = a−5/2∂ˆµsψˆα(n) (1.14d) Z d4x →X n a4, (1.14e) con ˆ ∂_µsψˆα(n) = 1 2 h ˆ_ψ α(n + ˆµ) − ˆψα(n − ˆµ) i (1.15)

(10)

e n + ˆµ (n − ˆµ) ad indicare il primo vicino del sito n in avanti (indietro) lungo la direzione µ, l’azione fermionica libera su reticolo assume la forma

SF = X n ( ₄ X µ=1 ¯ ˆ ψ(n)γµ 1 2 ˆ_{ψ(n + ˆ}_{µ) − ˆ}_{ψ(n − ˆ}_µ +ψ(n) ˆ¯ˆ m0ψ(n)ˆ ) =X n,m X α,β ¯ ˆ ψα(n)Dαβ(n, m) ˆψβ(m) , (1.16) con Dαβ(n, m) ≡ 4 X µ=1 1 2(γµ)αβ[δm,n+ˆµ− δm,n−ˆµ] + ˆm0δmnδαβ (1.17)

denominato l’operatore di Dirac o matrice fermionica. Le funzioni di correla-zione su reticolo invece sono date da

D ˆ_ψ α1(n1)... ˆψαl(nl) ¯ ˆ ψβ1(m1)... ¯ ˆ ψβl(ml) E ≡ D Ω T ˆ_Ψ α1(n1)... ˆΨαl(nl) ˆΨ † β1(m1)... ˆΨ † βl(ml) Ω E = 1 Z Z DψD ˆ¯ˆ ψ ˆψα1(n1)... ˆψαl(nl) ¯ ˆ ψβ1(m1)... ¯ ˆ ψβl(ml)e −SF[ ˆψ,ψ]¯ˆ _, (1.18) con Z = Z DψD ˆ¯ˆ ψ e−SF[ ˆψ,ψ]¯ˆ _. _(1.19)

Ad esempio per il propagatore fermionico si ha D ˆ_ψ α(n)ψ¯ˆβ(m) E = R D ¯ ˆ ψD ˆψ ˆψα(n) ¯ ˆ ψβ(m)e−SF[ ˆψ, ¯ ˆ ψ] R D_{ψD ˆ}¯ˆ _{ψ e}−SF[ ˆψ,ψ]¯ˆ = D−1_αβ(n, m) (1.20) La misura di integrazione DψD ˆ¯ˆ ψ =Y α,n dψ¯ˆα(n) Y β,m d ˆψβ(m) (1.21)

`e qui matematicamente ben definita, con i prodotti che si estendono a tutti i siti del reticolo.

1.1.2 Fermion doubling e fermioni staggered

`

E immediato verificare che l’azione discretizzata (1.16) si riduce alla corretta forma continua (1.1) nel limite al continuo na¨ıve, ovvero nel limite a → 0;

(11)

l’applicazione della stessa procedura al propagatore fermionico (1.20) porta al cosiddetto problema del fermion doubling.

Dopo aver reintrodotto le dimensioni delle varie quantit`a ed aver preso il limite a → 0, si osserva che, a causa della scelta della forma simmetrica (1.15) per la derivata su reticolo, nel caso di massa nulla il limite na¨ıve del propagatore con-tiene un totale di 2D poli (in D dimensioni), in prossimit`a dei vertici della zona di Brillouin. Questo causa la presenza di termini in eccesso rispetto al propaga-tore sul continuo, corrispondenti ad eccitazioni indipendenti di tipo fermionico che prendono il nome di doubler. L’utilizzo di altre forme per la derivata su reticolo, come ad esempio la derivata destra ˆ∂_µRψˆα(n) = ˆψα(n + ˆµ) − ˆψα(n) o la

derivata sinistra ˆ∂_µLψˆα(n) = ˆψα(n) − ˆψα(n − ˆµ), pur non causando la comparsa

dei termini aggiuntivi nel propagatore, renderebbe la teoria non rinormalizza-bile: mentre ˆ∂_µS è antihermitiana, il coniugato hermitiano di ˆ∂R_µ è − ˆ∂_µL. Sono state sviluppate diverse procedure per aggirare il problema del doubling. Una possibilità, che prende il nome di fermioni di Wilson, consiste nell’aggiun-gere all’azione termini di ordine superiore ad o(a4), e che dunque svaniscono nel limite na¨ıve, tali da eliminare i poli in eccesso nel propagatore. Il prezzo da pagare per rimuovere i doubler in questo modo è la rottura della simmetria chirale: poiché il termine aggiunto si comporta come un termine di massa, la simmetria chirale risulta rotta esplicitamente anche per ˆm0 = 0.

Tuttavia, questo non è un difetto esclusivo della particolare formulazione, ma segue da un più generale teorema di Nielsen e Ninomyia [6], che afferma che un’azione su reticolo non può essere contemporaneamente locale, invariante per traslazioni, simmetrica sotto trasformazioni chirali e libera da doubler. Un’altro possibile approccio consiste nei cosiddetti fermioni staggered, o di Kogut-Susskind. L’idea è quella di sfruttare la degenerazione dell’azione fer-mionica na¨ıve per diminuire il numero di gradi di libertà per ogni sito ad 1, e ridurre l’estensione della zona di Brillouin, o equivalentemente raddoppiare il lattice spacing, in maniera da evitare il doubling.

Siano T (n) delle matrici unitarie 4 × 4 tali che

T†(n)γµT (n ± ˆµ) = ηµ(n)1 , (1.22)

con i numeri complessi ηµchiamati fasi staggered. Una scelta standard consiste

in T (n) = γn1 1 γ n2 2 γ n3 3 γ n4 4 , (1.23) e dunque ( η1(n) = 1 ηµ(n) = (−1) P ν<µnν_{, µ 6= 1 .} (1.24) Effettuando la trasformazione ( ˆ_{ψ(n) = T (n)χ(n)} ¯ ˆ ψ(n) = ¯χ(n)T†(n) , (1.25)

(12)

l’operatore di Dirac è diagonalizzato negli indici di Dirac, ed è possibile con-siderare una sola delle quattro componenti del nuovo campo fermionico, che sarà indicata genericamente come χ(n). L’azione assume la forma

S_Fstag = 1 2 X n,µ ηµ[ ¯χ(n)χ(n + ˆµ) − ¯χ(n)χ(n − ˆµ)] + ˆm0 X n ¯ χ(n)χ(n) =X n,m ¯ χ(n)D(n, m)χ(m) , (1.26) con Dn,m ≡ ˆm0δn,m+ 1 2 4 X µ=1 ηµ(n) [δn,m−ˆµ− δn,m+ˆµ] . (1.27)

Sfruttando la periodicit`a delle fasi staggered, `e possibile dividere il reticolo in ipercubi di lato 2a. Sia n = 2N ; le coordinate dei vertici di un ipercubo saranno date da r = 2N + ρ, con ρ un quadrivettore avente componenti 0 o 1. Includendo per ogni cubo i valori del campo χ(r) ai suoi vertici in un singolo spinore χρ(N ) a 16 componenti,

χρ(N ) ≡ χ(2N + ρ) , (1.28)

`e possibile utilizzare N per indicare la posizione su un reticolo avente lattice spacing a0 = 2a.

L’azione ottenuta contiene ancora un residuo della degenerazione iniziale: com-binando linearmente le componenti di χρ(N ) si possono ottenere quattro campi

di Dirac, comunemente chiamati taste, corrispondenti a quattro particelle non interagenti: ˆ ψ_αf(N ) =N0 X ρ (Tρ)_αf χρ(N ) , (1.29)

dove α = 1, ..., 4, f = 1, ..., 4,N0 `e una costante di normalizzazione e

Tρ= γ1ρ1γ ρ2 2 γ ρ3 3 γ ρ4 4 . (1.30)

Scegliendo in maniera appropriataN0,`e possibile scrivere l’azione in termini di

quattro campiψ¯ˆf e ˆψf, S_Fstag = 4 X f =1 X N ¯ ˆ ψf(N )γµ∂ˆµ+ ˆm0 ˆψf(N ) + ... , (1.31)

dove ˆ∂µ`e la derivata sul nuovo reticolo, e i puntini indicano dei termini

aggiun-tivi che non contribuiscono nel limite al continuo na¨ıve. `E facile mostrare che eq. (1.31) tende nel limite na¨ıve all’azione di quattro particelle di Dirac dege-neri non interagenti; inoltre, calcolando il propagatore a partire da eq. (1.26)

(13)

si pu`o verificare che non sono presenti termini in eccesso.

In accordo con il teorema di Nielsen e Ninomyia, la simmetria chirale `e rotta esplicitamente; tuttavia, l’azione staggered preserva una simmetria continua U (1) × U (1) per ˆm0 = 0, come residuo del gruppo chirale originario. Ci`o

fornisce alla formulazione staggered il vantaggio di poter essere utilizzata per studiare la rottura spontanea di questa simmetria e il limite chirale.

La presenza della degenerazione di taste rappresenta un effetto indesiderato, ed una procedura di calcolo numerico che fa uso dei fermioni staggered deve tenerne conto, utilizzando ad esempio tecniche come il rooting [7]; un proble-ma aggiuntivo in questo senso è tuttavia rappresentato dal fatto che i taste non sono esattamente degeneri, a causa di interazioni tra i doubler (si veda ad esempio [8, 9] per una discussione sulla validità del rooting). Per ridurre questo effetto di taste violation sono state sviluppate forme alternative per l’azione (ad esempio l’azione HISQ [10]), o procedure come lo stout-smearing. Maggiori dettagli sull’implementazione che è stata utilizzata nelle simulazioni numeriche di questa tesi sono contenuti in Appendice.

1.2 QCD su reticolo e simmetria di gauge

Si consideri adesso invece l’estensione alla QCD completa. La notazione uti-lizzata `e la seguente: l’azione euclidea sul continuo per un singolo flavour ed Nc colori di quark `e data da

SQCD = Z d4x ¯ψi(x)(γµ∂µ+ m0) δij + ig0tAijγµAAµ(x) ψj(x) + − Z d4x 1 4F A µν(x)F A µν(x) = Z d4x ¯ψ(x)γµ ∂µ+ ig0tAAAµ(x) + m0 ψ(x) + − Z d4x 1 4F A µν(x)FµνA(x) , (1.32) con il tensore F_µνA(x) = ∂µAAν(x) − ∂νAAµ(x) − g0fABCABµ(x)A C ν(x) , (1.33)

ψi(x) i campi di quark nella rappresentazione fondamentale del gruppo di

gauge SU (Nc) e i, j = 1, .., Nc indici di colore; AAµ sono i campi gluonici nella

rappresentazione aggiunta del gruppo di gauge, con A = 1, ..., N_c2− 1; g0 `e la

costante di accoppiamento bare; le matrici Nc× Nc tAij sono i generatori del

(14)

Introduzione alla LQCD QCD su reticolo e simmetria di gauge

struttura dell’algebra. Introducendo Aµ(x) = X B AB_µ(x)tB (1.34) Fµν(x) = X B F_µνB(x)tB = ∂µAν − ∂νAµ+ ig0[Aµ, Aν] , (1.35)

e ricordando che per la rappresentazione fondamentale di SU (Nc) vale

Tr tAtB = 1

2δAB, (1.36)

l’azione pu`o essere riscritta nella forma SQCD = Z d4x ¯ψ(x)γ_µE(∂µ+ ig0Aµ(x)) + m0 ψ(x)+ − 1 2T r Z d4x 1 2Fµν(x)Fµν(x) . (1.37)

Da questo punto `e possibile procedere come fatto nella sezione precedente, in-troducendo il reticolo spazio-temporale e definendo su di esso le varie quantit`a discretizzate ed adimensionali.

Una procedura alternativa, che viene qui seguita, consiste invece nel basar-si sulle basar-simmetrie dell’azione fermionica su reticolo, rendendola invariante di gauge: ci`o permette la comparsa naturale dei termini bosonici corrispondenti alle forme ¯ψAA_µψ, e consente di comprendere maggiormente il loro ruolo nella teoria su reticolo. Fatto ci`o, rimane solamente da aggiungere la versione di-scretizzata dell’azione di pura gauge.

Si considerino dunque Nc fermioni staggered degeneri χi di massa ˆm0 su

reticolo: SF = 1 2 X n,µ Nc X i=1 ηµ[ ¯χi(n)χi(n + ˆµ) − ¯χi(n)χi(n − ˆµ)] + + ˆm0 X n Nc X i=1 ¯ χi(n)χi(n) . (1.38)

Si introduce adesso la notazione vettoriale

˜ ¯ χ = ¯χ1 · · · χ¯Nc ˜ χ =    χ1 .. . χNc    . (1.39)

(15)

In questo modo, l’azione (1.38) assume la forma SF = 1 2 X n,µ ηµ ˜ ¯ χi(n) ˜ χi(n + ˆµ) − ˜ ¯ χi(n) ˜ χi(n − ˆµ) + + ˆm0 X n ˜ ¯ χi(n) ˜ χi(n) , (1.40)

e risulta invariante sotto trasformazioni globali SU (Nc)

( ˜ χ(n) → ˜ χ0 = ˜ G ˜ χ ˜ ¯ χ(n) → ˜ ¯ χ0 = ˜ ¯ χ ˜ G−1, (1.41) con ˜ G ∈ SU (Nc).

Volendo adesso promuovere la simmetria SU (Nc) da globale a locale, si

no-ta che all’interno della prima sommatoria in eq.(1.40) sono contenute forme bilineari che coinvolgono il prodotto di campi fermionici valutati in due siti differenti, e che dunque non sono invarianti sotto tali trasformazioni di gauge:

˜ ¯ χ(n) ˜ χ(m) → ˜ ¯ χ(n) ˜ G−1(n) ˜ G(m) ˜ χ(m) 6= ˜ ¯ χ(n) ˜ χ(m) . (1.42) Nel continuo, per risolvere questo problema `e possibile inserire tra di essi un altro fattore, noto come trasporto parallelo:

˜ U (x, y) = Peig0 R Cdx0µ ˜ Aµ(x0) , (1.43)

dove `e intesa una somma su µ, con C un cammino che connette x e y. P `e l’operatore di path-ordering, che ordina i campi

˜

Aµ(x) in base alla loro posizione

lungo il cammino C, ed `e necessario a causa della natura non abeliana del gruppo di gauge. Si pu`o mostrare che, sotto trasformazioni di gauge,

˜ U (x, y) → ˜ G(x) ˜ U (x, y) ˜ G−1(y) , (1.44)

e da qui `e immediato verificare che la forma bilineare ˜ ¯ ψ(x) ˜ U (x, y) ˜ ψ(y) `e effet-tivamente invariante sotto trasformazioni locali.

Per trovare la corrispondente espressione sul reticolo, sia y = x + a, con a piccolo. Allora ˜ U (x, x + a) ≈ eig0aµAµ(x)_. _(1.45) Chiamando adesso ˜ Uµ(n) ≡ ˜ U (n, n + ˆµ) ˜ U_µ†(n) ≡ ˜ U†(n + ˆµ) = ˜ U (n + ˆµ, n) , (1.46) ed effettuando in eq. (1.40) le sostituzioni

˜ ¯ χ(n) ˜ χ(n + ˆµ) → ˜ ¯ χ(n) ˜ Uµ(n) ˜ χ(n + ˆµ) ˜ ¯ χ(n) ˜ χ(n − ˆµ) → ˜ ¯ χ(n) ˜ U_µ†(n − ˆµ) ˜ χ(n − ˆµ) , (1.47)

(16)

l’azione `e infine sotto trasformazioni locali di SU (Nc)

         ˜ χ(n) → ˜ χ0 = ˜ G(n) ˜ χ ˜ ¯ χ(n) → ˜ ¯ χ0 = ˜ ¯ χ ˜ G−1(n) ˜ Uµ(n) → ˜ U_µ0(n) = ˜ G(n) ˜ Uµ(n) ˜ G−1(n + ˆµ) ˜ U_µ†(n) → ˜ U_µ†0(n) = ˜ G(n + ˆµ) ˜ U_µ†(n) ˜ G−1(n) . (1.48) Poich´e ˜

Uµ(n) assume il ruolo di connettere due siti vicini sul reticolo, `e

solita-mente chiamato variabile di link o link.

Rimane da verificare che l’azione cos`ı ottenuta, SF = 1 2 X n,µ ˜ ¯ χ(n)ηµ(n) ˜ Uµ(n) ˜ χ(n + ˆµ) − ˜ U_µ†(n − ˆµ) ˜ χ(n − ˆµ) + + ˆm0 X n ˜ ¯ χ(n) ˜ χ(n) , (1.49)

possa veramente descrivere la versione su reticolo della QCD, ovvero che pos-sieda il corretto limite al continuo. Per effettuare tale confronto `e necessario trovare una relazione tra i link

˜

Uµ(n) sul reticolo e i campi bosonici sul

conti-nuo ˜ AA_µ(x). Dato che

˜

Uµ(n) ∈ SU (Nc), `e possibile riscrivere i link come

˜

Uµ(n) = ei˜

φµ(n)_, _(1.50)

con ˜

φµ(n) una matrice hermitiana a traccia nulla appartenente all’algebra

su(Nc). Utilizzando le eq. (1.45) e (1.50) si ha

˜

φµ(na) = κa

˜

Aµ(na) , (1.51)

con κ una costante di proporzionalit`a da determinare. Effettuando nel limite a → 0 l’espansione

˜

Uµ(n) = 1 + iκa

˜

Aµ(na) + o(a2) , (1.52)

si pu`o verificare che il limite na¨ıve `e soddisfatto ponendo κ = g0.

Per completare la discretizzazione della QCD rimane infine da includere il corrispondente sul reticolo del termine di pura gauge. Tale termine pu`o essere costruito richiedendo che sia invariante di gauge e che dipenda solo da link e da loro prodotti. Si consideri il prodotto di due link adiacenti, che formano un cammino connesso tra due siti n1 ed n2 sul reticolo. Sotto trasformazioni

di gauge si ha ˜ Uµ(n1) ˜ Uν(n2) → ˜ G(n1) ˜ Uµ(n1) ˜ Uν(n2) ˜ G−1(n2) . (1.53)

(17)

La stessa relazione pu`o essere generalizzata al prodotto ordinato di un qual-siasi numero di link lungo un cammino chiuso: chiamando Π(n1, n2) il

pro-dotto ordinato di link lungo un tale cammino che congiunge n1 ed n2, sotto

trasformazioni di gauge vale Π(n1, n2) →

˜

G(n1)Π(n1, n2)G−1(n2) . (1.54)

Prendendo un loop chiuso (n1 = n2), la traccia del prodotto lungo questo loop

`

e dunque invariante di gauge, come si verifica utilizzando le proprietà della traccia. È possibile dunque costruire l’azione di gauge utilizzando tali loop ordinati; il più piccolo prende il nome di plaquette:

˜ W_µν1×1(n) ≡ ˜ Uµ(n) ˜ Uν(n + ˆµ) ˜ U_µ†(n + ˆν) ˜ U_ν†(n) . (1.55)

Una possibile forma per l’azione di gauge `e Sg = c T r X n,µ<ν 1 − Re ˜ W_µν1×1(n) , (1.56) con c una costante moltiplicativa da determinare in maniera tale da ottenere il corretto limite al continuo.

In analogia con le eq. (1.50), (1.51) e (1.52), si introduce ˜ W_µν1×1(n) = eig0a2 ˜ Fµν _{= 1 + ig} 0a2 ˜ Fµν+ o(a3) . (1.57)

Sostituendo quindi nella definizione eq. (1.55) e poi confrontando con (1.57), si verifica che

˜

Fµν −−→

a→0 F_˜µν = ∂µA_˜ν− ∂νA_˜µ+ ig0[A_˜µ,A_˜ν] . (1.58)

Sostituendo nella definizione ed effettuando delle espansioni si arriva a Sg = − c 2g 2 0T r X n,µ<ν˜ Fµν ˜ Fµν, (1.59)

che possiede il corretto linite al continuo se si pone c = 2 g2 0

. L’azione di gauge su reticolo assume dunque la forma

Sg = β X n,µ<ν 1 − 1 Nc Re Tr ˜ W_µν1×1(n) , (1.60) con β ≡ 2Nc g2 0 .

Considerando nello specifico il caso realistico Nc = 3, i generatori nella

rap-presentazione fondamentale sono

tA= λ

A

(18)

con λA le 8 matrici 3 × 3 di Gell-Mann, ed ogni elemento ˜

Θ dell’algebra su(3) pu`o essere scritto come

˜ Θ = 8 X A=1 ΘAλ A 2 . (1.62)

Riassumendo, l’azione della QCD su reticolo con fermioni staggered `e dunque data da

SQCD[U, χ, ¯χ] = SF [U, χ, ¯χ] + Sg[U ] (1.63a)

Sg[U ] = β X n X µ<ν 1 −1 3Re Tr Uµ(n)Uν(n + ˆµ)U † µ(n + ˆν)U † ν(n) (1.63b) SF[U, χ, ¯χ] = 1 2 X n,µ ¯ χ(n)ηµ(n)Uµ(n)χ(n + ˆµ) − Uµ†(n − ˆµ)χ(n − ˆµ) + + m0 X n ¯ χ(n)χ(n) =X n,m ¯ χ(n)Dn,m[U ] χ(m) , (1.63c) Dn,m[U ] = m0δn,m+ 1 2 4 X µ=1 ηµ(n)Uµ(n)δn,m−ˆµ− Uµ†(n − ˆµ)δn,m+ˆµ , (1.63d) con β = 6 g2 0

, ed i simboli ∼ per indicare vettori nello spazio di colore sono da qui in poi sono omessi per semplificare la notazione, considerandoli sottintesi eccetto dove esplicitamente dichiarato altrimenti.

L’eq. (1.63b) non è l’unica forma possibile per l’azione di gauge; come per i fermioni, è possibile infatti andare ad aggiungere termini irrilevanti nel limi-te al continuo, senza perdere la validità fisica della teoria. Un’alternativa è rappresentata dall’azione tree-level Symanzik [11, 12],

S_gSY M = −β 3 X n,µ6=ν Tr 5 6W 1×1 µν (n) − 1 12W 1×2 µν (n) , (1.64)

che include oltre alle plaquette i prodotti ordinati di link su percorsi chiusi rettangolari 1 × 2, indicati con W_µν1×2(n); tali termini aggiuntivi consentono di ridurre gli effetti di correzioni dovute alla presenza di un lattice spacing finito, permettendo di ottenere risultati accurati anche effettuando simulazioni numeriche con reticoli di dimensioni inferiori.

(19)

di correlazione e valori di aspettazione di osservabili sono dati in generale in QCD tramite path integral da

ψα(n)... ¯ψβ(m)...Uµ(k)... =

1 Z

Z

DU D ¯ψDψ ψα(n)... ¯ψβ(m)...Uµ(k)...e−SQCD[U,ψ, ¯ψ],

(1.65)

con la funzione di partizione Z =

Z

DU D ¯ψDψ e−SQCD[U,ψ, ¯ψ]_. _(1.66)

Un passaggio ulteriore pu`o essere effettuato ricordando che per le variabili di Grassmann vale Z Y i dηid¯ηie P i,jη¯iMijηj _{= det M ,} _(1.67) ottenendo Z = Z DU det D [U ] e−Sg[U ] _(1.68) e, in generale, ψα(n)... ¯ψβ(m)...Uµ(k)... = 1 Z Z DU ψα(n)... ¯ψβ(m)...Uµ(k)... det D [U ] e−SG[U ]. (1.69)

1.3 Impostazione dei parametri

1.3.1 Termodinamica

Finora nella discussione non `e stato specificato in che modo la temperatura venga introdotta nella teoria discretizzata, n´e quale comportamento debbano avere i vari campi ai bordi del reticolo. Si consideri un reticolo avente Ns siti

lungo ogni direzione spaziale e Nt lungo la direzione temporale, che verr`a

in-dicato da qui in poi in generale come avente dimensioni N_s3× Nt. Impiegando

un’analogia con la meccanica statistica, `e possibile mostrare come la tempe-ratura T sul reticolo possa essere regolata tramite Nt, una volta specificato il

comportamento dei vari campi ai bordi del reticolo.

Per un sistema all’equilibrio termico a temperatura T , la probabilit`a associata ad un particolare stato `e data dalla distribuzione di Gibbs

P = e

−H/T

Z , (1.70)

con H l’Hamiltoniana del sistema e

(20)

Introduzione alla LQCD Impostazione dei parametri

la funzione di partizione; dunque il valore medio termodinamico di un’osser-vabile O `e dato da

hOi = 1

Z Tr Oe

−H/T_.

(1.72) La forma di queste relazioni mostra una somiglianza con quella dei valori medi tramite path-integral di campi bosonici e fermionici; `e possibile infatti per la funzione di partizione della QCD, eq. (1.66), l’identificazione

Z(T, V, m0, β) = Tr e−H/T =

Z

DU D ¯ψDψ e−SQCD[U,ψ, ¯ψ]_, _(1.73)

con V il volume spaziale del sistema.

Per effettuare tale identificazione sono prima necessari alcuni chiarimenti. Il primo riguarda il fatto che la presenza della traccia in eq. (1.73) richiede delle condizioni sugli estremi di integrazione nel path-integral. Di conseguenza, i campi bosonici dovranno essere periodici nel tempo, in accordo con la stati-stica di Bose-Einstein; i campi fermionici, invece, saranno antiperiodici, per assicurare la validit`a della statistica di Fermi-Dirac.

Il secondo invece riguarda gli integrandi in eq. (1.73), e richiede che la tempera-tura T del sistema sia uguale all’inverso dell’estensione temporale del reticolo. In particolare, riportando in unit`a fisiche si ha

T = 1 aNt

. (1.74)

Il limite di temperatura nulla T → 0 corrisponde dunque a Nt → ∞, ed `e

spesso necessario per calcolare quantit`a fisiche o per rinormalizzare osservabi-li. In generale, tuttavia, nelle simulazioni di LQCD le dimensioni dei reticoli accessibili sono limitate, per questioni di memoria fisica dei processori o di tem-po necessario all’esecuzione degli algoritmi, ed effettivamente ogni simulazione che viene effettuata `e a temperatura diversa da zero. In generale, la procedura per effettuare quelle che vengono chiamate simulazioni a T = 0 consiste nel prendere Nt > Ns: se Ns viene scelto abbastanza grande da rendere la fisica

del sistema insensibile al volume spaziale finito, allora per la simmetria del reticolo si avr`a anche insensibilit`a a Nt, e quindi a T .

Nelle simulazioni a temperatura finita si prende invece Nt Ns. La

tempe-ratura pu`o essere poi fatta variare sia tramite Nt, sia tramite a; solo questa

seconda scelta per`o permette variazioni sufficientemente piccole di T da poter effettuare adeguatamente una ricerca di una temperatura critica del sistema.

1.3.2 Linee di fisica costante e limite al continuo

Per poter studiare la QCD fisica, i parametri delle simulazioni numeriche, ovvero la massa del quark leggero aml, la massa del quark strange ams e

(21)

scelti in maniera tale che le quantità misurate su reticolo corrispondano ai valori fisici. Poiché le grandezze che vengono misurate sul reticolo sono adi-mensionali, dovranno di conseguenza essere considerati rapporti adimensionali di quantità fisiche. Non esiste una scelta unica per queste grandezze; una possibile procedura [13] consiste nell’effettuare simulazioni a T = 0 al variare di β, regolando le masse dei fermioni in maniera tale che i rapporti mK/fK

e mK/mπ misurati sul reticolo siano uguali ai valori fisici, con mπ la massa

del pione, mK la massa del kaone ed fK la sua costante di decadimento . Per

completare occorre inoltre determinare il lattice spacing a in unit`a fisiche come funzione di β; ci`o richiede l’utilizzo di un’altra grandezza fisica, ad esempio la costante di decadimento del pione fπ.

Questa procedura definisce delle linee di fisica costante: `e possibile studiare numericamente la QCD fisica scegliendo per ogni diverso valore della tempe-ratura che si vuole simulare tutti i parametri lungo una di queste linee; si parla in questo modo di fermioni fisici, o fermioni di massa fisica. In questo senso, dunque, `e possibile regolare la temperatura del sistema facendo variare β, attraverso la dipendenza del lattice spacing dall’accoppiamento:

T (β) = 1 a(β)Nt

. (1.75)

Nelle simulazioni che sono state effettuate per questa tesi sono state utilizzate due diverse linee. La prima `e quella corrispondente ai valori fisici fπ ≈ 131

MeV, mπ ≈ 135 MeV, fπ ≈ 160 MeV e mK ≈ 498 MeV, con il rapporto tra le

masse dei fermioni fissato a ms/ml ≈ 28.15; la seconda utilizzando un valore

pi`u grande per la massa del pione, mπ ≈ 664 MeV. In Figura 1.1 e 1.2 sono

riportate le dipendenze dei vari parametri da β lungo le linee utilizzate.

1.3.3 Limite al continuo

Nella derivazione della forma discretizzata della QCD, il limite al continuo `e stato ottenuto analiticamente reintroducendo le dimensioni fisiche delle varie quantit`a e prendendo a → 0, nella cosiddetta procedura na¨ıve. Da un punto di vista pratico, invece, tale limite richiede delle accortezze ulteriori.

Innanzitutto, a non è un parametro che compare esplicitamente nell’azione su reticolo, e non può essere regolato direttamente. Può essere tuttavia regolato indirettamente facendo variare l’accoppiamento di gauge β, che invece è un parametro delle simulazioni; come si può osservare dalla linea di fisica costan-te, Figura 1.1, a → 0 può effettivamente essere ottenuto per β → ∞.

Poich´e le masse fisiche mqdei fermioni sono finite, nel limite al continuo le

mas-se in unit`a di reticolo ˆmq = amq tendono a zero con a. Per un ragionamento

analogo, la lunghezza di correlazione ξ, che dal punto di vista fisico è determi-nata dalla massa più piccola, misurata in unità di reticolo deve divergere per

(22)

Introduzione alla LQCD Impostazione dei parametri

Figura 1.1: Lattice spacing a al variare di β lungo le linee di fisica costante utilizzate, corrispondenti a due diverse masse del pione

a → 0, ˆξ → ∞. Ciò significa che il limite al continuo è realizzato in presenza di un punto critico della teoria, in cui il sistema perde memoria della struttura reticolare. La presenza di questa criticità è in realtà una condizione necessaria perché una teoria regolarizzata su reticolo possa descrivere correttamente una teoria sul continuo.

Per poter estrarre dei risultati attendibili, è necessario che l’estensione spaziale del reticolo sia maggiore della lunghezza di correlazione; ciò è ottenibile con il limite di volume infinito Ns → ∞. D’altra parte, la necessità di effettuare

delle simulazioni a temperatura fisica T = 1 aNt

finita richiede Nt → ∞ per

a → 0.

Sulla base di queste richieste, la procedura per estrarre risultati nel continuo consiste dunque in

Ns/Nt→ ∞, Nt fissato; Nt→ ∞, aNt finito (1.76)

Dal punto di vista pratico, non è possibile utilizzare reticoli di dimensione infinita. Ciò che viene fatto è quindi di effettuare simulazioni su un reticolo di dimensione N_s3× Nt finita, dove β viene scelto in maniera tale da mantenere

1 ˆξ Ns, e la temperatura data da eq.(1.75); successivamente si ripetono

le simulazioni per altri valori di Nt ed Ns, ed infine il risultato continuo `e

(23)

(a)

(b)

Figura 1.2: Masse bare per i quark leggeri e strange al variare di β lungo le linee fisiche utilizzate

(24)

(25)

Fenomenologia della QCD

Tra i suoi fenomeni di maggior interesse, la QCD prevede che la materia subisca due trasformazioni: il ripristino della simmetria chirale e la transizione di fase di deconfinamento. Tali aspetti sono stati oggetto di numerosi studi, non solo numerici, ma anche sperimentali.

Nel passaggio dalla fase confinata a quella deconfinata, la materia ordinaria composta da mesoni e barioni si trasforma, dando origine a ciò che viene chiamato plasma di quark e gluoni. Questa fase della materia, in cui i quark non sono più confinati all’interno di adroni, richiede di alte temperature o densità per esistere, e dunque può essere creata solo in seguito a collisioni tra ioni pesanti, come quelle che avvengono in esperimenti effettuati al LHC o al RHIC [18]. Il plasma di quark e gluoni rappresenta un fenomeno di interesse anche in campo astrofisico [17]: si ritiene infatti che nelle prime fasi in seguito al Big Bang l’universo si trovasse in uno stato di plasma di quark e gluoni. Questa sezione è dedicata ad una introduzione delle transizioni di fase della QCD, includendo le situazioni sperimentali e gli studi numerici, con maggiore attenzione sull’utilizzo delle condizioni al bordo in quest’ultimi.

2.1 Simmetrie

Come illustrato nel capitolo precedente, per formulare la QCD su reticolo è stato fatto uso della simmetria di gauge SU (3) per introdurre i campi boso-nici. L’azione della QCD possiede anche altre simmetrie globali, tra cui la simmetria centrale e la simmetria chirale, già nominata in precedenza, che in realtà risultano solo approssimate in presenza di fermioni dinamici. La rottura spontanea in natura di tali simmetrie ha come conseguenza la comparsa di alcuni fenomeni caratteristici della QCD, che vanno dallo spettro adronico al deconfinamento dei quark.

(26)

Fenomenologia della QCD Simmetrie

2.1.1 Simmetria chirale

Si consideri la QCD con 3 flavour degeneri (up, down e strange) a massa nulla. La parte di Lagrangiana relativa ai fermioni pu`o essere scritta come

L =X

f

¯

ψfD ψ/ f, (2.1)

con f = u, d, s. Per fermioni di massa nulla è possibile separare le componenti a chiralità definita, ψ_fR≡ 1 + γ5 2 ψf, ψ L f ≡ 1 − γ5 2 ψf. (2.2) Usando le proprietà della matrice γ5 = γ1γ2γ3γ4si può verificare che l’eq. (2.1)

assume la forma L =X f ¯ ψ_fRD ψ/ _fR+X f ¯ ψ_fLD ψ/ _fL. (2.3)

Questa Lagrangiana possiede una simmetria globale per rotazioni nello spazio di flavour, ψR_f → e−iθaRλa/2_ψR f ¯ ψR_f → ¯ψ_fReiθRaλa/2 ψ_fL→ e−iθa Lλa/2_ψL f ¯ ψ_fL→ ¯ψL_feiθLaλa/2_, (2.4)

con θa_R e θa_L dei parametri indipendenti. Si noti che il 3 in SU (3), che per la simmetria di gauge si riferiva al numero di colori di quark, si riferisce qui al nu-mero di flavour della teoria. Questa invarianza sotto il gruppo SUR(3)×SUL(3)

rappresenta la simmetria chirale della Lagrangiana della QCD [15, 16]. Spesso tale gruppo viene indicato anche come SUV(3) × SUA(3), facendo riferimento

al carattere vettoriale o assiale delle corrispondenti correnti conservate. Se anche la teoria fosse invariante sotto tale simmetria lo spettro adronico do-vrebbe consistere in multipletti degeneri, aventi parità opposte. In realtà, ciò che si osserva in natura è che la simmetria chirale è rotta. Un parametro di tale rottura è costituito dal condensato chirale, X

f

_¯

ψfψf; poich´e tale

quan-tità non è invariante sotto trasformazioni chirali (si può verificare scomponendo nelle componenti di chiralità definita: si ottieneψ¯fψf = ¯ψfRψ

L f + ¯ψ L fψ R f),

un valore del condensato chirale non nullo `e indice di una rottura di simmetria. Del gruppo chirale originario SUV(3) × SUA(3) sopravvive solamente una

sim-metria SUV(3). Per ogni generatore della simmetria rotta esiste un bosone

di Goldstone, di massa nulla; nel caso a 3 flavour, agli 8 generatori si SU (3) corrispondono 8 bosoni, che possono essere identificati con l’ottetto di mesoni

(27)

pseudoscalari.

Nella situazione reale i quark hanno masse finite, e ci`o introduce nella Lagran-giana termini della forma ¯ψRmψL, che non sono invarianti sotto trasformazioni

chirali: ciò comporta la rottura esplicita della simmetria. Poiché però tali mas-se sono molto più piccole rispetto alla scala di energia della QCD, m ΛQCD,

si ha che la rottura esplicita è debole, e la simmetria è approssimata; di con-seguenza, anche gli 8 bosoni associati alla rottura spontanea avranno massa non nulla. Questa condizione è verificata in modo particolare per i quark più leggeri, up e down, con conseguenze osservabili nei 3 pioni (corrispondenti ai 3 generatori rotti di SU (Nf = 2)).

Fisicamente, la rottura spontanea della simmetria chirale ha due conseguen-za principali. La prima `e rappresentata dal fatto che le masse dell’ottetto pseudoscalare mesonico sono pi`u piccole rispetto agli stati successivi, come ad esempio l’ottetto vettoriale; le masse dei questi mesoni possono essere calcolate perturbativamente, attraverso la chiral perturbation theory [16].

La seconda è osservabile invece nelle masse dei barioni: mentre il meccanismo di Higgs può spiegare solo una piccola frazione di essa, la maggior parte della massa barionica è infatti conseguenza della rottura spontanea della simmetria chirale.

Come già accennato nel capitolo precedente, su reticolo la simmetria chirale è rotta esplicitamente nell’eliminazione del fermion doubling. La presenza nel-l’azione dei fermioni staggered di una parte non banale della simmetria chirale completa rende tuttavia possibile l’utilizzo di tale formulazione nello studio numerico delle proprietà chirali della QCD.

2.1.2 Simmetria centrale

Il centro di un gruppo V `e definito come l’insieme degli elementi H del gruppo che commutano con tutti gli elementi di V. L’azione della QCD possiede una simmetria per trasformazioni del centro di SU (3), che consiste nel gruppo Z3;

ci`o pu`o essere illustrato facilmente nella formulazione su reticolo.

Si ricorda che le variabili di link sono periodiche lungo la direzione temporale: Uµ(~n, nt+ Nt) = Uµ(~n, nt) . (2.5)

Sotto trasformazione di gauge si ha

U_µ0(~n, nt+ Nt) = G(~n, nt+ Nt)Uµ(~n, nt+ Nt)G−1((~n, nt+ Nt) + ˆµ) . (2.6)

In generale invece, G(n) non `e periodico lungo la direzione temporale:

(28)

Fenomenologia della QCD Simmetrie

con H ∈ SU (3). Poich´e il link trasformato deve mantenere la periodicit`a di quello originario, si deve avere

U_µ0(~n, nt+ Nt) = HG(~n, nt)Uµ(~n, nt+ Nt)G−1((~n, nt) + ˆµ) H−1

= HG(n)Uµ(n)G−1(n + ˆµ)H−1

= HU_µ0(~n, nt)H−1 != Uµ(~n, nt) ,

(2.8)

e l’ultima uguaglianza pu`o essere soddisfatta solo se H non `e un elemento generico di SU (3), ma appartiene al suo centro Z3, e dunque commuta con

U (n). In generale dunque H = h 1, con h = ei2πk3 , k = 0, 1, 2. Un caso

particolare di questa simmetria riguarda le trasformazioni in cui tutti i link lungo una fetta temporale di una configurazione vengono moltiplicati per lo stesso elemento di Z3.

La parte di gauge dell’azione `e invariante sotto trasformazione del centro di SU (3), che `e dunque una simmetria esatta anche per la QCD completa nel limite di fermioni con massa infinita.

Si consideri adesso il prodotto di link lungo un loop che si estende attraverso tutta la dimensione temporale, il cosiddetto loop di Polyakov [14]

P ≡ 1 V * X ~ n T r Nt Y nt=1 U4(~n, nt) + ≡ 1 V X ~ n hP (~n)i . (2.9) Si pu`o verificare facilmente che un tale prodotto non `e invariante sotto queste trasformazioni, a meno di non essere nullo. La presenza di un loop di Polya-kov non nullo in un sistema rappresenta dunque una rottura spontanea della simmetria centrale.

L’interpretazione fisica di questa rottura di simmetria risiede nel fatto che P `e legato alla differenza di energia libera del sistema in presenza ed in assenza di un quark infinitamente pesante [4]:

P = e−(Fq−F0)/T_. _(2.10)

Nel caso di un loop di Polyakov nullo, l’energia libera di un quark pesante è infinita, e dunque tutti i quark sono confinati, in quanto un’energia infinita è richiesta per rimuovere uno di essi. In alternativa, nel caso P 6= 0, l’energia libera del quark pesante è finita, e ciò comporta la presenza di quark isolati; questo è quanto si osserva nella materia ordinaria, in cui quark liberi non possono essere osservati singolarmente, ma sono confinati nei barioni e nei mesoni. La comparsa in un sistema di un loop di Polyakov non nullo, invece, sarebbe indice di uno stato della materia in cui i quark non sono più confinati all’interno degli adroni.

La situazione `e diversa se si introducono quark dinamici, ovvero nel caso della QCD completa con fermioni di massa finita. Ripetendo lo stesso ragionamento

(29)

di periodicit`a, i campi fermionici devono soddisfare condizioni antiperiodiche lungo la direzione temporale, al fine di garantire il principio di Pauli:

ψ(~n, nt+ Nt) = −ψ(~n, Nt) . (2.11)

Sotto trasformazione di gauge,

ψ0(~n, nt+ Nt) = G(~n, nt+ Nt)ψ(~n, nt+ Nt)

= −HG(~n, nt)ψ(~n, nt)

= −Hψ0(~n, nt) ,

(2.12)

e dunque il campo fermionico trasformato soddisfa la condizione di antiperiodi-cit`a solo se H = 1. Di conseguenza, la simmetria Z3`e rotta esplicitamente per

la QCD completa con fermioni di massa finita; la presenza di quark dinamici causa Fq < ∞, e si pu`o avere P 6= 0 anche nella fase confinata. Analogamente,

dal punto di vista della Lagrangiana, la presenza del determinante fermionico nella QCD rappresenta una rottura esplicita della simmetria centrale.

2.2 Transizioni di fase

La formulazione su reticolo della QCD rappresenta un importante strumento nell’analisi delle proprietà della teoria, sia in quanto permette un approccio non perturbativo, sia per la possibilità di utilizzo di metodi numerici. Tali procedure si basano sui metodi Monte Carlo, utilizzando appositi algoritmi per generare catene di Markov da cui estrarre risultati come funzioni di cor-relazione e valori medi di quantità su reticolo. Queste simulazioni numeriche hanno permesso di osservare degli importanti risultati della QCD: al variare della temperatura, la LQCD predice l’esistenza di due transizioni di fase, in corrispondenza del ripristino o della rottura spontanea delle due simmetrie precendenti.

Mentre a temperature basse la simmetria chirale `e rotta spontaneamente, su-perata una certa temperatura critica Tc avviene un ripristino della simmetria,

con conseguenti effetti sullo spettro adronico; il condensato chirale rappresen-ta un possibile parametro d’ordine per la transizione, passando da ψψ 6= 0¯ nella fase rotta a ψψ ≈ 0 sopra il punto critico.¯

Nel caso della simmetria centrale invece, mentre a basse temperature quark e gluoni sono confinati all’interno degli adroni, all’aumentare della temperatura si osserva la rottura spontanea della simmetria, con il passaggio della materia ad una nuova fase, in cui tali particelle elementari sono libere di muoversi. La LQCD prevede dunque l’esistenza di uno stato deconfinato di plasma, che prende il nome di plasma di quark e gluoni (QGP, quark-gluon plasma). Il loop di Polyakov P `e una delle possibili osservabili che possono essere utiliz-zate per individuare l’avvenuto deconfinamento. Nel limite T → 0, P diventa

(30)

Fenomenologia della QCD Transizioni di fase

nullo, in corrispondenza della fase confinata e simmetrica; per T → ∞, invece, l’accoppiamento di gauge tende a 0, i link si avvicinano alla matrice identit`a e, di conseguenza, si ha P → 1, con la comparsa di pi`u ground state degeneri e la rottura della simmetria centrale.

Nel corso degli anni, numerosi studi sono stati rivolti ad un’analisi sempre più dettagliata di tali fenomeni, permettendo di arrivare all’identificazione di possibili diagrammi di fase, che riassumono il comportamento della QCD al variare della temperatura T del sistema e della densità di materia, o il poten-ziale chimico dei quark µ (si veda ad esempio [24]). Nel caso di densità nulla µ = 0, che è la situazione considerata in questa tesi, è possibile analizzare il comportamento del sistema al variare delle masse dei 2+1 fermioni, che in una simulazione numerica rappresentano gli altri parametri della teoria; il risultato è contenuto nel Columbia plot, di cui una possibilità è riportata in Figura 2.1. Il Columbia plot permette di rappresentare schematicamente il comportamen-to del sistema al variare dei parametri.

Nell’angolo in alto a destra, ad esempio, tutti i quark hanno massa infinita, e la teoria si riduce alla pura gauge SU (3), in cui la simmetria centrale Z3

`e spontaneamente rotta ad alte temperature, risultando in una transizione di fase del primo ordine.

L’angolo opposto, in basso a sinistra, corrisponde a fermioni di massa nulla in cui la simmetria chirale SU (3) di flavour `e rotta spontaneamente a basse temperature.

Nella regione centrale, invece, la presenza di fermioni di massa finita (`e il caso dei quark fisici) rompe esplicitamente entrambe le simmetrie, e le transizioni di fase si riducono a dei crossover analitici all’aumentare di T. In un cros-sover, come avviene ad esempio nella transizione acqua-vapore, l’utilizzo di quantit`a diverse per individuare il punto critico Tcporta a risultati diversi. In

letteratura si possono osservare discrepanze tra i risultati numerici ottenuti da diversi gruppi (si veda ad esempio [13, 32]); al momento attuale, per la QCD con fermioni fisici l’accordo raggiunto `e che le due transizioni di fase avvenga-no approssimativamente alla stessa temperatura critica Tc∼ 155 MeV. D’ora

in poi dunque nel parlare di simulazioni numeriche ci si riferir`a ad entrambe chiamandole semplicemente ”la transizione”.

2.2.1 Situazione sperimentale

Di pari passo con le simulazioni numeriche, anche degli studi sperimentali so-no stati rivolti ad analizzare i vari feso-nomeni della teoria, utilizzando procedure adeguate per investigare il regime di alte energie e confermare l’esistenza delle transizioni di fase. Ci`o fornirebbe informazioni di grande importanza non solo limitate alla teoria delle interazioni tra particelle, ma anche in campo astro-fisico. Si ritiene infatti che nelle prime fase di vita dell’Universo (si veda ad

(31)

Figura 2.1: Un possibile Columbia plot a densit`a nulla; figura da [25]

esempio [17]) si sarebbero verificate le condizioni tali perch´e la materia si tro-vasse nella fase di plasma di quark e gluoni; nella successiva espansione e con il raffreddamento, si sarebbe arrivati in seguito alla formazione della materia adronica. Uno studio sperimentale del QGP potrebbe dunque fornire informa-zioni dirette sullo stato dell’Universo all’inizio della sua evoluzione.

Per riuscire a riprodurre le condizioni necessarie al deconfinamento e al ripristi-no della simmetria chirale in laboratorio, è possibile utilizzare dei collisori come il LHC o il RHIC [18]; ioni pesanti, come nuclei di oro e piombo, vengono accele-rati ad alte energie e fatti collidere. Il processo può essere modellizzato schema-ticamente come segue (si veda ad esempio [19]): in seguito all’urto tra i nuclei, si viene a generare una regione calda, chiamata fireball, contenente il plasma di quark e gluoni, circondata dall’esterno freddo. Questo plasma si comporta co-me un fluido a bassa viscosità, e la sua evoluzione può essere descritta utilizzan-do modelli idrodinamici. Dopo una fase di termalizzazione e il raggiungimento di un equilibrio termico locale, la fireball si espande raffreddandosi; una volta che la temperatura è scesa sotto un certo punto, si arriva infine alla formazione di adroni. Una stima del volume deconfinato prodotto in una collisione cen-trale al RHIC [3, 18] è π × (0.6 × rAu)2× c × (texp) = (55f m2) × (qualche f m),

con rAu il raggio del nucleo dell’oro, texp il tempo di espansione e c la velocit`a

della luce.

Una volta avvenuta la collisione, la verifica dell’avvenuta produzione del QGP rappresenta un’ulteriore difficoltà, in quanto è necessario riuscire ad individua-re dei segnali univoci, ad esempio particolari comportamenti delle particelle emesse o che lo attraversano, che non si verificherebbero in caso di un urto semplice [20, 21]. Ad esempio, un possibile segnale è dato dall’osservazione

(32)

Fenomenologia della QCD Il problema delle condizioni al bordo

del jet quenching, in cui la presenza del plasma di quark e gluoni attenua i jet emessi dalle collisioni. Altre possibili osservazioni sperimentali possono essere ottenute, ad esempio, dai quark pesanti, come il charm o il bottom; tali par-ticelle, infatti, vengono create nei primi istanti della collisione, ed in seguito interagiscono con il QGP.

2.3 Il problema delle condizioni al bordo

Nella situazione ottenibile in laboratorio, la fireball che viene prodotta in se-guito all’urto ha un’estensione spaziale limitata, con la zona deconfinata cir-condata da una regione esterna fredda, nella fase confinata. Lo studio [3] ha sollevato la questione sull’adeguatezza delle condizioni al bordo utilizzate nelle simulazioni numeriche per rappresentare tale situazione: per minimizzare gli effetti dovuti alle dimensioni finite del reticolo, infatti, gli studi numerici della QCD fanno solitamente uso di condizioni periodiche ai bordi del reticolo, che per`o non possono tenere conto della presenza della regione esterna fredda, ed appaiono poco adatte a riprodurre il volume finito della fireball. Ci si riferisce qui solamente alle condizioni ai bordi spaziali del reticolo; sul lato temporale tale problema non si pone, con le condizioni che sono state fissate periodiche per le motivazioni e nelle modalit`a descritte in precedenza.

Gli autori hanno quindi introdotto delle nuove condizioni ai bordi, fisicamente pi`u realistiche, di cui un tipo, denominato disorder wall, `e stato utilizzato in simulazioni numeriche di pura gauge SU (3), al fine di analizzarne gli effetti sulla transizione di fase.

2.3.1 Disorder wall

Per poter rappresentare la situazione sperimentale della fireball in una simu-lazione numerica `e necessario dividere il reticolo in due zone a temperatura diversa. Sia Nt la lunghezza temporale del reticolo, e V = Ns3 il suo volume

spaziale; le condizioni al bordo globali possono essere scelte periodiche. Al-l’interno di V si va a separare una regione interna V0 = Ns30, che rappresenta

la regione deconfinata, dal suo complemento V1 = Ns31, che corrisponde

all’e-sterno freddo. Poich´e per Nt fissato la temperatura su reticolo `e determinata

dal lattice spacing a attraverso la sua dipendenza da β, le due zone devono essere caratterizzate da diversi valori della costante di accoppiamento, indicati rispettivamente come β0 e β1. Per convenzione, i prodotti di link che toccano

un sito di V1 sono considerati come facenti parte della zona esterna. Questa

costruzione prende il nome di disorder wall.

(33)

1012 K per la regione deconfinata e T1 = 300 K per l’esterno. Si ha T0 T1 = 1.86 × 10 12 300 = a1 a0 ≈ 1010 _(2.13)

In [3] `e stato mostrato che dal punto di vista pratico la temperatura esterna `e, in termini di quella interna, cos`ı piccola da poterla considerare nulla; dunque `

e possibile riprodurre quella situazione ponendo β1 = 0 indipendentemente da

β0 nel range di valori analizzato.

Questo permette un metodo ”economico” di implementare il disorder wall in una simulazione di pura gauge: `e possibile limitarsi infatti a considerare la regione interna N_s3

0 × Nt, con parametro β = β0, e omettendo tutti i prodotti

di link (plaquette, staple...) che superano i bordi spaziali di tale reticolo. Per T1 = 0, infatti, i link esterni assumono valori random, e si pu`o verificare che

tutta la zona fredda risulta ininfluente ai termini dell’evoluzione del sistema. In questo modo, non `e necessario includere nella simulazione i siti del reticolo corrispondenti alla regione esterna.

2.3.2 Risultati

Attraverso simulazioni numeriche, è stato osservato che utilizzando queste nuo-ve condizioni il sistema mantiene una transizione di fase del primo ordine, ma in cui il punto critico è spostato a temperature più alte rispetto al caso perio-dico. I valori pseudo-critici della costante di accoppiamento β sono riportati in Figura 2.2a in funzione delle dimensioni del reticolo; è ipotizzato che in presenza del disorder wall βc dipenda da Ns attraverso una relazione del tipo

βc(Nτ, Ns) = βcperiodic(Nτ) + a1 Nτ Ns + a2 Nτ Ns 2 + a3 Nτ Ns 3 . (2.14)

Si può osservare inoltre come il punto critico in presenza del disorder wall ten-da al risultato periodico nel limite di volume infinito; d’altra parte, è già stato sottolineato l’utilizzo delle condizioni periodiche per ridurre gli effetti dovuti alle dimensioni finite, e per raggiungere il limite di volume infinito anche per valori più piccoli di Ns.

Riportando in unità fisiche, in Figura 2.2b si può notare l’entità della correzione alla temperatura critica Tc del sistema al variare della sua estensione spaziale,

espressa in fermi. Nel range di dimensioni considerate, corrispondenti ai vo-lumi tipici creati in collisioni al RHIC, `e sempre presente una correzione non nulla dovuta al volume finito, che causa un aumento della temperatura critica effettiva di deconfinamento tra il ∼ 5% e il 20% rispetto al valore periodico; altri effetti osservati includono un aumento della larghezza di transizione.

(34)

Fenomenologia della QCD Condizioni al bordo per fermioni 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 βg pt Nτ/Ns Q=0.78 Q=0.79 Q=0.86 Nτ=6 disorder wall Nτ=4 disorder wall Nτ=4 periodic BCs (a) 170 180 190 200 210 220 4 5 6 7 8 9 10 11 Tc [MeV] Ls [fermi] Nτ=6 disorder wall Nτ=4 disorder wall Nτ=6 periodic BCs Nτ=4 periodic BCs (b)

Figura 2.2: Effetti di volume finito con il disorder wall, in funzione delle dimensioni del sistema; figure da [3]

2.4 Condizioni al bordo per fermioni

L’estensione di questa discussione al caso della QCD con quark introduce delle difficolt`a aggiuntive. Mentre per la pura gauge imporre β1 = 0 nella zona

esterna permette di rappresentare un esterno a T = 0, eliminando i contributi dei relativi termini nell’azione e nell’evoluzione del sistema, e senza di fatto dover includere tale regione nel reticolo, ciò non è possibile per i fermioni. Que-sto può essere verificato dal fatto che nell’azione e nelle equazioni di dinamica molecolare (eq. A.25) che determinano l’evoluzione della configurazione i link esterni sono contenuti adesso anche attraverso la matrice fermionica: questi termini non contengono β, e dunque non si annullano per β1 = 0. D’altra

par-te, la dipendenza non banale da β delle masse dei quark lungo la linea fisica pone il problema della determinazione dei diversi parametri da utilizzare per le due regioni. La diretta applicazione del disorder wall ai fermioni non pu`o quindi non includere effettivamente nel reticolo anche una zona esterna, come invece era possibile per la pura gauge; richiedendo inoltre che, per eliminare gli effetti della periodicit`a del reticolo complessivo, si debba avere Ns1 Ns0,

si ha come conseguenza un notevole incremento nel costo numerico rispetto alle simulazioni con condizioni periodiche, anche per le dimensioni pi`u piccole dei reticoli interni.

Per questo motivo, allo scopo di effettuare uno studio esplorativo degli effetti di volume finito su un range più ampio di reticoli, si è preferito introdurre del-le nuove condizioni al bordo per approssimare la situazione soerimentadel-le della fireball, che risultassero più economiche rispetto al disorder wall con fermioni.

(35)

2.4.1 Bordi aperti e random

Con l’obiettivo di ridurre il costo numerico richiesto dal disorder wall, si sono qui volute considerare costruzioni che permettessero di includere nella simu-lazione numerica solamente la regione interna, ovvero utilizzando reticoli di volume V = V0; si `e quindi cercato di approssimare la presenza dell’esterno

freddo e del volume finito attraverso adeguate condizioni ai bordi. In questo modo, anche il problema delle diverse masse tra interno ed esterno `e stato evitato.

La prima osservazione `e stata che per la parte di pura gauge, un effetto equi-valente all’imposizione di β1 = 0 nella zona esterna `e ottenibile annullando le

variabili di link che superano i bordi spaziali del reticolo; questa operazione consente infatti di annullare automaticamente tutti i prodotti di link (pla-quette, staple, rettangoli) con un fattore β1 per le parti di gauge di azione ed

evoluzione della configurazione. Si pu`o inoltre verificare (eq. A.25) che un link nullo rimane inalterato durante l’evoluzione di dinamica molecolare della configurazione.

Per la parte fermionica, tuttavia, tale operazione comporta l’annullamento di alcuni termini non diagonali nell’operatore di Dirac, corrispondenti ai link di collegamento tra interno ed esterno. Un possibile modo per reintrodurre tali termini è quello di utilizzare matrici random di SU (3) al posto dei link nulli nella costruzione dell’operatore di Dirac. L’utilizzo di matrici casuali per rap-presentare la zona esterna è facilmente giustificabile per il caso di pura gauge, in cui per temperatura T ≈ 0 i valori assunti dai link in tale regione sono essen-zialmente random. La giustificazione non è invece cos`ı immediata includendo di fermioni, a causa della presenza del determinante fermionico nella funzio-ne di partiziofunzio-ne. Intuitivamente, tuttavia, si può pensare che nella regione esterna, a causa della bassa temperatura, le masse dei fermioni sono molto più grandi rispetto all’interno, aumentando il contributo della parte proporzionale all’identità nell’operatore di Dirac, e riducendo effettivamente il peso del de-terminante fermionico.

Sulla base di queste osservazioni, la procedura seguita `e stata quindi quella di analizzare configurazioni di gauge su dei reticoli di dimensioni N_s3

0 × Nt,

per cui si aveva Uµ(n) = 0 nel superare i bordi spaziali, ed estraendo elementi

causali di SU (3) da utilizzare al posto di tali link nel calcolo degli elementi della matrice di Dirac. Questo tipo di costruzione `e denominato nelle sezioni seguenti bordi random.

I bordi random sono stati inseriti in un codice gi`a esistente, che implementava un algoritmo RHMC [26, 27] per fermioni staggered con condizioni periodiche ai bordi. Nella fase iniziale della simulazione viene estratta una configurazione di gauge avente Uµ(n) = 0 attraverso i bordi spaziali. All’inizio di ogni

tra-iettoria, vengono estratte delle matrici casuali aggiuntive, che sono salvate a parte e vengono sostituite ai link nulli ogni volta che `e richiesto l’utilizzo della

(36)

Fenomenologia della QCD Condizioni al bordo per fermioni

matrice fermionica; terminata tale necessità, si reintroducono i link nulli. Il codice implementa anche una procedura di stout-smearing [22]; in questo caso, la convenzione scelta è stata quella di annullare anche qui tutti i contributi che superassero i bordi spaziali del reticolo, al fine di non introdurre effetti di periodicità.

Oltre ai bordi random, `e stata analizzata anche una procedura alternativa, corrispondente a porre Uµ(n) = 0 attraverso i bordi spaziali, senza per`o

rein-trodurre le matrici random nell’operatore di Dirac. In questo modo, si elimi-nano dall’azione e dalle equazioni che regolano l’evoluzione tutti i contributi da termini che superano i bordi spaziali del reticolo. Ci si riferisce a questa implementazione come condizioni aperte. Il costo numerico in questo caso `e leggermente inferiore rispetto ai bordi random, non richiedendo l’estrazione di matrici aggiuntive e lo scambio dei link ai bordi ad ogni utilizzo dell’operatore di Dirac. Un confronto tra le due costruzioni ha permesso quindi di analizzare gli effetti dell’annullamento dei termini aggiuntivi nella matrice fermionica.

(37)

Risultati numerici

Si riportano di seguito i dettagli e i risultati delle simulazioni numeriche effet-tuate utilizzando le diverse condizioni ai bordi spaziali.

Il codice utilizzato per le simulazioni implementa un codice RHMC [26, 27, 28, 29] per fermioni staggered per generare un campione di configurazioni su cui calcolare i valori medi. Per la costruzione degli operatori fermionici sono stati effettuati 2 step di stout-smearing [22] sui link, con parametro isotropo di smearing ρ = 0.15. All’interno di tale codice sono state implementate le condizioni al bordo discusse nella sezione precedente. Maggiori dettagli sugli algoritmi utilizzati nel codice sono riportati in Appendice.

Le simulazioni numeriche sono state effettuate su GPU, localizzate nel Centro di Calcolo Scientifico INFN di Pisa e nel cluster QUONG a Roma.

3.1 Pura gauge e verifiche

Come primo obiettivo `e stato considerato il caso della teoria di pura gauge SU (3), per verificare che le nuove condizioni al bordo potessero riprodurre risultati in accordo con quelli in [3] prima di procedere al loro utilizzo con i quark fisici. Ci si aspetta infatti che, in assenza di fermioni, il disorder wall e le due costruzioni proposte in questa tesi siano equivalenti da un punto di vista numerico. Ci`o ha permesso inoltre di testare che l’implementazione delle nuove condizioni non introducesse problemi all’interno del codice.

3.1.1 Osservabili e impostazione numerica

Per il caso di pura gauge le implementazioni nel codice di condizioni aperte e bordi random sono equivalenti, differendo solo nella parte relativa ai fermioni. Ci si riferisce dunque qui complessivamente ad entrambe le costruzioni sem-plicemente come ”condizioni aperte”.

(38)

Risultati numerici Pura gauge e verifiche

con Nt= 4, 6 e facendo variare Ns in maniera tale da mantenere l’aspect ratio

R = Ns/Nt compreso tra 3 e 8.

Per consentire un diretto confronto con i risultati in [3], per la parte di pura gauge `e stata utilizzata l’azione di Wilson,

S_gW = β 3

X

n,µ<ν

Re T r(W_µν1×1(n)) . (3.1)

Per ogni reticolo, la temperatura `e stata fatta variare cambiando il valore della costante di accoppiamento β; per ogni punto di simulazione sono state effet-tuate tra 10000 e 20000 traiettorie MC, scartando le prime 2000 dal campione finale per permettere la termalizzazione del sistema. Per le varie misure ef-fettuate, gli errori statistici sono stati stimati tramite tecniche di blocking e ricampionamento.

Per confronto, delle simulazioni aggiuntive sono state effettuate utilizzando reticoli con condizioni periodiche ai bordi; in questo caso, al variare di Nt `e

stato scelto Ns in modo da avere aspect ratio fissato Ns/Nt= 4.

La transizione di fase `e stata studiata attraverso il loop di Polyakov non rinormalizzato, che sul reticolo `e definito come

P = 1 V * X ~ n Tr Nt Y nt=1 U4(~n, nt) + (3.2) In Figura 3.1 `e riportata l’evoluzione del loop di Polyakov nel corso di una simulazione, per diversi valori di β. Prima del punto critico, Figura 3.1a, P oscilla intorno a valori prossimi allo zero, in corrispondenza dunque della fase confinata; analogamente, nella fase deconfinata Figura 3.1c, P assume valore medio diverso da zero. In prossimit`a di βc, il parametro d’ordine nella sua

evoluzione compie dei salti, passando da valori ≈ 0 a 6= 0, come in Figura 3.1b. Ci`o causa la presenza intorno al punto critico di picchi nella suscettivit`a del loop di Polyakov [30],

χP = V h|P2|i − h|P |i2, (3.3)

rendendo possibile l’utilizzo di questa quantit`a per stimare βc.

Intorno al picco, per volume finito la suscettivit`a pu`o essere descritta attraverso una funzione lorentziana,

χP(β) =

A B2_{+ (β − β}

c)2

(3.4) I valori dei tre parametri A, B e βc sono stati ottenuti attraverso un fit della

curva con i dati delle simulazioni, ottenendo delle stime del punto critico e del valore del massimo della suscettivit`a χmax_P (Figura 3.2b). Gli errori su tali stime sono stati ottenuti facendo variare il range di dati considerati, o variando la funzione di fit (es. parabola).

(39)

(a)

(b)

(c)

Figura 3.1: Evoluzione del loop di Polyakov nel tempo di simulazione per diversi valori di β su un reticolo 183× 6

(40)

Risultati numerici Pura gauge e verifiche

3.1.2 Risultati e analisi

In Tabella 3.1 sono riportate le stime del punto critico βc e del massimo di χp

ottenute con condizioni aperte; i relativi risultati per le condizioni periodiche sono riportati in Tabella 3.2. Confrontando i risultati di Tab. 3.1 e 3.2, si

Nt = 4 Ns βc χmaxP 12 6.0917 (53) 1.76 (47) 16 5.8472 (17) 1.80 (37) 20 5.7728 (11) 3.05 (49) 24 5.7426 (14) 3.93 (53) 32 5.7177 (10) 7.90 (71) Nt = 6 Ns βc χmaxP 18 6.4963 (46) 2.17 (26) 20 6.2979 (94) 1.82 (41) 24 6.0770 (63) 1.89 (53) 28 6.0100 (22) 2.12 (60) 32 5.9792 (23) 2.67 (51)

Tabella 3.1: Valori pseudo-critici βcdella costante di accoppiamento e massimi

della suscettivit`a χmax_P per reticoli con condizioni aperte ai bordi spaziali

Nt = 4 Ns βc χmaxP 16 5.6914 (9) 7.64 (41) Nt = 6 Ns βc χmaxP 24 5.8915 (2) 5.81 (48)

Tabella 3.2: Valori pseudo-critici della costante di accoppiamento e massimi della suscettivit`a per reticoli con condizioni periodiche ai bordi

pu`o osservare come in presenza di condizioni aperte il punto critico si sposti a valori di β pi`u grandi. Ipotizzando come in [3] una correzione polinomiale della forma βc(Nτ, Ns) = βcperiodic(Nτ) + a1 Nτ Ns + a2 N_τ Ns 2 + a3 N_τ Ns 3 (3.5)