Analisi del potenziale semiotico

Per rispondere alle domande di ricerca, effettuer`o un’analisi a priori del potenziale se- miotico dell’artefatto nelle varie fasi del percorso descritte in precedenza. In particolare evidenzier`o i significati situati che hanno il potenziale di evolversi in significati matema- tici inerenti al sapere che intendiamo mediare attraverso l’uso dell’artefatto, in relazione alla consegna assegnata.

Fase 1.1 3

Il fatto che nella scatola siano presenti nastri di colori e spessori diversi pu`o suggerire agli studenti di considerare la lunghezza come unica caratteristica rilevante: in questo caso, essa assume quindi il ruolo di quantit`a, nel senso del measurement approach. Per favorire questo, l’insegnante porta l’attenzione degli studenti alla “lunghezza“ nominan- dola due volte durante la consegna.

L’ulteriore possibilit`a di confrontare la lunghezza degli oggetti nella scatola con il modulo A (che `e fatto di un materiale diverso) dovrebbe suggerire che il modulo A rap- presenti un riferimento per la lunghezza, cio`e l’unit`a di misura, indicata dalla lettera A. Questo in particolare `e favorito anche dall’aver apposto la lettera A sulla scatola che contiene i nastri (ma non il modulo A stesso).

La richiesta di tagliare alcuni pezzi a partire dai nastri di lunghezza A dovrebbe permettere di mantenere il collegamento tra le lunghezze delle parti e la lunghezza del- l’intero da cui provengono.

La consegna pone come vincolo l’uguaglianza delle parti ottenute. Attraverso il con- fronto tra i pezzi, che pu`o essere stimolato anche dall’insegnante, ed eventuali errori nel taglio dei nastri, gli studenti possono porre l’attenzione sul fatto che tagliare il numero corretto di pezzi non `e sufficiente a soddisfare la consegna, suggerendo quindi di concen- trarsi sulla relazione tra le lunghezze delle parti tagliate.

In questa prima fase, ci si aspetta che gli studenti utilizzino segni situati, facendo riferimento ai nastri. Tuttavia l’insegnante pu`o fare attenzione alla comparsa di segni che fanno riferimento a “l’intero A” o al “modulo A”.

`

E possibile che, confrontando i pezzi ottenuti tra i vari gruppi, gli studenti cominci- no a osservare la relazione inversa tra il numero delle parti e la loro lunghezza; questa osservazione pu`o essere usata successivamente per introdurre la proporzionalit`a inversa tra il denominatore e la grandezza della frazione.

Fase 2.2 4

Con la richiesta di ricostruire l’intero intendo porre l’attenzione sul numero di pezzi da considerare. Il collegamento tra il denominatore della frazione e il numero di parti necessarie per ricostruire l’intero potrebbe essere immediato grazie alla scrittura simbo- lica 1₂A e 1₃A o alla denominazione “di due (tre) parti dell’intero A, una”.

Il modulo A sempre a disposizione dovrebbe consentire di identificare la sua lunghezza come unit`a di misura di riferimento, cio`e l’intero. Gli studenti possono “misurare” le singole frazioni sul modulo per stabilire quanti ne servono a priori, oppure ricostruire la lunghezza affiancandola a quella del modulo A. Gesti di questo tipo potrebbero aiutare gli studenti a generalizzare il collegamento tra il denominatore e il numero di pezzi ne- cessari per ricomporre l’intero.

Si prevede che la ricomposizione dell’intero con pezzi misti non sar`a immediata. I gruppi si troveranno con due (o tre) pezzi che corrispondono alla quantit`a necessaria per costruire l’intero, ma sono di tipo diverso. Questo dovrebbe portare gli studenti a interrogarsi sulla legittimit`a della ricostruzione. Perch´e questo passaggio possa essere ultimato i gruppi dovranno considerare i pezzi equivalenti al fine dell’attivit`a, cio`e do- vranno considerarli solo in relazione alla loro lunghezza.

Con la proposta di ricostruire l’intero in modi diversi al termine dell’attivit`a, si in- tende consolidare l’equivalenza tra cannucce e nastri della stessa lunghezza.

Questa attivit`a, in congiunzione ai continui riferimenti dell’insegnante potrebbe por- tare alcuni studenti a modificare il linguaggio. Potrebbe avvenire il passaggio da par- ti/pezzi/frazioni del nastro a parti/pezzi/frazioni di A.

Fase 2.3 5

Dato che nella consegna viene sottolineato esplicitamente che gli oggetti devono avere la lunghezza “giusta”, gli studenti dovrebbero riflettere su questo aspetto. La presenza delle lettere B o C nelle stesse posizioni della lettera A e i moduli sul tavolo dovrebbero indurre gli studenti a creare un’analogia con A e con le frazioni di A. Dovrebbero sosti- tuire la lunghezza A con le lunghezze B o C e ricostruire le frazioni in maniera analoga a quanto fatto nella prima attivit`a. La lettura delle frazioni dal basso verso l’alto, che ripercorre il processo di costruzione delle frazioni, dovrebbe contribuire alla ricostruzione del processo e a identificare il ruolo delle varie parti nella scrittura simbolica.

Se gli studenti decidono di tagliare una striscia di nastro lunga B e poi dividerla nelle parti indicate, dovranno scindere il modulo fisico e la sua lunghezza, dato che il nastro non potr`a mai essere uguale a un modulo di cartone, ma pu`o avere lunghezza uguale. Successivamente devono identificare il denominatore (o il modo di leggere il simbolo matematico) della frazione con il numero di parti da ottenere. In questo caso la

4

Descritta nel paragrafo 7.3.2

lunghezza giusta si ottiene solo a posteriori del processo di costruzione della frazione. Se gli studenti divideranno l’unit`a di misura usando il modulo, le considerazioni sulla lunghezza cercata verranno fatte a priori. In questo caso la frazione si relaziona all’intero solo attraverso la misura dato che non viene mai tagliato un nastro della lunghezza dell’intero.

Il posizionamento dello zero 6

L’atto pratico di posizionare lo zero e la riflessione sul fatto che il piatto deve essere vuoto dovrebbero creare il collegamento tra lo zero e il peso nullo.

Con il posizionamento dello zero potrebbe emergere il primo parallelismo tra il braccio della stadera e la retta dei numeri.

Fase 3.1 7

Le pesature degli oggetti con la stadera dovrebbero portare gli studenti a collegare le variazioni di peso con le variazioni di lunghezza. La monotonia della legge della leva permette di aumentare la lunghezza del braccio all’aumentare la pesantezza dell’oggetto sul piatto.

In particolare:

- la pesatura della mela offre un esempio di diminuzione di lunghezza a fronte di una diminuzione del peso. La diminuzione del peso dovrebbe essere piuttosto intuitiva e data dal fatto che una parte della mela viene tolta. I corrispondenti segni sul braccio permettono di confrontare le due distanze dallo zero in modo immediato; - in maniera complementare aggiungere le lenticchie alla busta da pesare dovrebbe

rappresentare, in maniera piuttosto intuitiva, un aumento di peso. I segni sul braccio permettono di confrontare facilmente le distanze dallo zero.

Pur non avendo una conoscenza della legge della leva, gli studenti dovrebbero riuscire a riflettere sulla posizione del romano: pi`u a destra, cio`e pi`u distante dallo zero, significa maggiore, pi`u a sinistra e pi`u vicino allo zero significa minore.

Pur non essendo necessario, `e possibile che dalla relazione tra la vicinanza allo zero e la grandezza del peso emerga esplicitamente il parallelismo tra la retta dei numeri e il braccio della stadera.

Se gli studenti propongono di allungare il braccio della stadera per aumentarne la portata, si pu`o creare un altro possibile parallelismo tra il braccio e la retta dei numeri. Il braccio della bilancia, `e fisicamente finito e permette alla stadera di pesare solo alcuni oggetti; il disegno della retta dei numeri nella sua rappresentazione sul quaderno `e finito,

ma potrebbe essere allungato per ospitare numeri maggiori.

La scheda da tagliare e incollare dovrebbe aiutare a identificare le parti della stadera a cui `e necessario fare attenzione. L’oggetto fisico `e molto pi`u complesso. I pezzi da rita- gliare corrispondono agli elementi che favoriscono il collegamento con la retta. In questo modo lo zero dovrebbe assumere ancora pi`u importanza. Il braccio viene rappresentato il pi`u possibile come una linea.

Ho ipotizzato che, rispondendo alla domanda sul quaderno, gli studenti producano un disegno come quello dell’immagine 7.12 da cui si nota la relazione tra la distanza dallo zero e il peso dell’oggetto sul piatto.

Figura 7.12: Il possibile disegno degli studenti

L’assenza delle tacche predefinite sul braccio impedisce agli studenti di contare le tacche come se fosse un insieme discreto. La quantit`a peso, come la quantit`a lunghezza, `e continua e si possono pesare quantit`a piccole a piacere o fare segni sul braccio molto vicini tra loro.

In questa parte dell’attivit`a non `e necessario, pur essendo possibile, che si stabilisca una proporzionalit`a tra i pesi e le lunghezze. La pesatura dei due pennarelli offre un esempio di maggiore e minore, ma attraverso la tacca 2P , permette anche di iniziare ad affiancare un numero alle lettere che rappresentano la misura delle quantit`a peso. Non `e impossibile che alcuni studenti notino che la distanza dallo zero della tacca 2P `e doppia di quella P . Questa osservazione potr`a essere approfondita nella fase successiva. Fase 3.2 8

L’intento di questa consegna `e sfruttare la linearit`a del principio della leva per creare la corrispondenza tra le misurazioni delle quantit`a peso e quelle della quantit`a lunghezza.

Una formulazione precisa del principio della leva `e fuori dalla portata di studenti della classe terza primaria; tuttavia, la relazione intuitiva pu`o essere inferita dagli studenti, riproponendo peraltro l’evoluzione storica dell’utilizzo della stadera.

Applicando la prima strategia gli studenti utilizzano l’unit`a di misura della quantit`a peso come se fosse una lunghezza: il segno che dimezza la lunghezza `e precedente a qualunque attivit`a con i legumi.

Applicando la seconda strategia, il collegamento tra le frazioni delle quantit`a peso e le frazioni delle quantit`a lunghezze avviene a posteriori: i due sacchetti ottenuti dividendo il sacchetto di peso R avranno la tacca che corrisponde al punto medio tra R e 0. In ogni caso, sfruttando l’analogia tra il braccio e la retta dei numeri, la stadera dovreb- be portare gli studenti a riportare la frazione come parte-tutto nel punto medio tra 0 e l’unit`a di misura R.

Nella parte iniziale dell’attivit`a R pu`o essere riportato all’iniziale della parola “riso”, ma successivamente la frazione 1₂R deve indicare anche il peso dei sacchetti di altri ce- reali o legumi: la scrittura 1₂R indicher`a il peso dei vari sacchetti ottenuti dagli studenti. In questo modo R non dovrebbe essere solo un’iniziale, ma assumere il ruolo di simbolo matematico che rappresenta l’unit`a di misura.

Attraverso la scheda finale si intende favorire il collegamento tra l’uguaglianza di quantit`a e il punto del braccio. Indipendentemente dal materiale di cui sono fatti gli oggetti, se hanno lo stesso peso, corrispondono allo stesso punto del braccio.