La risposta alle domande di ricerca

Il lavoro di questa tesi ha origine dalle seguenti domande di ricerca:

1. Come pu`o essere progettata una sequenza didattica che propone l’uso di na- stri e della stadera come artefatti attraverso cui iniziare a costruire i significati matematici relativi alla frazione come quantit`a (lunghezza o peso)?

2. Come pu`o essere progettata una sequenza didattica che propone l’uso della stadera come artefatto attraverso cui iniziare a costruire i significati matematici relativi alla frazione come parte-tutto, alla frazione come punto della retta dei numeri, e al passaggio tra tali due significati?

L’analisi a priori, effettuata descrivendo il potenziale semiotico degli artefatti nastro e stadera nelle attivit`a descritte in questo lavoro, mostra che il percorso didattico illustrato in questa tesi permette di iniziare a costruire i significati matematici relativi alla frazione come quantit`a. Rispondendo quindi alla prima domanda di ricerca.

retta dei numeri, e al passaggio tra tali due significati. Rispondendo quindi alla seconda domanda di ricerca.

In particolare, nastri si sono dimostrati un artefatto utile per disegnare un’attivit`a volta a introdurre le frazioni con il significato di parte-tutto, usando la quantit`a lunghez- za.

Ho utilizzato un modulo di cartoncino come riferimento per la lunghezza che rappresenta l’intero. I nastri consentono di misurare, riprodurre e dividere la lunghezza in modo da poter esplorare le prime propriet`a delle frazioni.

La variabilit`a di colori e spessori dei nastri utilizzati mi ha permesso di disegnare le attivit`a in modo che fosse facile identificare la lunghezza come quantit`a da confrontare. Per queste attivit`a ho realizzato una stadera apportando alcune modifiche alla stade- ra storica. In particolare, ho eliminato le tacche dal braccio sostituendole con del nastro adesivo di carta su cui `e possibile scrivere.

La linearit`a della legge della leva mi ha permesso di introdurre, all’interno del per- corso didattico, le frazioni come parte-tutto della quantit`a-peso riportandole su una di- mensione lineare.

Infine, attraverso il parallelismo tra la distanza dallo zero sulla retta e la distanza dallo zero sul braccio della stadera `e stato possibile creare un’analogia tra il posizionamento delle frazioni su quest’ultimo e il posizionamento delle frazioni sulla retta dei numeri.

Capitolo 8

Conclusioni

Questa tesi si inserisce all’interno del progetto PerContare e nasce dalla volont`a di dise- gnare una sequenza didattica inclusiva, volta a introdurre i numeri razionali nella forma di frazioni (a_b con a, b ∈ N, b 6= 0).

La letteratura sulle frazioni offre molti spunti ed evidenzia molte criticit`a. Emerge, in particolare, l’importanza della determinazione della grandezza delle frazioni e del loro posizionamento sulla retta dei numeri. Il lavoro di Davydov e l’applicazione del measu- rement approach sembrano offrire un approccio promettente in questo senso.

In questa tesi mi sono chiesta se i nastri e la stadera fossero artefatti adeguati per disegnare una sequenza didattica che permettesse di applicare gli studi condotti da Da- vydov, e facilitare quindi il posizionamento delle frazioni sulla retta dei numeri da parte di studenti di terza primaria.

Il design delle attivit`a trova il suo fondamento nella Teoria della Mediazione Semio- tica, che permette di veicolare un sapere matematico per mezzo di un artefatto, con la guida di un esperto.

I principi metodologici che sono stati seguiti per la progettazione di questo percorso didattico sono quelli della design based research, che permette di coniugare il disegno di una sequenza didattica con la ricerca, creando un rapporto virtuoso tra le due.

In questa tesi ho descritto la sequenza didattica soffermandomi sulle lezioni fonda- mentali. Gli artefatti utilizzati sono stati dei nastri da pacchi regalo e una stadera. La stadera `e stata appositamente costruita per questo lavoro modificando la stadera di uso comune in modo che non fossero presenti tacche sul braccio.

I nastri vengono utilizzati per introdurre le frazioni come parte-tutto usando la quan- tit`a lunghezza. Le attivit`a sono state strutturate usando l’unit`a di misura (rappresentata da una striscia di cartoncino) come intero. Grazie a questo, tagliando i nastri e confron- tandoli tra loro, gli studenti possono avvicinarsi alle frazioni e al loro confronto.

mette di lavorare con le frazioni come parte-tutto della quantit`a peso e di favorire la transizione dal significato parte-tutto al posizionamento sulla retta dei numeri.

Questa sequenza `e attualmente in fase di sperimentazione, e le considerazioni e le ipotesi avanzate in questa tesi utilizzano gli strumenti di analisi a priori della Teoria della Mediazione Semiotica.

Questa sequenza didattica costituisce solo un’introduzione alle frazioni. Le frazioni, e i numeri razionali in generale, verranno approfonditi negli anni scolastici successivi. Credo che la stadera e i nastri, attraverso una progettazione adeguata, potrebbero essere utili anche per alcuni aspetti della didattica delle frazioni che non sono stati considerati in questa tesi. In particolare, credo che “pesare” la somma di frazioni potrebbe aiutare gli studenti ad avere un modello pratico che consenta di stimare i risultati delle operazioni. Allo stesso modo, verificare l’uguaglianza delle frazioni equivalenti “pesandole” potrebbe aiutare gli studenti a concentrarsi sulla grandezza delle frazioni indipendentemente dalla loro rappresentazione simbolica.

Anche se non `e possibile prevedere le risposte e le reazioni degli studenti, credo che la maggiore criticit`a della sequenza didattica possa derivare dalla risposta degli studenti all’artefatto stadera.

Non `e del tutto scontato che ci sar`a un’analogia con il percorso storico dell’artefatto e che la loro attenzione verr`a focalizzata sulle caratteristiche rilevanti anche non cono- scendo la legge della leva. Il confronto con il peso del romano, per esempio, potrebbe catturare la loro attenzione e creare un ostacolo per lo svolgimento previsto delle attivit`a. Come gi`a detto, il percorso didattico `e in fase di sperimentazione. Solo l’analisi a posteriori del materiale che verr`a raccolto dopo gli interventi in classe consentir`a di va- lutare la sua effettiva efficacia e di fare un’analisi puntuale delle modifiche necessarie, secondo i criteri della design reaserch.

In ogni caso, anche a seguito dei miglioramenti che potranno emergere dall’analisi a posteriori, credo che un percorso didattico che utilizza i nastri e la stadera possa determinare un significativo miglioramento nell’inclusivit`a della didattica delle frazioni rivolta agli studenti della classe terza primaria.

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