Analisi inversa

L’analisi inversa è un metodo che vuole ricostruire la curva a flessione sforzo/apertura di fessura a partire da prove sperimentali che descrivono il comportamento a trazione del materiale. La risposta qualitativa è riportata in Figura 4.24, in cui si distinguono le seguenti fasi:

• un primo tratto elastico lineare fino al valore di sforzo di fessurazione;

• un secondo tratto plastico incrudente, in questa fase il materiale sviluppa una multifessurazione in cui al crescere delle deformazioni lo sforzo continua ad aumentare;

• il terzo ed ultimo tratto è caratterizzato da un ramo discendente, in cui si ha la localizzazione delle deformazioni ed una propagazione instabile della fessura.

Il tratto incrudente è tipico dei calcestruzzi fibrorinforzati ad elevate prestazioni: le aggiunte di fibre ai composti ordinari conferiscono al materiale maggiore tenacità; ciò è permesso dalla loro elevata resistenza e dall’effetto cucente che permette di limitare l’apertura delle fessure, capacità del materiale di sostenere sforzi di trazione, anche dopo l’insorgenza delle fessure. Definito il legame costitutivo calibrato in funzione delle prove DEWS, si è cercato di replicare il risultato delle prove a flessione, verificando l’affidabilità del legame ipotizzato utilizzandolo come input per la costruzione di un diagramma momento curvatura.

Figura 4.24: Curva sforzo/spostamento di un calcestruzzo con capacità incrudente

La definizione del legame costitutivo è un passaggio obbligato per lo svolgimento dell’analisi: in compressione si è ipotizzato un comportamento elastico-perfettamente plastico, con lo sforzo massimo imposto pari alla media dei valori ottenuti dalle prove di schiacciamento dei cubi. A trazione si è considerato un legame incrudente bilineare fino al valore di sforzo massimo, mentre il tratto discendente è stato caratterizzato attraverso una funzione esponenziale. Un esempio grafico del legame costitutivo a trazione è stato riportato in Figura 4.25.

Figura 4.25: Legame costitutivo incrudente alla trazione

I parametri necessari, per la definizione del comportamento in trazione del calcestruzzo fibrorinforzato, sono cinque:

• modulo elastico E;

• sforzo di fessurazione, σfess;

• sforzo di picco, σpicco;

• deformazione al picco, εpicc0;

• deformazione al picco, εult.

Il modulo elastico è stato considerato direttamente dalle curve derivanti dalla flessione mentre i restanti valori sono stati valutati in funzione delle prove sperimentali DEWS.

Le prove DEWS eseguite su campioni con le fibre disposte ortogonali alla fessura sono state le uniche considerate per la calibrazione del legame costitutivo. Esse hanno mostrato un comportamento incrudente dopo la fessurazione, rappresentando al meglio lo stato di sforzo e deformazione del bordo inferiore, Figura 4.26.

Nei seguenti grafici si riportano in nero le curve ottenute dalle prove DEWS con le fibre disposte ortogonalmente rispetto alla fessura, a cui sono state sovrapposte le curve modello in rosso.

La definizione del valore della larghezza di base b, definita lunghezza caratteristica, permette di passare dalla prova di laboratorio alla caratterizzazione dell’elemento reale. Infatti, dalle prove DEWS si è ottenuto un valore di spostamento figlio di una singola fessura, ma per poter passare al campo delle deformazioni è stato necessario dividere per la lunghezza caratteristica, imposta pari alla distanza media delle fessure (Tabella 4.14). Quest’ultime sono state calibrate in funzione dei risultati sperimentali ed utilizzate per la definizione del legame costitutivo a trazione. MIX n° fessure Lunghezza caratteristica [mm] CEMI_SF 7 21.5 CEMI_AF 5 30 CEMIII_SF 7 21.5

Tabella 4.14: Lunghezze caratteristiche

Figura 4.28: Curva modello e prove DEWS incrudenti sul MIX_CEMI_AF

Dai grafici emerge come i campioni contenenti fibre metalliche (MIX 0, MIX 2) hanno manifestato un comportamento simile nonostante il diverso cemento, dimostrando una buona duttilità e valori di sforzo massimo simili. Al contrario, i campioni contenenti fibre amorfe (MIX 1) hanno mostrato un comportamento poco duttile, raggiungendo per deformazioni minori lo sforzo di picco.

Attraverso un codice MATLAB è stato possibile applicare il legame costitutivo ipotizzato e risalire al grafico momento/curvatura. Il tracciamento del grafico è stato effettuato per punti a partire dalla definizione dell’asse della curvatura, determinato come una successione di valori ad intervalli regolari. Nota la curvatura, è possibile determinare il valore di deformazione (𝜀) attraverso la formula:

𝜀 = 𝜒 ∙ 𝑦

Equazione 4.7: Calcolo della deformazione

dove y rappresenta la distanza dall’asse neutro e 𝜒 la curvatura della sezione.

Definito il legame costitutivo e calcolate le deformazioni sezionali, lo sforzo in ogni punto è noto. Tuttavia, i valori calcolati finora dipendono dalla posizione dell’asse neutro, il quale inizialmente è imposto nel baricentro, ma, nella fase di comportamento non lineare questo non è più vero. La posizione reale viene valutata nel codice implementando un ciclo di controllo, in cui ad ogni iterazione viene verificato l’equilibrio sezionale. La convergenza si ottiene quando le forze di compressione e trazione, definite come l’integrale delle distribuzioni di sforzo, risultano essere identiche. Il momento sezionale si calcola come:

𝑀123= 𝐶 ∙ 𝑟

𝑐𝑜𝑛 𝐶 = 𝑇

Equazione 4.8: Calcolo del momento sezionale

in cui r è il braccio della coppia, C è la forza di compressione e T è la forza di trazione. Il passaggio da carico a sforzo è stato valutato come indicato al paragrafo 4.1.

Nella seguente tabella si riportano i valori utili ai fini del confronto, si considera:

• σpicco, m, rappresenta il valore di sforzo medio corrispondente al picco per le prove

sperimentali a flessione;

• CODpicco, m, rappresenta il valore di COD corrispondente al picco per le prove

sperimentali a flessione;

• σpicco, A.I. rappresenta il valore di sforzo corrispondente al picco per le analisi inverse;

MIX Tipo provino σpicco, m [MPa] σpicco, A.I. [MPa] CODpicc0, m [mm]

CODpicco, A.I.

[mm] CEMI_SF Lastrina 24.6 18.9 1.532 1.190 Travetto 16.5 17.4 0.966 0.745 CEMI_AF Lastrina 19.4 19.21 0.566 0.567 Travetto 19.5 19.3 0.454 0.425 CEMIII_SF Lastrina 23.9 20.1 1.221 1.538 Travetto 19.31 20.6 0.842 1.070

Tabella 4.15: Confronto dei risultati sperimentali ottenuti da prove a flessione e analisi inversa

Nei seguenti grafici sono mostrate le curve σ-COD ottenute dalle prove sperimentali e dall’analisi inversa, distinguendo le varie tipologie di composto e geometria del campione. In nero sono riportate le curve delle singole prove sperimentali, in verde la media di esse ed in rosso le analisi computazionali.

Figura 4.31: Grafici sforzo nominale/COD, lastrine MIX_CEMI_SF

Figura 4.33: Grafici sforzo nominale/COD, lastrine MIX_CEMI_AF

Figura 4.35: Grafici sforzo nominale/COD, lastrine MIX_CEMIII_SF

Dai grafici si evince come i campioni contenenti fibre metalliche hanno manifestato un comportamento simile; i risultati dell’analisi inversa dei travetti, riportati per il MIX di riferimento in Figura 4.30 e per il MIX_CEMIII_SF in Figura 4.34, bene approssimano la curva media. Al contrario, per le lastrine, in Figura 4.31 e Figura 4.35, l’analisi inversa ha generato valori inferiori alle prove di laboratorio. I risultati ottenuti sono coerenti con le indagini svolte da Ferrara et al. [29] nel 2011 e Di Prisco et el. nel 2013 [34], i quali hanno studiato gli effetti dell’orientamento delle fibre su travi basse e DEWS, dimostrando che le fibre orientate con la direzione di sforzo di trazione favorivano un tratto incrudente post- fessurazione. Inoltre, gli autori hanno comprovato come un l’allineamento delle fibre e la loro segregazione possano migliorare la resistenza flessionale in provini di piccolo spessore. Le lastrine sono state maggiormente influenzate da questo comportamento, non evidenziato dalle prove di trazione indiretta, dimostrando infatti una resistenza flessionale maggiore. Il confronto dei risultati del MIX con fibre amorfe, Figura 4.32 e Figura 4.33, ha portato ad una quasi perfetta sovrapposizione dei risultati. Si può quindi affermare che le analisi inverse hanno portato ad una previsione più che accettabile in tutti i casi, fatto salvo per il comportamento delle lastrine, giustificabile per quanto scritto in precedenza.