Analisi modale

Nella maggior parte delle strutture, per effettuare uno studio semplice che ne rappresenti il comportamento dinamico, è utile ricondursi ad un sistema a più gradi di libertà ( in casi particolari come ad esempio serbatoi o strutture alte dove la maggior parte del peso è situata nella parte superiore della struttura ci si può ricondurre ad un sistema a 1-gdl). Viene di seguito descritta l’analisi che determina il comportamento dinamico del sistema m-gdl, determinandone cioè le frequenze e i relativi modi di vibrare.

Figura 29 Rappresentazione sistema a 2 gradi di libertà

Inizialmente viene trattato il caso in cui il sistema sia in vibrazioni libere non smorzate, in tal caso l’equazione di equilibrio dinamico è la seguente:

𝑚𝑢̈ + 𝑘𝑢 = 0

Per un sistema m-gdl si ha un insieme di m equazioni (una per piano) descritte in forma matriciale come segue: [ 𝑚₁ 0 ⋯ 0 0 𝑚₂ ⋯ ⋮ 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 𝑚_𝑛] ∙ [ 𝑥₁̈ 𝑥₂̈ ⋯ ⋯ 𝑥_𝑛̈ ] + [ 𝑘₁+ 𝑘₂ −𝑘₂ ⋯ 0 −𝑘₂ 𝑘₂+ 𝑘₃ ⋯ ⋮ 0 −𝑘3 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ −𝑘_𝑛 0 ⋯ −𝑘_𝑛 𝑘_𝑛 ] ∙ [ 𝑥₁ 𝑥₂ ⋯ ⋯ 𝑥_𝑛] = [ 0 0 ⋯ ⋯ 0 ]

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Ipotizzando che lo spostamento sia esprimbile come 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑒^𝑖𝜔𝑡, derivando e raccogliendo in maniera opportuna:

(𝐾 − 𝜔2𝑀)𝑥𝑒^𝑖𝜔𝑡= 0

Poiché l’equazione deve essere soddisfatta per ogni t, diventa:

(𝐾 − 𝜔2𝑀)𝑥 = 0

Dalla risoluzione del problema agli autovalori del sistema matrciale, si ricavano gli m autovalori (𝜔̅₁², 𝜔̅₂², ..) che rappresentano le frequenze circolari naturali del sistema. La più piccola di questa è detta frequenza fondamentale e ad essa è solitamente associato il maggior contributo di massa partecipante. Per ogni autovalore viene poi ricavato il corrispondente autovettore rappresentativo del modo di vibrare della struttura. Raccogliendo autovettori e autovalori in forma matriciale si ottiene: Ω = [ 𝜔̅₁² 0 ⋯ 0 0 𝜔̅₂² ⋯ ⋮ 0 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 𝜔̅_𝑁2] ϕ = [ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ψ₁ ψ₂ ⋯ ψ_𝑟 ψ_𝑁 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ]

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Figura 30 Modi di vibrare di una struttura a 3-gdl

La matrice Ω è univocamente definita mentre le forme modali sopra riportate sono normalizzate, influenzando la loro ampiezza ma non la loro forma. Due generici modi di vibrare ψ_𝑟, ψ_𝑁 sono ortogonali rispetto alla matrice di massa e rigidezza, rispettano cioè le seguenti condizioni di ortogonalità:

𝜓𝑟𝑇𝑀ψ_𝑁 = 0

𝜓𝑟^𝑇𝐾ψ𝑁 = 0

È possibile normalizzare i modi di vibrare rispetto alla matrice delle masse:

ϕ𝑇𝑀ϕ = 𝐼

ϕ^𝑇𝐾ϕ = Ω

Ed essendo 𝑥(𝑡) = ϕu(t) l’equazione di equilibrio dinamico diverrà:

𝑢̈(𝑡) + Ω𝑢(𝑡) = 0

E le equazioni del moto divengono le seguenti:

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…

𝑢̈𝑚+ 𝜔𝑚²𝑢𝑚= 0

È stato trasformato il sistema di equazioni accoppiate in un sistema in cui queste sono disaccoppiate, pertanto ad un sistema a m-gdl sono stati ricondotti m sistemi a 1-gdl.

2.1 Smorzamento

Quella sopra esposta è una semplificazione del sistema reale, il quale è sottoposto sia ad una forzante che ad uno smorzamento, il quale è una caratteristica interna della struttura che dipende da vari fattori e permette di attenuare la risposta dinamica della struttura. Il sistema ora sarà espresso dalla seguente equazione di equilibrio dinamico:

𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡)

In caso di sistema a molti gradi di libertà, massa, rigidezza e smorzamento sono rappresentati in termini matriciali; il problema è che in questo caso la matrice di smorzamento non è diagonalizzabile attraverso la matrice modale e la soluzione ricade nel campo dei numeri complessi, tranne nel caso in cui questa sia proporzionale alla massa e alla rigidezza. Nel caso in cui lo smorzamento derivi da attriti interni, risulta prevalente la parte legata alla matrice K, il contrario se la matrice C è legata allo smorzamento in un fluido, questo è proporzionale alla matrice M.

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Figura 31 Rappresentazione dei contributi di smorzamento alla Rayleigh ( Keri L. Ryan, M. ASCE, Jose Polanco, 2008) Definendo 𝜉 come rapporto di smorzamento definito dal rapporto tra c e lo smorzamento critico, vengono di seguito riportate due relazioni che ne rappresentano la dipendenza rispetto alla frequenza 𝜔.

𝜉 = ^𝑐

2𝑚𝜔

Dove 𝑚 è la massa modale del 1° modo e 𝜔 la frequenza corrispondente.

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Figura 33 Smorzamento proporzionale alla massa

Si noti come all’aumentare della frequenza, nel caso in cui la struttura smorzi le vibrazioni in maniera proporzionale alla massa, 𝜉 decresce; l’opposto di quanto accade quando lo smorzamento è proporzionale alla rigidezza. Combinando i due casi, si ottiene una terza situazione in cui:

𝐶 = 𝛼𝑀 + 𝛽𝐾

Figura 34 Smorzamento proporzionale alla massa e alla rigidezza

Lo smorzamento nei problemi strutturali non è di facile determinazione, perché non è possibile determinare i coefficienti della matrice di smorzamento dalle dimensioni degli elementi strutturali e dai materiali impiegati; per questo motivo è più comodo rappresentare lo smorzamento in termini di rapporto 𝜉 che può essere stimato mediante prove sperimentali svolte su strutture simili. Lo smorzamento viscoso deve inoltre essere assunto costante durante il moto, anche se la risposta supera il limite elastico. Sono di seguito riportati alcuni valori di smorzamento caratteristici per vari tipo di strutture.

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Figura 35 Rapporti di smorzamento per varie tipologie strutturali

Si noti come i giunti bullonati siano un fattore favorevole per lo smorzamento delle oscillazioni, poiché provocano una dissipazione durante il moto. Lo smorzamento ha dunque un ruolo importante per quanto riguarda la dinamida delle strutture e un importante modello è stato sviluppato da Lord Rayleigh, il quale assume lo smorzamento proporzionale sia alla massa che alla rigidezza.

Una complicazione nasce qualora si debba attribuire uno smorzamento nelle strutture isolate, le quali sono caratterizzate da frequenze molto basse ( e quindi periodi alti). Come riportato da Keri L. Ryan, M. ASCE, Jose Polanco (2008), rendere lo smorzamento proporzionale sia alla massa che alla rigidezza lo sovrastimerebbe perché la dipendenza dalla massa per frequenze basse porta alla stima di valori di smorzamento alti. Nello studio la matrice di smorzamento è stata considerata come la somma della matrice della sovrastruttura (proporzionale a massa e rigidezza) e quella dell’isolamento (proporzionale alla rigidezza). Dallo studio è emerso che considerare lo smorzamento della sovrastruttura proporzionale sia alla massa che alla rigidezza, lo sovrastima, poiché le frequenze della struttura isolata sono molto basse. Dallo studio si è quindi ottenuto il risultato che per ottenere valori di smorzamento accettabili, è opportuno rendere la matrice C della struttura isolata, proporzionale alla sola rigidezza.

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