STUDIO PARAMETRICO DEL COMPORTAMENTO SISMICO DI EDIFICI CON ISOLAMENTO SISMICO DI INTERPIANO E SMORZATORE VISCOSO SUPPLEMENTARE

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE, EDILE E AMBIENTALE

Department Of Civil, Environmental and Architectural Engineering

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile

TESI DI LAUREA

STUDIO PARAMETRICO DEL COMPORTAMENTO SISMICO

DI EDIFICI CON ISOLAMENTO SISMICO DI INTERPIANO E

SMORZATORE VISCOSO SUPPLEMENTARE

Relatore:

Chiar.mo PROF. FRANCESCA DA PORTO

Correlatori:

Chiar.mo PROF. MARCO DONÀ

Laureando:

ENRICO BERNARDI

Matricola: 1132398

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1

INDICE

INDICE DELLE FIGURE 3

INDICE DELLE TABELLE 9

INTRODUZIONE 11

1. ISOLAMENTO SISMICO 13

1.1CENNI STORICI 13

1.2ISOLAMENTO SISMICO ALLA BASE 14

1.3DISPOSITIVI DI ISOLAMENTO 19 1.3.1. Isolatori elastomerici 21 1.3.2. Isolatori a scorrimento 30 1.3.3. Dissipatore viscoso 32 2. ANALISI MODALE 35 2.1SMORZAMENTO 38

3. ALGORITMI GENETICI E MOP 43

3.1ALGORITMI GENETICI 43

3.2ALGORITMI EVOLUTIVI MULTIOBIETTIVO (MOEA) 43

3.2.1 NSGA II 46

4. ISOLAMENTO SISMICO DI INTERPIANO 49

5. ANALISI PARAMETRICA 63

5.1SISTEMA EQUIVALENTE A 3 GRADI DI LIBERTÀ 63

5.2ANALISI TIME HISTORY 76

5.2.1 Costruzione del modello 79

5.2.2 Accelerogrammi 85

5.2.3 Risultati 87

5.3OTTIMIZZAZIONE DEL SISTEMA FVD 102

5.4OTTIMIZZAZIONE DELLA SOVRASTRUTTURA E DEL SISTEMA FVD RISPETTO ALLA RELATIVA SOTTOSTRUTTURA 109

5.4.1 Determinazione del modello surrogato 110

5.4.2 Ottimizzazione 116

5.5OTTIMIZZAZIONE DELLA SOVRASTRUTTURA E DEL SISTEMA FVD RISPETTO ALLA SOTTOSTRUTTURA ESISTENTE 128

5.5.1 Determinazione del modello surrogato 130

5.5.2 Ottimizzazione 133

CONCLUSIONI 157

ALLEGATO A 161

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3 Indice delle figure

Figura 1 Rappresentazione della protezione sismica degli antichi templi greci e romani ... 13

Figura 2 Sistema di isolamento sismico brevettato da J.A. Calantarients (Naeim e Kelly, 1999) .... 14

Figura 3 Variazione dell'accelerazione sismica in base al periodo strutturale ... 15

Figura 4 Primo modo di vibrare di una struttura isolata alla base ... 15

Figura 5 Primo e secondo modo di vibrare di una struttura isolata alla base ... 16

Figura 6 Spettri di risposta in spostamento per vari smorzamenti ... 16

Figura 7 Spettri di risposta in accelerazione per vari tipi di smorzamento ... 17

Figura 8 Spettro di risposta per una struttura isolata ... 17

Figura 9 Grafico delle trasmissività assoluta per vari valori di smorzamento ... 18

Figura 10 Dispositivi di isolamento ... 19

Figura 11 Fenomeno di rocking conseguente all'utilizzo di appoggi in gomma ... 21

Figura 12 Rappresentazione schematica di un isolatore con strati di gomma e lamierini di acciaio ... 21

Figura 13 Isolatore elastomerico HDRB ... 22

Figura 14 Ciclo di isteresi di un isolatore HDRB ... 23

Figura 15 Variazione del ciclo di isteresi al variare della deformazione tagliante massima ... 24

Figura 16 Variazione del modulo G al variare della deformazione tagliante ... 24

Figura 17 Variazione dello smorzamento al variare della deformazione tagliante ... 25

Figura 18 Area geometrica resistente dell'isolatore in condizioni deformate ... 25

Figura 19 Comportamento di isolatori elastomerici HDRB a mescola dura (BE64) e a mescola morbida (BE65) in finzione della temperatura ... 26

Figura 20 Isolatore elastomerico con nucleo in piombo ... 27

Figura 21 Ciclo isteretico di un isolatore con nucleo in piombo ... 28

Figura 22 Ciclo isteretico di un isolatore LRB linearizzato ... 28

Figura 23 Andamento della rigidezza e dello smorzamento in funzione della deformazione tagliante di un isolatore LRB ... 29

Figura 24 Ciclo di isteresi di un isolatore a scorrimento ... 30

Figura 25 Rappresentazione di un isolatore FPS (Friction Pendulum System) ... 31

Figura 26 Ciclo di isteresi di un isolatore a pendolo scorrevole (FPS) ... 31

Figura 27 Rappresentazione schematica di uno smorzatore ( M. Ziyaeifar and H. Noguchi, 1998) 32 Figura 28 Diagramma F-s per due valori di α ... 32

Figura 29 Rappresentazione sistema a 2 gradi di libertà ... 35

Figura 30 Modi di vibrare di una struttura a 3-gdl ... 37

Figura 31 Rappresentazione dei contributi di smorzamento alla Rayleigh ( Keri L. Ryan, M. ASCE, Jose Polanco, 2008) ... 39

Figura 32 Smorzamento proporzionale alla rigidezza ... 39

Figura 33 Smorzamento proporzionale alla massa ... 40

Figura 34 Smorzamento proporzionale alla massa e alla rigidezza ... 40

Figura 35 Rapporti di smorzamento per varie tipologie strutturali ... 41

Figura 36 Forze e momenti indotti dall'azione sismica in un edificio a base fissa ... 49

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4

Figura 38 Prospetto edificio in muratura (Diana Faiella, Francesco Verrone, Bruno Calderoni e Elena Mele, 2017) ... 50 Figura 39 Pianta dell'edificio e disposizione degli isolatori (Diana Faiella, Francesco Verrone, Bruno Calderoni e Elena Mele, 2017) ... 51 Figura 40 Spettro di accelerazione elastico e grafio del rapporto del taglio alla base in funzione di Tis (Diana Faiella, Francesco Verrone, Bruno Calderoni e Elena Mele,2017) ... 51 Figura 41 Spostamenti relativi massimi di piano (sinistra) e accelerazioni massime di piano ( destra) ( Diana Faiella, Francesco Verrone, Bruno Calderoni e Elena Mele,2017) ... 52 Figura 42 Rappresentazione schematica del sistema equivalente a 3-gdl ( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010) ... 52 Figura 43 Rappresentazione schematica dell'isolamento di interpiano (K-L Ryan e C-L Earl, 2010) 53 Figura 44 Spostamento di interpiano e rapporto tra il taglio di piano e quello alla base per diversi casi di isolamento di interpiano (K-L Ryan e C-L Earl, 2010) ... 53 Figura 45 Deformazione dell'isolatore e rigidezza relativa per i vari casi (K-L Ryan e C-L Earl, 2010) ... 54 Figura 46 Spostamento di interpiano per i vari casi (K-L Ryan e C-L Earl, 2010) ... 55 Figura 47 Confronto fra le frequenze del primo modo, quelle della sovrastruttura e quelle della sottostruttura adimensionalizzate rispetto alla frequenza dell'isolamento( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010) ... 56 Figura 48 Confronto fra lo smorzamento del primo modo e le frequenza della sovrastruttura e della sottostruttura adimensionalizzate rispetto alle caratteristiche dell'isolamento( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010) ... 56 Figura 49 Confronto fra la massa partecipante (L) del primo modo e le frequenza della

sovrastruttura e della sottostruttura adimensionalizzate rispetto alla frequenza dell'isolamento ( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010) ... 56 Figura 50 Contour riassuntivo delle caratteristiche dinamiche in funzione della massa

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5

Figura 57 Smorzamento proporzionale alla rigidezza calibrato al 5% per i primi 3 modi di vibrare.

Esempio di una struttura a 7 piani isolata al 3° ... 61

Figura 58 Spostamento sovrastruttura ... 67

Figura 59 spostamento isolamento ... 67

Figura 60 Spostamento sottostruttura... 67

Figura 61 Spostamento totale ... 68

Figura 62 spostamento sovrastruttura ... 68

Figura 63 Spostamento isolamento ... 68

Figura 86 Metodo di Runge Kutta del 4° ordine ... 85

Figura 87 Kobe scalato ad una PGA=0.35 ... 86

Figura 88 Kobe scalato ad una PGA=0.35 ... 86

Figura 89 Spettri di risposta scalati per gli accelerogrammi Far fault ... 87

Figura 90 Taglio alla base per una struttura con 2 piani sotto, per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 .... 88

Figura 91 Taglio alla base per una struttura con 8 piani sotto, per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 .... 88

Figura 92 Spostamento relativo della sovrastruttura per una struttura con 4 piani sotto, per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 ... 89

Figura 93 Accelerazione relativa della sovrastruttura per una struttura con 4 piani sotto, per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 ... 90

Figura 94 Spostamento relativo del piano di isolamento per una struttura con 4 piani sotto, per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 ... 91

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6

Figura 96 Spostamento della sottostruttura per una struttura con 2 piani sotto, per una

PGA=0.25g e Tis/Tup=3 ... 92

Figura 97 Spostamento della sottostruttura per una struttura con 8 piani sotto, per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 ... 93

Figura 98 Accelerazione della sottostruttura per una struttura con 4 piani sotto, per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 ... 94

Figura 99 Struttura con rω,L=3.23 rω,U=1.088 PGA=0.35g ... 96

Figura 105 Pareto front per 5, 50 e 100 generazioni ... 102

Figura 106 Pareto front di tutte le strutture studiate per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 ... 103

Figura 107 Pareto front di tutte le strutture studiate per una PGA=0.25g e Tis/Tup=4 ... 104

Figura 108 Pareto front della struttura con 4 piani sotto per una PGA=0.25g e Tis/Tup=3 ... 105

Figura 110 Valori di c* e α per i vari punti delle Pareto front ... 106

Figura 113 Valori di c* e α per i vari punti delle Pareto front ... 107

Figura 114 Struttura con 4 piani sotto e 2 sopra, PGA=0.25g e Tis/Tupper=4 (𝑟𝜔, 𝐿 = 2.024 𝑟𝜔, 𝑈 = 2.45) ... 112

Figura 116 Risultati dell'analisi NSGAII per una PGA=0.25g, con il vincolo A alle soluzioni ... 118

Figura 117 Risultati dell'analisi NSGAII per una PGA=0.25g, con il vincolo A,B,C alle soluzioni .... 119

Figura 120 Struttura con 4 piani sotto e 2 sopra, PGA=0.25g e Tis/Tupper=4 (𝑟𝜔, 𝐿 =2.024 𝑟𝜔, 𝑈 =2.45) ... 130

Figura 121 Struttura con 8 piani sotto e 2 sopra, PGA=0.25g e Tis/Tupper=4 (𝑟𝜔, 𝐿 =1.102 𝑟𝜔, 𝑈 =2.45) ... 131

Figura 122 Risultati dell'analisi NSGAII per una PGA=0.25g, con il vincolo A alle soluzioni ... 134

Figura 124 Pareto front, OF1-OF3 con i vincoli A,B e C ... 142

Figura 125 Pareto front OF1-OF2 ... 143

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9 Indice delle tabelle

Tabella 1 Moldulo elastico tangenziale e smorzamento per varie tipologie di mescola negli

isolatori elastomerici ... 23

Tabella 2 Moldulo elastico tangenziale e smorzamento per varie tipologie di mescola negli isolatori elastomerici con nucleo in piombo ... 27

Tabella 3 Frequenze e masse partecipanti per le strutture poste a confronto ... 66

Tabella 4 Frequenze corrispondenti al vario numero di piani della sottostruttura ... 77

Tabella 5 Frequenze corrispondenti al vario numero di piani della sovrastruttura e dell'isolamento ... 77

Tabella 6 Rapporti di frequenza associati alle strutture ... 77

Tabella 7 Accelerogrammi utilizzati per le analisi THA ... 86

Tabella 8 Grado delle superfici rappresentative della risposta strutturale degli edifici con isolamento sismico di interpiano ... 99

Tabella 9 Scarto e Deviazione standard delle superfici ... 99

Tabella 10 Coefficienti dei polinomi del modello surrogato ... 101

Tabella 11 Valori ottimali di c* e α per la struttura 4-2 ... 108

Tabella 12 Valori ottimali di c* e α per la struttura 4-8 ... 108

Tabella 13 Scarto e Deviazione standard delle superfici del modello surrogato ... 111

Tabella 14 Coefficienti dei polinomi del modello surrogato ... 115

Tabella 15 Frequenze corrispondenti al vario numero di piani ... 116

Tabella 16 Variabili utilizzate nell'ottimizzazione (NSGA II) ... 117

Tabella 17 Funzioni obiettivo utilizzate nell'ottimizzazione (NSGA II) ... 117

Tabella 18 Vincoli utilizzati nell'ottimizzazione (NSGA II) ... 117

Tabella 19 Valori Pareto front 34< ωL <47 ... 120

Tabella 20 Valori Pareto front 24 < ωL < 18 ... 122

Tabella 21 Valori Pareto front 16.5 < ωL < 12.5 ... 123

Tabella 22 Valori Pareto front 12.5 < ωL < 10 ... 124

Tabella 23 Risultati THA per la struttura a cui sarà aggiunta la sovrastruttura ... 129

Tabella 24 Frequenze associate alle strutture studiare ... 129

Tabella 25 Scarto e Deviazione standard delle superfici del modello surrogato ... 130

Tabella 26 Coefficienti dei polinomi del modello surrogato analisi 2 ... 132

Tabella 27 Variabili utilizzate nell'ottimizzazione (NSGA II) ... 133

Tabella 28 Funzioni obiettivo utilizzate nell'ottimizzazione (NSGA II) ... 133

Tabella 29 Vincoli utilizzati nell'ottimizzazione (NSGA II) ... 133

Tabella 30 Valori Pareto front ωL=21.85 rad/s ... 136

Tabella 31 Valori Pareto front ωL= 12.99 rad/s ... 137

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11 Introduzione

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13 1. Isolamento sismico

1.1 Cenni storici

Fin dall’antichità le metodologie per la protezione sismica si sono basate sulla separazione del moto della struttura da quello del terreno; ne è esempio l’antico templio greco costruito da Chesifrone e Cnosso. La costruzione si è dimostrata in grado di resistere a scosse sismiche succedutesi nel tempo, in quanto le fondazioni poggiano su uno strato di frammenti di carbone e uno di velli di lana, che attenuano l’energia sismica generando uno scorrimento relativo tra la struttura ed il terreno. Questo concetto è quello su cui si basa il principio di funzionamento degli isolatori a scorrimento. Tale meccanismo, data la sua efficacia, fu ripreso (seppur con diverse varianti) nelle epoche successive.

Figura 1 Rappresentazione della protezione sismica degli antichi templi greci e romani

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Figura 2 Sistema di isolamento sismico brevettato da J.A. Calantarients (Naeim e Kelly, 1999)

Le prime tecniche di isolamento sismico, per come lo si conosce oggi, si riconducono agli anni ’70 e vanno a pari passo con lo sviluppo delle gomme naturali e sintetiche. Il primo edificio isolato con appoggi in neoprene fu la scuola elementare Johann Heinrich Pestalozzi in Macedonia (ultimata nel 1969). Gli isolatori di tale struttura erano 16 di forma parallelepipeda, in gomma multistrato non armata. A causa della mancanza di armatura presentarono scarsa rigidezza verticale e di conseguenza una significativa deformazione. Oggigiorno nel mercato esistono vari tipi di isolatori elastomerici e a scorrimento, nei quali è presente una elevata rigidezza verticale per evitare grandi deformazioni, ed una bassa rigidezza orizzontale per disaccoppiare il moto della struttura da quella del terreno.

1.2 Isolamento sismico alla base

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15

L’utilizzo dell’isolamento sismico porta la struttura a vibrare con periodi molto più lunghi, diminuendo le accelerazioni e quindi le forze a cui è sottoposta, ma aumentando gli spostamenti che sono prevalentemente concentrati alla base.

Figura 3 Variazione dell'accelerazione sismica in base al periodo strutturale

La frequenza dell’intera struttura tende ad essere quella del sistema di isolamento e quasi la totalità della massa partecipante è concentrata nel primo modo.

Dunque il primo modo di vibrare di una struttura isolata alla base vede uno spostamento considerevole a livello dell’isolamento e un piccolo drift di interpiano nella sovrastruttura.

Figura 4 Primo modo di vibrare di una struttura isolata alla base Essendo una struttura a 2-gdl, è possibile parametrizzare il sistema e definendo:

𝜇 = 𝑚 𝑚0+ 𝑚 𝜀 = (𝑇 𝑇0 ) 2

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16

𝜆1≈ 1 − 𝜇𝜀

𝜆2≈ 𝜇𝜀

Figura 5 Primo e secondo modo di vibrare di una struttura isolata alla base

La massima deformazione della sovrastruttura, come è intuibile dalla figura, è la differenza tra lo spostamento al piano dell’isolamento e quello in sommità.

Per una corretta progettazione è necessario dimensionare i dispositivi in modo che abbiano una rigidezza tale da diminuire le accelerazioni, e allo stesso tempo gli spostamenti devono essere contenuti entro livelli ammissibili, per questo è importante un altro parametro: lo smorzamento. Questa caratteristica della struttura che dipende da diversi fattori (materiale, dispositivi sismici,…) modifica il comportamento strutturale, portando un beneficio alla risposta strutturale in termini di spostamento, ma diminuendo l’effetto degli isolatori per quanto riguarda il disaccoppiamento al moto del terreno. Per elevati valori di 𝜉, si ha che la risposta dinamica tende ad essere governata da modi di ordine superiore, per questo motivo il rapporto di smorzamento è spesso limitato.

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Figura 7 Spettri di risposta in accelerazione per vari tipi di smorzamento

Un altro beneficio che la struttura trae dallo smorzamento è la riduzione delle accelerazioni trasmesse dal terreno per un determinato periodo di vibrazione. Questo fatto è riconosciuto anche dalla normativa italiana che permette di ridurre le accelerazioni dello spettro di un fattore pari al coefficiente di smorzamento viscoso equivalente del sistema di isolamento, per valori di 𝑇 > 0.8 𝑇𝑖𝑠.

Figura 8 Spettro di risposta per una struttura isolata

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18

Isolare la struttura e quindi modificarne la frequenza è molto importante e va fatto con adeguata attenzione, poiché è importante tenere lontane le frequenze proprie della struttura e quelle della forzante al fine di evitare fenomeni di risonanza. Il fattore di amplificazione della forza è un parametro indicativo dettato dal seguente rapporto:

𝑇𝑟𝑎𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡à 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 =𝐹𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑚𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐴𝑚𝑝𝑖𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒

e il suo andamento è rappresentato dal seguente grafico, che mostra come il rapporto varia con 𝛼 e con lo smorzamento.

𝛼 =𝜔𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜔𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

Figura 9 Grafico delle trasmissività assoluta per vari valori di smorzamento

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19 1.3 Dispositivi di isolamento

Le nuove tecniche di protezione delle strutture dall’azione sismica, prevede l’utilizzo di elementi atti a isolare la struttura dal terreno e dissipare energia, chiamati appunto isolatori e dissipatori. I primi consistono nel collegare la struttura alle fondazioni, in modo che l’azione sismica trasmessa dal terreno non raggiunga la struttura a pieno regime e la struttura si muova rigidamente in direzione orizzontale, con valori piccoli di accelerazione e spostamenti di interpiano; ciò equivale ad aumentare il periodo proprio della struttura, con conseguente riduzione dell’accelerazione della struttura. Contemporaneamente ad un calo dell’accelerazione, lo spostamento incrementa, ma il vantaggio sta nel fatto che si concentra negli isolatori, soggetti quindi ad una elevata sollecitazione tagliante.

I dissipatori consentono di limitare le accelerazioni trasmesse alla struttura, riducendo così le forze d’inerzia e conseguentemente gli spostamenti. In pratica tali dispositivi si fanno carico di una quota di energia che viene dissipata per isteresi, ottenuta attraverso lo snervamento e la forte penetrazione in campo plastico di elementi in acciaio opportunamente studiati, oppure per mezzo di attrito viscoso (ottenuto facendo scorrere fluidi viscosi in adeguate celle poste in un dissipatore).

Figura 10 Dispositivi di isolamento

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costruzione, sia a quelli esistenti, ed offre un prezioso aiuto per strutture che presentano una irregolarità geometrica in pianta. L’asimmetria nelle strutture genera effetti torsionali derivati dall’eccentricità tra il centro di massa e di rigidezza, spesso occorre quindi separare gli edifici in più parti regolari geometricamente e giuntate tra di loro, in modo che rispondano in modo indipendente alle forze sismiche. In questo caso una opportuna disposizione degli isolatori sismici può portare il centro di rigidezza a coincidere con il centro di massa, eliminando gli effetti torcenti sulla struttura.

La normativa italiana consente, nel caso di strutture isolate alla base, di tener conto della riduzione delle forze sismiche agenti sulla sovrastruttura e sulle fondazioni, applicando alla sovrastruttura un sistema di forze costanti e non più lineare.

Pur essendoci diverse tipologie di sistemi di isolamento sismico, le principali caratteristiche che ogni isolatore deve avere sono:

 Funzione di appoggio, cioè deve essere in grado di sostenere i carichi verticali, sia in condizione sismica che non sismica

 Elevata deformabilità in direzione orizzontale

 Capacità di dissipare energia

 Resistenza ai carichi orizzontali non sismici

 Capacità di ricentraggio in seguito all’azione orizzontale, al fine di avere spostamenti nulli al termine del ciclo di carico

 Durabilità del dispositivo, in particolare del materiale che lo costituisce

Oltre a queste caratteristiche, è importante anche che i costi siano contenuti, che abbiano un ingombro limitato e facilità di installazione.

La scelta del tipo di isolamento da applicare alla struttura è funzione dell’obiettivo prestazionale ricercato:

 Minimizzare il taglio alla base, realizzando un disaccoppiamento e scaricando la parte della struttura sopra all’isolatore

 Minimizzare lo spostamento alla base della struttura, in modo da evitare eventuali martellamenti con strutture adiacenti

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21 1.3.1. Isolatori elastomerici

La prima applicazione di isolamento risale intorno agli anni ’70, e consisteva nell’isolare la struttura con semplici appoggi di gomma non armata. Il fatto che la gomma non fosse armata, si ripercuoteva sulla rigidezza verticale, paragonabile a quella orizzontale. Essendo infatti l’appoggio molto deformabile in direzione verticale, era soggetto ad un moto rotatorio con asse orizzontale; questo fenomeno è chiamato “rocking”.

Figura 11 Fenomeno di rocking conseguente all'utilizzo di appoggi in gomma

Non risultando soddisfacente, si pensò di inserire dei vincoli tra la gomma, ottenuti da blocchi di vetro, che aiutavano il dispositivo a resistere alle azioni verticali; questo fu il primo passo che ha portato all’invenzione dei dispositivi elastomerici in gomma armata. Questo tipo di isolatori sono composti da strati di elastomeri (5-20 mm) alternati a strati di lamierini (2-3mm) che consentono di confinare l’elastomero limitandone la deformabilità. Generalmente i lamierini sono più corti degli strati di gomma, in modo da risultare completamente inglobati e quindi protetti dalla corrosione.

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Questa conformazione dell’isolatore gli attribuisce una ridotta rigidezza orizzontale, mentre una elevata rigidezza verticale, con il fine di aumentare il periodo proprio della struttura e sostenere i carichi verticali senza apprezzabili cedimenti. Aumentare il periodo proprio della struttura significa diminuire la rigidezza di essa, portandosi tanto più nella fase discendente dello spettro, quanto più viene aumentato il periodo della struttura; con la conseguente diminuzione dell’accelerazione trasmessa alla struttura. Va osservato che il comportamento di questi dispositivi è legato alla temperatura ambientale, infatti con il freddo la gomma indurisce e la capacità di isolamento diminuisce.

Oggigiorno in commercio possiamo trovare due principali tipologie di isolatori elastomerici: 1. Isolatori elastomerici con inserto di piombo (Lead Rubber Bearings – LRB)

2. Isolatori elastomerici ad elevato smorzamento (High Damping Rubber Bearings – HDRB)

Figura 13 Isolatore elastomerico HDRB

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23

dissipare molta energia, consentendo un’ampia riduzione delle sollecitazioni sismiche nella struttura.

I tipi di mescola sono 3, e da essa dipendono le caratteristiche del materiale, cioè il modulo G e lo smorzamento.

Tabella 1 Moldulo elastico tangenziale e smorzamento per varie tipologie di mescola negli isolatori elastomerici

Tipologia di mescola G [N/mmq] smorzamento

Mescola morbida 0.4 10%

Mescola intermedia 0.8 10%

Mescola dura 1.4 10%

Per alcuni prodotti le mescole possono arrivare anche a valori di smorzamento intorno al 15%. Questo tipo di isolatori sono caratterizzati da una ridotta rigidezza orizzontale, in modo che sia garantito il disaccoppiamento del moto orizzontale della struttura da quello del terreno, e da una elevata rigidezza verticale che renda i cedimenti verticali di piccola entità. Il comportamento in termini di forza-spostamento evidenzia cicli isteretici del tipo riportato in figura.

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È ora riportato il ciclo di isteresi di un HDRB al variare della deformazione tagliante massima raggiunta.

Figura 15 Variazione del ciclo di isteresi al variare della deformazione tagliante massima

Le mescole elastomeriche ad alto smorzamento sono caratterizzate da una variazione del modulo di taglio G per deformazioni a taglio minori dello 0.5 (50%). Questo comportamento non è tale nel campo compreso tra 𝛾 = 1 e 𝛾 = 2 dove G risulta circa costante. Sono di seguito riportati due grafici dove si può vedere l’andamento del modulo di taglio equivalente (G) e dello smorzamento equivalente (ξ), in funzione della deformazione tagliante 𝛾, entrambi adimensionalizzati per il loro valore in corrispondenza di 𝛾 = 1.

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Figura 17 Variazione dello smorzamento al variare della deformazione tagliante

Gli isolatori in esame riescono anche ad equilibrare sforzi di trazione e la trazione massima a cui può essere sottoposta la gomma è direttamente proporzionale alla rigidezza della mescola, questa si può assumere pari a 2G. Per quanto riguarda la resistenza ai carichi verticali, va osservato che nel caso della trazione, l’area effettiva coincide con l’area geometrica in condizioni indeformate, mentre in compressione l’area effettiva è una frazione dell’area totale della sezione trasversale in quanto si deve considerare la configurazione geometrica dell’appoggio nella situazione di massimo spostamento orizzontale.

Figura 18 Area geometrica resistente dell'isolatore in condizioni deformate

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Figura 19 Comportamento di isolatori elastomerici HDRB a mescola dura (BE64) e a mescola morbida (BE65) in finzione della temperatura

I dispositivi HDRB presentano alcuni pregi e difetti; i pregi sono i seguenti:

 Sotto l’azione di terremoti di elevata intensità, la struttura rimane in campo elastico

 Questa tecnologia è molto conosciuta perché molto utilizzata per edifici e ponti

 Manutenzione semplice e limitata a periodiche ispezioni visuali per tutta la vita utile della struttura

 Capacità di dissipare l’energia sismica con conseguente semplificazione del progetto strutturale

 Bassa rigidezza che consente di avere un periodo proprio maggiore della struttura isolata I difetti che presentano questo tipo di isolatori sono invece:

 Problemi riguardo la durabilità della gomma

 Economicamente poco convenienti nei ponti i cui impalcati sono costituiti da 4,5 o più travi. Infatti le norme moderne prevedono la certificazione di questi prodotti che comportano delle prove a rottura di alcuni esemplari in alcuni casi pari al 40% del numero dei dispositivi da prevedere per l’opera.

 Elevato spostamenti sotto carico sismico, che ad esempio nei ponti, comportano l’applicazione di giunti con corse molto elevate, quindi molto costosi

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Come gli HDRB, gli LRB sono costituiti da una serie di strati in gomma vulcanizzati a lamiere in acciaio, con la differenza che sono dotati di uno o più nuclei in piombo di elevata purezza (superiore al 99.85%) in modo da ottenere un dispositivo in grado di sopportare elevati carichi verticali con una minima compressione poiché sono dotati di elevata rigidezza verticale, e consentono spostamenti orizzontali elevati con reazioni relativamente piccole (bassa rigidezza orizzontale). La dissipazione di energia non avviene solo attraverso la deformazione della gomma, ma anche attraverso la plasticizzazione del nucleo di piombo, il quale ha la proprietà di deformarsi plasticamente dissipando energia e ricristallizzando dopo un ciclo di deformazione plastica. In tal modo esso può sopportare un numero infinito di cicli di isteresi.

Figura 20 Isolatore elastomerico con nucleo in piombo A seconda del tipo di applicazione, si possono distinguere 2 tipi di mescola:

Tabella 2 Moldulo elastico tangenziale e smorzamento per varie tipologie di mescola negli isolatori elastomerici con nucleo in piombo

Tipologia di mescola G [N/mmq] smorzamento

Mescola morbida 0.4 10%

Mescola normale 0.9 4%

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28

Come nel caso precedente, gli elastomeri che costituiscono gli isolatori sono composti da catene polimeriche fortemente allungabili a comportamento isteretico, che consentono un recupero circa completo delle deformazioni.

Il comportamento degli isolatori elastomerici in termini di curve forza-spostamento, evidenzia cicli di isteresi del tipo riportato in figura.

Figura 21 Ciclo isteretico di un isolatore con nucleo in piombo

Il comportamento isteretico dell’isolatore può anche essere linearizzato mediante la rigidezza equivalente Ke e il coefficiente di smorzamento viscoso ξe che dipendono dallo spostamento massimo d2 e dalla corrispondente forza F2:

Figura 22 Ciclo isteretico di un isolatore LRB linearizzato 𝐾𝑒= 𝐹2 𝑑2 𝜉𝑒= 2 𝜋( 𝐹1 𝐹2− 𝑑1 𝑑2)

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29

Figura 23 Andamento della rigidezza e dello smorzamento in funzione della deformazione tagliante di un isolatore LRB I dissipatori isolano la struttura disaccoppiandola al moto del terreno, e la presenza del nucleo in piombo consente ai dissipatori di arrivare ad uno smorzamento del 30%, che è il doppio di quello che si può raggiungere con gli HDRB.

Anche per gli LRB vengono riportati i pregi e i difetti principali dovuti al loro utilizzo. I pregi principali sono:

 Sotto l’azione di terremoti di elevata intensità, la struttura rimane in campo elastico

 Questa tecnologia è molto conosciuta perché molto utilizzata per edifici e ponti

 Manutenzione semplice e limitata a periodiche ispezioni visuali per tutta la vita utile della struttura

 Capacità di dissipare l’energia sismica con conseguente semplificazione del progetto strutturale

 Comportamento rigido plastico grazie al nucleo in piombo posto al suo interno per cui si hanno spostamenti trascurabili per carichi non elevati

 Grande capacità di smorzamento (anche oltre il 30%) I difetti che presentano questo tipo di isolatori sono invece:

 Problemi riguardo la durabilità della gomma

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30

Presenta dunque più vantaggi e meno svantaggi dell’isolatore HDRB. Il ricentraggio di questi dispositivi è fornito dalla parte elastomerica dell’isolatore, per cui risulta inferiore quella del HDRB per la presenza del nucleo in piombo che elasticizza rimanendo deformato. I dispositivi LRB sono particolarmente adatti all’isolamento sia di ponti di medie dimensioni, che di edifici, nei quali solitamente vengono affiancati a isolatori HDRB.

1.3.2. Isolatori a scorrimento

Gli isolatori a scorrimento si basano sul concetto di isolamento più semplice, ovvero quello in cui due blocchi scorrono l’uno sull’altro, essendo le due superfici rivestite di materiali che rendono l’attrito basso. Le superfici a contatto possono essere piane (friction base isolation system FBIS) o curve (friction pendulum system FPS), permettendo il ricentraggio del dispsitivo. Questi disositivi presentano un profilo basso ma un elevato ingombro in pianta. Gli isolatori a scorrimento a superfici piane presentano un ciclo di isteresi elsato-perfettamente plastico: al crescere della deformazione non si ha un incrudimento, ovvero la massima sollecitazione tagliante trasmessa alla sovrastruttura è pari al prodotto tra il coefficiente d’attrito il carico verticale sull’isolatore.

Figura 24 Ciclo di isteresi di un isolatore a scorrimento

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31

dispositivi la capacità ricentrante è concentrata sulla superficie curva, e l’azione dissipativa è esercitata dall’attrito tra le superfici di contatto.

Figura 25 Rappresentazione di un isolatore FPS (Friction Pendulum System)

Il valore di rigidezza da assegnare al dispositivo è legato alla curvatura che si intende assegnargli. Gli isolatori a pendolo scorrevole presentano un ciclo di isteresi con una rigidezza iniziale elevata e una rigidezza in fase di slittamento definita dal rapporto tra il carico verticale (W) e il raggio di curvatura (R).

Figura 26 Ciclo di isteresi di un isolatore a pendolo scorrevole (FPS)

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32 1.3.3. Dissipatore viscoso

Lo smorzatore viscoso è un dispositivo composto principalmente da un pistone posto in un cilindro riempito di fluido. La testa del cilindro suddivide il pistone in due camere, in contatto tra loro attraverso orifizi opportunamente progettati. Dal movimento del pistone, il fluido passando da una camera all’altra genera una forza viscoelastica, proporzionale alla velocità di input del pistone.

Figura 27 Rappresentazione schematica di uno smorzatore ( M. Ziyaeifar and H. Noguchi, 1998)

L’utilità di questi dispositivi è quella di dissipare gran parte dell’energia trasmessa dal sisma alla struttura e si impiegano laddove è presente un moto relativo tra due parti dell’edificio.

Il legame costitutivo degli smorzatori è:

𝐹 = 𝐶𝑣𝛼

Dove F è la forza di reazione, C è l costante di smorzamento, v è la velocità e α un parametro legato alla dissipazione. Se 𝛼 = 1 il dispositivo è lineare e la forza è direttamente proporzionale al prodotto tra la costante di smorzamento e la velocità. Dispositivi lineari sono solitamente impiegati per ridurre gli spostamenti in caso di carico da vento. Per il sisma invece la non linearità permette di dissipare energia, generando una forza di reazione minore e aumentando lo spostamento rispetto al caso lineare.

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35 2. Analisi modale

Nella maggior parte delle strutture, per effettuare uno studio semplice che ne rappresenti il comportamento dinamico, è utile ricondursi ad un sistema a più gradi di libertà ( in casi particolari come ad esempio serbatoi o strutture alte dove la maggior parte del peso è situata nella parte superiore della struttura ci si può ricondurre ad un sistema a 1-gdl). Viene di seguito descritta l’analisi che determina il comportamento dinamico del sistema m-gdl, determinandone cioè le frequenze e i relativi modi di vibrare.

Figura 29 Rappresentazione sistema a 2 gradi di libertà

Inizialmente viene trattato il caso in cui il sistema sia in vibrazioni libere non smorzate, in tal caso l’equazione di equilibrio dinamico è la seguente:

𝑚𝑢̈ + 𝑘𝑢 = 0

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36

Ipotizzando che lo spostamento sia esprimbile come 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑒𝑖𝜔𝑡, derivando e raccogliendo in maniera opportuna:

(𝐾 − 𝜔2_{𝑀)𝑥𝑒}𝑖𝜔𝑡_{= 0}

Poiché l’equazione deve essere soddisfatta per ogni t, diventa:

(𝐾 − 𝜔2_{𝑀)𝑥 = 0}

Dalla risoluzione del problema agli autovalori del sistema matrciale, si ricavano gli m autovalori (𝜔̅12, 𝜔̅22, ..) che rappresentano le frequenze circolari naturali del sistema. La più piccola di questa è

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37

Figura 30 Modi di vibrare di una struttura a 3-gdl

La matrice Ω è univocamente definita mentre le forme modali sopra riportate sono normalizzate, influenzando la loro ampiezza ma non la loro forma. Due generici modi di vibrare ψ𝑟, ψ𝑁 sono

ortogonali rispetto alla matrice di massa e rigidezza, rispettano cioè le seguenti condizioni di ortogonalità:

𝜓𝑟𝑇_𝑀ψ 𝑁 = 0

𝜓𝑟𝑇𝐾ψ𝑁 = 0

È possibile normalizzare i modi di vibrare rispetto alla matrice delle masse:

ϕ𝑇_{𝑀ϕ = 𝐼}

ϕ𝑇𝐾ϕ = Ω

Ed essendo 𝑥(𝑡) = ϕu(t) l’equazione di equilibrio dinamico diverrà:

𝑢̈(𝑡) + Ω𝑢(𝑡) = 0

E le equazioni del moto divengono le seguenti:

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…

𝑢̈𝑚+ 𝜔𝑚2𝑢𝑚= 0

È stato trasformato il sistema di equazioni accoppiate in un sistema in cui queste sono disaccoppiate, pertanto ad un sistema a m-gdl sono stati ricondotti m sistemi a 1-gdl.

2.1 Smorzamento

Quella sopra esposta è una semplificazione del sistema reale, il quale è sottoposto sia ad una forzante che ad uno smorzamento, il quale è una caratteristica interna della struttura che dipende da vari fattori e permette di attenuare la risposta dinamica della struttura. Il sistema ora sarà espresso dalla seguente equazione di equilibrio dinamico:

𝑚𝑢̈ + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 𝑝(𝑡)

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39

Figura 31 Rappresentazione dei contributi di smorzamento alla Rayleigh ( Keri L. Ryan, M. ASCE, Jose Polanco, 2008) Definendo 𝜉 come rapporto di smorzamento definito dal rapporto tra c e lo smorzamento critico, vengono di seguito riportate due relazioni che ne rappresentano la dipendenza rispetto alla frequenza 𝜔.

𝜉 = 𝑐

2𝑚𝜔

Dove 𝑚 è la massa modale del 1° modo e 𝜔 la frequenza corrispondente.

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Figura 33 Smorzamento proporzionale alla massa

Si noti come all’aumentare della frequenza, nel caso in cui la struttura smorzi le vibrazioni in maniera proporzionale alla massa, 𝜉 decresce; l’opposto di quanto accade quando lo smorzamento è proporzionale alla rigidezza. Combinando i due casi, si ottiene una terza situazione in cui:

𝐶 = 𝛼𝑀 + 𝛽𝐾

Figura 34 Smorzamento proporzionale alla massa e alla rigidezza

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Figura 35 Rapporti di smorzamento per varie tipologie strutturali

Si noti come i giunti bullonati siano un fattore favorevole per lo smorzamento delle oscillazioni, poiché provocano una dissipazione durante il moto. Lo smorzamento ha dunque un ruolo importante per quanto riguarda la dinamida delle strutture e un importante modello è stato sviluppato da Lord Rayleigh, il quale assume lo smorzamento proporzionale sia alla massa che alla rigidezza.

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43 3. Algoritmi genetici e MOP

Gli Algoritmi Evolutivi, sono un valido strumento per risolvere problemi di Ottimizzazione Multiobiettivo, il quale è un processo il cui scopo è trovare la soluzione ottima di un problema costituito da molteplici obiettivi. Utilizzando l’Ottimizzazione Multiobiettivo ci si troverà di fronte ad un insieme di soluzioni ugualmente ottimali di fronte ad un dato problema. Tale insieme di soluzioni è chiamato Insieme Pareto Ottimale.

3.1 Algoritmi genetici

Gli Algoritmi Evolutivi sono una classe di metodi di ottimizzazione che simulano i processi dell’evoluzione naturale teorizzata da Darwin nella sua opera ‘L’origine della specie’. Gli algoritmi evolutivi si dividono in tre categorie: Algoritmi Genetici, Strategie Evolutive e Evolutionary Programming. Nel presente studio saranno utilizzati gli Algoritmi Genetici, proposti per la prima volta da Holland nel 1975.

Un algoritmo genetico è un metodo euristico di ricerca e di ottimizzazione ispirato al principio della selezione naturale di Charles Darwin, che regola l’evoluzione biologica. L’algoritmo quindi modifica ripetutamente una popolazione costituita da un certo numero di soluzioni, creando una serie di generazioni che evolvono ad una soluzione ottimale.

L’implementazione di un Algoritmo Genetico prevede alcune fasi fondamentali:

 Fase di selezione in cui sono individuati gli individui da riprodurre (genitori)

 Fase di riproduzione degli individui selezionati, in cui due genitori sono combinati in modo da formare opportunamente dei nuovi individui per la generazione successiva

 Fase di mutazione, nel corso della quale vengono apportati dei cambiamenti casuali ai genitori, prima che questi possano generare nuovi individui

Quindi l’algoritmo comincia generando casualmente una popolazione iniziale e successivamente vengono create una sequenza di nuove generazioni utilizzando quella dell’iterazione corrente. L’algoritmo si interrompe quando viene soddisfatto uno dei criteri d’arresto.

3.2 Algoritmi Evolutivi Multiobiettivo (MOEA)

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44

risolti con metodi esatti. In questo studio, per la risoluzione del problema multiobiettivo in esame, è stato utilizzato l’algoritmo NSGAII, la cui sigla sta per Non-dominated sorting genetic algorithm II. In questo tipo di algoritmo le soluzioni del problema di ottimizzazione è ordinato secondo il criterio di non dominanza ed è stato sviluppato in seguito all’osservazione che gli algoritmi che usano il concetto di dominanza per la valutazione degli individui, e che per il loro ordinamento utilizzano una funzione di fitness, utilizzano un grado di complessità computazionale elevato.

L’NSGA II è stato sviluppato in seguito all’NSGA, nel quale la popolazione viene classificata secondo il concetto di dominanza, cioè tutti gli individui non dominati vengono classificati in rank e successivamente suddivisi in base al valore della propria funzione di fitness. Una volta formato il primo gruppo, questo viene momentaneamente ignorato, per procedere alla creazione di altri gruppi non dominati di ordine inferiore.

Questo processo continua fintanto che non vengono classificati tutti gli individui. Questo algoritmo presenta però i seguenti problemi:

 Alta complessità computazionale derivata dal processo di ordinamento della popolazione; presenta infatti una complessità O(MN3), dove M è il numero di obiettivi e N è la grandezza della popolazione. L’NSGA è dunque molto dispendioso se si utilizzano un alto numero di individui.

 Nell’NSGA non è presente il concetto di elitismo e usando il metodo di fitness sharing per assicurare la diversità della popolazione, viene richiesta la specificazione del parametro 𝜎𝑠ℎ

(parametro di confronto tra le soluzioni).

Nell’ NSGA II invece la popolazione viene suddivisa in ranks, in accordo con il concetto di non dominanza, cioè per due qualsiasi vettori decisione a e b, si dice che:

𝑎 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑏 𝑠𝑒 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏) 𝑎 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑜𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏 𝑠𝑒 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑏) 𝑎 è 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑏 𝑠𝑒 𝑓(𝑎) ≱ 𝑓(𝑏)𝑒 𝑓(𝑏) ≱ 𝑓(𝑎)

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45

Il processo di classificazione ha quindi capacità O(MN2), cioè utilizzando il concetto di non dominanza si diminuisce di un grado la complessità computazionale rispetto all’algoritmo NSGA. Durante il processo di classificazione della popolazione, per ogni soluzione vengono calcolate due entità: il domination count che conteggia il numero di soluzioni che dominano una generica soluzione p e l’insieme Sp che raccoglie tutte le soluzioni dominate dalla soluzione p.

Tutte le soluzioni del fronte non dominato avranno il domination count pari a 0, e apparterranno al rank 1. Per ognuna di queste soluzioni verrà quindi esaminato ogni membro q dell’insieme Sp , il cui domination count verrà fissato a 1. Se nel fare ciò per ogni elemento q, il domination cont diventa 0, q verrà sistemato in una lista separata Q i cui membri appartengono al secondo fronte non dominato. Viene rieseguita la stessa procedura e verrà determinato il terzo fronte. Tale processo continua fino a che non si sono determinati tutti i fronti (ranks).

Al fine di preservare la diversità delle soluzioni dello stesso fronte non dominato, l’NSGAII utilizza la tecnica della crowing-distance che rappresenta la distanza media di due punti giacenti su ciascun lato del punto in questione. Alle soluzioni di ‘confine’ che presentano il valore massimo e minimo delle funzioni obiettivo, viene assegnato un valore di crowing-distance infinito; per quanto riguarda gli altri valori, la crowing-distance assumerà un valore pari alla differenza dei valori delle due soluzioni adiacenti. Il calcolo viene fatto per ogni obiettivo e per ogni individuo il valore complessivo è la somma dei valori di distanza corrispondenti; successivamente viene fatta la selezione, nella quale viene preferito l’individuo appartenente al rank più basso oppure a parità di rank, viene selezionato quello collocato in una regione meno affollata (crowing-distance maggiore).

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46

dall’utente, verrà mutato da 0 a 1 (o viceversa) ogni elemento della stringa. Se invece si usano variabili reali, l’algoritmo usa la mutazione polinomiale.

3.2.1 NSGA II

L’algoritmo viene sviluppato come segue: inizialmente viene creata una popolazione di dimensione fissata dall’operatore in modalità random e vengono valutate le funzioni obiettivo che costituiscono il problema in esame, seguendo il concetto di Pareto dominanza. Ad ogni individuo viene assegnato un rank corrispondente al suo livello di non dominanza, di seguito la popolazione sarà ordinata in ordine ascendente. Tutto questo processo viene ripetuto tante volte, quante sono le generazioni fissate. Durante il ciclo, verrà generata una popolazione di discendenti tramite gli operatori di selezione per torneo, ricombinazione e mutazione. Quindi si valutano le funzioni obiettivo per ogni individuo della nuova popolazione che sarà anch’essa ordinata. Di seguito verrà considerata una popolazione formata da genitori e figli, cioè verrà creata la mating pool. In essa la popolazione sarà ordinata in base alla rank di ciascun individuo e si formeranno così i fronti non dominati nei quali si troveranno tutti gli individui appartenenti allo stesso rank. L’unificazione delle due popolazioni è finalizzata a garantire l’elitismo. Se il numero di individui appartenenti al primo rank è minore del numero di elementi presenti ad ogni generazione, i rimanenti individui saranno scelti dai rank successivi in ordine di importanza. La scelta del numero di generazioni da sviluppare, come per il numero di individui della popolazione è affidata all’utente.

L’algoritmo NSGA II può essere riassunto come segue:

1. Determinazione del numero di individui della popolazione, del numero di generazioni e del numero di obiettivi che si intendere raggiungere

2. Generazione casuale della popolazione

3. Valutare le funzioni obiettivo sulla base delle variabili appena generate 4. Assegnare un rank sulla base della Pareto-dominanza

for i=1:numero di generazioni

5. Generare una popolazione di figli 6. Applicare la selezione per torneo 7. Ricombinare e mutare le soluzioni

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10. Generare gruppi di fronti non dominati con i genitori e i figli 11. Loop per aggiungere soluzioni alla nuova generazione 12. Determinare la crowing-distance fra i punti di ogni fronte

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49 4. Isolamento sismico di interpiano

La tecnica dell’isolamento sismico alla base è concettualmente semplice ed è conosciuta in tutto il mondo. Uno sviluppo di questa metodologia è quello dell’isolamento sismico d’interpiano, che consiste nel predisporre un piano di isolamento tra 2 piani dell’edificio anziché alla base. Questa tecnica di protezione passiva è utile per edifici medio-alti, nei quali la rigidezza strutturale non è elevata e quindi i periodi di vibrazione sono abbastanza elevati. Questa tecnica, a differenza dell’isolamento alla base, riduce lo spostamento del piano di isolamento, per cui è utile qualora ci siano restrizioni in termini di spostamento massimo (in particolare per zone in cui si è vicino alla faglia che ha generato l’evento sismico, gli spostamenti alla base sono elevati).

Questa tecnica è sviluppata prevalentemente in Cina e Giappone, ed è utilizzata sia per edifici di nuova costruzione che per edifici esistenti. L’efficacia di questa tecnica è data dal fatto che buona parte delle sollecitazioni di momento e taglio che agiscono alla base della struttura sono generate dalla parte più alta della stessa, come riportato nello studio proposto da M. Ziyaeifar e H. Noguchi (1998) nel quale è spiegato che circa il 40% del taglio alla base e il 60% dell’inviluppo dei momenti è generato dalla massa posta sopra l’80% dell’altezza, dove il momento locale è solo il 10% di quello alla base.

Figura 36 Forze e momenti indotti dall'azione sismica in un edificio a base fissa

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Figura 37 Applicazione dell'isolamento di interpiano per isolare la massa strutturale più alta (Partial Mass Isolation). L'isolamento viene fatto accoppiando isolatori e smorzatori

Questa tecnica innovativa permette anche la costruzione sopra edifici esistenti (se l’edificio esistente lo permette) dei nuovi piani, senza aumentare il taglio alla base.

L’isolamento sismico è una soluzione efficace anche al fine dell’adeguamento sismico di edifici esistenti, tuttavia risulta molto complesso isolare alla base strutture esistenti, per questo una tecnica come quella dell’isolamento di interpiano può essere la soluzione. A tal proposito, uno studio è stato effettuato da Diana Faiella, Francesco Verrone, Bruno Calderoni e Elena Mele (ANIDIS 2017) nel quale è stato valutato l’adeguamento sismico di un edificio in muratura di 3 piani fuori terra sito a Giulianova (Italia), mediante l’installazione di un piano di isolamento e la costruzione di altri 2 piani sopra. Al fine di valutare la fattibilità di una sopraelevazione, è stato valutato lo stato di sforzo delle pareti.

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Figura 39 Pianta dell'edificio e disposizione degli isolatori (Diana Faiella, Francesco Verrone, Bruno Calderoni e Elena Mele, 2017)

Dai risultati dello studio si nota che par vari valori del rapporto 𝛼 =𝑚𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎_𝑚 +𝑚𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 , per un determinato range periodo di isolamento, il taglio si riduce. Aumentando il periodo dell’isolamento, il rapporto 𝑣 = 𝑉𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑡𝑎

𝑉𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑎 tende ad 1 (i tagli sono quelli agenti alla base). I risultati sono stati ottenuti con una analisi spettrale.

Figura 40 Spettro di accelerazione elastico e grafio del rapporto del taglio alla base in funzione di Tis (Diana Faiella, Francesco Verrone, Bruno Calderoni e Elena Mele,2017)

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Figura 41 Spostamenti relativi massimi di piano (sinistra) e accelerazioni massime di piano ( destra) ( Diana Faiella, Francesco Verrone, Bruno Calderoni e Elena Mele,2017)

Dove 3DIIS indica la struttura con isolamento di interpiano e 3DLS la sottostruttura (ovvero l’edificio in muratura adeguato) fissa alla base. Dai grafici si vede come lo spostamento e l’accelerazione ai vari livelli diminuisce o al più resta uguale se si adegua la sottostruttura con la tecnica dell’isolamento di interpiano.

Per studiare la risposta strutturale di questi edifici è utile suddividerli in 3 parti: la sovrastruttura, l’isolamento e la sottostruttura. Questo perché è concettualmente più semplice lo studio di una struttura equivalente a 3 gradi di libertà anziché quello di una a n-gdl ed agevola il confronto tra le caratteristiche e la risposta delle singole parti.

Figura 42 Rappresentazione schematica del sistema equivalente a 3-gdl ( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010)

La variazione del rapporto di massa è un parametro utile da considerare, per capire il comportamento del sistema nelle varie situazioni. Parallelamente alla variazione della massa, è anche utile studiare come varia la risposta variando il piano di isolamento.

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nella sovrastruttura un periodo di 0,5 secondi. L’analisi è stata svolta sia per un sistema di isolamento lineare, che non lineare.

Figura 43 Rappresentazione schematica dell'isolamento di interpiano (K-L Ryan e C-L Earl, 2010)

Dalla ricerca è emerso che con l’introduzione dell’isolamento, si ha una riduzione del taglio e dello spostamento, diversa in base al piano in cui vengono installati gli isolatori.

Figura 44 Spostamento di interpiano e rapporto tra il taglio di piano e quello alla base per diversi casi di isolamento di interpiano (K-L Ryan e C-L Earl, 2010)

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variazione del rapporto di massa tra sottostruttura e sovrastruttura; per cui i risultati indicano che minore è la massa presente sopra il sistema di isolamento, minore è la rigidezza dello stesso.

Figura 45 Deformazione dell'isolatore e rigidezza relativa per i vari casi (K-L Ryan e C-L Earl, 2010)

Altro fattore determinante per la risposta della struttura al sisma, è la tipologia di legge che regola il comportamento dell’isolamento, lineare oppure no. Sono di seguito riportati graficamente i risultati sviluppati dallo stesso studio, in cui viene posto a confronto il drift di interpiano nei seguenti casi:

a. Isolamento alla base b. Isolamento al primo piano c. Isolamento a metà altezza

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Figura 46 Spostamento di interpiano per i vari casi (K-L Ryan e C-L Earl, 2010)

Dai risultati non è possibile notare una soluzione migliore tra i due tipo di isolamento, perché il comportamento è funzione della posizione del piano isolato.

L’isolamento sismico di interpiano presenta però una complicazione, ovvero quella di non avere (come per l’isolamento alla base) il primo modo di vibrare sempre prevalente, infatti ora i modi superiori non sono più trascurabili e il problema diventa dinamicamente più complesso. In questo tipo di strutture infatti è possibile che si generi il fenomeno dell’accoppiamento modale, che si ha quando il 2° e il 3° modo presentano entrambi una massa partecipante non nulla. Questo modo di vibrare è definito da uno spostamento della sottostruttura e della sovrastruttura, mentre il piano di isolamento non si sposta in modo significativo.

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rapporti tra la massa rispettivamente della sovrastruttura e della sottostruttura, rispetto a quella dell’isolamento.

Figura 47 Confronto fra le frequenze del primo modo, quelle della sovrastruttura e quelle della sottostruttura adimensionalizzate rispetto alla frequenza dell'isolamento( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010)

Figura 48 Confronto fra lo smorzamento del primo modo e le frequenza della sovrastruttura e della sottostruttura adimensionalizzate rispetto alle caratteristiche dell'isolamento( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010)

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I risultati riportati sono stati trovati da analisi di tipo time history perché, essendo questo tipo di strutture composte da una sottostruttura e una sovrastruttura, la risposta è complessa poiché influenzata da fenomeni di accoppiamento modale.

Gli effetti dell’accoppiamento modale sono causati dai modi di vibrare in cui il piano dell’isolamento non è deformato; questo fenomeno amplifica la risposta al sisma della sovrastruttura diminuendo l’effetto dell’isolamento. Uno studio svolto da S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang B-H Lee e M-H Lin ha investigato sul problema dell’accoppiamento modale con approccio sia numerico che sperimentale. Dai risultati si è osservato che l’accoppiamento si presenta quando il secondo e il terzo modo di vibrare sono molto vicini tra loro. Gli autori hanno quindi proposto una relazione che permette di individuare, in base alla frequenza della sovrastruttura e della sottostruttura, se è presente il fenomeno di accoppiamento:

𝜔𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝜔𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 √1 +

𝑚𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑚𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

Risulta interessante notare che il fenomeno dell’accoppiamento modale è indipendente dalla frequenza dell’isolamento 𝜔𝑖𝑠.

Figura 50 Contour riassuntivo delle caratteristiche dinamiche in funzione della massa partecipante del 2° e del 3° modo. La zona tratteggiata rappresenta quella in cui è presente un accoppiamento modale ( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e

B-H Lee ,2010)

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Figura 51 Accelerazione del piano sopra l'isolamento adimensionalizzata rispetto alla PGA ( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010)

Figura 52 Accelerazione della sovrastruttura adimensionalizzata rispetto alla PGA ( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang e B-H Lee ,2010)

In questo studio è stato confrontato anche il comportamento di un sistema a 3 gradi di libertà, in due casi: i, primo in cui non avviene l’accoppiamento ( nei grafici indicato con specimen A), e l’ altro in cui c’è accoppiamento (specimen B). La prova è stata eseguita su tavola vibrante, e i sismi a cui è stata sottoposta presentano stessi valori di accelerazione ma diversi spettri di risposta in accelerazione e spostamento.

Figura 53 spettri di risposta in accelerazione (sinistra) e in spostamento (destra) simulati dalla tavola vibrante nello studio ( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang, Meng-Hui Lin e B-H Lee ,2012)

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Figura 54 Spostamenti (sinistra) e accelerazioni (destra) per i vari livelli della struttura a 3-gdl. Sono stati confrontati nel caso ci sia accoppiamento modale (Specimen B) o non ci sia (Specimen A) ( S-J Wang, K-C-Chang, J-S Hwang, Meng-Hui

Lin e B-H Lee ,2012)

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Lin e B-H Lee ,2012)

Osservando i grafici è evidente quanto l’accoppiamento modale produca effetti negativi per la struttura e amplifichi in quasi tutte le situazioni la risposta, sia in termini di accelerazioni che di spostamenti. Tra tutti, l’accoppiamento modale amplifica il drift della sottostruttura.

Per lo studio dello smorzamento, in questo tipo di strutture, gli approcci da applicare sono 2: il primo che consiste nell’applicare lo smorzamento alla Rayleigh sia alla sovrastruttura che alla sottostruttura, per poi andare a formare una matrice complessiva della struttura, introducendo un vettore (C*) che rappresenta la velocità relativa tra la velocità dell’isolamento e quella del piano corrispondente alla riga in cui entra:

𝐶 = [ 𝐶𝑙 ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 𝐶∗ 𝐶𝑢]

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comportando valori di smorzamento elevati per i modi superiori, per tal motivo è opportuno calibrare opportunamente il modello.

Figura 57 Smorzamento proporzionale alla rigidezza calibrato al 5% per i primi 3 modi di vibrare. Esempio di una struttura a 7 piani isolata al 3°

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63 5. Analisi parametrica

Al fine di analizzare il comportamento delle strutture con isolamento di interpiano, si sono studiati più casi nei quali è stato variata l’entità della massa e della rigidezza sopra e sotto l’isolamento, il periodo del sistema di isolamento, la PGA e i parametri dello smorzatore. Per rendere semplice la trattazione del problema è stato studiato un sistema a 3 gdl equivalente, nel quale sono state svolte le analisi Time history (THA) e sul quale si basa il modello surrogato. Per assumere valori realistici di masse e rigidezze, sono state ricavate con un metodo che ha consentito di associare ogni caso ad una struttura realistica, ovvero composta da vari piani sotto e sopra l’isolamento. Lo studio sarà svolto riferendosi a diverse combinazioni di piani sopra e sotto l’isolamento, il significato tuttavia va oltre questi singoli casi perchè si può estendere a tutte le combinazioni di massa e rigidezza (e quindi di frequenza) analizzate.

5.1 Sistema equivalente a 3 gradi di libertà

Negli edifici dotati di isolamento di interpiano, la struttura è composta da tre parti principali: la sovrastruttura, il piano di isolamento e la sottostruttura. Per tale motivo risulta più semplice ragionare con un sistema semplificato, caratterizzato da 3 masse e 3 rigidezze che rappresentano le 3 porzioni della costruzione. Per fare ciò è opportuno valutare un metodo che consenta di rappresentare il generico sistema m-dof con un sistema 3-dof e che consenta una buona approssimazione dei risultati.

Le ipotesi su cui si fonda il metodo sono:

 Massa di piano costante per tutti i piani al di fuori del piano di isolamento

 La geometria di pianta è costante per tutta l’altezza

 Rigidezza totale uguale tra il sistema a 3-gdl e quello a n-gdl

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1. La massa della sovrastruttura è la somma delle masse di piano che costituiscono la sovrastruttura, lo stesso vale per la sottostruttura:

𝑀𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎= 𝑛 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑖𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 × 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑖 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑖

𝑀𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑛 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑖𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 × 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑖 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜

2. Per introdurre un metodo generalizzato per la determinazione delle rigidezze, si è deciso di partire dalla determinazione dei periodi delle singole parti di struttura e in un secondo momento al calcolo della rigidezza. Il calcolo del periodo è stato eseguito attraverso la formula semplificata proposta dalle NTC08, in modo da poter determinare una rigidezza che non sia legata alle caratteristiche strutturali, ma sia calcolabile in maniera generalizzata. Si determinano i periodi delle strutture fisse alla base con un numero di piani pari ai piani della struttura analizzata (non si considera l’altezza del piano di isolamento), e della sovrastruttura. L’altezza di ogni piano è assunta pari a 3 m.

𝑇𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝐶 𝐻𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 3 4 𝑇𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒= 𝐶 𝐻𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒 3 4

Dai periodi si determinano le frequenze angolari con la seguente relazione:

𝜔 =2𝜋 𝑇 Infine si determinano le rigidezze:

𝐾 = 𝜔2 𝑀

La K del sistema è ipotizzata pari alla somma in serie delle rigidezze di piano: 1 𝑘𝑒𝑞 = 1 𝑘1 + 1 𝑘2 + ⋯ + 1 𝑘𝑛 = 𝑛1 𝑘 𝑘 = 𝑛𝑘𝑒𝑞

(67)

65

𝐾𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎= ( 1 𝑘𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒 − 1 𝑘𝑠𝑜𝑣𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑡𝑢𝑟𝑎 ) −1

3. A questo punto si conoscono masse e rigidezze della sovrastruttura e della sottostruttura di entrambi i sistemi, manca però la determinazione della rigidezza del sistema di isolamento. Data la necessità di creare un sistema generalizzato che sia congruo all’utilizzo per ogni struttura da analizzare, si fissa un periodo di isolamento pari ad una amplificazione del periodo calcolato per la sovrastruttura fissa alla base. In questo modo si riesce ad automatizzare lo studio perché il tipo di isolamento è legato alla sovrastruttura in esame. Per quanto riguarda le masse attribuite alle strutture, queste sono pari a 1000kg/mq per piano nella sottostruttura e nella sovrastruttura, mentre 1200 kg/mq per il piano di isolamento. Le masse sono state stimate ipotizzando una tipologia strutturale a telaio con tamponamenti in muratura.