ANGOLI AL CENTRO E ALLA CIRCONFERENZA: APPROCCIO ALLA DIMOSTRAZIONE

Autori R. Ferro, F. Finoglio, M. C. Garassino, S. Labasin

A chi è

rivolto Primo biennio scuola secondaria di secondo grado Descrizione dell’attività

L’attività propone allo studente una situazione da esplorare con GeoGebra (scheda di lavoro) utilizzando ciò che gli viene suggerito e ciò che ritiene utile per congetturare e trarre conclusioni dalle premesse date.

L’attività è stata preparata tenendo presente la lettura de “La dimostrazione alla prova” (O. Robutti - D. Paola, in Matematica e Aspetti Didattici, Quaderni della Direzione Classica, vol. 45, MIUR 2001).

In particolare si ritengono centrali gli elementi che emergono nel seguente passo tratto da: F. Arzarello - O. Robutti, Il problema aperto in geometria con l’aiuto di un software didattico, Nuova Secondaria, 2, Lascuola, Brescia 1997:

“La modalità di presentazione del problema di congettura e dimostrazione è quella del problema aperto che ha le seguenti caratteristiche:

• ha un enunciato abbastanza corto;

• non contiene in forma esplicita tutte le informazioni né tutte le ipotesi; • non induce un metodo di soluzione;

• non contiene l’esplicitazione di tutte le richieste: le domande poste sono del tipo: “Quali configurazioni assume… Quali relazioni puoi trovare tra….”

Si presenta inoltre un’analisi della scheda per gli studenti: il lavoro conduce a ripetere molte volte la procedura esplorazione - controllo ascendente – formulazione di congetture – abduzione – controllo discendente, al fine di permettere di capire “che cosa sto facendo” invece di imparare a memoria ricette matematiche preconfezionate.

Scheda di lavoro Prima parte • Apri GeoGebra.

• Definisci uno slider r con valori compresi tra 0 e 10. • Disegna una circonferenza di centro il punto O e raggio r.

• Disegna due punti A e B sulla circonferenza, disegna i segmenti AO e BO e segna l’angolo AOB (si tratta di un angolo al centro).

Muovendo i punti A e B osserva il variare dell’angolo.

Muovi lo slider, cioè varia il raggio della circonferenza. Che cosa osservi?... ………...……….. Seconda parte

• Disegna ora un punto C sulla circonferenza. C deve essere scelto in modo tale da insistere (“appoggiarsi”) sullo stesso arco AB su cui insiste l’angolo AOB.

• Disegna i segmenti AC e BC e segna l’angolo ACB (è un angolo alla circonferenza). Sposta il punto C. Che cosa accade? ...

Varia il raggio della circonferenza e sposta nuovamente il punto C. Che cosa accade? ... ...

Sposta A e/o B. Muovi il punto C. Che cosa accade?... Prova a enunciare la proprietà che hai appena osservato.

“In una circonferenza due o più angoli alla circonferenza che insistono ...”. Terza parte

Muovi il punto B e osserva la misura dell’angolo al centro AOB e quella del corrispondente angolo alla circonferenza ACB. Studia la funzione ACB = f (AOB).

1. Muovi il raggio della circonferenza in modo da ottenere una circonferenza di raggio AO = 5 cm. 2. Muovi il punto B sulla circonferenza per generare un insieme di coppie di angoli corrispondenti (AOB

e ACB). Fai variare l’angolo al centro AOB da 0° a 180° con passo di circa 30°.

3. Completa la tabella, ripetendo il procedimento anche per una circonferenza di raggio AO = 8 cm.

Circonferenza di raggio 5 cm Circonferenza di raggio

8 cm

AOB ACB AOB ACB

0° 0° 30° 30° 60° 60° 90° 90° 120° 120° 150° 150° 180° 180°

107 Quarta parte

Tra tutti i casi possibili considera in particolare quello in cui A e V appartengono allo stesso diametro, la situazione è rappresentata in figura.

Con GeoGebra costruisci la figura rappresentata misurando gli angoli indicati.

Esamina la situazione.

L’angolo al centro α = AOB è un angolo esterno del triangolo BOC. Perciò è congruente a ...

Gli angoli risultano ... poiché il triangolo OBC è ...avendo i lati ... ...

Concludi: ... Da cui segue: ...

Completa la dimostrazione esaminando inoltre le ulteriori situazioni delle due figure sottostanti.

Suggerimento: muovi C, traccia il diametro CD e determina angoli al centro AOD, DOB e relativi angoli

alla circonferenza ACD, DCB del tipo esaminato nella situazione sopra. Conseguenze

• Quale relazione esiste tra due angoli alla circonferenza che sottendono la medesima corda? • Sapresti determinare l’ampiezza degli angoli alla circonferenza inscritti in una semicirconferenza? • Quale relazione esiste tra angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda e hanno il vertice

da parte opposta rispetto alla corda? Esercizi proposti

1. Due rette tangenti in T e in S a una circonferenza di centro O si incontrano in P. Come risultano gli angoli TOS e TPS?

2. Per ciascuno degli angoli alla circonferenza rappresentati, disegna l’arco su cui insiste e il corrispondente angolo al centro.

Figura 7. (da: “Pensare e fare matematica, Geometria”, M. Andreini, R. Manara, F. Prestipino, I. Saporiti, Etas, Milano, 2011)

3. Nella figura 8 sono rappresentate due corde di una circonferenza, AB e CD, congruenti e non parallele; M e N sono i punti medi delle corde. Unire M e N con O.

a. Come sono i segmenti ON e OM? Che cosa si può dire del triangolo MON?

b. Che cosa si può dire dei triangoli POM e QON? Dedurre che PM e QN sono congruenti. 4. Nella figura 9, O è il centro della circonferenza e AOB è un triangolo isoscele sulla base AB.

Dimostra che i segmenti AC e BD sono congruenti.

5. In ciascuna figura 10, O indica il centro della circonferenza. Spiega perché le situazioni rappresentate sono impossibili.

Figura 10. (da: “Nuova matematica a colori, Geometria”, L. Sasso, Petrini, Novara, 2011)

6. Nella figura 11 sono rappresentate due corde AB e CD di una circonferenza, P è il punto di intersezione dei loro prolungamenti. Unire A con D e B con C.

a. Segnare le coppie di angoli tra loro congruenti perché insistono sullo stesso arco o su archi congruenti.

109 Analisi della scheda di lavoro

Scheda di lavoro Analisi della scheda

Fase 1

• Apri GeoGebra.

• Considera tre punti su una circonferenza e segna l’angolo ACB interno alla circonferenza (si chiama angolo alla circonferenza).

• Analizza come varia l’angolo al variare dei punti sulla circonferenza.

• Si può osservare una congruenza tra angoli? In quale caso?

Lavoro di esplorazione senza controllo

Ai ragazzi viene richiesto di esplorare la figura senza specificare bene la direzione in cui andare. Il test del trascinamento permetterà di stabilire se la costruzione è corretta (cioè se hanno costruito effettivamente i punti sulla circonferenza).

All’inizio i ragazzi proveranno a muovere i punti

A, B, C senza capire che cosa sta variando.

Con il passare dei minuti dovrebbero capire che per rispondere alle nostre domande occorre muovere un solo punto e annotare che cosa succede, poi provare con gli altri.

Fase 2

• Sposta il punto C. Che cosa accade?

• Varia il raggio della circonferenza e sposta nuovamente il punto C. Che cosa accade?

• Sposta A e/o B. Muovi il punto C. Che cosa accade? • Prova a enunciare la proprietà, a formulare una

congettura sulla base delle relazioni che hai

appena osservato.

Controllo ascendente/selezione (congettura) L’insegnante aiuta gli studenti a prendere in considerazione la figura corretta, occorre infatti porre l’attenzione sugli angoli alla circonferenza e quindi sullo spostamento di C.

I ragazzi dovrebbero notare che l’angolo alla circonferenza è costante quando si “guarda” allo stesso arco e formulare una congettura (con GeoGebra occorre fare attenzione e ridefinire l’angolo quando si passa “all’altro arco”).

Dovrebbero anche individuare che angoli alla circonferenza opposti rispetto alla corda AB sono supplementari.

Fase 3 – Perché gli angoli alla circonferenza sono