a cura di P. Pezzini
La dimostrazione fa della matematica una disciplina fortemente caratterizzata dalla giustificazione di nozioni, regole e tecniche, con una riflessione su di esse e sulle loro conseguenze, indipendentemente dalla possibilità di applicarle.
In matematica una dimostrazione è eseguita all’interno di una teoria nella quale gli enunciati condivisi sono esplicitati all’inizio dell’attività dimostrativa.
Tale metodo ha inizio nel mondo greco con Euclide che ne Gli Elementi (IV-III secolo a.C.) riassume, completandole, le principali ricerche e conoscenze dei matematici che lo avevano preceduto.
Gli Elementi di Euclide sono il primo esempio, per molti secoli insuperato, di sistema assiomatico deduttivo, ossia di teoria fondata su un insieme di proposizioni di partenza (assiomi o postulati) a partire dalle quali, mediante dimostrazioni, si deducono, ossia si ricavano, altre proposizioni dette teoremi.
Tale concezione di dimostrazione subisce vari cambiamenti nei secoli.
Il XVII secolo segna una profonda frattura nella concezione della dimostrazione (Torricelli, Descartes, Pascal, Wallis). Si cerca di sviluppare metodi che consentano di ottenere risultati e scoprire proprietà significative, con riferimento ai nuovi enti matematici che la rivoluzione scientifica in corso richiedeva di studiare.
Un’altra profonda trasformazione nel concetto di dimostrazione avviene agli inizi del ‘900. Le geometrie non euclidee e la scoperta dell’esistenza di antinomie nelle teorie matematiche formulate portano all’esigenza di ripensare le conoscenze e le tecniche matematiche in uso, cercando di fondarle su basi sicure. Bisogna precisare i concetti di assioma, teorema, dimostrazione, teoria ed essere sicuri che le tecniche utilizzate nella ricerca matematica non portino a contraddizioni.
Nella matematica moderna si può allora assumere quella che segue come una definizione del concetto di dimostrazione.
In una teoria T si dice dimostrazione della tesi t dalle ipotesi I1, I2, I3, ..., In una sequenza finita e ordinata di enunciati che termina con la tesi t e tale che ogni enunciato soddisfa una delle seguenti condizioni:
• è un assioma della teoria T • è una delle ipotesi I1, I2, I3, ..., In
• è dedotto da uno o più degli enunciati precedenti mediante applicazione delle regole logiche.
147
Nella didattica, l’approccio a un problema o un teorema non è mai semplice e si possono individuare alcune fasi che lo caratterizzano:
• analisi e esplorazione del problema; • produzione di congetture;
• loro validazione;
• dimostrazione di quelle corrette.
Nei processi di risoluzione è importante utilizzare opportuni mediatori che consentano di facilitare le varie fasi. Uno di questi è l’ambiente “carta e matita”. A esso si affiancano validi software didattici. Tra i più utilizzati sia in ambito di geometria sintetica che analitica vi è GeoGebra che offre la possibilità, come anche altri software di geometria, di manipolare dinamicamente le figure.
Riferimenti bibliografici
D. Paola, O. Robutti, La dimostrazione alla prova. Itinerari per un insegnamento integrato di algebra, logica, informatica, geometria,
http://www.matematica.it/paola/quaderno%20ministero%20novembre%201998.pdf
F. Arzarello, F. Olivero, D. Paola, O. Robutti, Dalle congetture alle dimostrazioni. una possibile continuità cognitiva,
AA.VV. (2003). Lenti & occhiali. Un manuale di ottica oftalmica. Palermo: Medical Books. Andreini, M., Manara, R., Prestipino, F., Saporiti, I. (2011). Pensare e fare matematica, Geometria.
Milano: Etas.
Arzarello F., Robutti O. (1997). Il problema aperto in geometria con l’utilizzo di un software didattico. NUOVA SECONDARIA, 2, 73-76.
Arzarello, F., Olivero, F., Paola, D., Robutti, O. (1999). Dalle congetture alle dimostrazioni. Una possibile continuità cognitiva. Insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 22b/3, 209-233.
Bertinetto, C., Metiainen, A., Paasonen, J., Voutilainen, E. (2012). Contaci! 1 Misure, spazio e figure. Bologna: Zanichelli.
Castelnuovo, E. Matematica 1. Numeri e figure. Firenze: La Nuova Italia.
Conti, F., Barsanti, M., Franzoni, T. (1994) Le Olimpiadi della Matematica - Problemi dalle gare italiane. Bologna: Zanichelli.
Cremaschi, R. (2001). Matematica per problemi. Bologna: Zanichelli.
Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca. (2010). Indicazioni nazionali per i licei. Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca. (2012). Indicazioni nazionali per il
Primo Ciclo.
Paola, D., Robutti, O. (2001). La dimostrazione alla prova. In: Matematica ed aspetti didattici, Quaderni della Direzione Classica, 45, 97-201. Roma: Ministero della Pubblica Istruzione. Polya, G. & Kilpatrick, J. (2009). The Stanford Mathematics Problem Book: With Hints and
Solutions. Mineola, New York: Dover Publications, INC.
Sada, S. Sci alpinismo in Valle di Susa. Ciriè, Torino: Fraternali Editore. Sasso, L. (2011). Nuova matematica a colori, Geometria. Novara: Petrini. Sasso, L. (2012). Nuova Matematica a colori. 4. Novara: Petrini.
Sbaragli, S. (2010). Qui cade sua… altezza. Matematica: didattica e avventura. Numero speciale monografico di Vita Scolastica. Anno 64, numero 18, pagg. 25-27.
149
UMI, (2003), Matematica 2003: Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di Matematica, Ciclo secondario, Viareggio.
UMI (2013), Giochi di Archimede – Gara Biennio. http://www.umi.it
Wenger, E. (1998). Communities of Practice: Learning, Meaning, and Identity. Cambridge: Cambridge University Press.
http://www.istruzione.it/ http://www.umi-ciim.it/materiali-umi-ciim/secondo-ciclo/ http://community.geogebra.org/it/ http://difima.i-learn.unito.it/ http://risorsedocentipon.indire.it http://www.indire.it/ponmatematicacorso1/all/09_06_05_m@tabel_sintesi1.pdf http://www.invalsi.it http://www.filippin.it/morin/attivita/supermath2010/scimemi.pdf http://phet.colorado.edu/it/simulation/the-ramp http://www.maurofornasari.com/htmcorso/rollio.gif
http://education.nationalgeogr aphic.com/education/multimedia/inter ac tive/ sailingsimulator/?ar_a=1 http://www.thepirateking.com/ships/sail_simulator.htm http://www.wb-sails.!/portals/209338/news/boatRace/boatRaceFrameSet.htm http://www.nshof.org/index.php?option=com_content&view=category&layout=blog&id=32&I temid=104&limitstart=10 http://teachers.eg!-k12.org/navy-sail-design/ http://www.oceansail.co.uk/Articles/Maths.html http://www.princeton.edu/~rvdb/JAVA/sail/sail.html http://www.phys.unsw.edu.au/~jw/sailing.html http://www.slideshare.net/Stanford_Engineering/e-day-2012margotsailing http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_11_99.html
http://www.sailsimulator.com/ http://www.invalsi.it/snvpn2013/documenti/Quaderni/Quaderni_SNV_N3_MAT.pdf http://www.engheben.it/prof/materiali/invalsi/invalsi_seconda_superiore/2006-2007/invalsi_ matematica_2006-2007_secondaria_prima.pdf http://www.lastshopping.it/blog/offerte/bertoni-tende-da-campeggio-igloo-canadesi-e-casette- per-vivere-la-natura.html https://www.google.it/maps http://digilander.libero.it/sussidi.didattici/nordsud/nordsud.html http://www.ilfattoquotidiano.it/2013/11/12/pattinaggio http://it.wikipedia.org/wiki/Illusione_ottica#Figure_ambigue http://www.toscana.lafragola.kataweb.it/pisa/medie/fibonacci/story302176.html http://www.caisem.org/public/Didattica%5CTUTTI%5COrientamento%20in%20montagna.pdf http://it.wikipedia.org/wiki/Pendenza_topografica http://macosa.dima.unige.it/om/voci/peculi/peculi.htm http://macosa.dima.unige.it/schede/ps2/PS-2.htm http://www.gulliver.it/itinerario/57695/ http://online.scuola.zanichelli.it/amaldi-files/Cap_3/Triangolazione_Cap3_Par6_Amaldi.pdf http://www.vialattea.net/eratostene/ http://www.istituto25aprile.gov.it/documenti/materiale_didattico/Compititopografia_vacanze_ estive3G.pdf http://www3.ti.ch/DECS/sw/temi/scuoladecs/files/private/application/pdf/2525_mate_compe- tenze_completo.pdf http://www.avimes.it/ http://web.unife.it/progetti/fardiconto/#atlandia/FLATlandia http://www.invalsi.it/snvpn2013/documenti/strumenti/2013_II_Sec_Secondo_grado_GUIDA_