Descrizione dell’attività
Fase 2 Distanze su una mappa
In questa fase gli studenti dovranno stimare la distanza tra due punti situati in una zona montuosa indicati su una carta. Dalla osservazione della carta e dalla discussione emergerà la
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Primo passo
L’insegnante, riferendosi ancora alla figura 23, chiede di stimare la distanza tra due punti che stanno sulla stessa quota.
In tal modo la classe riprende il concetto di fattore di scala di una mappa, alcune procedure sull’uso delle proporzioni e lavora sull’approssimazione della misura della lunghezza di un percorso curvilineo come sommatoria delle lunghezze delle diverse spezzate approssimanti il percorso.
Secondo passo
Nella fase precedente gli studenti hanno stimato la distanza tra due punti siti in una zona pianeggiante e hanno verificato che è stato sufficiente conoscere la scala di riduzione. L’insegnante chiede adesso di ricavare dalla carta una stima della distanza tra due punti nel caso in cui essi siano collocati a quote diverse in un’area non pianeggiante. Si aspetta che gli studenti facciano emergere la necessità di conoscere l’inclinazione o la pendenza del terreno. L’insegnante può cogliere l’occasione per far notare che la pendenza si può indicare:
• in gradi, come fanno gli arrampicatori per esprimere la pendenza di una parete rocciosa. Il grado misura l’ampiezza dell’angolo formato tra il terreno piano e la parete inclinata considerata. Si parla infatti di inclinazione, che a 90° corrisponde a una parete verticale perpendicolare al piano del terreno orizzontale;
• in percentuale, come vediamo sui cartelli stradali. Se dalla carta, tenuto conto del fattore di scala, misuriamo che la distanza orizzontale da A a B è pari a 2 km e il loro dislivello è pari a +700 m (senza discese/salite intermedie), allora la pendenza media del percorso sarà del 35%, ottenuta nel seguente modo: 700 : 2000 = 0,35 = 35%
Caso 1: i due punti sono situati lungo un percorso a pendenza pressocché costante.
L’esperienza può essere realizzata anche dentro un edificio scolastico, per esempio lungo i gradini di una scala, misurando la distanza tra due punti A e B su due gradini (la cosiddetta lunghezza inclinata) e la distanza tra le proiezioni ortogonali A e B’ dei due punti sul piano orizzontale, come nella figura 25. Lo studente osserva che sulla mappa vede i punti B e B’ sovrapposti ma che nella realtà il percorso inclinato AB è più lungo del percorso orizzontale AB’. A questo punto l’insegnante può proporre situazioni che richiedano la modellizzazione con triangoli rettangoli aventi in comune uno stesso cateto (che modellizza il piano orizzontale) e diversa ipotenusa, la cui lunghezza varia di volta in volta al variare della sua inclinazione rispetto a tale cateto. La lunghezza inclinata AB sarà ricavata con il teorema di Pitagora.
Caso 2: i due punti sono situati lungo un percorso a pendenza variabile, come i punti A e D indicati nella figura 26. La lunghezza AD sarà ottenuta come somma delle lunghezze AB, BC, CD.
Terzo passo
L’insegnante chiede di stimare i tempi di percorrenza del tratto AB.
Un alpinista mediamente allenato e con uno zaino in spalla percorre in un’ora circa 3 curve di livello in salita, cioè circa 300m.
Fase 3 - Pendenza
L’insegnante propone di prestare attenzione ai segnali stradali indicanti la pendenza di un tratto di strada e chiede di osservare la relazione tra angolo di inclinazione e pendenza espressa in percentuale (figura 27). È importante che gli studenti colgano che non vi è una dipendenza lineare tra le due grandezze.
A seconda della classe in cui viene proposta l’attività, si può far notare che la definizione di pendenza come tangente trigonometrica di un angolo dovrebbe far comprendere che la pendenza, in quanto appunto funzione trigonometrica, non è una funzione di tipo lineare.
Figura 27. (da: http://it.wikipedia.org/wiki/Pendenza_topografica)
Attività 1 - Trovare l’inclinazione di una strada nota la percentuale della pendenza (da: http://macosa.dima.unige.it/om/voci/peculi/peculi.htm )
Abbiamo visto la pendenza come rapporto tra il dislivello superato e il corrispondente avanzamento in orizzontale.
Se la pendenza è del 14%, basta tracciare con riga e squadra un segmento orizzontale lungo 100 mm (10 cm) e uno verticale con un estremo in comune con esso lungo 14 mm e, congiunti gli altri estremi, misurare l’inclinazione del nuovo segmento con un goniometro. In questo caso (figura 28) si ottiene una pendenza 8°.
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Esempio
Valuta la distanza da Tures a Cima del Bosco (figura 29). Quanto tempo impiegheremo a percorrere il sentiero che unisce Tures a Cima del Bosco?
Quale sarà il tratto con pendenza massima?
Esempi di prove di verifica
Esempio 1
(da: http://macosa.dima.unige.it/schede/ps2/PS-2.htm)
Da una cartina ricavo che una funicolare ha un percorso rettilineo che si sviluppa orizzontalmente per 850 m (è la lunghezza della sua proiezione su un piano orizzontale). Su una guida della città leggo che tale percorso ha una inclinazione costante di 25°. Utilizza opportunamente la carta millimetrata e una riga per determinare il dislivello superato dalla funicolare e la pendenza del percorso (figura 30). Spiega come hai proceduto.
Figura 30 Esempio 2
Decidi di raggiungere in bicicletta la Basilica di Superga da Sassi. Cercando in rete trovi le seguenti indicazioni (figura 31).
Figura 29. (da: “Sci alpinismo in Valle di Susa”, Fraternali Editore)
Commenta in gruppo tali dati forniti dal sito http://www.gulliver.it/itinerario/57695/ per valutare la lunghezza del percorso, la difficoltà e i tempi di percorrenza per pianificare l’escursione. Esempio 3 - Testo di un problema assegnato all’esame di Stato (Esame di Stato a.s. 2007-2008 - Corso di ordinamento - Sessione ordinaria)
Secondo il codice della strada il segnale di “salita ripida” (figura 32) preavverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell’esempio è 10%. Se si sta realizzando una strada rettilinea che, con un percorso di 1,2 km, supera un dislivello di 85 m, qual è la sua inclinazione (in
gradi sessagesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale? Figura 32
La figura che vedi riporta una rappresentazione semplificata delle linee di livello di una montagna. Le linee di livello uniscono tutti i punti che si trovano alla stessa altitudine. Nella figura il punto A è a 1000 metri di altitudine e la vetta S della montagna è a 1600 metri. Un escursionista va dal punto A al punto S seguendo il percorso indicato nel disegno dal segmento AS.
a. Tra i tratti AB, BC, CD, DE, qual è il più ripido?
A. AB B. BC
C. CD D. DE
b. Giustifica la tua risposta ...
Questo è il profilo altimetrico della quinta tappa del Giro d’Italia 2009.
Esempio 4 - Quesito D10 - PN 2010-2011, INVALSI
Esempio 5 - Quesito D19 - PN 2009-2010, INVALSI
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.
V F a. La tappa è lunga 125 km.
b. L’altitudine massima raggiunta è 1844 m.
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