Appendice A

10 Morfismi finiti tra curve.

Ricordiamo la definizione:

Definizione 10.1. Un morfismo f : X → Y è finito se esiste un ricoprimento

V

di Y con aperti affini tale che U

= f

⁻¹

(V

) sia affine e tale che O(U

) sia

un O(V

)-modulo finitamente generato.

Vedere [15], II, p. 84. Questa definizione è valida sia nell’ambito delle

varietà che in quello degli schemi.

Proposizione 10.2. Un morfismo non costante f : X → Y tra due curve

proiettive, non sinogolari, irriducibili è un morfismo finito.

Prima di dimostrare questa proposizione ricordiamo alcuni fatti di algebra.

Siano A, B due anelli A ⊂ B. Un elemento b ∈ B è intero su A se b è radice di

un polinomio monico a coefficienti in A. L’insieme degli elementi di B interi

su A è un sotto anello di B, chiamato la chiusura integrale di A in B. L’anello

B è intero su A se ogni b ∈ B è intero su A (cioè B è la chiusura integrale di

A in B).

Se A è integro, A è integralmente chiuso se è uguale alla sua chiusura

integrale in K, il suo campo dei quozienti.

Useremo il seguente risultato ([15], I Thm. 3.9A):

Teorema 10.3. Sia A un anello integro che è un k-algebra di tipo finito (k un

campo). Sia L un’estensione finita di K, il campo dei quozienti di A. Se A

⁰

è

la chiusura integrale di A in L, allora A

⁰

è un A-modulo finitamente generato

e una k-algebra di tipo finito.

Dimostriamo adesso la Proposizione 10.2:

Dimostrazione. Sia y ∈ Y e sia V un intorno affine di y. Allora O(V ) ⊂

k(Y ) ⊂ k(X). Sia A la chiusura integrale di O(V ) in k(X). Per il Teorema

10.3, A è un O(V )-modulo finitamente generato e una k-algebra di tipo finito.

Quindi possiamo vedere A come l’anello di una varietà affine A = O(U ), dove

U è una curva affine. Siccome il campo dei quozienti di A è k(X), la curva U

è birazionale a X, pertanto possiamo identificare U a un aperto affine di X.

Per concludere la dimostrazione basta vedere che f

⁻¹

(V ) = U .

Sia y

∈ V e supponiamo che esista x

∈ U tale che f (x/

) = y

. Mostriamo

che questo conduce ad un assurdo. Indichiamo con x

, ..., x

gli x ∈ U con

f (x) = y

. Possiamo trovare una funzione razionale g su X con g /∈ O

ma

g regolare in x

₁

, ..., x

. Possiamo trovare h ∈ O(V ) tale che h(y

₀

) 6= 0 e tale

che gh ∈ O(U ). Infatti se g ha un polo in z ∈ U , allora g

= v/t

, dove t

è un parametro locale. Abbiamo f (z) = y 6= y

. Sia t un parametro locale in

y. Allora f

∗

t

= t

. Sia h ∈ O(V ) con h(y

) 6= 0 e con ν

(h) = n, nk ≥ m,

allora gh (cioè g.(h ◦ f )) è regolare in z.

Quindi gh ∈ O(U ) = A e pertanto gh è intero su O(V ):

(gh)

ⁿ

+ b

₁

(gh)

ⁿ⁻¹

+ · · · + b

= 0

con b

∈ O(V ). Segue che: −(gh) = b

+ ^b

gh ^{+ · · · +}

b

(gh)

n−1

. Ma gh non

è regolare in x

₀

perché g non lo è e h(x

₀

) 6= 0. Questo implica che 1/gh è

regolare in x

. Quindi nell’ultima uguaglianza il membro di sinistra non è

regolare in x

, mentre quello di destra lo è: assurdo. ut

Tornando alla dimostrazione

Proposizione 10.4. L’anello eO è un O

-modulo libero di rango d.

Dimostrazione. Mostriamo prima che eO è un O

-modulo finitamente

gener-ato. Riprendiamo le notazioni della dimostrazione della Proposizione 10.2.

Quindi f : U → V , U, V affini, y ∈ V , f

⁻¹

(y) = {x

, ..., x

}, O(V ) ⊂ O(U )

e O(U ) è un O(V )-modulo finitamente generato. Sia g ∈ eO e siano z

i

poli di g in U . Possiamo trovare h ∈ O(V ) tale che: h(y) 6= 0, h(y

) = 0

(y

= f (z

), quindi y

6= y) e gh ∈ O(U ). Siccome h(y) 6= 0, 1/h ∈ O

. Quindi

g ∈ (1/h).O(U ). Questo mostra eO ⊂ O

.O(U ). L’inclusione opposta è chiara

(pensare a O

= {(f

⁻¹

(V

) = U

, g

◦ f )}, dove (V

, g

) ∈ O

Y,y

è un germe in

y). Siccome O(U ) è generato da, diciamo, h

₁

, ..., h

su O(V ), ogni elemento

di eO = O

.O(U ) si scriveP(s

b

)h

, con s

b

∈ O

. Quindi eO è un O

-modulo

finitamente generato.

Per il teorema di struttura dei moduli su un P.I.D. eO è somma diretta

di un modulo libero di tipo finito con un modulo di torsione. Siccome eO e

O

sono contenuti nel campo k(Y ), il modulo di torsione è nullo. Segue che

e

O ' O

. La dimensione m è il massimo numero di elementi di eO indipendenti

su O

. Siccome il campo dei quozienti dell’anello integro O

è k(Y ), m è

10 Morfismi finiti tra curve. 141

anche il massimo numero di elementi indipendenti su k(Y ). Siccome eO ⊂

k(X), abbiamo m ≤ d := [k(X) : k(Y )]. Sia (g

₁

, ..., g

) una base di k(X) su

k(Y ). Sia p il massimo degli ordini dei poli dei g

nei punti x

. Allora g

t

è

regolare in x

, ∀i. Infatti da t = t

^k1

...t

^kr

.v, segue che ν

x_i

(g

t

) > 0. Quindi

g

₁

t

, ..., g

t

∈ eO. Chiaramente i g

t

sono indipendenti su k(Y ) perché i g

lo sono. Quindi m = d. ut

Possiamo finalmente dimostrare il nostro teorema:

Teorema 10.5. Sia f : X → Y un morfismo non costante tra due curve

proiettive, non singolari, irriducibili. Il morfismo f induce k(Y ) ⊂ k(X),

estensione finita. Sia d = [k(X) : k(Y )]. Sia y ∈ Y e sia f

^∗

(y) =P m

x

il

divisore associato. Allora P m

= d (cioè ogni fibra di f consta di d punti,

contati con molteplicità).

Dimostrazione. Riprendiamo le notazioni precedenti: t ∈ O

è un parametro

locale. Allora t ∈ O

⊂ eO e quindi (Teorema 5.5) t = t

...t

.v, v

invertibile. Siccome i t

sono due a due primi tra di loro, per il

teore-ma cinese: eO/(t) ' L

e

O/(t

^mi

). Adesso non è troppo difficile vedere che

dim

( eO/t

^mi

) = m

. Quindi dim

( eO/(t)) = P m

. Per la Proposizione 10.4,

e

O/(t) ' (O

/(t))

. Ma O

/(t) = O

/m

' k. QuindiP m

= d. ut

Un altro modo di arrivare a questo risultato è il seguente. Il morfismo

f : X → Y è piatto per [15], III, Proposition 9.7 (osservare l’ipotesi Y non

singolare). Siccome X ⊂ P

ⁿ

, abbiamo

X ⊂ P

× Y

f & ↓

Y

Quindi le fibre di f formano una famiglia piatta di sotto schemi chiusi

zero-dimensionali di X, quindi di P

ⁿ

, parametrizzata da Y . Quindi il polinomio di

Hilbert delle fibre è costante ([15], III, Thm. 9.9). Questo significa che il grado

delle fibre è costante. Rimane da vedere che questo grado è genericamente d.

Bibliografia

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13. Halphen, G.: Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques, J.

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15. Hartshorne, R.: Algebraic geometry, GTM 52, Springer (1977)

16. Hartshorne, R.: Stable reflexive sheaves, III, Math. Ann., 279, 517-534 (1988)

17. Hartshorne, R.-Hirschowitz, A.: Nouvelles courbes de bon genre dans l’espace

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18. Matsumura, H.: Commutative algebra (Second Ed.), Math. Lectue Notes Serie,

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19. Rathmann, J.: The uniform position principle for curves in characteristic p,

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20. Serre, J.P.: Faisceaux algébriques cohérents, Ann. of Maths, 61, 197-278 (1955)

21. Shafarevich, I.: Basic algebriac geometry, 1, Second Ed., Springer-Verlag (1994)

Nel documento Complementi di Geometria (2014-2015) (pagine 143-150)

10

Morfismi finiti tra curve.

Ricordiamo la definizione:

Definizione 10.1. Un morfismo f : X → Y è finito se esiste un ricoprimento

V

di Y con aperti affini tale che U

= f

(V

) sia affine e tale che O(U

) sia

un O(V

)-modulo finitamente generato.

Vedere [15], II, p. 84. Questa definizione è valida sia nell’ambito delle

varietà che in quello degli schemi.

Proposizione 10.2. Un morfismo non costante f : X → Y tra due curve

proiettive, non sinogolari, irriducibili è un morfismo finito.

Prima di dimostrare questa proposizione ricordiamo alcuni fatti di algebra.

Siano A, B due anelli A ⊂ B. Un elemento b ∈ B è intero su A se b è radice di

un polinomio monico a coefficienti in A. L’insieme degli elementi di B interi

su A è un sotto anello di B, chiamato la chiusura integrale di A in B. L’anello

B è intero su A se ogni b ∈ B è intero su A (cioè B è la chiusura integrale di

A in B).

Se A è integro, A è integralmente chiuso se è uguale alla sua chiusura

integrale in K, il suo campo dei quozienti.

Useremo il seguente risultato ([15], I Thm. 3.9A):

Teorema 10.3. Sia A un anello integro che è un k-algebra di tipo finito (k un

campo). Sia L un’estensione finita di K, il campo dei quozienti di A. Se A

è

la chiusura integrale di A in L, allora A

è un A-modulo finitamente generato

e una k-algebra di tipo finito.

Dimostriamo adesso la Proposizione 10.2:

Dimostrazione. Sia y ∈ Y e sia V un intorno affine di y. Allora O(V ) ⊂

k(Y ) ⊂ k(X). Sia A la chiusura integrale di O(V ) in k(X). Per il Teorema

10.3, A è un O(V )-modulo finitamente generato e una k-algebra di tipo finito.

Quindi possiamo vedere A come l’anello di una varietà affine A = O(U ), dove

U è una curva affine. Siccome il campo dei quozienti di A è k(X), la curva U

è birazionale a X, pertanto possiamo identificare U a un aperto affine di X.

Per concludere la dimostrazione basta vedere che f

(V ) = U .

Sia y

∈ V e supponiamo che esista x

∈ U tale che f (x/

) = y

. Mostriamo

che questo conduce ad un assurdo. Indichiamo con x

, ..., x

gli x ∈ U con

f (x) = y

. Possiamo trovare una funzione razionale g su X con g /∈ O

ma

g regolare in x

, ..., x

. Possiamo trovare h ∈ O(V ) tale che h(y

) 6= 0 e tale

che gh ∈ O(U ). Infatti se g ha un polo in z ∈ U , allora g

= v/t

, dove t

è un parametro locale. Abbiamo f (z) = y 6= y

. Sia t un parametro locale in

y. Allora f

t

= t

. Sia h ∈ O(V ) con h(y

) 6= 0 e con ν

(h) = n, nk ≥ m,

allora gh (cioè g.(h ◦ f )) è regolare in z.

Quindi gh ∈ O(U ) = A e pertanto gh è intero su O(V ):

(gh)

+ b

(gh)

+ · · · + b

= 0

con b

∈ O(V ). Segue che: −(gh) = b

+ b

gh + · · · +

b

(gh)

+ ^b

gh ^{+ · · · +}