Intersezioni complete, curve su una quadrica liscia

Il teorema di Bertini (risultato fondamentale delle geometria algebrica

proi-ettiva) ci permetterà di costruire altre curve lisce.

Proposizione 6.12. La generica ipersuperficie di grado a ≥ 1, S

_a

⊂ P

n

è

liscia.

Se S

a

, S

b

sono due ipersuperfici sufficientemente generali, allora X = S

a

∩ S

b

è una varietà liscia, irriducibile se n > 2, di codimensione due.

Dimostrazione. Il sistema lineare delle ipersuperfici di grado a ≥ 1 è

chiara-mente senza punti base (anzi molto ampio). Si conclude con Bertini che la

generica ipersuperficie di grado a è liscia. Se S

_a

= F ∪ T , allora S

_a

è singolare

nei punti di F ∩ T . Pertanto la generica S

a

è liscia, irriducibile.

Sia S

a

liscia, irriducibile e consideriamo δ

b

il sistema lineare segato su S

a

dalle ipersuperficie di grado b. Chiaramente δ

_b

è senza punti base (considerare

delle ipersuperficie di grado b unioni di iperpiani; anzi così si vede che δ

b

è

molto ampio). Si conclude con Bertini che per S

b

generica, X = S

a

∩S

b

è liscia.

Abbiamo I(X) = (f

a

, f

b

) (f

a

, f

b

equazioni di S

a

, S

b

) e quindi una successione

esatta (cf Esercizio 34):

0 → O(−a − b) → O(−a) ⊕ O(−b) → I

_X

→ 0

Se n > 2, h

1

(I

X

) = 0, quindi dalla successione esatta: 0 → I

X

→ O → O

X

→

0, segue che h

⁰

(O

X

) = 1. Quindi X è connessa e essendo liscia è irriducibile.

u

t

6.2 Intersezioni complete, curve su una quadrica liscia. 89

Definizione 6.13. Un sotto schema chiuso X ⊂ P

n

di dimensione r è una

intersezione completa se I(X) è generato da r elementi.

Abbiamo quindi visto che esistono intersezioni complete lisce di

codimen-sione due, X = S

a

∩ S

b

, per ogni a, b ≥ 1 in P

n

. Reiterando il ragionamento

si dimostra l’esistenza di intersezioni complete lisce di codimensione qualsiasi.

A questo proposito non posso esimermi dal menzionare la famosa congettura

di Hartshorne:

Congettura 6.14. (Hartshorne 1974)

Sia X ⊂ P

n

una varietà liscia di dimensione r (k =k, ch(k) = 0). Se r > 2n/3,

allora X è un’intersezione completa.

Quindi, per esempio, ogni sotto varietà liscia, di codimensione due, in

P

ⁿ

, n > 6, dovrebbe essere un’intersezione completa. A prima vista questo

sembra assai improbabile, ma dopo un po’ di riflessione ci si convince che

potrebbe anche essere vero. Al momento, malgrado alcuni risultati parziali, la

congettura è largamente aperta.

Lemma 6.15. Sia C ⊂ P

3

una curva liscia, intersezione completa di tipo

(a, b) (cioè intersezione di una superficie di grado a con una superficie di

grado b). Allora deg C = ab e g(C) = 1 + ^{ab(a + b − 4)}

2 ^.

Dimostrazione. Per il grado basta guardare una sezione piana generica e usare

l’Esercizio 46. Per il genere si tratta di calcolare h

¹

(O

C

). Questo si fa usando

la successione esatta:

0 → O(−a − b) → O(−a) ⊕ O(−b) → I

C

→ 0

e osservando che h

¹

(O

C

) = h

²

(I

C

) dalla successione 0 → I

C

→ O → O

C

→ 0.

Vedere l’Esercizio 58 per una dimostrazione alternativa e più istruttiva.

u

t

Se C è intersezione completa di tipo (a, b), allora ω

_C

' O

_C

(a + b − 4)

(Esercizio 58). In particolare per a = 2, b = 3, abbiamo una curva di grado 6,

genere 4, con O

C

(1) = ω

C

. Quindi C è immersa in P

³

con il sistema canonico

completo |K|. Una tale curva si chiama curva canonica. Le curve canoniche

hanno proprietà molto interessanti.

Curve su una quadrica liscia.

Sia Q ⊂ P

³

una quadrica liscia. Abbiamo visto (Esercizio 43) che Q '

P

¹

× P

1

via P

1

× P

1

,→ P

3

: (u : v) × (x : y) → (ux : uy : vx : vy), quindi Q ha

per equazione X

0

X

3

= X

1

X

2

. Sia C ⊂ Q una curva (o meglio un divisore).

Togliendo il punto (1 : 0) =: ∞ ad ogni fattore abbiamo: (P

¹

\ ∞) × (P

1

\ ∞) '

k × k ' k

2

. In questo isomorfismo la curva C diventa una curva piana ˜C

di equazione, diciamo, F (s, t) = 0. Possiamo assumere che C non contenga

nessuna delle generatrici L

∞

, R

∞

. Siccome la mappa (P

¹

\ ∞) × (P

1

\ ∞) →

Q \ (L

_∞

∪ R

∞

) ' A

2

è data da (u : v) × (x : y) → (s, t), con s = u/v, t = x/y,

vediamo che per recuperare C, dobbiamo omogeneizzare F rispetto a (u : v)

e a (x : y). Cioè se F (s, t) = P a

ij

s

ⁱ

t

^j

= P a

ij

(u/v)

ⁱ

(x/y)

^j

, allora se a =

max{i}, b = max{j}, C è data dall’equazioneP a

ij

u

ⁱ

v

^a−i

x

^j

y

^b−j

= 0. Quindi

ogni divisore su Q è dato da un polinomio bi-omogeneo di bi-grado (a, b), per

qualche a, b in N. Adesso se fissiamo il punto (u : v), siamo sulla retta L

(u:v)

e C ∩ L

_(u:v)

è data da F

_(u:v)

(x, y) = 0, quindi da un polinomio omogeneo

di grado b. Pertanto C interseca ogni generatrice di tipo L in b punti (o la

contiene) e analogamente ogni generatrice di tipo R in a punti (o la contiene).

Questo mostra:

Proposizione 6.16. Il gruppo delle classi Cl(Q) è isomorfo a Z × Z (cioè

Cl(P

¹

) × Cl(P

¹

)). Inoltre P ic(Q) ' Z ⊕ Z, cioè ogni fibrato in rette su Q

è della forma p

^∗

(O

_P1

(a)) ⊗ q

^∗

(O

_P1

(b)), dove p, q sono le proiezioni e dove

a, b ∈ Z.

Dimostrazione. Abbiamo visto che ogni divisore su Q è dato da un polinomio

bi-omogeneo quindi è linearmente equivalente a p

^∗

(D

1

) + q

^∗

(D

2

), dove D

1

, D

2

sono dei divisori di P

1

. Inoltre sappiamo che Cl(P

1

) = Z.

Per la corrispondenza tra divisori e fasci invertibili (che funziona per le

varietà lisce di dimensione > 1 esattamente come nel caso delle curve),

abbi-amo P ic(Q) ' P ic(P

1

) × P ic(P

1

). Vedere [15] II Example 6.6.1; III Exercise

5.6 per più dettagli. ut

Il fascio invertibile p

^∗

O(a)⊗q

∗

O(b) viene notato O

Q

(a, b). Il sistema lineare

completo delle curve di bi-grado (a, b) è P(H

⁰

(O

Q

(a, b)) =: δ(a, b). E’ facile

convincersi che δ(a, b) 6= ∅ ⇔ a ≥ 0 e b ≥ 0 (se a = b = 0, abbiamo il divisore

nullo).

Lemma 6.17. Se 0 ≤ a ≤ b, il sistema lineare δ(a, b) è senza punti base.

Dimostrazione. Se (a, b) 6= (0, 0) basta osservare che δ(a, b) contiene tutti i

divisori costituiti dall’unione di a generatrici di un sistema e b generatrici

dell’altro sistema. Quindi per ogni p ∈ Q esiste un tale divisore non passante

per p. ut

La coomologia dei fasci O

Q

(a, b) è data dalla formula di Künneth:

Proposizione 6.18. Abbiamo:

6.2 Intersezioni complete, curve su una quadrica liscia. 91

h

ⁱ

(O

_Q

(a, b)) = ^X

j,l|j+l=i

h

^j

(O

_P1

(a)).h

^l

(O

_P1

(b)).

Da questo segue che δ(a, b) è un sistema lineare ∞

^{(a+1)(b+1)−1}

, inoltre:

Proposizione 6.19. Per ogni 1 ≤ a ≤ b, esiste una curva liscia, irriducibile

di bi-grado (a, b), C ⊂ Q. La curva C ha grado a + b e genere (a − 1)(b − 1).

Dimostrazione. Per il Lemma 6.17 e per il Teorema di Bertini (6.9) sappiamo

che esiste una curva liscia C ∈ δ(a, b). Il fascio d’ideali I

_C,Q

non è altro che

O

Q

(−a, −b) (C è una sezione di O

Q

(a, b)). Abbiamo quindi una successione

esatta:

0 → O

Q

(−a, −b) → O

Q

→ O

C

→ 0

Per la Proposizione 6.18: h

i

(O

_Q

(−a, −b)) = 0, 0 ≤ i ≤ 1, quindi C è connessa

e pertanto irriducibile. E’ chiaro che deg C = a+b. Abbiamo g(C) = h

1

(O

C

) =

h

²

(O

Q

(−a, −b)) = h

¹

(O

_P1

(−a)).h

¹

(O

_P1

(−b)) = (a − 1)(b − 1). ut

Se (a, b) = (1, d − 1), d ≥ 2, vediamo che per ogni d ≥ 2 esiste una curva

razionale di grado d su Q.

Invece se g = 1, da 1 = (a − 1)(b − 1), vediamo che necessariamente

abbiamo a = b = 2. Quindi nessuna curva ellittica di grado > 4 è contenuta

in una quadrica liscia.

Per (a, b) = (2, d − 2), otteniamo delle curve lisce di grado d, genere g =

d − 3. Queste curve sono iperellittiche (Esercizio ??). Quindi per ogni g ≥ 2,

esiste una curva di genere g, iperellittica.

Per d fissato i possibili (a, b) con a + b = d sono (1, d − 1), (2, d −

2), ..., (d/2, d/2) se d è pari o (d − 1)/2, (d + 1)/2) se d è dispari. Il genere più

grande si ottiene per (d/2, d/2) (risp. ((d − 1)/2, (d + 1)/2)) e vale: (d − 2)

2

/4

(risp. (d − 3)(d − 1)/4). Vedremo tra poco che questo è il genere massimo di

una curva sghemba di grado d in P

³

.

Finalmente osserviamo che una curva di bi-grado (a, a) è l’intersezione

completa di Q con una superficie di grado a (Esercizio 59).

Esercizi.

Esercizio 56 Sia C ⊂ P

n

una curva liscia, irriducibile, non degenere.

Mostrare che deg(C) ≥ n. Inoltre se deg(C) = n, allora C è razionale.

Con-cludere che ogni curva, liscia , irriducibile, di grado ≤ 3 in P

3

è razionale

(una retta, una conica o una cubica gobba) oppure una cubica piana (curva

ellittica).

Esercizio 57 (”Here enters the hero” (Shakespeare))

Se X ⊂ P

ⁿ

è una sotto varietà liscia abbiamo un morfismo iniettivo di fibrati

T

_X

,→ T |X (T = T

_Pn

); il quoziente N

X

è il fibrato normale a X in P

ⁿ

(per

essere precisi bisognerebbe notare N

_X,Pn

). Il fibrato N

_X

ha supporto su X e

rango codim (X).

1) Sia C ⊂ P

³

liscia irriducibile. Mostrare che C è localmente definita da due

equazioni (si dice che C è localmente intersezione completa).

2) Si tratta di mostrare che N

C

' Hom

_O

(I

C

, O

C

).

La questione è locale, possiamo ragionare in A

³

con coordinate x

i

. Una sezione

del tangente T è della forma ξ =P

i

h

i

∂/∂x

i

. In un punto p questo fornisce

il vettore tangente (a

_i

) dove a

_i

= g

_i

(p).

Questo vettore è tangente a C definita da f = g = 0 seP

i

a

i

∂f /∂x

i

(p) =

0 e P

i

a

i

∂g/∂x

i

(p) = 0. Quindi ξ è zero in N

X

se P

i

h

i

∂f /∂x

i

= 0 =

P

i

h

_i

∂g/∂x

_i

in ogni punto di C, cioè modulo I

_C

.

Sia adesso

T |C → Hom

_O

(I

C

, O

C

) :^X

i

h

i

∂/∂x

i

→ (s →^X

i

h

i

∂s/∂x

i

(modI

C

))

Per quanto detto prima il ker di questa mappa è T

C

. Concludere che N

C

=

Hom

O

(I

_C

, O

_C

).

2) In realtà questa descrizione si applica, mutatis mutandis, ad ogni X ⊂

P

ⁿ

liscia (ogni X liscia è localmente intersezione completa; cioè localmente

definita da codim X equazioni).

3) Sia I un ideale dell’anello A. Osservare che I/I

2

è un A/I-modulo e che

Hom

A

(I, A/I) ' Hom

_A/I

(I/I

2

, A/I).

Concludere che N

X

= Hom

_OX

(I

X

/I

_X²

, O

X

), se X ⊂ P

ⁿ

è liscia. In

parti-colare N

_X^∗

= I

_X

/I

2

X

è un O

X

-modulo localmente libero di rango codim X. Il

fascio I

_X

/I

2

X

è il fascio conormale a X. E’ lui il vero eroe perché può essere

definito per ogni sotto schema chiuso (anche singolare).

4) Mostrare che I

X

/I

_X²

' I

X

⊗

O

O

X

, X ⊂ P

ⁿ

sotto schema chiuso qualsiasi

(usare la successione 0 → I

_X

→ O → O

X

→ 0).

6.2 Intersezioni complete, curve su una quadrica liscia. 93

N

∗

X

' O

X

(−a), dove, per definizione, N

∗

X

= I

_X

/I

2 X

.

Esercizio 58 Sia C ⊂ P

3

una curva (non necessariamente liscia)

inter-sezione completa di tipo (a, b). Mostrare che N

_C^∗

= O

C

(−a) ⊕ O

C

(−b)

(us-are la risoluzione minimale di un’intersezione completa). Dedurne che, se

C è liscia, ω

C

' O

C

(a + b − 4) (prendere i determinanti nella successione

0 → T

C

→ T |C → N

C

→ 0 e usare il fatto che ω

_Pn

' O

_Pn

(−n − 1)) e

ritrovare la formula del genere di un’intersezione completa. (N.B. una curva

piana di grado d è un’intersezione completa di tipo (1, d).)

In realtà il risultato (ω

C

' O

C

(a + b − 4)) è valido per ogni sotto schema di

codimensione due in P

³

, intersezione completa, ma con un’altra dimostrazione

(T

_C

e quindi N

_C

non sono definiti (come fibrati) se C è singolare).

Esercizio 59 1) Sia C ⊂ Q una curva di bi-grado (a, a) sulla quadrica liscia

Q ⊂ P

³

. Mostrare che C è l’intersezione completa di Q con una superficie di

grado a.

2) Sia X ⊂ Q una curva liscia di bi-grado (a, a − 1). Mostrare che esiste una

superficie di grado a, S

a

, tale che S

a

∩ Q = X ∪ L, dove L è una retta.

Nel documento Complementi di Geometria (2014-2015) (pagine 94-101)