Sotto schemi chiusi di P n - Complementi di Geometria (2014-2015)

1/Q come un elemento della spiga O(−d)

. Il germe di s fornisce s

∈ F (d)

.

Quindi 1/Q ⊗ s

∈ F

= β

_{F ,x}

(s/Q). (La definizione di β

_{F ,U}

su un aperto U

è analoga.)

Abbiamo ([15], II Prop. 5.15):

Proposizione 4.19. Se F è coerente β

: (H

_∗⁰

(F ))

^∼

→ F è un isomorfismo.

Adesso se M è un S-modulo graduato definiamo α

: M → H

∗

(M

^∼

)

nel modo seguente. Sia m ∈ M

un elemento di grado d. Possiamo vedere m

come un elemento di grado zero in M (d). Se x = p, m/1 ∈ M (d)

_(p)

, quindi

m/1 definisce un elemento in M (d)

^∼_x

per ogni x, ossia una sezione di M

^∼

(d).

Questa sezione è α

(m). Abbiamo ([15], II Ex. 5.9, Theorem 5.19):

Proposizione 4.20. Sia M un S-modulo graduato. Per ogni d abbastanza

grande α

(d) : M

→ Γ (M

∼

(d)) è un isomorfismo, ma in generale α

non

è un isomorfismo.

Per quanto riguarda l’ultima asserzione, abbiamo già visto che se M ∈ C,

allora M

∼

= 0, quindi H

∗

(M

∼

) = 0.

Definizione 4.21. Due S-moduli graduati, M, N sono quasi-isomorfi se

es-iste un intero d tale che M

_≥d

e N

_≥d

siano isomorfi.

Quindi M, N sono quasi-isomorfi se esiste un morfismo f : M → N , con

Ker(f ) ∈ C e Coker(f ) ∈ C. L’essere quasi isomorfi è una relazione

d’e-quivalenza. Un modulo di tipo TF è quasi isomorfo a un modulo finitamente

generato.

Da quanto detto prima otteniamo:

Proposizione 4.22. I funtori −

^∼

e H

_∗⁰

stabiliscono un’equivalenza di

cate-goria tra i moduli di tipo TF modulo la relazione di quasi-isomorfismo e gli

O-moduli coerenti su P

.

4.5 Sotto schemi chiusi di P

ⁿ_k

e ideali omogenei.

Ricordiamo (cf Sezione 3.3) la seguente definizione:

Definizione 4.23. Un sotto schema chiuso X di P

ⁿk

è (modulo isomorfismo)

uno schema X = (|X|, O

) tale che |X| ⊂ P

sia un chiuso di P

ⁿk

e tale che ci

sia un morfismo suriettivo O → O

→ 0 (O = O

_Pn

Spesso si nota X,→ P

ⁱ n

il morfismo di inclusione (è un’immersione chiusa)

del sotto schema chiuso X ⊂ P

ⁿk

e si nota i

∗

(O

) il fascio O

, visto come

O-modulo. Noi noteremo semplicemente O

.

Se X ⊂ P

è un sotto schema chiuso il ker del morfismo O → O

→ 0

è un fascio di ideali di O, indicato con I

(per ogni aperto U , I

(U ) è un

ideale di O(U )).

Un fascio d’ideali è coerente. Infatti siccome P

è noetheriano se U =

Spec(A) è un aperto affine, A è noetheriano e l’ideale Γ (U, I

|U ) = I ⊂ A è

finitamente generato. Abbiamo una successione esatta di fasci coerenti:

0 → I

→ O → O

→ 0 (4.1)

Infatti siccome I

, O sono coerenti, anche O

lo è.

Definizione 4.24. Con le notazioni precedenti la successione (4.1) è la

suc-cessione di definizione del sotto schema chiuso X.

Vediamo adesso come associare un sotto schema chiuso ad ogni ideale

omogeneo I ⊂ S = k[x

, ..., x

].

Se I ⊂ S = k[x

₀

, ..., x

] è un ideale omogeneo, allora V(I) = {p ∈

P roj(S) | I ⊂ } è un chiuso, |X|, di P roj(S) = P

. Siccome I ⊂ S, abbiamo

I

^∼

⊂ O = S

∼

. In altre parole se applichiamo il funtore −

^∼

alla successione

di S-moduli graduati:

0 → I → S → S/I → 0

otteniamo:

0 → I

^∼

→ O → (S/I)

^∼

→ 0

Il fascio (S/I)

^∼

ha supporto su |X| (cioè se x /∈ |X|, (S/I)

∼

= 0) e definisce

una struttura di spazio localmente anellato su |X|. Poniamo (S/I)

^∼

=: O

.

Abbiamo quindi uno spazio localmente anellato X = (|X|, O

) e X è un sotto

schema chiuso di P

. Si ha I

^∼

= I

.

In altri termini il morfismo suriettivo S → S/I induce un’immersione

chiusa P roj(S/I) ,→ P roj(S) e P roj(S/I) è (isomorfo) a (|X|, O

).

Definizione 4.25. Il sotto schema chiuso X ⊂ P

ⁿk

è definito da l’ideale I ⊂ S

se I

= I

^∼

.

Attenzione:

1) Uno sotto insieme chiuso |X| ⊂ P

può avere varie strutture di sotto schema

chiuso. Ma, contrariamente a quanto succede nell’affine:

2) Una stessa struttura di sotto schema chiuso può essere definita

da diversi ideali I ⊂ S.

4.5 Sotto schemi chiusi di P

ⁿk

e ideali omogenei. 49

Esempio 4.26. In P

¹k

consideriamo il sotto insieme chiuso |X| = V(x

) = {p ∈

P roj(S) | x

₀

⊂ p}. Gli ideali primi non banali (non necessariamente

omo-genei) di k[x

, x

] sono gli ideali massimali (x

− a, x

− b) e gli ideali

prin-cipali (F (x

, x

)), F irriducibile. Supponiamo k = k. Se F è un polinomio

omogeneo di grado d, allora F si scrive come un prodotto di forme lineari:

F (x

, x

) = Q L

(x

, x

)

, P a

= d, L

(x

, x

) = α

x

+ β

x

. Questo

per dire che P roj(S) consiste nell’ideale (0) (punto generico) e negli ideali

p = (L(x

, x

)), L forma lineare (punti chiusi). Quindi |X| si riduce a un

punto (|X| = {p}, p = (0 : 1)).

• Se I = (x

), il fascio O

= (S/I)

^∼

ha supporto sul punto p e la sua

spiga in p è l’anello locale k (fascio grattacielo in p). Infatti O

X,p

= O

/I

X,p

,

cioè stiamo facendo il quoziente dei germi in p con l’ideale dei germi che si

annullano in p, cioè con l’ideale massimale di O

. Il quoziente è il campo

residuo. (Osservare che I

_((x₀₎₎

= {P/Q | P (p) = 0, Q(p) 6= 0, deg P = deg Q},

modulo le solite identificazioni).

• Se I

₁

= (x

), allora V(I

) = {p ∈ P roj(S) | (x

₀

)

⊂ p} è ancora |X|,

cioè il nostro punto p. Il fascio (S/I

)

^∼

=: O

X₁

ha sempre supporto in p, ma

la sua spiga in p è O

/m

²_p

, dove m

⊂ O

è l’ideale massimale. Questo anello

locale ha un elemento nilpotente corrispondente alla classe di x

. Quindi i due

schemi (p, O

) e (p, O

_X₁

) non sono isomorfi.

• Sia J = (x

, x

x

). Allora V(J) è ancora il nostro punto p. Infatti J ⊂

p = (L), implica che la forma lineare L divida x

²₀

, quindi L = x

. Chi è il

fascio (S/J )

∼

= O

? Osserviamo che I

= J

se d ≥ 2. Quindi I

∼

= J

∼

.

Pertanto i due schemi (p, O

) e (p, O

) sono uguali

Per riassumere abbiamo tre sotto schemi di P

, X, X

e Y , tutti con lo

stesso spazio topologico sotto giacente (il punto p), definiti da tre ideali diversi,

inoltre X = Y , mentre X 6= X

₁

. Lo schema X

₁

è il punto p doppiato in P

(o primo intorno infinitesimale di p in P

). Guardando l’ideale J , vediamo

che Y è l’intersezione di Z = {p, q} con X

, quindi Y = p (come schema).

Infatti per due sotto schemi chiusi X, Y lo schema intersezione è definito da

I

_X∩Y

= I

+ I

.

La situazione è quindi un po’ confusa e ci rimane da capire quando due

ideali definiscono lo stesso schema.

Prima di tutto mostriamo che ogni sotto schema chiuso di P

può essere

definito da un ideale omogeneo.

Proposizione 4.27. Ogni sotto schema chiuso, X, di P

ⁿk

può essere definito

da un ideale omogeneo (per esempio H

_∗⁰

(I

)).

Inoltre H

Dimostrazione. Siccome I

è coerente, (H

_∗⁰

(I

))

∼

' I

(Proposizione 4.19).

Quindi l’ideale I = H

∗

(I

), definisce X.

Sia I un ideale che definisce X. Abbiamo un diagramma commutativo:

I →

ⁱ

S

α

↓ α

↓

H

∗

(I

∼

) → H

0 ∗

(S

∼

)

Siccome α

è un isomorfismo e i è iniettiva abbiamo che α

: I → H

0 ∗

(I

) è

iniettiva (I

^∼

= I

, perché I definisce X). ut

Vale la pena soffermarsi un attimo sull’ultima affermazione. Sia I che

definisce X e sia P ∈ I

. Allora P ∈ H

(O(d)) e la sua immagine in

H

(O

(d)) è zero. Più precisamente se applichiamo il funtore −

^∼

alla

successione

0 → I → S → S/I → 0

e prendiamo la coomologia otteniamo:

0 → H

_∗⁰

(I

) → H

_∗⁰

(O) → H

_∗⁰

(O

)

In grado d:

0 → H

⁰

(I

(d)) → H

⁰

(O(d))

^rd

→ H

(O

(d))

La mappa r

non è necessariamente suriettiva (lo è se e solo se H

(I

(d)) =

0). L’immagine di r

è (S

/I

), dove I := H

∗⁰

(I

). Il polinomio P ∈ I

⊂ S

=

H

(O(d)) ha un’immagine nulla in H

(O

(d)), quindi P ∈ I

. L’applicazione

r

può essere interpretata come la restrizione a X dei polinomi omogenei di

grado d; P si annulla sullo schema X (cioè anche come sezione del fascio

O

(d)) se e solo se r

(P ) = 0.

Quindi se I definisce X, I ⊂ I fornisce S/I → S/I → 0 e l’immagine di

S

= H

(O(d)) in H

(O

(d)) è isomorfa a S

/I

.

Ci sono sempre tanti ideali che definiscono lo stesso sotto schema chiuso

X. Infatti se I = H

∗

(I

), allora ogni ideale I

≥d

definisce X. Cerchiamo di

capire quando due ideali definiscono lo stesso X.

Definizione 4.28. Sia I un ideale omogeneo, il saturato di I è I

sat

:=

S

k≥1

(I : m

) = {P ∈ S | ∀i, ∃n t.c. x

ⁿ_i

P ∈ I}. L’ideale I si dice saturo

se I = I

^sat

.

Osservazione 4.29. (i) Osserviamo che I

^sat

è un ideale omogeneo. Infatti I ⊂

(I : m) ⊂ · · · ⊂ (I : m

) ⊂ · · · , visto che S è noetheriano, esiste k tale che

I

sat

= (I : m

), quindi I

sat

è un ideale. Inoltre se I, J sono ideali omogenei

allora (I : J ) è omogeneo (perché se P ∈ S, (I : P ) = {Q ∈ S | QP ∈ I} è

omogeneo e (I : J ) = ∩(I : P

) dove J = (P

₁

, ..., P

)).

4.5 Sotto schemi chiusi di P

ⁿk

e ideali omogenei. 51

Lemma 4.30. Sia I ⊂ S un ideale omogeneo. Allora I ⊂ I

sat

e I

= I

sat d

se

d >> 0.

Dimostrazione. Siccome I

sat

= (I : m

) per un qualche k, è chiaro che I ⊂

I

^sat

. L’ideale I

^sat

è finitamente generato. Sia {G

} un sistema di generatori.

Sia m = max {deg G

}. Se P ∈ I

sat

, allora P = P P

G

, deg P

= d −

deg G

≥ d − m. Abbiamo P

= P a

x

ⁱ0

...x

, con i

+ · · · i

= deg P

≥

d − m. Se deg P

≥ (n + 1)k, allora esiste i

≥ k e x

ⁱt

G

∈ I. Quindi per

d ≥ (n + 1)k + m, abbiamo I

= I

_d^sat

. ut

Corollario 4.31. (1) Se X ⊂ P

è un sotto schema chiuso, l’ideale H

0 ∗

(I

)

è saturo.

(2) Due ideali omogenei, I, J , definiscono lo stesso sotto schema chiuso se e

solo se I

^sat

= J

sat

.

Dimostrazione. (1) Sia I := H

∗

(I

). Per il Lemma 4.30, I

^∼

= (I

sat

)

^∼

. Quindi

I

^sat

definisce X. Siccome I è il più grande ideale che definisce X, I

^sat

⊂ I.

Quindi I

sat

= I.

(2) Se I definisce X, allora I

^∼

= I

e per il Lemma 4.30, anche I

sat

definisce

X. Segue che I

sat

⊂ I. D’altra parte visto che I

∼

= I

^∼

, I

= I

se d >> 0

(sono quasi isomorfi). Sia P ∈ I

. Per m >> 0, x

^m_i

P ∈ I

m+t

= I

m+t

, quindi

P ∈ I

sat

. Pertanto I

sat

= I. ut

Possiamo finalmente raccogliere il frutto del nostro lavoro:

Corollario 4.32. Esiste una corrispondenza perfetta:

{ ideali omogeni saturi } ↔ { sotto schemi chiusi di P

}

(Naturalmente il vuoto corrisponde all’ideale massimale irrilevante m).

Quindi tutto sommato un sotto schema chiuso di P

non è una cosa così

terribile!

Definizione 4.33. Uno schema X è proiettivo su Spec k se è isomorfo a un

sotto schema chiuso di P

per un qualche n.

Da quanto abbiamo fatto risulta che X su Spec k è proiettivo se e solo se

X = P roj(A) per un qualche anello graduato A, con A

= k e con A generato

da A

₁

come k-algebra.

Infatti se X è un sotto schema chiuso di P

e se I = H

∗

(I

), abbiamo

X = P roj(S/I) (S = k[x

, ..., x

]).

Viceversa se A è un anello graduato con A

₀

= k, generato da A

₁

come

k-algebra, allora A è un quoziente di un qualche anello di polinomi S =

k[x

, ..., x

]. Se I è il ker di S → A → 0, allora X è isomorfo al sotto schema

di P

ⁿ

definito da I.

Esercizi.

Esercizio 35 ([15] II. Ex. 5.7)

Sia X uno schema noetheriano e sia F un O

modulo coerente. Si dice che

F è localmente libero se esiste un ricoprimento aperto di X, ∪U

, tale che

F |U

' r.O

U_i

(r può dipendere da U

).

1) Mostrare che se F

è un O

modulo libero di rango r, allora esiste un

intorno aperto di x, U , tale che F |U ' r.O

2) Concludere che F è localmente libero ⇔ F

è un O

-modulo libero per ogni

x ∈ X.

Esercizio 36 ([15] II. Ex. 5.8)

Sia X uno schema noetheriano e sia F un O

-modulo coerente. Si pone

ϕ(x) = dim F (x), dove F (x) := F

⊗

_O_x

k(x) è la fibra ridotta (o vettoriale)

di F in x.

Mostrare che ϕ è semi-continua superiormente, cioè se dim F (x) = r, esiste

un intorno aperto U di x tale che dim F (y) ≤ r, ∀y ∈ U .

Esercizio 37 Sia A un anello integro e sia M un A-modulo finitamente

gen-erato. Un m ∈ M è di torsione se Ann(m) 6= 0 (cioè esiste a 6= 0, a ∈ A tale

che am = 0). Sia T (M ) l’insieme degli elementi di M di torsione.

1) Mostrare che T (M ) è un sotto modulo di M . Se T (M ) = 0, si dice che M

è senza torsione.

2) Mostrare che M/T (M ) è senza torsione.

3) Mostrare che T (M ) è il nucleo dell’applicazione ψ : M → M ⊗

K, dove

K è il campo dei quozienti di A e dove ψ è ottenuta tensorizzando con M

l’inclusione A ,→ K.

4) Se N è un A-modulo finitamente generato, senza torsione, allora N è un

sotto modulo di un modulo libero di tipo finito.

5) Sia M

^∗

= Hom

(M, A). Mostrare che T (M ) è il nucleo dell’applicazione

naturale µ : M → M

^∗∗

.

6) Un A-modulo M è di torsione se ogni elemento m ∈ M è di torsione (cioè

T (M ) = M ), invece M ha torsione se T (M ) 6= 0. Il modulo M è riflessivo

se µ : M → M

^∗∗

è biiettiva. Dare degli esempi di moduli di torsione, con

torsione ma non di torsione, riflessivi.

Esercizio 38 Sia X uno schema integro, noetheriano e sia F un O

-modulo

coerente. Si definisce un prefascio T (F ) nel modo seguente: per ogni aperto U ,

T (F )(U ) è il sotto modulo di torsione di F (U ). Mostrare che T (F ) è un fascio

coerente e che si ha una successione esatta: 0 → T (F ) → F → F /T (F ) → 0,

dove F /T (F ) è coerente, senza torsione.

4.5 Sotto schemi chiusi di P

ⁿk

e ideali omogenei. 53

Esercizio 39 ([15] II. Ex. 5.8)

Si riprendono le notazioni dell’Esercizio 36. Mostrare che se X è ridotto e

se ϕ(x) è costante allora F è localmente libero.

In particolare se 0 → F → G → H → 0 è una successione esatta di O

-moduli coerenti, dove G e H sono localmente liberi, allora anche F è localmente

libero.

Nel documento Complementi di Geometria (2014-2015) (pagine 53-61)