La tecnica del loopshaping è applicabile ai sistemi a fase minima, cioè a tutti quei sistemi la cui funzione di trasferimento ha poli e zeri a parte reale negativa o nulla (requisito base per la stabilità).
Figura C.1 esempio di sistema posto in retrazione
Dato un sistema ed un controllore posti in retrazione come in figura 2.10, si possono definire le seguenti funzioni di trasferimento:
Funzione di Sistema L=K·G; Funzione di Sensibilità S;
Funzione di Sensibilità Complementare T;
Funzione peso legata alla funzione di sensibilità S (WS ) ;
Funzione peso legata alla funzione di sensibilità complementare T (WT ) ;
Si possono dare dei requisiti sul buon funzionamento del sistema basati sull’andamento della funzione di sensibilità S. Il diagramma di Bode deve presentare un picco massimo il più basso possibile, in modo da massimizzare il margine vettoriale e rendere il luogo di Nyquist sufficientemente lontano dal punto critico.
La funzione di sensibilità a bassa frequenza, deve essere sufficientemente elevata in modo da garantire un basso errore rispetto al segnale di riferimento; infatti vale la relazione:
𝑒 = 𝑟 − 𝐿 ∙ 𝑒 → 𝑒𝑟 =1+𝐿∙𝑒1 ≜ 𝑠 (C.1)
Dove le quantità indicate stanno per: e indica il segnale d’errore; r indica il segnale di riferimento;
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Dato un valore di specifica dell’errore a regime, è possibile progettare il mio sistema in modo tale da garantire a regime quell’errore. Sia e*
l’errore richiesto da specifica, il sistema deve garantire che per basse frequenze:
𝑒(𝑗𝜔) ≤ 𝑒∗ 𝑆 𝑗𝜔 𝑟(𝑗𝜔 ) ≤ 𝑆(𝑗𝜔 ) ∙ 𝑟(𝑗𝜔 ) 𝑆(𝑗𝜔) ∙ 𝑟(𝑗𝜔) ≤ 𝑒∗ 𝑆(𝑗𝜔) ≤ 𝑒∗
𝑟(𝑗𝜔 ) (C.2) Da qui si vede che a bassa frequenza la S(jω) deve essere piccola. Per stabilire quanto piccola si ricorre ad una funzione peso WS(jω) che permette di ottenere un requisito
analogo:
𝑆(𝑗𝜔) ∙ 𝑊𝑆(𝑗𝜔) ≤ 1 𝑐𝑜𝑛 𝑊𝑆(𝑗𝜔) = 𝑟(𝑗𝜔 ) 𝑒∗ (C.3)
La funzione peso WS(jω) equivale ad un requisito di specifica e la disuguaglianza
soprastante, prende il nome di Requisito di Prestazione Nominale; in quanto si ha il coinvolgimento della funzione di trasferimento nominale del sistema.
Legando L(jω) ad S(jω) si ottiene il requisito che la funzione deve avere in bassa frequenza:
𝑆(𝑗𝜔) ≜ 1+𝐿(𝑗𝜔 )1 ≈ 𝐿(𝑗𝜔 )1
𝐿.𝐹. (C.4)
Di conseguenza in bassa frequenza si ottiene:
𝐿(𝑗𝜔) ≥ 𝑆 𝑗𝜔 𝐿.𝐹. (C.5)
Dal punto di vista progettuale è necessario: 1. Specificare la forma della funzione peso;
2. Far in modo che il grafico del modulo della funzione di ciclo aperto | L(jω)| sia sempre al di sopra di | WS(jω)| ;
Graficamente si deve ottenere un andamento analogo a quello mostrato in figura C.2 .
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Oltre alla Prestazione Nominale, il sistema deve garantire anche una Prestazione
Robusta, cioè deve garantire anche una certa stabilità nel comportamenti reale e rispetto
alle dinamiche che non sono state considerate. In generale, la robustezza di un sistema è la capacità del sistema di essere insensibile alla differenze fra comportamento ideale e comportamento reale. Tali differenze sono dovute principalmente ad errori commessi nel realizzare il modello matematico ed a dinamiche sconosciute non considerate. Nel presente lavoro, non viene considerata esplicitamente la Prestazione Robusta del sistema, ma se ne tiene conto nell’andamento della Funzione di Sensibilità e per completezza del lavoro se ne darà una breve trattazione.
Nell’analisi della stabilità robusta, si utilizza un approccio per gradi:
1. Modellazione delle incertezze: si deve definire matematicamente l’incertezza; 2. Stabilità Robusta: il sistema reale messo in ciclo chiuso, dovrà risultare stabile
rispetto all’incertezza che modello.
Il sistema reale, rispetto alla approssimazione nominale, ha una funzione di trasferimento che può essere rappresentata in più modi. Il sistema sarà stabile se risulta stabile in ciclo chiuso, per ogni rappresentazione della mia funzione.
Le tipologie di incertezza di un modello, possono essere classificate come:
1. Incertezze di tipo parametrico (presenti nei parametri usati nella creazione del modello come ad esempio la costante di una molla che varia in un certo range di parametri );
2. Parametri che variano a seconda della condizione operativa;
3. Errore commesso nella trasmissione del valore di uscita della variabile di interesse y(t);
4. Incertezza di modello, per cui il comportamento sarà completamente diverso ad una data frequenza (problematica che si presenta alle alte frequenze, dove tipicamente, vengono a mancare determinate ipotesi su cui si fonda il modello) La modellazione delle incertezze avviene a seconda della tipologia di incertezza:
Incertezze di tipo strutturato; Incertezze di tipo non strutturato.
La modellazione delle incertezze, da luogo ad una funzione peso WT(jω). L’andamento
di tale funzione è crescente con la frequenza ed è basso per le basse frequenze, mentre aumenta alle alte.
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Come detto in precedenza, la stabilità robusta porta a verificare la condizione di stabilità per ogni funzione di trasferimento ottenuta dalla modellazione dell’incertezza. Di conseguenza, la stabilità del sistema porterà alle seguenti condizioni:
1 + 𝐿0 𝑗𝜔 ≠ 0 ∀ 𝜔 ∈ 0 ∞ 𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡à 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 (C.6)
1 + 𝐿 𝑗𝜔 ≠ 0 ∀ 𝜔 ∈ 0 ∞ 𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡à 𝑅𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡𝑎 (C.7)
Dove:
L0(jω) Rappresenta la funzione di trasferimento nominale;
L(jω) Rappresenta la funzione di trasferimento reale.
Considerando la funzione di trasferimento reale relativa ad un incertezza di tipo strutturata:
𝐿 𝑗𝜔 = 𝐿0(𝑗𝜔) 1 + 𝑊𝑇 𝑗𝜔 ∆𝑇(𝑗𝜔) (C.8)
Sostituendola nella condizione (2.43.2) si ottiene: 1 + 𝐿0 𝑗𝜔 1 +1+𝐿𝐿0 𝑗𝜔
0 𝑗𝜔 𝑊𝑇 𝑗𝜔 ∆𝑇(𝑗𝜔) ≠ 0 ∀ 𝜔 ∈ 0 ∞ (C.9)
Facendo le seguenti considerazioni:
𝑇0 𝑗𝜔 = 𝐿0 𝑗𝜔
1+𝐿0 𝑗𝜔 (C.10)
1 + 𝐿0 𝑗𝜔 ≠ 0 ∀ 𝜔 ∈ 0 ∞ (C.11)
Dove:
T0(jω) Rappresenta la funzione di sensibilità complementare nominale;
La seconda condizione è sicuramente verificata per la stabilità nominale; ∆𝑇(𝑗𝜔) < 1;
Considerando inoltre i moduli delle quantità in gioco:
𝑊𝑇(𝑗𝜔)∆𝑇 𝑗𝜔 = 𝑊𝑇 𝑗𝜔 ∙ ∆𝑇 𝑗𝜔 < 1 (C.12)
Si ottengono le seguenti condizioni:
𝑆0 𝑗𝜔 ∙ 𝑊𝑆 𝑗𝜔 < 1 ∀ 𝜔 ∈ 0 ∞ 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡à 𝑅𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡𝑎 (C.13) 𝑇0 𝑗𝜔 ∙ 𝑊𝑇 𝑗𝜔 < 1 ∀ 𝜔 ∈ 0 ∞ 𝑆𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡à 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 (C.14)
Le condizioni si svolgono in due intervalli diversi: la (2.48.1) vale per le basse frequenze, mentre la (2.48.2) vale per le alte frequenze. Queste due condizioni pongono
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delle limitazioni alla funzione di anello aperto di alta e di bassa frequenza. Infatti considerando le seguenti approssimazioni si ottiene:
𝑆0 𝑗𝜔 ≜ 1+𝐿1 0 𝑗𝜔 𝑖𝑛 𝐿.𝐹. 𝐿0 𝑗𝜔 ≫ 1 𝑆0 𝑗𝜔 ≈𝐿 1 0 𝑗𝜔 (C.15) 𝑇0 𝑗𝜔 ≜ 1+𝐿𝐿0(𝑗𝜔 ) 0 𝑗𝜔 𝑖𝑛 𝐻.𝐹. 𝐿0 𝑗𝜔 ≪ 1 𝑇0 𝑗𝜔 ≈ 𝐿0 𝑗𝜔 (C.16
Che rappresentano delle limitazione nel piano delle frequenze.
𝐿0 𝑗𝜔 > 𝑊𝑆 𝑗𝜔 𝑖𝑛 𝐵𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎 (C.17)
𝐿0 𝑗𝜔 < 𝑊 1
𝑇 𝑗𝜔 𝑖𝑛 𝐴𝑙𝑡𝑎 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎 (C.18)
Nella frequenze intermedie, cioè quelle vicine alla banda passante, è necessario che la funzione di anello aperto, tagli la linea degli 0 dB con una adeguata pendenza. Questo perché nei sistemi a fase minima, si ha un legame diretto fra la pendenza della curve e la fase del mio sistema.
Di conseguenza, un sistema che in corrispondenza della frequenza di crossover, taglia con una pendenza di -1 e la mantiene per circa una decade, tutela da possibili cadute di fase (e conseguenti instabilità).
Il loopshaping considera tutte e tre le condizioni, mirando ad ottenere una specifica forma della funzione di trasferimento. Riepilogando le condizioni:
𝐿0 𝑗𝜔 > 𝑊𝑆 𝑗𝜔 𝑖𝑛 𝐵𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎 (C.19) 𝜕𝐿0 𝜕𝜔 = −1 𝑝𝑒𝑟 𝜔 ≅ 𝜔𝐶 (C.20) 𝐿0 𝑗𝜔 < 𝑊 1 𝑇 𝑗𝜔 𝑖𝑛 𝐴𝑙𝑡𝑎 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎 (C.21)
Chicca Lorenzo Anno Accademico 2012/2013 114 Figura C. 3 andamento auspicabile della funzione di ciclo aperto [12].
La procedura del loopshaping è formata dai seguenti passi: 1. Inverte il modello di G(s);
2. Inserire un polo nell’origine in modo tale da eliminare l’errore asintotico; 3. Utilizzare il guadagno per ottenere il valore desiderato della banda passante. In base a quanto esposto, una configurazione del controllo che porti ad una andamento della funzione di ciclo aperto, simile a quello di figura C.3,. deve adottare una tecnica di cancellazione poli-zeri [12].
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