8
256
0,039063
10
1024
0,009766
12
4096
0,002441
16
65536
0,000153
32
4294967296
2,33E-09
Tabella D. 1 legame fra numero di bit ed LSB
Nella pratica, la risoluzione di un convertitore è limitata dal rapporto segnale/rumore (S/N ratio) del segnale in questione. Se è presente troppo rumore all'ingresso analogico, sarà impossibile convertire con accuratezza oltre un certo numero di bit di risoluzione. Anche se l'ADC produrrà un valore, questo non sarà accurato essendo i bit meno significativi funzione del rumore e non del segnale. Il rapporto S/N dovrebbe essere di circa 6 dB per bit. La tipologia di risposta della maggior parte degli ADC è lineare; i dispositivi sono progettati per produrre in uscita un valore che è funzione lineare del segnale di ingresso.
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L'accuratezza dipende dall'errore della conversione. Questo errore è formato da due componenti: un errore di quantizzazione e un errore di non-linearità. Questi errori sono misurati con un'unità chiamata LSB (less significant bit = bit meno significativo o accuratezza) ed indica fino a che punto i bit rappresentano segnale e quanti siano solo rumore.
In un ADC a 8 bit, un errore di 1 LSB è pari ad un errore di 1/256 ossia circa del 0,4%; è un modo per dire che l'ultimo bit è casuale. In un ADC a 16 bit con un errore di 4 LSB significa che l'errore risulterà pari a 4/(216) ossia 0,006%.
L'errore di quantizzazione è dovuto alla risoluzione finita dell'ADC ed è una imperfezione intrinseca di tutti i tipi di ADC. La grandezza dell'errore di quantizzazione su un campione è compresa tra zero e un LSB.
Tutti gli ADC soffrono di errori di non-linearità causati da imperfezioni fisiche, facendo deviare la loro uscita da una funzione lineare (o da un'altra funzione, in caso di ADC volutamente non-lineari). Questi errori possono a volte essere attenuati con una calibrazione[17].
Il meccanismo di rappresentazione del segnale continuo, è mostrato di seguito. Si supponga di conoscere Vmax,Vmin , il segnale in ingresso, e si consideri un convertitore a
2 bit. Esso riuscirà a rappresentare 4 stati (22 = 4). Gli stati che può rappresentare sono mostrati di seguito:
𝑉𝑚𝑖𝑛 (D.3)
Figura D. 4 digitalizzazione segnale
𝑉1 =𝑉𝑚𝑖𝑛+𝑉2 𝑚𝑎𝑥 (D.4) 𝑉2 = 𝑉1+𝑉𝑚𝑎𝑥
2 (D.5)
𝑉3 = 𝑉𝑚𝑖𝑛+𝑉1
2 (D.6)
Dato un valore V della grandezza in ingresso, il convertitore opera il primo confronto di
V con V1 e, dato che V > V1, assegna 1 al primo bit. Il secondo confronto effettuato sarà
tra V e V2, ma V < V2 e verrà assegnato 0 al secondo bit. Il valore V sarà identificato
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Il segnale in definitiva,rappresentato attraverso stringhe di bit, sarà tanto meglio rappresentato, quanto maggiori saranno i bit del convertitore. Il codice binario rappresenta numerosi vantaggi dal punto di vista della manipolazione, trasmissione e registrazione dei segnali [18]. Per capire la relazione fra l’accuratezza ed il numero di bit del convertitore, viene illustrato l’esempio di un convertitore a 3 bit. Si possono rappresentare fino a 23 stadi:
Stato 1 2 3 4 5 6 7 8
bit 000 001 010 011 100 101 110 111
Tabella D. 2 analogia stato-bit
La figura D.5 mostra la rappresentazione digitale di un segnale di tensione; il legame ingresso-uscita non lineare ma “a gradini”.
Figura D. 5 rappresentazione digitale di un segnale di tensione
Campionamento del segnale - Il campionamento di un segnale analogico V(t) è la
conversione in una sequenza di dati digitali ( ti ,Vi ) ad istanti prefissati ti .
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Come modello, è stato scelto un campionatore ad impulsi di Dirac, il quale in uscita produce un treno di impulsi di area pari ad x(kT) (si veda la figura D.7).
Figura D. 7 campionatore ad impulsi di Dirac
Nel campionamento, la grandezza fondamentale è l’intervallo di campionamento T. Esso è definito come la quantità 𝑇 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1. La frequenza di campionamento è l’inverso ed è definita come 𝑓𝑐 = 1𝑇. Essa è il parametro da cui dipende la corretta conversione di un segnale: al diminuire di essa si va incontro al problema dell’aliasing.
Figura D. 8 campionamento del segnale con diverse frequenze
Dalla figura D.8 , si vede che al diminuire della frequenza di campionamento, il segnale non è più riconoscibile, in quanto la frequenza usata per il campionamento è inferiore al segnale originario.
Questo perché viene a mancare il requisito fondamentale per il campionamento di un segnale dato dal teorema di Nquist-Shannon, secondo cui un segnale analogico V(t), la
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cui banda di frequenze si limitata dalla frequenza fV, può essere univocamente
ricostruito, a partire dai suoi campioni V(nΔtc), presi a frequenza fc se fc 2 fV .
Mettendo in relazione i periodi di campionamento e del segnale, si ottiene:
𝑓𝑐 = 𝑇1 𝑐 (D.7) 𝑓𝑉 =𝑇1 𝑉 (D.8) 𝑇𝑐 ≤ 𝑇2𝑉 (D.9) Dove :
Tc è l’intervallo temporale preso per il campionamento;
fc è la frequenza di campionamento;
fV e TV sono rispettivamente frequenza e periodo del segnale da campionare.
Se manca questo requisito fondamentale il segnale non è ricostruibile e si va in contro al fenomeno dell’alising. Preso un ricostruttore ideale del segnale (un filtro passa basso con pulsazione di taglio pari a 𝜔2𝑠= 𝜋𝑇 e con amplificazione in banda pari a T), dall’analisi in frequenza, si nota che il filtro rivela lo spettro corretto del segnale originale. Viceversa, se la frequenza del filtro è minore, il filtro isola lo spettro del segnale originale sovrapposto a componenti spurie dovute alle repliche (si vedano le figure D.9 a e b).
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Campionare un segnale con un periodo T per cui non siano soddisfatte le ipotesi del teorema di Shannon costituisce un errore irreversibile, nel senso che dai campioni che si ottengono non c’`e alcun modo di ricostituire successivamente il segnale originale. Al fine di evitare fenomeni di aliasing, di solito dovuti al campionamento di rumore ad alta frequenza sovrapposto al segnale d’interesse, si introduce un filtro passa-basso (analogico) a monte del campionatore ( figura D.10 ). Il filtro anti-aliasing deve tagliare significativamente tutto il contenuto frequenziale a pulsazioni superiori a ωN, ovvero
tutte le componenti del segnale che verrebbero campionate in condizioni di aliasing.
Figura D. 10 posizionamento filtro antialiasing
Nel caso di campionamento di un segnale rumoroso, saranno presenti delle componenti spurie che non sono caratteristiche del segnale[19]. Di conseguenza per una corretta ricostruzione si rende necessario un prefiltraggio del segnale stesso ( figura D.11 ).
Figura D. 11 effetto del prefiltraggio nel campionamento
Periodo di campionamento e filtro antialiasing - Sulla base delle considerazioni circa
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rappresentazione fedele dei corrispondenti tempo continui, occorre scegliere il tempo di campionamento sufficientemente piccolo in relazione alla massima banda dei segnali stessi. Il problema, scelto un sistema di controllo, è stimare la banda massima dei segnali in ingresso nel sistema controllato.
Dallo studio della funzione di sensitività complementare si è possibile dedurre una stima della banda dei segnali in ingresso al sistema in retroazione. Si può infatti scegliere come prima stima la pulsazione di attraversamento del guadagno d’anello ωc..
Applicando il teorema di Shannon si otterrebbe dunque: 𝜔𝑉 > 𝜔𝑐 ↔ 𝑇 =𝜔𝜋
𝑐 (D.10)
Tuttavia i segnali in gioco non avranno banda limitata (avranno cioè componenti spettrali non nulle anche a pulsazione 𝜔 > 𝜔𝑐). Conviene scegliere il periodo di campionamento T considerando un certo range di valori e porre un coefficiente α che tenga conto dell’incertezza :
𝛼 𝜔𝑐 ≤ 𝜔𝑉 ≤ 10 𝛼 𝜔𝑐 (D.11) 2𝜋 10 𝛼 𝜔𝑐 ≤ 𝑇 ≤ 2𝜋 𝛼 𝜔𝑐 (D.12) con 5 ≤ 𝛼 ≤ 10 (D.13)
Inoltre le componenti spettrali a pulsazione 𝜔 > 𝜔𝑐 possono essere ridotte con l’aggiunta di un filtro passa basso Haa(s) (come suggerito sopra) nel ramo di retroazione
(prima del campionamento) con una banda passante 𝜔𝑐 ≤ 𝜔𝑎𝑎 ≤ 𝜔𝑉 . 2
La banda passante del filtro anti-aliasing deve essere scelta in base a due criteri contrastanti:
1) Sufficientemente “lontana” dalla pulsazione ωc. al fine di non alterare in maniera
significativa il guadagno di anello aperto per le pulsazioni 𝜔 ≤ 𝜔𝑐
2) Sufficientemente vicina alla pulsazione ωc. al fine di garantire la massima
attenuazione alle pulsazione di Nyquist 𝜔 ≥ 𝜔𝑉/2 (per poter garantire la funzione anti-aliasing)
Chicca Lorenzo Anno Accademico 2012/2013 125 Figura D. 12 posizionamento e frequenze di lavoro del filtro Haa [15]
Convertitore Digitale/Analogico e ricostruttore di segnale - Il Digital (to) Analog Converter (DAC), in italiano Convertitore digitale-analogico, è un componente
elettronico in grado di produrre sul suo terminale di uscita, un determinato livello di tensione , in funzione di un valore numerico che viene presentato al suo ingresso; ad esempio, ad un valore pari ad 1 corrisponderà una tensione di uscita di 0,1 V, ad un valore di 2 avremo 0,2 V, e così via. La tabella di conversione dal valore digitale a quello analogico prende il nome di LUT (Look-Up Table) e può avere caratteristiche proporzionali o può seguire un andamento del tutto arbitrario, a seconda del suo impiego. Le caratteristiche del DAC dipendono dall'impiego dello stesso; ad esempio la risoluzione è estremamente importante per le misure di precisione e la riproduzione di brani musicali ad alta fedeltà, e la qualità sarà tanto più alta, quanto maggiore sarà la grandezza massima riproducibile sul suo ingresso digitale. Per citare degli esempi i
DAC più semplici lavorano ad 8 bit (256 livelli di tensione), quelli impiegati per i
controlli di precisione ne hanno 12, mentre per riproduzioni di alta fedeltà si impiegano
DAC con risoluzioni di 16 o 24 bit. All'aumentare della risoluzione, corrisponde un
maggior numero di elaborazioni per ottenere la tensione d'uscita. Ne consegue che l’uscita ne risulterà rallentata; inoltre il costo del dispositivo sarà maggiore. Pertanto, nella scelta della risoluzione si dovrà tenere conto della velocità del dispositivo impiegato, rispetto all'utilizzo al quale è destinato e dei costi che comporta. Uno schema di come lavora il convertitore digitale analogico è mostrato in figura D.13 . Dallo schema si nota che ad esso è abbinato un ricostruttore di segnale, la cui funzione è quella di fornire un segnale analogico a partire dalla sequenza di campioni in ingresso.
Chicca Lorenzo Anno Accademico 2012/2013 126 Figura D. 13 convertitore digitale/analogico
Il ricostruttore ideale sarebbe un filtro passa basso ideale; nella maggioranza dei casi si utilizza un ricostruttore di ordine zero (Zero Order Hold), che nell’intervallo T mantiene la funzione x(t) pari al valore dell’ultimo campione di acquisto. L’uscita prodotta è mostrata in figura D.14.
Figura D. 14 ricostruttore Z.O.H. (Zero Order Hold)
Per vedere l’effetto del ricostruttore sul sistema, è sufficiente vedere la sua funzione di trasferimento:
𝐻0(𝑠) =1−𝑒 −𝑇𝑠
𝑠 (D.13)
Applicando l’approssimazione di Padè, si ottiene: 𝐻0 𝑠 ≈𝑇𝑇
2𝑠+1
↔ 𝐻0 𝑠 ≈ 𝑒−𝑠𝑇2 (D.14)
Il fatto stesso di realizzare il regolatore in tecnologia digitale con campionatori e mantenitori introduce il ritardo intrinseco di conversione (pari a metà del periodo di campionamento). E’ bene quindi che il regolatore R(s) progettato a tempo continuo sia
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dotato di un’eccedenza di margine di fase tale da coprire gli sfasamenti introdotti dalla realizzazione digitale.
Per esempio, assumendo 𝜔𝑠 = 10𝜔𝑐 deve essere presa un eccedenza di margine di fase pari a: 𝜑 = 𝑇2𝜔𝑐 180°𝜋 = 𝑇2 𝜔𝑠 10 180° 𝜋 = 𝑇 2 2𝜋 10𝑇 180° 𝜋 = 18° (D.15)
In definitiva, per la scelta del tempo di campionamento, conviene tenere in considerazione i seguenti criteri:
tempo di campionamento sufficientemente basso (teorema di Shannon);
filtro anti-aliasing meno critico (maggiore campo di frequenze utile per posizionare la pulsazione di rottura);
ricostruttore meno critico (con ritardo equivalente pari a T/2); costi dei dispositivi;
tempo di calcolo dell’azione di controllo.
Tecniche di Discretizzazione- In matematica, la discretizzazione rappresenta il
processo di trasformazione dei modelli matematici ed equazioni continue nelle controparti discrete. Questo processo è spesso necessario come primo passo per esaminare un problema fisico simulandolo attraverso l'uso di un calcolatore e/o analizzandolo tramite tecniche numeriche. In generale, si utilizza la trasformata Z, che applicata ad una sequenza di numeri (reali o complessi), permette di ottenere una funzione complessa di variabile complessa definita come:
𝑥𝑘 0∞
𝑍
𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑥𝑘 = ∞𝑘=0𝑥𝑘𝑧−𝑘 (D.16)
La trasformata Z risulta definita per ogni z appartenente ad un cerchio il cui raggio dipende dalla sequenza 𝑥𝑘 0∞ (dominio di convergenza) Sotto ipotesi (non restrittive) la
trasformata risulta risulta univoca ed è possibile definire la trasformazione inversa. Il campionamento produce in uscita un segnale temporale fatto come in figura D.7 . 𝑥∗ 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝛿
𝑇 𝑡 = ∞𝑘=0𝑥 𝑘𝑇 𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇) (D.17)
Passando nel dominio di Laplace, si ottiene una funzione così fatta: 𝑋∗ 𝑠 = ∞ 𝑥 𝑘𝑇 𝑒−𝑘𝑇𝑠
𝑘=0 (D.18)
A questo punto, lo strumento matematico che permette di ottenere le funzioni di trasferimento tempo-discreto è la trasformata Z. Con la sostituzione:
𝑧 = 𝑒𝑇𝑠 ↔ 𝑠 =1
𝑇ln 𝑧 (D.19)
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𝑋∗ 𝑠
𝑠=1𝑇ln (𝑧) = ∞𝑘=0𝑥 𝑘𝑇 𝑧−𝑘 = 𝑋(𝑧) (D.20)
X*(s) è la trasformata Z della sequenza {xk}ottenuta campionando x(t) con periodo T.
Tuttavia, in questo modo non si ottiene un regolatore tempo-discreto a dimensione finita, perché non avrebbe una funzione di trasferimento razionale fratta. Nella pratica si utilizza un'approssimazione tempo-discreta del controllore. Di seguito, si elencano i diversi metodi di discretizzazione:
1. Metodo delle Differenze all’Indietro; 2. Metodo delle Differenze in Avanti; 3. Trasformazione Bilineare o di Tustin;
4. Trasformazione Bilineare con Precompensazione in Frequenza; 5. Metodo di Invarianza della Risposta all’Impulso;
6. Metodo di Invarianza della Risposta al Gradino (matematicamente equivalente a trasformare in z C(s) in cascata ad un fittizio Z.O.H.);
7. Metodo della Corrispondenza Poli-Zeri.
I metodi 1, 2 e 3. sono equivalenti discreti dell’operazione di integrazione/derivazione analogica; il metodo 4 è una variante del 3 per aggiustare il comportamento frequenziale a una data pulsazione. I metodi 5 e 6 mirano a preservare nel discreto i campioni della risposta impulsiva del caso continuo ed il metodo 7 mira a bilanciare l’effetto degli zeri introdotti dal campionamento.
Le metodologie più utilizzate sono le prime 3, le quali derivano tutte da una sostituzione “padre”, come mostrato nelle equazioni 3.15 .
𝑠 = 𝑇(𝛼𝑧 +1−𝛼)𝑧−1 Sostituzione “padre” (D.21)
𝑠 = 𝑧−1𝑇 α = 0 Eulero in avanti (D.22)
𝑠 = 𝑧−1𝑇𝑧 α = 1 Eulero in avanti (D.23)
𝑠 = 2𝑇(𝑧−1)(𝑧+1) α = 1/2 Tustin (D.24)
Nel metodo delle differenze all'indietro si considerano tra gli istanti (k-1)T e kT i rettangoli di altezza pari a y(kT) o x(kT) (valore finale del periodo considerato), come mostrato in figura D.15.
Nel metodo delle differenze all’avanti, invece viene presa un altezza pari ad y((k-1)T); invece nella metodologia di Tustin, si assume che la y(t) vari in modo lineare tra i campioni y((k − 1)T) e y(kT) per t ∈ [(k − 1)T, kT].
Chicca Lorenzo Anno Accademico 2012/2013 129 Figura D. 15 ricostruzione del segnale attraverso i diversi metodi
Realizzazione del Controllo Digitale – Nel caso in questione ci si è avvalsi della
funzione Matlab c2d che consente di convertire automaticamente, sistemi continui (formulati nella variabile s) in sistemi discreti, specificando il tempo di campionamento e la tecnica di conversione (Tustin, ZOH, ecc…). Per un buon campionamento, tenendo conto anche di quanto detto sopra, si dovrebbe scegliere un periodo di campionamento pari almeno a 30∗𝜔1
𝐵 . Dove ωB è la banda passante del sistema in ciclo chiuso; questo porta ad un periodo di campionamento 𝑇 =30∗101 = 0.0033.
Inoltre deve verificata la stabilità del sistema digitalizzato e la sua risposta temporale. Analogamente ai sistemi continui, è possibile studiare il comportamento del sistema e la variazione dei poli al variare del guadagno attraverso l’espressione che lega la variabile
z alla variabile s. La figura D.16, mostra la mappatura delle linee a smorzamento (ξ) e
frequenza naturale (ωN) costanti.
Figura D. 16mappature nel piano Z a frequenza ed a smorzamento costante
Nel piano z, il confine di stabilità non è l’asse immaginario, ma il bordo del cerchio di raggio unitario ed origine nel centro degli assi. Di conseguenza si deve verificare che i
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poli in ciclo chiuso del sistema restino all’interno del cerchio e che la risposta non sia alterata rispetto a quella nel sistema continuo. Nel corso del presente lavoro, sono state considerate due soluzioni: una digitalizzazione avanzata, effettuata con un elevata frequenza di campionamento ed una di bassa qualità, caratterizzata da una bassa frequenza, ma più economica. Per vedere l’effetto sul sistema delle frequenze di campionamento, è stata effettuata una verifica di come variano i poli del sistema in un
range che va da 100 Hz fino a 1000Hz (anche se ovviamente, non ha senso fare un
controllo in digitale avanzato, con una bassa frequenza di campionamento).
Nel presente lavoro, per il passaggio nel dominio del tempo discreto, si è scelto di applicare la discretizzazione di Tustin.
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Ringraziamenti
In fondo a questo lavoro mi sento in dovere di citare tutti coloro, che mi hanno permesso di portare al termine questo percorso cominciato un po’ di anni fa.
Innanzitutto un ringraziamento particolare va al Proff. Galatolo ed al Proff. Denti per avermi permesso di approfondire le mie conoscenze nel campo dei controlli e degli impianti.
Desidero poi ringraziare F. Schettini e G. di Rito per i preziosi consigli, la pazienza, la costante presenza dimostratemi nello svolgimento di questa prova e l’ottimo ambiente di lavoro che ho trovato qui in laboratorio.
Voglio esprimere la mia riconoscenza alla mia famiglia, per l’educazione, l’incoraggiamento e la pazienza che hanno avuto in questi anni di studio. Soprattutto coloro che per causa di forza maggiore non hanno potuto vedermi raggiungere questo traguardo, ed alle quali dedico questo lavoro.
Colgo l’occasione per citare tutti quelli che hanno dato un grosso contributo allo svolgimento di questa tesi, sia materiale che “spirituale”. In particolare David&Filippo per le stampe a colori e Vito che mi ha fatto scoprire le magie di Word permettendomi la scrittura di questo elaborato.
Dal lato “labronico”, un grazie a Mirkino per l’aiuto in slavistica ed a tutto il gruppo di Livorno.
Un affettuoso abbraccio anche ad Elena ed Alice per i bei momenti passati insieme e per il supporto morale che mi han dato.
Ringrazio anche gli amici del centro di calcolo per i bei momenti passati e per essere riusciti a spezzare la motonia.
Un pensiero va anche ad Andrea, Eric ed a tutti gli amici di Lucca.
Un abbraccio di cuore a Lorenzo, per l’amicizia dimostratami e per essermi stato accanto in questo anni di università; soprattutto questo , che è stato il più duro.
Обнимаю, в частности, Аню для любви и энергии, которые она мне передала: они были мне очень нужны в этом сумадшедшем году.
A tutti quelli che avrei voluto citare ma che brevità di spazio non ho potuto fare;