applicazione del metodo

Nel caso in cui k pu`o assumere un continuo di valori all’interno di un intervallo

D (insieme vettoriale), possiamo estendere la definizione data dalle (2.9)-

(2.12) nella seguente maniera:

|{α(k)}⟩D = exp [∫ D d3k ( α(k)ˆa†(k)− |α(k)| 2 2 )] |0⟩ (2.20) dove per campi monocromatici non evanescenti il dominio di integrazione sar`a (estenderemo tale ipotesi a breve)

D = {kx, ky, kz ∈ R|k2x+ k2y+ kz2 = ω2/c2} (2.21)

Essendo interessati al calcolo della quantit`a ⟨{α(k)}|E(r, t)|{α(k)}⟩ dove

E(r, t) `e dato dall’espressione (2.19) occorrer`a ridefinire il dominio (2.21) nella seguente maniera:

D′ _={k x, ky ∈ R; (kz ∈ C)|kx2+ k 2 y+ k 2 z = ω 2 /c2} (2.22) dove certamente D ⊂ D′.

Mostriamo che mediando l’operatore (2.19) sullo stato (2.20) |{α(k)}⟩_D′,

dove il dominio D′ `e dato dalla (2.22), otteniamo:

⟨{α(k)}|E(r, t)|{α(k)}⟩ = U(r, t) (2.23) dove il campo U (r, t) `e dato dalla (1.6). in cui α(kx, ky, (kz = f (kx, ky))) =

a(kx, ky) ovvero proprio lo spettro classico del campo.

Dal momento che per costruzione ˆa(k)|{α(k)}⟩ = α(k)|{α(k)}⟩, il calcolo

della media (2.23) fornisce proprio il campo classico perch`e possiamo scegliere la funzione α(kx, ky, (kz = f (kx, ky))) = a(kx, ky) ovvero proprio coincidente

con lo spettro classico del campo.

Riepilogo del capitolo

L’intero capitolo `e incentrato sul concetto di stato quantistico associato ad un operatore di campo in seconda quantizzazione. Questo `e un tema trat- tato soltanto marginalmente nei testi di meccanica o di ottica quantistica, soprattutto in riferimento alla sovrapposizione nel continuo. Dal momento che il presente lavoro di tesi `e focalizzato sulla formulazione quantistica di un operatore di campo che possa descrivere dinamiche evanescenti, (ed un tale operatore sar`a necessariamente legato a sovrapposizioni nel continuo di operatori), la comprensione (ed il legame tra mondo quantistico e classico) degli stati di tali operatori risulta quanto mai necessaria. Dopo aver chiari- to l’utilizzo dello stato coerente come “ponte” tra la versione quantistica e quella classica del campo monomodale, attraverso l’operazione di media, se ne `e data una rappresentazione continua mediante la quale si `e riusciti ad ottenere il campo (evanescente) classico come risultato di una media di un opportuno operatore. Tale operatore, discusso ed ottenuto formalmente nel successivo capitolo 3, `e stato qui ricavato in maniera euristica soltanto al fine

di applicare il metodo di calcolo della media sullo stato quasi classico multi- modo proposto e mostrare quindi che un tale schema fornisce i noti risultati classici relativi a campi evanescenti.

Capitolo 3

Onde evanescenti

Ci sono i fisici teorici che inventano, deducono, e tirano a indovinare le nuove leggi, ma non le sperimentano, e ci sono i fisici sperimentali che fanno gli esperimenti, inventano,

deducono e tirano a indovinare.

Richard Feynman1

Nel presente capitolo, dopo un attenta e ragionata digressione teorica ri- guardo la letteratura esistente sull’argomento “onde evanescenti”, che sar`a af- frontata nel successivo paragrafo 3.1, si continuer`a con l’analisi e la discussio- ne dell’operatore introdotto euristicamente nel precedente capitolo fornendo per esso una deduzione formale e discutendone ipotesi e validit`a.

Prima di procedere con l’analisi della bibliografia essenziale sull’argomen- to vogliamo accennare brevemente ad un altra analogia tra dinamica classica e quantistica che ci viene offerta dalle onde evanescenti e che meriterebbe

1_{Sei pezzi facili, (1994)}

un’ampia indagine a parte: il tempo di tunneling. L’analogia tra il tunneling ottico e quantistico `e basata sulla somiglianza tra l’equazione di Schr¨odin- ger indipendente dal tempo per una particella di massa m ed energia E in presenza di una barriera di potenziale V (x, y, z), tale che E < V (x, y, z):

− ~2

2m∇

2

ψ + V (x, y, a)ψ = Eψ

e quella di Helmholtz per un onda elettromagnetica a frequenza ω che si propaga in un mezzo con indice di rifrazione n(x, y, z):

∇2_{ψ +}n(x, y, z)2ω2

c2 ψ = 0

Ambedue queste equazioni sono formalmente identiche, se:

n(x, y, z) = c

√

2m[E− V (x, y, z)] ~ω

Dal momento che il tunneling quantistico prevede E < V (x, y, z), il corri- spondente indice di rifrazione n(x, y, z) = k(x, y, z)c/ω `e immaginario e di conseguenza il vettore d’onda k(x, y, z) risulta a sua volta immaginario. Ma campi elettromagnetici con vettori d’onda immaginari sono conosciuti proprio come campi evanescenti. Da qui si comprende come il tunneling quantistico sia l’analogo della “propagazione” dei campi evanescenti nella teoria classica dell’elettromagnetismo. Non indagheremo oltre su questo fenomeno, che me- riterebbe una trattazione specifica per il suo carattere strettamente connesso ad aspetti fondazionali della fisica teorica: attualmente, a conoscenza dello scrivente, non esiste una definizione unica di tempo di tunneling (o tempo di attraversamento) e di conseguenza un significato univoco del termine. Come ampiamente descritto in [15], a cui si rimanda per ulteriori approfondimenti sull’analogia appena accennata, la possibilit`a di controllare il tunneling di un fotone potrebbe essere usato per realizzare dispositivi cosiddetti tunneling-

di tale fenomeno `e notevole. Cos`ı come rilevante sarebbe la conoscenza esatta del tempo di transito di una particella all’interno di una barriera di potenzia- le che costituisce il principio di base su cui operano i tunneling single-electron transistors, i resonant tunneling diodes, i quantum cascade lasers ecc...

3.1

Bibliografia essenziale

I primi risultati sperimentali riguardanti le onde evanescenti in regime di ri- flessione totale furono ottenuti da Quincke [29] nel 1866 e poco dopo da E. E. Hall (che non `e Edwin Herbert scopritore dell’omonimo effetto Hall) [30] nel 1902. L’interesse verso l’argomento, soprattutto nel campo sperimentale ha conosciuto, da allora, un notevole incremento per le rilevanti applicazioni pratiche che l’indagine di tale regime propagativo consentiva [31]. Allegrini nel 1971 ha effettuato la prima osservazione sperimentale dell’onda evane- scente nel visibile [32]. Dello stesso anno (1971) `e anche il lavoro teorico di Carniglia e Mandel [33] che pongono una delle pietre miliari sull’argomen- to. Nel loro articolo essi affrontano il problema della quantizzazione delle onde evanescenti per la prima volta. Tuttavia la macchinosa teoria che essi sviluppano si basa sull’ipotesi di considerare l’intero spazio tridimensionale suddiviso essenzialmente in due regioni (separate dal piano z = 0): la prima regione riempita di un materiale omogeneo, lineare, non dispersivo ed isotro- po avente indice di rifrazione n0 e l’altra regione in cui c’`e il vuoto (indice di

rifrazione n = 1). Nel presente lavoro supereremo questa struttura cercando di fornire una soluzione formalmente pi`u generale. Tornando alla letteratura osserviamo che si susseguono molti lavori sull’argomento e come spesso acca- de si indaga in direzioni diametralmente opposte. Xiao in una serie di lavori, il pi`u recente nel 1999, ha cercato di dimostrare che la componente evanescen-

te di un dipolo contribuisce anche in campo lontano [34]. Tali lavori, pi`u volte smentiti, sono evidentemente frutto di errori matematici nell’interpretazione ed estensione di formule corrette soltanto sotto stringenti condizioni [35]. Pi`u recentemente ancora, Katrich [36] nell’ articolo “Do evanescent waves really exist in free space?” si `e spinto nel verso opposto cercando di dimostrare l’inesistenza di componenti evanescenti nello spazio libero: ancora una volta tali conclusioni sono risultate inesatte, come mostrato da Sheppard et al. in [37].

Chiudiamo questa breve digressione sull’analisi ragionata della biblio- grafia essenziale sull’argomento accennando ad alcune delle applicazioni pi`u importanti legate alle onde evanescenti:

• SNOM “Scanning Near-field Optical Microscopy”, (si veda a titolo di

esempio [38]);

• Diffraction from subwavelength aperture, (si veda a titolo di

esempio [39]);

• Evanescent-field couplers (si veda [40]); • Biosensors (si veda [41]);

La descrizione dettagliata di tali applicazioni esula dagli scopi della presente tesi. A titolo di esempio, tuttavia, nel successivo paragrafo descriveremo i principi generali legati all’ultima applicazione sopra riportata, forse la meno nota alla fisica teorica: i biosensori a specchi risonanti.