Quantizzazione di onde evanescenti

Universit`

a di Pisa

Facolt`a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corso di Laurea Specialistica in Scienze Fisiche Anno Accademico 2013/2014

Tesi di Laurea Specialistica

Quantizzazione di onde evanescenti

Candidato

Relatore

ricerca in “Scienze Elettrofisiche ed Elettromagnetismo Applicato” presso l’ Universit`a (la stessa dove si `e laureato) La Sapienza di Roma. Il 4 gennaio 2001, il sindaco della sua citt`a natale gli conferisce il Premio Citt`a di Sora - Sezione Giovani con a la seguente motivazione: [...] in sede scientifica ed accademica la sua ricerca `e rivolta alle possibili applicazioni ed implicazioni della meccanica quantistica.

Fino al dicembre 2004 `e assegnista di ricerca nel gruppo di Fisica Teorica presso il dipartimento di Scienze Fisiche ed Astronomiche dell’ Universit`a di Palermo. Dal gennaio 2005 `e in servizio permanente effettivo presso il C.I.S.A.M., Centro Interforze Studi per le Applicazioni Militari, ente interforze del Ministero Difesa, nel ruolo di Ufficiale dell’ Aeronautica Militare Italiana. Amante delle arti marziali e del Karate in particolare, `e Maestro 3oDan dello stile Shotokan che pratica da oltre 34 anni. Sensibile verso il canto polifonico, fa parte di un coro non professionista di livello (qualitativo) internazionale, da oltre 25 anni nel ruolo di baritono.

elettromagnetico, arrivando a definirne la dinamica operatoriale, per cavit`a ottiche doppiamente aperte. Negli ultimi anni la maggioranza dei lavori sono orientati all’ Ottica di Fourier. Insieme all’ amico e collega Omar El Gawhary ha definito una nuova classe di campi elettromagnetici (la cui propagazione parassiale, tra l’ altro, si esprime in forma chiusa) chiamati fasci di Lorentz ed ha introdotto in letteratura, discuten-done propriet`a e caratteristiche, un nuovo parametro chiamato Grado di Parassialit`a, utile per misurare quanto una qualsiasi distribuzione di campo sia parassiale nella sua propagazione. Simmetrie e leggi di conservazione in dinamiche classiche e quantistiche stimolano i suoi attuali studi ed interessi. `E autore di una trentina di articoli scientifici, pubblicati su riviste internazionali; `e inoltre autore, insieme all’ amico e collega Alessandro Settimi, di un saggio scientifico bilingue dal titolo Solenoidalit`a e quantit`a di moto: antinomie sull’ esistenza di monopoli magnetici, edito da INTERSCIENZE S.r.l. (2012).

per la loro presenza e il loro sostegno!

A mia Sorella, per i consigli e per il suo impegno!

A Cristina, infine, va il mio ringraziamento per la passione, l’amore e il suo comprendimento...

Indice

Prefazione 3

1 Introduzione 5

1.1 Campi evanescenti classici. . . 7

1.1.1 riflessione totale . . . 9

1.1.2 guide d’onda . . . 11

1.2 Teoria quantistica di campo fotonico . . . 13

1.2.1 elettrodinamica covariante . . . 14

1.2.2 quantizzazione canonica . . . 14

1.3 Campi evanescenti quantistici . . . 17

1.3.1 Open Quantum System Theory . . . 17

1.3.2 Quasi Normal Modes (QNM) approach . . . 19

Riepilogo capitolo . . . . 22

2 Stati quantistici della radiazione e.m. 24 2.1 Formalismi descrittivi . . . 25

2.1.1 single particle representation . . . . 25

2.1.2 multi particle representation . . . . 27

2.2 Formalismo continuo alternativo . . . 29

2.2.1 operatore di campo . . . 29

2.2.2 applicazione del metodo . . . 32

Riepilogo capitolo . . . . 33

3 Onde evanescenti 35 3.1 Bibliografia essenziale . . . 37

3.1.1 biosensori a specchi risonanti . . . 38

3.2 Trattazione classica delle onde evanescenti . . . 40

3.2.1 variazione di polarizzazione . . . 40

3.2.2 shift di Goos-H¨anchen . . . 43

3.2.3 dimensionalit`a . . . 45

3.3 Trattazione quantistica dell’onda evanescente . . . 49

3.3.1 Gauge di Coulomb e polarizzazione . . . 49

3.3.2 operatore di campo in dinamica evanescente . . . 51

Conclusione 56 Appendici 59 Appendice A Approssimazioni di Fresnel e Fraunhofer 60 A.1 approssimazione di Fresnel . . . 63

A.2 approssimazione di Fraunhofer . . . 63

Bibliografia 63

Prefazione

La lettura dei classici della Fisica Teorica, da Einstein e le sue perplessit`a sulla localit`a a David Bohm, da Feynmann e la sua profondit`a di osser-vazione fino ai trattati di meccanica quantistica di J.J. Sakurai e Claude Cohen-Tannoudji, per non parlare di opere pi`u recenti scritte da personag-gi pi`u vicini a me personalmente come il matematico A. Avantaggiati o il chimico P. Silvestroni, mi ha fornito un importante stimolo, insieme ad un esempio pratico, di come non bisognerebbe mai vergognarsi di parlare in ma-niera chiara anche di aspetti considerati ovvi o facili. Sempre pi`u spesso nella letteratura scientifica odierna ci si trincera dietro inerpicati esposizioni tecniche tali da rendere l’idea da comunicare quasi nascosta. Ci`o rende gli ambiti di ricerca sempre pi`u specialistici e tende altres`ı a rinchiudere in anse sempre pi`u strette il bacino di accesso degli appassionati lettori del campo. La ricerca dell’estrema generalizzazione e del rigore matematico spesso pon-gono dei limiti al pensiero che tende cos`ı a rimanere incastrato nell’ordinario modo di pensare e di trattare i vari argomenti secondo quelli che sono i me-todi, modelli e schemi creati da altri. Nel presente lavoro di tesi il maggiore sforzo, per quanto mi `e stato possibile, `e stato seguire una linea guida di chiarezza espositiva e di analisi anche dell’ovviet`a, soprattutto in riferimento ad i necessari richiami teorici che, come spesso accade quando si tenta di porre l’accento su concetti noti, hanno condotto la discussione stessa verso

aspetti a volte quasi pi`u interessanti e necessari dell’essenziale (costituito dal messaggio principale da comunicare) stesso.

Tra le ovviet`a discusse: c’`e la condizione offerta dal gauge di Coulomb, conosciuta anche col nome di “condizione di trasversalit`a” del campo durante la propagazione; c’`e poi il concetto di stato quantistico di un operatore di campo, insieme al suo legame con un campo elettromagnetico classico; c’`e l’evanescenza derivata in ottica classica attraverso l’integrale di Weyl sempli-cemente estendendo al dominio complesso le componenti del vettore d’onda. Accanto a questi concetti che, come vedremo, tanto ovvi non lo risulteranno pi`u molto, verr`a proposto per la prima volta in letteratura (a conoscenza dell’autore) un operatore di campo elettrico in seconda quantizzazione che possa rappresentare la versione quantistica di un onda evanescente. Tutto ci`o sar`a preceduto ed introdotto da un attenta digressione sullo “stato del-l’arte” relativo agli aspetti teorico-sperimentali legati al fenomeno delle onde evanescenti.

Il presente lavoro non sarebbe stato svolto senza il costante stimolo e l’in-teressante guida del Prof. Paolo Christillin, che con allettanti caff`e o tazze di th`e, `e riuscito a farmi trascorrere interi pomeriggi alla lavagna sviscerando ogni minimo dettaglio fisico di molti degli aspetti che sono riportati nel pre-sente lavoro. Un ringraziamento particolare va anche a tutti i miei superiori gerarchici (e non solo) del CISAM (Centro Interforze Studi per le

Applica-zioni Militari) che mi hanno consentito di seguire (tutte) le leApplica-zioni dell’intero

corso di studio e di giungere, finalmente, alla conclusione di questo splendido percorso formativo nel curriculum di Fisica Teorica, ambito in cui opero da oltre 14 anni ormai.

Capitolo 1

Introduzione

If you have an apple and I have an apple and we exchange apples, then you and I will still each have one apple. But if you have one idea and I have one idea and we exchange these ideas, then each of us will have two ideas.

George Bernard Shaw1

Il fotone , nella teoria quantistica dei campi, `e un entit`a fisica dotata di Energia E, quantit`a di moto −→k e polarizzazione −→ϵ . Fotoni che differiscono

per una di queste propriet`a e si propagano nello spazio libero non interferi-scono tra loro. Ad Energia e polarizzazione fissate, fotoni che si propagano lungo direzioni differenti dello spazio tridimensionale, quindi, non intera-giscono. Nello spazio libero ciascuna delle infinite direzioni di propagazione

1_{G.B. Shaw, premio Nobel per la letteratura nel 1925, considerato autore dell’epigrafe} di cui per`o i riferimenti rimangono poco chiari. Vedasi ad esempio Phi Kappa Phi Journal, Volumi 32-34, p. 45, Michigan (1952).

(ad energia e polarizzazione fissate) costituisce quello che si chiama Spazio di Fock : l’insieme di tutte le direzioni possibili nello spazio costituisce quindi un insieme di spazi di Hilbert, separati (sotto opportune condizioni). In realt`a, come vedremo nel successivo paragrafo 1.2, esiste un legame tra operatori e modi del campo (intesi come direzione di propagazione e polarizzazione): tale relazione `e associata alla distribuzione spettrale in senso classico, del campo medesimo. Questa semplice osservazione sar`a il punto di partenza del successivo capitolo riguardante gli stati quantistici multi-particella associati a tali modi.

Abbiamo detto che un fotone che si propaghi lungo una determinata di-rezione dello spazio tridimensionale, qualora non intervengano processi d’in-terazione, e trascurando per ora la sezione d’urto fotone-fotone, rimane un entit`a stazionaria che continua la sua propagazione all’infinito. Lo stesso fotone, se venisse immesso in una cavit`a (risonante) perfettamente condutti-va, sotto opportune ipotesi, rimarrebbe all’interno della stessa per un tempo infinito. Nella realt`a, ad eccezione di casi particolarissimi, legati alla teoria dello stato condensato a temperature molto basse (superconduttivit`a), ogni cavit`a risonante avr`a delle perdite; `e esperienza comune che un’eccitazione del campo elettromagnetico all’interno di una cavit`a non dia luogo ad un campo stazionario ma decada: il fotone viene dunque assorbito dalle pareti della cavit`a dopo un determinato numero (medio) di round-trip. In lette-ratura esistono diversi metodi teorici utili a modellizzare tale fenomeno di accoppiamento, chiamato anche damping e tra tutti, a mero titolo di esempio, possiamo menzionare:

• l’Open Quantum System Theory, che sfrutta l’accoppiamento del modo

di interesse con un bagno termico , eliminando in secondo tempo i gradi di libert`a non di interesse (i modi del bagno termico stesso) mediante

una traccia sui modi del bagno [1–3];

• i Quasi Normal Modes, ossia soluzioni non stazionarie dell’equazione

d’onda , sia in ambito classico che quantistico [4–7].

Una breve disamina di tali metodi verr`a presentata nel paragrafo 1.3, mentre per ulteriori metodi e approfondimenti si rimanda a [8–10].

E’ esperienza comune nei corsi di fisica di base fare esperimenti sulla riflessione totale di fasci di luce (laser) e/o sull’illuminazione di oggetti di dimensioni confrontabili con la lunghezza d’onda del campo incidente. In entrambe queste situazioni la teoria classica del campo elettromagnetico ben descrive tali processi mediante l’introduzione dei cosiddetti modi evanescenti del campo. Ne richiameremo brevemente la teoria nel paragrafo 1.1, insieme all’evanescenza prodotta in propagazione guidata per frequenze inferiori al

cut-off .

1.1

Campi evanescenti classici.

Nello spazio libero, indichiamo con V (x, y, z, t) una componente (spaziale) qualsiasi del vettore di campo elettromagnetico monocromatico propagantesi lungo l’asse ottico z. Sul piano x− y (o piano z = 0, detto anche piano di emergenza) la suddetta componente scalare pu`o essere scritta come

V (x, y, t) = U (x, y, ω)e−iωt (1.1) dove ω `e la frequenza del campo (monocromatico) ω = c|k| = c2π/λ; λ `e la lunghezza d’onda, c la velocit`a della luce nel vuoto, k `e il vettore d’onda ed

U `e la componente armonica. In Ottica la generica componente V (x, y, z, t) viene anche chiamata “Disturbanza” . Possiamo espandere la componente

monocromatica della (1.1) U (x, y) mediante uno sviluppo di Fourier, consi-derandone cio`e la somma delle sue componenti sul piano trasformato kx, ky

come U (x, y) = ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ dkxdky (2π)2 a(kx, ky)e i(kxx+kyy)_{. (1.2)}

dove per semplicit`a di notazione abbiamo omesso la dipendenza da ω per tut-te le quantit`a interessate. Da un punto di vista classico la funzione a(kx, ky)

coincide con lo spettro del campo dato.

La propagazione, per z qualsiasi (supponiamo senza perdita di gene-ralit`a z > 0), della singola componente di Fourier (onda piana) relativa all’espansione di (1.2):

aei(kxx+kyy)

pu`o essere naturalmente espressa nella forma

aei(kxx+kyy+kzz) _(1.3) dove kz = √( 2π λ )2 − k2 x− ky2, se vale k 2 x+ k 2 y ≤ ( 2π λ )2 (1.4) = i √ k2 x+ k2y− ( 2π λ )2 , se vale k2_x+ k2_y > ( 2π λ )2 (1.5) Le onde piane per le quali vale la relazione (1.4) sono le ordinarie onde piane, dette anche omogenee , propaganti nella direzione del vettore d’onda k = (kx, ky, kz). Quelle per cui `e soddisfatta la condizione (1.5) rappresentano,

invece, le cosiddette onde piane evanescenti, dette anche non omogenee , e la loro ampiezza decade esponenzialmente con il crescere di z.

Il corrispondente “propagato” del campo (1.2), che possiamo scrivere sen-za perdita di generalit`a come U (x, y, z > 0), alla luce di quanto visto per le

sue componenti elementari pu`o essere semplicemente scritto (si veda [11]) come: U (x, y, z) = ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ dkxdky (2π)2 a(kx, ky)e i(kxx+kyy+kzz)_{. (1.6)}

espressione che in virt`u delle (1.4)-(1.5) tiene conto sia dei contributi delle componenti omogenee che di quelle non omogenee dello spettro medesimo.

Nel presente lavoro saremo interessati a trovare una versione quantistica corrispondente al campo classico generico (1.6) che possa venire specificato per diversi tipologie di spettri a(kx, ky) (noti) in riferimento ai profili di campo

pi`u utilizzati in Ottica Quantistica (e non solo) come i fasci Gaussiani, i fasci di Bessel, i fasci di Lorentz ecc.

Circa la descrizione classica appena introdotta, ampiamente discussa in [12], `e necessaria una precisazione: la componente non omogenea, pur non contribuendo all’ampiezza totale del campo nella regione cosiddetta di Fraun-hofer (o di campo lontano), `e tuttavia una quantit`a reale e sperimentalmente misurabile con accuratezza [13]. Inoltre una componente evanescente del campo elettromagnetico si pu`o, con opportune interazioni e geometrie, ri-portare nuovamente ad essere “propagante” [14]: si basti pensare all’uso di prismi posti in prossimit`a di guide d’onde in cui il campo si propaghi per riflessione totale . L’evanescenza associata alla componente non omogenea dello spettro `e l’equivalente in ottica dell’effetto tunnel presente in Meccanica Quantistica [15] argomento, quest’ulimo, trattato in apertura del capitolo 3.

1.1.1

riflessione totale

Il primo ambito in cui si `e osservato il fenomeno di onda evanescente `e stato nel processo di riflessione totale. Quando all’interfaccia di separazione tra due mezzi (si veda figura 1.1) incide un onda piana, proveniente dal mezzo

-6 x z n1 n2  ⃗_ki U ⃗_kr  ⃗_kt θi θt

Figura 1.1: Nella figura `e schematizzato il piano d’incidenza per il processo di riflessione totale all’inter-faccia di separazione (piano z = 0) tra un mezzo otticamente pi`u denso (semispazio con indice di rifrazione n1) ed uno meno denso (indice di rifrazione n2), dove n1> n2e θ > θcin cui θc`e l’angolo critico (legato

alla legge di Snell) θc = sin−1(n2/n1). Il vettore d’onda trasmesso (nel mezzo 2) ⃗kt `e punteggiato ad

indicare che lungo la componente z esso presenta valori immaginari (onda evanescente).

con indice di rifrazione maggiore (otticamente pi`u denso), compaiono altri due campi chiamati rispettivamente riflesso (sempre nel medesimo mezzo del campo incidente) e trasmesso (nel mezzo con indice di rifrazione minore). Applicando le propriet`a di conservazione del campo elettrico si giunge alle seguenti:

θi = θr (1.7)

n1sin θi = n2sin θt (1.8)

Dalla prima condizione (1.7) segue immediatamente che il campo riflesso emerge con un angolo pari a quello del campo incidente. Dalla seconda condizione (1.8), anche nota come legge di Snell , possiamo semplicemente comprendere il fenomeno della comparsa di un angolo per il campo incidente, cosiddetto “critico” , per il quale la medesima relazione (1.8) `e soddisfatta con il massimo valore assumibile da θt = π/2: θc= sin−1(n2/n1). Per campi

incidenti con angoli (di incidenza) maggiori di θc la condizione (1.8) impone

distan -6 x z n1 n2 n1 d 0  ⃗_ki U ⃗_kr  ⃗_kt

Figura 1.2: Nella figura `e schematizzato il processo di riflessione totale cosiddetta frustrata . I campi incidente, riflesso e trasmesso sono schematizzati con i vettori d’onda ⃗ki, ⃗kre ⃗kr. Ponendo ad un’opportuna

distanza d dalla superficie di separazione tra i due mezzi (quello otticamente pi`u denso n1e quello meno

denso n2) un nuovo mezzo con indice di rifrazione pari a quello del mezzo otticamente pi`u denso, il modo

evanescente riacquista una dinamica propagante. L’ampiezza di tale campo dipende dalla distanza d tra le due superfici, come sar`a chiarito nel capitolo 3. Per semplicit`a nella figura non sono state riportate le riflessioni multiple.

ze dalla superficie di separazione (piano z = 0) di qualche lunghezza d’onda, il campo `e praticamente nullo. Tuttavia, se ci si avvicina sufficientemente alla superficie di separazione sopra detta con un nuovo mezzo di indice di rifrazione n2 , il campo “evanescente” ritrova le necessarie condizioni di

pro-pagazione (date dall’applicazione alla nuova interfaccia della relazione (1.8)) e cessa di essere evanescente ma ridiventa propagante come schematizzato simbolicamente nella figura 1.2: in questo caso si parla di riflessione totale frustrata .

1.1.2

guide d’onda

Questo `e un ulteriore esempio di processo in cui compaiono onde evanescenti nel caso si lavori con campi a frequenze minori del cut-off. Descriveremo que-sto processo con un esempio scalare, considerando una guida d’onda rettan-golare di dimensioni trasverse a e b ed in cui la propagazione avvenga lungo

l’asse z. Fissiamo l’attenzione su un modo singolo del campo e consideriamo dunque una guida mono-modo.

La disturbanza V (x, y, z, t) deve soddisfare l’equazione delle onde : ( ∇2₋ 1 c2 ∂2 ∂t2 ) V (x, y, z, t) = 0

che diventa l’equazione di Helmholtz (considerando campi monocromatici

(1.1)): ₍

∇2₊ ω2

c2

)

U (x, y, z) = 0

Anche se gi`a detto, ribadiamo che la funzione U si riferisce alla componen-te armonica di un campo (elettrico o magnetico) che non abbia componenti nella direzione longitudinale (asse z). E’, infatti, una propriet`a di tutti gli au-tomodi di una guida d’onda elettromagnetica che per ciascuno di essi almeno uno dei due campi (elettrico e magnetico) sia trasverso nella propagazione.

Considerando funzioni della forma

U (x, y, z) = u(x, y)eikzz

l’equazione di Helmholtz diventa: ( ∇2 ⊥− kz+ ω2 c2 ) U (x, y, z) = 0

dove con ∇2_⊥ si `e indicato il Laplaciano nelle coordinate trasverse. In coordi-nate rettangolari (che in riferimento alla guida d’onda rettangolari costitui-scono il sistema di sviluppo naturale del campo) l’equazione appena scritta fornisce proprio la nota relazione di dispersione

k_x2+ k2_y+ k_z2 = ω

2

c2

nella quale possiamo inserire le espressioni dei vettori d’onda trasversi per guide d’onda rettangolari di dimensioni a× b:

  

kx = (nπ/a)

ky = (mπ/b)

dove n, m∈ N e corrispondono agli automodi della guida. Considerando tali espressioni otteniamo dalla relazione di dispersione la seguente:

(_nπ a )2 + (_mπ b )2 + k2_z = ω 2 c2

che `e appunto la relazione di dispersione per guide d’onda rettangolari. La frequenza di cut-off ωc corrisponde alla frequenza critica che delinea la

tran-sizione tra regime propagativo ed evanescente e corrisponde al valore di

kz = 0: ωc= ω|kz=0 = c √(_nπ a )2 + (_mπ b )2

La frequenza di taglio ωc di un modo `e pertanto proporzionale a kt =

√

k2

x+ ky2. Ai vari modi di propagazione corrispondono, quindi, diverse

fre-quenze di taglio (salvo casi degeneri). Ordinando i modi in ordine crescente di k2

t, essi risulteranno ordinati in ordine crescente di ωc. Se consideriamo

una frequenza ˜ω ∈ [ωc1, ωc1], dove ωc1 corrisponde alla frequenza di taglio

pi`u piccola e ωc2 corrisponde a quella immediatamente successiva, a tale

fre-quenza ˜ω esiste un solo modo (quello corrispondente alla frequenza ωc1) che

si propaga mentre tutti gli altri sono evanescenti.

1.2

Teoria quantistica di campo fotonico

La teoria di campo per particelle bosoniche non massive scariche `e un argo-mento ampiamente trattato nei testi basilari di teoria quantistica dei campi ai quali si rimanda per una trattazione esaustiva dell’argomento [16–19]. In quanto segue ne verranno richiamate solo alcune propriet`a che riprenderemo nel seguito.

1.2.1

elettrodinamica covariante

Tutta l’elettrodinamica classica nel vuoto `e elegantemente rieplilogata, in versione covariante , dalle seguenti due leggi di conservazione:

∂µFµν = 0 (1.9a)

∂µ ˜Fµν = 0 (1.9b) dove considerando la metrica g = diag(1,−1, −1, −1) abbiamo, per i due tensori appena introdotti: Fµν = ∂µAν − ∂νAµ ed ˜Fµν = ϵµνρσFρσ con ϵµνρσ

tensore totalmente antisimmetrico. Aµ `e il quadri-potenziale vettore dato

da Aµ = (ϕ, ⃗A) dove ϕ `e il potenziale scalare e ⃗A `e il potenziale vettore

(tridimensionale) . Nelle relazioni scritte ed in quelle che seguiranno, si considerano saturati gli indici ripetuti. Le equazioni (1.9) sono note come

forma covariante delle Equazioni di Maxwell nel vuoto. Potremmo dedurre

le stesse da principi variazionali a partire dalla Lagrangiana

L = −1

4FµνF

µν

ma ci`o esula dagli scopi del presente paragrafo e pu`o essere trovato su qual-siasi testo di teoria quantistica dei campi [16–20]. Sar`a invece di interesse, per il prosieguo del presente lavoro, discuterne in breve la quantizzazione canonica.

1.2.2

quantizzazione canonica

Nella teoria quantistica il potenziale vettore Aµ sopra introdotto viene

pro-mosso ad operatore Hermitiano. Ma la lagrangiana sopra riportata deve

essere corretta mediante un termine che eviti l’annullamento del momento coniugato di A0 [16]:

L = −1

4FµνF

µν_{− (λ/2)(∂} µAµ)2

dove λ per ora `e qualsiasi. In questo schema le equazioni di Maxwell (1.9) saranno rimpiazzate dalla seguente:

Aµ− (1 − λ)∂µ(∂νAν) = 0 (1.10)

che non rappresenta altro che l’equazione di evoluzione per il quadri poten-ziale Aµ. Il momento coniugato sar`a [16]

πρ= ∂L

∂(∂0Aρ)

= Fρ0− λgρ0(∂νAν)

dove gµν_{`e il tensore metrico . In ambito quantistico la scelta di λ `e chiamata,}

con abuso di linguaggio, scelta del gauge e la scelta λ = 1 `e anche nota come scelta del gauge di Feynman [16]. Le regole di commutazione a tempi uguali sono:

[Aρ(t, x), πν(t, y)] = igρνδ 3

(x− y)

L’equazione (1.10) pu`o essere risolta sviluppando Aµ in onde piane:

ˆ Aµ(x) = ∫ d˜k 3 ∑ j=0 [ ˆ a(j)(k)ϵ(j)_µ (k)e−ikµxµ _{+ ˆa}(j)†_(k)ϵ(j)∗ µ (k)e ikµxµ] _(1.11) dove d˜k = d 3_k 2k0(2π3) (1.12a) kµ= (|k|, k) (1.12b)

ed ˆa(j)_{(k) (e ˆa}(j)†_{(k)) `e l’operatore di distruzione (e creazione) riferito alla}

polarizzazione j ed al modo k mentre il quadrivettore ϵ(j)µ `e chiamato vettore

di polarizzazione. La quantizzazione che stiamo riepilogando `e ridondante, nel senso che presenta gradi di libert`a in pi`u rispetto a quelli fisici necessari. Delle quattro polarizzazioni, infatti, soltanto due saranno fisicamente signifi-cative. Di qui il problema di dover definire il concetto di stato fisico |Ψ⟩ tali per cui la condizione di Lorentz rimane valida in media:

Approfondimenti ulteriori degli argomenti del presente paragrafo possono essere reperiti nei molti testi di Quantum Field Theory presenti in letteratura [16–19].

Osservando ancora la struttura dell’Eq. (1.11) `e possibile notare come essa descriva fotoni stazionari la cui evoluzione spaziale non contempla la possibilit`a di descrivere modi evanescenti, ossia operatori di campo associati ad andamenti di tipo esponenziale decrescente

e−αξ (1.13)

dove α > 0 e ξ sta ad indicare una qualsiasi coordinata spazio-temporale. La quantizzazione canonica (1.11), anche detta on shell, soddisfa infatti l’importante relazione di conservazione kµkµ = 0, pertanto, dalla (1.12b)

`

e immediato ricavare la condizione per il vettore d’onda ˆk: k0 =

√

k2

1 + k22+ k32(= E0 =|⃗k|) (1.14)

dove E0 `e l’energia del fotone.

Prima di chiudere questo breve riepilogo sulla quantizzazione canonica, sempre osservando la (1.11) `e utile evidenziare che tale relazione descrive fotoni di qualsiasi energia propaganti in qualsivoglia direzione dello spazio. E’ dunque una soluzione policromatica dell’equazione d’onda . Il grande sviluppo di sorgenti laser ha prodotto un crescente interesse verso sorgenti monocromatiche (o quasi), tali per cui nella (1.11) dobbiamo immaginare

|⃗k| = Ef con Ef energia del fotone fissata e costante e l’operatore di creazione

dipendente solo dalla direzione di propagazione (visto che l’Energia `e fissata): ˆ

a(⃗k)≃ ˆa(⃗k

|⃗k|)δ(|⃗k| − Ef)

dove cio`e gli ˆa(⃗k) dipendono, appunto, soltanto dalla direzione di

1.3

Campi evanescenti quantistici

Nel precedente paragrafo abbiamo mostrato che una teoria quantistica che contempli modi evanescenti non possa essere sviluppata attraverso una quan-tizzazione canonica del campo. In quanto segue discuteremo due tra i metodi teorici esistenti per il trattamento di dinamiche dissipative in ambito quan-tistico: la teoria dell’accoppiamento con il bagno termico , che rientra nella pi`u generale Open Quantum System Theory [2,3] e l’utilizzo (alternativo) dei

Quasi Normal Modes [5–7] del campo elettromagnetico.

1.3.1

Open Quantum System Theory

Descriveremo tale metodologia attraverso un esempio, rimandando alla dif-fusissima bibliografia presente in letteratura, tra cui [1–3,20,21], per ulteriori approfondimenti.

Consideriamo un sistema costituito da un oscillatore armonico (che pu`o ben rappresentare un modo del campo elettromagnetico di interesse) caratterizza-to dall’Hamilcaratterizza-toniana HS =~ω0a†a dove il pedice S sta per Sistema.

Suppo-niamo ora che esista un’insieme numerabile di modi cosiddetti bagno termico, che indichiamo con HB =

∑

j~ωjb†jbj (consideriamo quindi una cavit`a). Il

cuore del metodo consiste nell’accoppiare il modo di interesse con il bagno termico come pu`o avvenire, ad esempio, attraverso un hamiltoniana di inte-razione (detta debole [22]) del tipo HSB =~

∑

jgja†b + h.c. dove gj possono

essere considerati reali e vengono anche chiamati coefficienti di accoppiamen-to e h.c. rappresenta l’hermitiano coniugaaccoppiamen-to. Per il calcolo delle grandezze di interesse tracceremo, infine, sui modi del bagno (che non sono di interes-se reale) ottenendo quindi una teoria per il modo di campo a che appunto sia dissipativa. Continuando l’esempio appena introdotto, l’hamiltoniana

completa possiamo scriverla H = HS+ HB+ HSB =~ω0a†a +~ ∑ j ( ωjb†jbj − gja†bj+ c.c. )

Indicando con ρ0 lo stato iniziale (al tempo t = 0) del sistema completo,

la matrice densit`a ρ (per tempi t > 0), evolvendo secondo l’Equazione di Liouville ˙ρ =−(i/~)[H, ρ], pu`o essere formalmente scritta come:

ρ = e−~iHt_ρ0ei~Ht_.

In realt`a saremo interessati alla matrice densit`a ridotta del solo sistema S, che indicheremo con ρS, la quale conterr`a l’influenza dell’accoppiamento del

sistema con l’ambiente. Tale matrice densit`a sar`a ottenuta tracciando sui gradi di libert`a del bagno termico B [1]:

ρS = T rBρ = T rB [ e−~iHtρ0e i ~Ht ]

Nelle ipotesi in cui:

• il bagno termico si trovi ad una temperatura costante T e sia quindi

schematizzabile mediante uno stato termico bosonico con numero medio di fotoni pari a n0 = [exp(~ωS/KBT )− 1]−1, dove KB `e la costante di

Boltzmann;

• lo stato iniziale (al tempo t = 0) del sistema S presenti un numero

medio di fotoni N

l’andamento temporale del valor medio⟨n⟩ = T r(ρSa†a) del numero di fotoni

del sistema S, dove n = a†a, `e dato dalla soluzione dell’equazione

d

dove η `e legata ai coefficienti di accoppiamento gj. Quest’ultima equazione

ha come soluzione (nelle ipotesi sopra riportate)

n0+ (N− n0)e−ηt

che non `e altro che l’andamento di tipo esponenziale decrescente discusso con a (1.13). Il calcolo pedissequo della matrice densit`a ridotta ρS consente

di ricavare la Master Equation ossia l’equazione differenziale che determina l’evoluzione temporale del succitato operatore ρS. Approfondimenti sulla

Master Equation e sul calcolo della matrice densit`a ridotta per il semplice esempio appena trattato, pu`o essere trovato in [1].

Il metodo appena presentato ha il notevole pregio di affrontare il “pro-blema dissipativo” riuscendo a preservarne al contempo una descrizione her-mitiana. La “dissipazione”, rappresentata dalla presenza dell’esponenzia-le decrescente (e con esso la caratteristica irreversibilit`a temporale) `e dun-que simulata, nello schema presentato, mediante infiniti accoppiamenti “re-versibili” tra un unico modo del campo e gli infiniti modi di un bagno termico.

1.3.2

Quasi Normal Modes (QNM) approach

Differentemente da quanto appena visto nel paragrafo 1.3.1, nel metodo che ci accingiamo a descrivere l’hermiticit`a non viene preservata. In altre parole, come vedremo, i modi quasi normali si utilizzeranno come base di svilup-po (completa) del camsvilup-po elettromagnetico ma non costituiranno soluzioni stazionarie dell’equazione d’onda.

La teoria dei modi quasi normali (QNM) [23] `e stata introdotta da Leung per descrivere il campo elettromagnetico in cavit`a ottiche aperte da un solo lato. In questi sistemi, a causa delle perdite, i modi della cavit`a sono

carat-terizzati da frequenze complesse che danno origine a soluzioni evanescenti da qui il nome di modi quasi-normali [23].

Consideriamo il caso monodimensionale scalare (trasverso) [4] scritto in riferimento ad una cavit`a che si estende nell’intervallo x ∈ [0, L] dell’asse reale e che presenti alle estremit`a (x = 0 ed x = L) una variazione brusca dell’indice di rifrazione (che appunto ne delimiti propriamente la “regione cavit`a”).

I modi quasi normali saranno legati:

• alla soluzione della classica equazione d’onda

[ ∂2 ∂x2 − ρ(x) ∂2 ∂t2 ] ϕ(x, t) = 0 (1.15) dove ρ(x) = [n(x)/c]2_{, n(x) `e l’indice di rifrazione del mezzo e c la}

velocit`a della luce nel vuoto,

• in cui la funzione ϕ(x, t) soddisfi le cosiddette outgoing waves conditions

: _     ∂xϕ(x, t) =√ρ0∂tϕ(x, t) se x < 0, ∂xϕ(x, t) =−√ρ0∂tϕ(x, t) se x > L. (1.16)

Ricordiamo che l’intera trattazione `e basata sulle seguenti ipotesi riguar-danti l’indice di rifrazione (legate alla definizione di cavit`a) [4]:

• discontinuity condition, ossia l’indice di rifrazione presenti una

discon-tinuit`a in x = 0 e x = L a ben definire una naturale demarcazione della cavit`a stessa,

• no tail condition, ovvero l’indice di rifrazione sia costante all’esterno

della cavit`a: n(x) = n0 per x < 0 e x > L; ci`o fa si che le onde uscenti

La soluzione generale del problema (1.15)-(1.16), ampiamente discussa in [4–7, 23], conduce alla seguente espansione di ϕ(x, t):

ϕ(x, t) =∑

n

anfn(x)e−iωnt, per 0 ≤ x ≤ L (1.17)

dove gli an sono i coefficienti dello sviluppo (dipendono dalla condizione

ini-ziale ϕ(x, 0)), fn(x) sono dette funzioni quasi normali e ωnsono le

corrispon-denti frequenze (o quasi-frequenze) che presentano ℑ{ωn} < 0. I modi quasi

normali coincidono con la coppia [fn(x), ωn], dove fn ed ωn soddisfano la

seguente equazione: _[ d2 dx2 + ω 2 nρ(x) ] fn(x) = 0

Nello spazio dei modi quasi normali l’usuale definizione di norma contiene termini additivi e perde la propriet`a di essere reale, cos`ı come complesse ri-sultano le cosiddette quasi-frequenze ωn appena introdotte. Indicando con

an(t) il prodotto del generico coefficiente an dello sviluppo (1.17) per il

ter-mine e−iωnt<sub>, ci`o che accade per t</sub> → ∞ `e semplicemente che a

n(t) → 0, per

ogni n e per ogni condizione iniziale. Visti nel piano complesso i coefficienti

an(t) formano tutti, al crescere di t, spirali convergenti nell’origine del piano

stesso.

Rimandando all’ampia bibliografia citata per approfondimenti sulla com-pletezza della rappresentazione su base QNM concludiamo il presente para-grafo con due considerazioni. La prima considerazione `e legata all’intrinseca struttura “evanescente” che questo metodo offre in se: sebbene la descri-zione mediante “modi quasi normali” sembra offrire uno sviluppo naturale (proprio) per modi evanescenti, dall’altro lato la teoria della sua seconda

quantizzazione presenta forzature eccessive [4] che conducono a relazioni di

commutazione anomale e soprattutto ad una definizione di norma complessa molto pesante da accettare. La seconda considerazione riguarda un

aspet-to notevole (e limitante) della teoria QNM ossia il fataspet-to che essa descrive il campo soltanto all’interno della cavit`a ottica, proprio nella regione x∈ [0, L] e dunque pu`o essere utilizzata al pi`u per il calcolo di relazioni in-out della cavit`a. Per tale motivo non preserva l’hermiticit`a . Volendo utilizzare la teo-ria QNM per considerare campi entranti dall’esterno nella cavit`a (per poter di conseguenza considerare gli effetti prodotti dalla propagazione in cavit`a) bisogner`a cercare, accanto alle soluzioni tipicamente dissipative legate ap-punto alle outgoing-waves (1.16), anche soluzioni inverse chiamate incoming

waves conditions . La trattazione completa di quest’apparato matematico,

peraltro ampiamente sviluppata nella tesi di dottorato dell’autore [24], esula dagli scopi del presente lavoro che, al contrario, ne voleva soltanto inquadrare ad alto livello la struttura modellistico-rappresentativa.

Riepilogo del capitolo

Esempi classici riguardanti la generazione di campi evanescenti sono offerti dai processi di riflessione totale e dalla propagazione in guida d’onda, ma per campi monocromatici a frequenza inferiori al cut-off. Dopo un’intro-duzione sugli aspetti salienti riguardanti tali processi, nel presente capitolo abbiamo mostrato come la quantizzazione canonica, nello specifico nota come

on-shell, costituisce una descrizione generalmente policromatica e non adatta

a contemplare soluzioni evanescenti per gli operatori di campo. In dinami-ca quantistidinami-ca, conseguentemente, abbiamo mostrato due metodi alternativi per la trattazione del processo noto anche come damping: il primo metodo, attraverso l’introduzione di un bagno termico (un insieme di modi), appartie-ne alla categoria dei sistemi hermitiani mentre il secondo metodo proposto, basato sui QNM, rientra in una categoria pi`u difficile da trattare che sono i

sistemi non hermitiani in cui, cio`e, non viene conservata l’Energia. Entram-bi i metodi proposti non possono essere utilizzati per la modellizzazione di onde evanescenti dal momento che prevedono comunque trasporto di energia (dal campo al bagno termico nel primo metodo e dal campo verso i modi esterni nel secondo), cosa che tipicamente non avviene, invece, nel fenomeno in esame.

Capitolo 2

Stati quantistici della

radiazione e.m.

In atomic theory we have fields and we have particles.

The fields and the particles are not two different things.

They are two ways of describing the same thing: two different points of view.

P.A.M. Dirac1

La prima parte del presente capitolo continua l’escursus introduttivo al-l’argomento iniziato con il capitolo precedente, riguardo alcuni temi di inte-resse per la presente tesi: il concetto di stato quantistico della radiazione elet-tromagnetica attraverso i formalismi di singola particella e di multi-particella. La seconda parte del capitolo proporr`a un descrittore per lo stato multimodo.

1_{P.A.M. Dirac, Lectures on Quantum Field Theory, Yeshiva University & Academic} Press, New York, p. 1 (1956)

2.1

Formalismi descrittivi

Come sar`a chiaro nel successivo paragrafo 2.2, la descrizione quantistica pi`u aderente al formalismo del campo elettromagnetico, con particolare riferi-mento alla componente evanescente, `e quella a multi particella. Andiamo brevemente a richiamare i concetti di rappresentazione di uno stato a singola ed a multi particella.

2.1.1

single particle representation

La trattazione del campo elettromagnetico mediante il formalismo cosiddetto “a singola particella” `e tra le pi`u diffuse in Ottica Quantistica per la sua estrema semplicit`a e versatilit`a. Possiamo immaginare di descrivere lo stato del campo e.m. lungo una ben determinata direzione di propagazione ⃗k ed una polarizzazione fissata. Se consideriamo campi monocromatici l’unica variabile che rimane libera `e il numero di fotoni presenti sul modo considerato

|n⟩. In tale ipotesi un generico stato del campo pu`o essere rappresentato sulla

base dei vettori dello spazio di Fock {|n⟩} associato al modo di interesse:

|ϕ⟩ =∑

n

cn|n⟩ (2.1)

La dicitura “singola particella” si riferisce , ovviamente, al numero degli spazi di Hilbert associato al nostro sistema e non al numero di fotoni (che pu`o essere qualsiasi). Ogni buon testo di Meccanica Quantistica o di Ottica Quantistica sviluppa ed esplicita all’inverosimile la relazione (2.1), specificandola per una molteplicit`a di stati (si veda a titolo di esempio [1, 11, 25, 26]).

In quanto segue riportiamo l’espansione dello stato coerente |α⟩, perch`e `

e quello che pi`u si avvicina ad uno stato di tipo classico come sar`a chiaro a breve. Diremo dunque che|ϕ⟩ = |α⟩ ossia |ϕ⟩ coincide con uno stato coerente

se la sua rappresentazione (2.1) si esplicita come: |α⟩ = e−|α|2_/2∑∞ n=0 αn √ n!|n⟩ (2.2)

Introducendo gli operatori di creazione e distruzione mediante la loro azione sul generico stato |n⟩:

     ˆ a|n⟩ =√n|n − a⟩ ˆ a†|n⟩ =√n + 1|n + 1⟩

la (2.2) si pu`o anche scrivere come

|α⟩ = e−|α|2_/2∑∞ n=0 αn_a†n n! |0⟩ = e −|α|2_/2 eαa†|0⟩ (2.3) Lo stato coerente (2.2) `e lo stato quantistico pi`u vicino ad uno stato classico propriamente detto. Infatti: la distribuzione del numero di fotoni segue un’andamento di tipo Poissoniano

p(n) =|⟨n|α⟩|2 = |α|

2n

n! e

−|α|2

ed una tale distribuzione `e tipica di particelle bosoniche all’equilibrio termo-dinamico. E’ opportuno osservare ancora che lo stato coerente, pur essendo caratterizzato da un numero medio di fotoni pari a |α|2, `e costituito da una sovrapposizione di stati con qualsiasi numero di fotoni. In altre parole una possibile connessione tra questo stato quantistico ed un campo classico `e suggerito dalla possibilit`a che si ha di assorbire fotoni da un tale campo elet-tromagnetico in uno stato coerente ripetitivamente, senza cambiarne lo stato in alcuna maniera (si veda [11]).

Dall’ultimo membro della (2.3) `e evidente che uno stato coerente, essen-do una funzione del singolo operatore a†, non commuta con l’Hamiltoniana (Oscillatore Armonico H = ~ωa†a) di conseguenza lo stato|α⟩ evolver`a nel

Prima di passare in rassegna stati multi particella osserviamo in che ma-niera il campo elettrico, ad esempio, possa venir rappresentato mediante uno stato quantistico a singola paricella appena richiamato. Per fare ci`o usiamo per semplicit`a l’espressione pi`u semplice, corrispondente al campo di onda piana propagante lungo la direzione ⃗k con polarizzazione ⃗ϵ, ottenendo per l’operatore campo elettrico [25]:

ˆ

E(r) = i⃗ϵ

( ˆ

aei⃗k·⃗r− ˆa†e−i⃗k·⃗r

)

(2.4)

2.1.2

multi particle representation

Una rappresentazione pi`u utile, per quanto concerne la descrizione di un insieme di direzioni di propagazione ⃗k tali per cui sia soddisfatta la condizione di monocromaticit`a |⃗k| = 2π/λ `e quella basata sull’insieme di pi`u spazi (di Hilbert) in prodotto interno. Consideriamo per il momento un numero finito

N di tali direzioni di propagazione (a polarizzazione fissata). Uno stato generico per quanto detto, ed estendendo la (2.1), si esprime

|ϕ⟩ = ∑∞

{n1,n2,..nN}=0

cn1,n2,..nN|n1⟩ ⊗ |n2⟩ ⊗ ..|nN⟩ (2.5)

Una maniera pi`u compatta ed utile per descrivere la (2.5) consiste nel “rag-gruppare” tutti i termini di prodotto interno in un unico termine mediante l’introduzione della produttoria:

N

∏

i=1

|ni⟩ (2.6)

anche se sempre pi`u spesso, nei libri di testo, si utilizza la notazione |{n}⟩ per indicare uno stato prodotto (2.6).

La totalit`a dei libri di testo di Ottica Quantistica dedica al problema della rappresentazione multi particle del campo elettromagnetico un attenzione

estremamente limitata. Nel presente lavoro di tesi cercheremo di coprire questo Gap descrizionale.

Come esempio applicativo del metodo multi-particella introduciamo lo stato coerente multi-modo |{α}⟩ , analogo allo stato coerente gi`a visto nel precedente paragrafo ma riferito ad un insieme numerabile di modi del campo

ki con i = 1, 2, ..∞.

La struttura dello stato coerente multi-modo `e [20]

|{α}⟩ = |α1⟩|α2⟩...|αi⟩... (2.7)

dove |αi⟩ = |α(ki)⟩. Servendoci dell’equazione (2.3) possiamo esprimere lo

stato coerente multimodo (2.7) come:

|{α}⟩ =∏ i e ( αiaˆ†i−|αi| 2 2 ) |0⟩ (2.8)

dove l’indice i `e legato ai modi del campo (che in quest’esempio costituiscono un insieme numerabile, dunque i ∈ [1, ∞) ∩ N). Utilizzando l’identit`a ˆA = elog ˆA _{(nel nostro caso ˆA = e}f (ˆa) _{) valida per operatori non negativi possiamo}

scrivere l’espressione (2.8) come

|{α}⟩ = exp [ ∑ i ( αiˆa†i − |αi|2 2 )] |0⟩ (2.9) Possiamo rappresentare i vari stati coerenti anche mediante gli stati numero (2.3) ed ottenere |{α}⟩ =∏ i |αi⟩ = ∏ i [ _∞ ∑ ni=0 e−12|αi| 2 αn_ii √ ni! |ni⟩ ] (2.10) espressione questa che pu`o essere riscritta come

|{α}⟩ = exp { ln∏ i [ _∞ ∑ ni=0 e−12|αi|2 α ni i √ ni! |ni⟩ ]} (2.11) che semplificata diventa

|{α}⟩ = exp { ∑ i ln [ _∞ ∑ ni=0 e−12|αi| 2 αn_ii √ ni! |ni⟩ ]} (2.12)

2.2

Formalismo continuo alternativo

In quanto segue estendiamo il formalismo multi-particella appena descritto al caso di insieme di modi continuo. Per far questo estendiamo la definizio-ne di stato coerente multi-modo al caso continuo. Cercheremo innanzitutto di dedurre una rappresentazione quantistica di uno stato del campo classi-co attraverso la seguente ragionevole richiesta (scritta nel caso scalare per semplicit`a):

⟨ϕ(k)|Q(x, y, z)|ϕ(k)⟩ = U(x, y, z) (2.13) dove Q(x, y, z) `e un operatore di campo monocromatico

Q(x, y, z) = A(+)_{(x, y, z, ω) + h.c.}

e|ϕ(k)⟩ `e lo stato quantistico che rappresenta appunto (la distribuzione di) il campo classico U (x, y, z). Prima di discutere esplicitamente possibili soluzio-ni al problema (2.13) `e necessaria una digressione sul quadri potenziale vet-tore e su una sua rappresentazione che possa tenere traccia delle componenti evanescenti del campo.

2.2.1

operatore di campo

Abbiamo visto che una descrizione covariante del campo fotonico pu`o essere effettuata mediante l’ausilio di un quadri potenziale vettore Aµ _{= (ϕ, A),}

dove ϕ `e il potenziale scalare, eq. (1.11) che riportiamo di seguito per comodit`a: Aµ(x) = ∫ d3_k √ (2π)3_2ω k 3 ∑ r=0 [ ϵµ_r(k)ˆar(k)eik µ_x µ_{+ h.c.}] _(2.14)

dove xµ = (ct, x). Nel primo capitolo abbiamo ricordato come per un cam-po fotonico (camcam-po bosonico per particelle non massive) valga la seguente

condizione: kµkµ = 0. Tale relazione implica necessariamente che ωk = |k|,

a parte costanti dimensionali. Inoltre, sempre nel primo capitolo abbiamo osservato che nella (2.14) ˆar(k) `e l’operatore di distruzione sul modo spaziale k avente polarizzazione r mentre con ϵµ

r(k) abbiamo indicato il vettore di

polarizzazione del quadrivettore sul medesimo modo [27].

Considerando soltanto le polarizzazioni fisiche nel gauge di Coulomb la parte vettoriale dell’equazione (2.14) possiamo risciverla come [28]:

A(+)(r, t) = ∫ d3k 1 N (k)× 2 ∑ r=1 ϵr(k)ˆar(k) exp(ikr− ic|k|t) (2.15)

dove con l’apice (+) si `e indicata la parte positiva dell’operatore mentre con

N (k) si `e indicato il termine di normalizzazione a denominatore della (2.14).

E’ piuttosto immediato comprendere che non esiste alcuna trasformazione del dominio di integrazione che possa rendere evidente la considerazione di un contributo (delle onde) evanescente nell’operatore di campo (2.14) o nella sua versione semplificata (2.15). Entrambe queste relazioni descrivono, altres`ı, campi “policromatici”. Il duplice obiettivo di ottenere da un lato una

a) descrizione operatoriale “monocromatica” e dall’altro

b) contemplarne anche una dinamica “evanescente”

conduce euristicamente all’estensione del vettore d’onda k avente componenti reali kx.ky, kz ∈ R al dominio complesso, in cui cio`e kx.ky ∈ R ma kz ∈ C,

il tutto conservando la validit`a della condizione kµkµ = 0 che nel nuovo

dominio complesso, per`o, pu`o contemplare il caso k2

x+ ky2 >|k| (condizione

“propagazione”). Dalla condizione a) segue immediatamente che l’integrale (triplo) sulle tre componenti del vettore d’onda nelle (2.14)-(2.15) diventa un integrale sulle due sole componenti trasverse (kx, ky) dal momento che

deve valere la condizione di monocromaticit`a k2

x+ ky2 + k2z = (2π/λ)2. La

condizione b) risulta dunque automaticamente verificata. I due obiettivi appena introdotti saranno soddisfatti dalla seguente espressione per la parte positiva dell’operatore (2.15): A(+)(r, t) = ∫ d2k_⊥ 1 N (k⊥, ω) 2 ∑ r=1 ϵr(k⊥, ω)ˆar(k⊥, ω)× (2.16) exp(ik_⊥· ρ + iz √ ω2− k2 ⊥− iωt)

dove abbiamo utilizzato k_⊥ = (kx, ky), ρ = (x, y), d2k⊥ = dkxdky. Dal

momento che l’equazione (2.16) `e scritta per ω fissata, possiamo scrivere la parte indipendente dal tempo A(+)_{(x, y, z, ω) come}

A(+)(x, y, z, ω) = ∫ d2k_⊥ 1 N (k⊥, ω) 2 ∑ r=1 ϵr(k⊥, ω)ˆar(k⊥, ω)× (2.17) exp i ( k_⊥· ρ + z √ ω2− k2 ⊥ )

Nelle ipotesi appena discusse avremo per l’operatore di campo vettoriale

A(r, t) la seguente espressione: A(r, t) =

∫

d2k_⊥ 1

N (k⊥, ω)ϵ(k⊥, ω) ˆ× (2.18)

(

a(k_⊥, ω) exp [i (k· r − ωt)] + a†(k_⊥, ω) exp [−i (k · r + ωt)])

dove k = (kx, ky, kz), r = (x, y, z) e kz `e definita dalle equazioni (1.4)-(1.5).

Di conseguenza il campo elettrico che considereremo nel seguito del presente lavoro sar`a dato dalla seguente espressione E =−∂A/∂t:

E(r, t) =

∫

d2k_⊥ iω

N (k⊥, ω)ϵ(k⊥, ω) ˆ× (2.19)

(

dove il dominio dell’integrale sar`a costituito dalle coppie kx, ky ∈ R sul piano

trasverso e notevole importanza avr`a, come vedremo, il corrispondente stato di polarizzazione ϵ. Prima di applicare questa teoria al calcolo (attraverso un processo di media) dello spettro dell’operatore di campo, definiamo l’in-sieme dei modi costituenti lo spazio di Hilbert associato all’operatore appena introdotto (2.19). Nel successivo capitolo dedurremo formalmente l’opera-tore di campo elettrico sopra scritto, e fin qui dedotto in maniera euristica, discutendo diversi aspetti ad esso legati come la scelta di operare nel gauge di Coulomb , la polarizzazione del campo ed altro.

2.2.2

applicazione del metodo

Nel caso in cui k pu`o assumere un continuo di valori all’interno di un intervallo

D (insieme vettoriale), possiamo estendere la definizione data dalle

(2.9)-(2.12) nella seguente maniera:

|{α(k)}⟩D = exp [∫ D d3k ( α(k)ˆa†(k)− |α(k)| 2 2 )] |0⟩ (2.20) dove per campi monocromatici non evanescenti il dominio di integrazione sar`a (estenderemo tale ipotesi a breve)

D = {kx, ky, kz ∈ R|k2x+ k2y+ kz2 = ω2/c2} (2.21)

Essendo interessati al calcolo della quantit`a ⟨{α(k)}|E(r, t)|{α(k)}⟩ dove

E(r, t) `e dato dall’espressione (2.19) occorrer`a ridefinire il dominio (2.21) nella seguente maniera:

D′ _={k x, ky ∈ R; (kz ∈ C)|kx2+ k 2 y+ k 2 z = ω 2 /c2} (2.22) dove certamente D ⊂ D′.

Mostriamo che mediando l’operatore (2.19) sullo stato (2.20) |{α(k)}⟩_D′,

dove il dominio D′ `e dato dalla (2.22), otteniamo:

⟨{α(k)}|E(r, t)|{α(k)}⟩ = U(r, t) (2.23) dove il campo U (r, t) `e dato dalla (1.6). in cui α(kx, ky, (kz = f (kx, ky))) =

a(kx, ky) ovvero proprio lo spettro classico del campo.

Dal momento che per costruzione ˆa(k)|{α(k)}⟩ = α(k)|{α(k)}⟩, il calcolo

della media (2.23) fornisce proprio il campo classico perch`e possiamo scegliere la funzione α(kx, ky, (kz = f (kx, ky))) = a(kx, ky) ovvero proprio coincidente

con lo spettro classico del campo.

Riepilogo del capitolo

L’intero capitolo `e incentrato sul concetto di stato quantistico associato ad un operatore di campo in seconda quantizzazione. Questo `e un tema trat-tato soltanto marginalmente nei testi di meccanica o di ottica quantistica, soprattutto in riferimento alla sovrapposizione nel continuo. Dal momento che il presente lavoro di tesi `e focalizzato sulla formulazione quantistica di un operatore di campo che possa descrivere dinamiche evanescenti, (ed un tale operatore sar`a necessariamente legato a sovrapposizioni nel continuo di operatori), la comprensione (ed il legame tra mondo quantistico e classico) degli stati di tali operatori risulta quanto mai necessaria. Dopo aver chiari-to l’utilizzo dello stachiari-to coerente come “ponte” tra la versione quantistica e quella classica del campo monomodale, attraverso l’operazione di media, se ne `e data una rappresentazione continua mediante la quale si `e riusciti ad ottenere il campo (evanescente) classico come risultato di una media di un opportuno operatore. Tale operatore, discusso ed ottenuto formalmente nel successivo capitolo 3, `e stato qui ricavato in maniera euristica soltanto al fine

di applicare il metodo di calcolo della media sullo stato quasi classico multi-modo proposto e mostrare quindi che un tale schema fornisce i noti risultati classici relativi a campi evanescenti.

Capitolo 3

Onde evanescenti

Ci sono i fisici teorici che inventano, deducono, e tirano a indovinare le nuove leggi, ma non le sperimentano, e ci sono i fisici sperimentali che fanno gli esperimenti, inventano,

deducono e tirano a indovinare.

Richard Feynman1

Nel presente capitolo, dopo un attenta e ragionata digressione teorica ri-guardo la letteratura esistente sull’argomento “onde evanescenti”, che sar`a af-frontata nel successivo paragrafo 3.1, si continuer`a con l’analisi e la discussio-ne dell’operatore introdotto euristicamente discussio-nel precedente capitolo fordiscussio-nendo per esso una deduzione formale e discutendone ipotesi e validit`a.

Prima di procedere con l’analisi della bibliografia essenziale sull’argomen-to vogliamo accennare brevemente ad un altra analogia tra dinamica classica e quantistica che ci viene offerta dalle onde evanescenti e che meriterebbe

1_{Sei pezzi facili, (1994)}

un’ampia indagine a parte: il tempo di tunneling. L’analogia tra il tunneling ottico e quantistico `e basata sulla somiglianza tra l’equazione di Schr¨ odin-ger indipendente dal tempo per una particella di massa m ed energia E in presenza di una barriera di potenziale V (x, y, z), tale che E < V (x, y, z):

− ~2

2m∇

2

ψ + V (x, y, a)ψ = Eψ

e quella di Helmholtz per un onda elettromagnetica a frequenza ω che si propaga in un mezzo con indice di rifrazione n(x, y, z):

∇2_{ψ +}n(x, y, z)2ω2

c2 ψ = 0

Ambedue queste equazioni sono formalmente identiche, se:

n(x, y, z) = c

√

2m[E− V (x, y, z)] ~ω

Dal momento che il tunneling quantistico prevede E < V (x, y, z), il corri-spondente indice di rifrazione n(x, y, z) = k(x, y, z)c/ω `e immaginario e di conseguenza il vettore d’onda k(x, y, z) risulta a sua volta immaginario. Ma campi elettromagnetici con vettori d’onda immaginari sono conosciuti proprio come campi evanescenti. Da qui si comprende come il tunneling quantistico sia l’analogo della “propagazione” dei campi evanescenti nella teoria classica dell’elettromagnetismo. Non indagheremo oltre su questo fenomeno, che me-riterebbe una trattazione specifica per il suo carattere strettamente connesso ad aspetti fondazionali della fisica teorica: attualmente, a conoscenza dello scrivente, non esiste una definizione unica di tempo di tunneling (o tempo di attraversamento) e di conseguenza un significato univoco del termine. Come ampiamente descritto in [15], a cui si rimanda per ulteriori approfondimenti sull’analogia appena accennata, la possibilit`a di controllare il tunneling di un fotone potrebbe essere usato per realizzare dispositivi cosiddetti

di tale fenomeno `e notevole. Cos`ı come rilevante sarebbe la conoscenza esatta del tempo di transito di una particella all’interno di una barriera di potenzia-le che costituisce il principio di base su cui operano i tunneling singpotenzia-le-epotenzia-lectron transistors, i resonant tunneling diodes, i quantum cascade lasers ecc...

3.1

Bibliografia essenziale

I primi risultati sperimentali riguardanti le onde evanescenti in regime di ri-flessione totale furono ottenuti da Quincke [29] nel 1866 e poco dopo da E. E. Hall (che non `e Edwin Herbert scopritore dell’omonimo effetto Hall) [30] nel 1902. L’interesse verso l’argomento, soprattutto nel campo sperimentale ha conosciuto, da allora, un notevole incremento per le rilevanti applicazioni pratiche che l’indagine di tale regime propagativo consentiva [31]. Allegrini nel 1971 ha effettuato la prima osservazione sperimentale dell’onda evane-scente nel visibile [32]. Dello stesso anno (1971) `e anche il lavoro teorico di Carniglia e Mandel [33] che pongono una delle pietre miliari sull’argomen-to. Nel loro articolo essi affrontano il problema della quantizzazione delle onde evanescenti per la prima volta. Tuttavia la macchinosa teoria che essi sviluppano si basa sull’ipotesi di considerare l’intero spazio tridimensionale suddiviso essenzialmente in due regioni (separate dal piano z = 0): la prima regione riempita di un materiale omogeneo, lineare, non dispersivo ed isotro-po avente indice di rifrazione n0 e l’altra regione in cui c’`e il vuoto (indice di

rifrazione n = 1). Nel presente lavoro supereremo questa struttura cercando di fornire una soluzione formalmente pi`u generale. Tornando alla letteratura osserviamo che si susseguono molti lavori sull’argomento e come spesso acca-de si indaga in direzioni diametralmente opposte. Xiao in una serie di lavori, il pi`u recente nel 1999, ha cercato di dimostrare che la componente

evanescen-te di un dipolo contribuisce anche in campo lontano [34]. Tali lavori, pi`u volte smentiti, sono evidentemente frutto di errori matematici nell’interpretazione ed estensione di formule corrette soltanto sotto stringenti condizioni [35]. Pi`u recentemente ancora, Katrich [36] nell’ articolo “Do evanescent waves really exist in free space?” si `e spinto nel verso opposto cercando di dimostrare l’inesistenza di componenti evanescenti nello spazio libero: ancora una volta tali conclusioni sono risultate inesatte, come mostrato da Sheppard et al. in [37].

Chiudiamo questa breve digressione sull’analisi ragionata della biblio-grafia essenziale sull’argomento accennando ad alcune delle applicazioni pi`u importanti legate alle onde evanescenti:

• SNOM “Scanning Near-field Optical Microscopy”, (si veda a titolo di

esempio [38]);

• Diffraction from subwavelength aperture, (si veda a titolo di

esempio [39]);

• Evanescent-field couplers (si veda [40]); • Biosensors (si veda [41]);

La descrizione dettagliata di tali applicazioni esula dagli scopi della presente tesi. A titolo di esempio, tuttavia, nel successivo paragrafo descriveremo i principi generali legati all’ultima applicazione sopra riportata, forse la meno nota alla fisica teorica: i biosensori a specchi risonanti.

3.1.1

biosensori a specchi risonanti

Il campo evanescente pu`o essere amplificato mediante un sistema multistrato in cui si alternano materiali ad indice di rifrazione diversi.

Figura 3.1: Schema di principio di un biosensore a campo evanescente. Nel prisma ad alto indice il

campo `e in regime di riflessione totale [41–43]. All’esterno del sensore, nella parte superiore della figura, compare il campo evanescente che si accoppia con le molecole biologiche situate in prossimit`a dello stesso sensore e ne deriva un assorbimento che pu`o essere misurato osservando l’ampiezza del campo (riflesso) in uscita dal sensore. Per la sua specificit`a tale sensore risulter`a sensibile soltanto a quelle cellule che saranno in prossimit`a della sua superficie.

Lo schema di principio di un biosensore `e riportato nella figura 3.1. I valori dell’angolo di incidenza e della lunghezza d’onda del campo incidente applicato sono parametri che, in base all’insieme di strati della struttura, possono essere utilizzati per massimizzare il campo sul piano di emergenza del campo evanescente [44]. Una variazione di assorbimento (del campo elettromagnetico) di particolari molecole situate in prossimit`a della superficie del sensore (ove `e presente il campo evanescente) si ripercuote su un’analoga variazione dell’ampiezza del campo riflesso, in uscita dal sensore esso. Tutto l’intero set-up pu`o essere scelto per risuonare in corrispondenza di particolari fasi di reazioni chimiche d’interesse. Si rimanda alla diffusa bibliografia per approfondimenti ulteriori [41–43].

3.2

Trattazione classica delle onde

evanescen-ti

In questo paragrafo tratteremo in maniera essenziale alcuni aspetti rilevanti riguardanti la descrizione classica delle onde evanescenti: lo stato di pola-rizzazione dell’onda evanescente e i campi spazialmente limitati e la dimen-sionalit`a della rappresentazione di onde evanescenti. Scopo di tutto ci`o sar`a quello di acquisire confidenza con alcune propriet`a dei campi evanescenti, che giustificheranno l’indagine successiva mediante trattazione multimodo degli stati quantistici ad essi associati. Ulteriori approfondimenti riguardo la trattazione che segue possono essere trovate nel testo di de Fornel [44].

3.2.1

variazione di polarizzazione

Cerchiamo di approfondire brevemente il primo ambito in cui sono state mi-surate le onde evanescenti ossia il regime di riflessione totale. Non svolgiamo la trattazione completa che `e facilmente e diffusamente riportata in ogni buon testo di elettromagnetismo ma ne delineeremo alcune delle peculiarit`a pi`u in-teressanti per la presente trattazione. Focalizzeremo l’attenzione su quegli aspetti meno noti legati al fenomeno in esame. In particolare vedremo che l’onda evanescente generata dalla riflessione totale di onda piana polarizza-ta linearmente `e un onda (evanescente) polarizzata ellitticamente . In altre parole il fenomeno della riflessione totale modifica lo stato di polarizzazione dell’onda coinvolta, per quanto concerne la sola parte evanescente.

Consideriamo una superficie di separazione tra due mezzi semi infiniti, che per comodit`a identifichiamo con il piano z = 0, indicando con n1 l’indice

di rifrazione del mezzo z < 0 e con n2 quello del mezzo z > 0. Ponendoci

- -a b n1 n2 n1 n2 x x 6 z 6 z 0 0  R • • θ θ I  ⃗ Ei ⃗ Hi ⃗ Ki ⃗ Er ⃗ Hr ⃗ Kr  R × × I  ⃗ Hi ⃗ Ei ⃗ Ki ⃗ Hr ⃗ Er ⃗ Kr • ⃗ Hev E⃗ev _× ⃗ Eev H⃗ev

Figura 3.2: Schematizzazione del piano di incidenza (y = 0) per il fenomeno della riflessione totale

di onde piane: in (a) `e raffigurato il caso di onde-p o polarizzazione TM ; in (b) `e riportato il caso di onde-s o polarizzazione TE . I cerchi contenenti punti indicano vettori uscenti dal piano, cerchi con le croci quelli entranti. Inoltre con il pedice “i” `e stato indicato il campo (elettrico e magnetico) incidente mentre con il pedice “r” il campo riflesso. Infine con il pedice “ev” si sono indicati i vettori del campo elettrico e magnetico relativi all’onda evanescente nel mezzo 2. Gli indici di rifrazione dei mezzi semi infiniti, separati dal piano z = 0 (asse x nelle figure), sono n1 ed n2: trovandoci in riflessione totale vale

la relazione n1> n2e di conseguenza il θ in figura `e maggiore dell’angolo critico θc= sin−1(n2/n1).

che n1 > n2. Il campo e.m. di un onda piana che incide su una superficie di

separazione tra due mezzi pu`o essere sempre suddiviso in una componente avente il campo elettrico parallelo al piano di incidenza, tali campi sono noti anche come onde-p (si veda la figura 3.2.a), ed un altra componente avente il vettore elettrico polarizzato ortogonalmente al piano di incidenza: tali campi sono conosciuti anche come onde-s (si veda la figura 3.2.b). Le onde p sono anche chiamate onde TM, perch`e hanno la propriet`a di avere il campo magnetico polarizzato ortogonalmente al piano di incidenza. Il campo elettrico di tali onde (con riferimento al campo incidente) ⃗Ei

p, nelle ipotesi non

limitative sopra discusse e riepilogate dalla figura 3.2.a, pu`o essere espresso come combinazione lineare delle componenti lungo gli assi coordinati x e z:

⃗

E_pi = E_xieˆx+ Ezieˆz. Differentemente le onde s sono anche chiamate onde TE

per via dell’ortogonalit`a del campo elettrico rispetto al piano di incidenza e saranno caratterizzate da un campo elettrico ⃗E_si = Eyˆey.