L’applicazione della teoria presentata fino a questo punto ha consentito la derivazione delle equazioni che descrivono il moto della membrana nel sistema preso in considerazione (Figura 2.1).
Figura 2.1: Sistemi di riferimento materiale (a sinistra) e spaziale (a destra) usati per la dinamica.
Supponiamo di adottare una coordinata ξ verticale che descrive la po- sizione nella configurazione ideformata; le funzioni che legano la posizione finale a quella iniziale sono
x(ξ, t) y(ξ, t),
ove x e y sono le coordinate illustrate nella Figura 2.1, ove appare anche la pressione p, che agisce deformando la membrana. Si noti, inoltre, che l’al- tezza della membrana nella configurazione indeformata sarebbe inferiore alla corrispettiva deformata anche qualora non agisse nessuna pressione, il che si- gnifica che la membrana ha una elongazione, lungo l’asse ξ diversa da uno nel- l’istante iniziale, ossia `e montata con una pretensione. Lo stesso,volendo, si potrebbe supporre nella direzione ortogonale al piano del foglio; `e chiaro che, avendo assunto il modello bidimensionale, essa dovr`a essere necessariamente costante.
Le equazioni per un guscio avente una superficie generica, scritte in un riferimento euleriano, si possono trovare in [1]; in questo caso banale, molti termini si semplificano e, ragionando per analogia e sfruttando le relazioni presentate in precedenza per trasformare le grandezze, si giunge a
ρ∂ 2x ∂t2 = p H ∂y ∂ξ + ∂ ∂ξ s1 λ ∂x ∂ξ , ρ∂ 2y ∂t2 = − p H ∂x ∂ξ + ∂ ∂ξ s1 λ ∂y ∂ξ ,
H`e lo spessore della membrana, λ `e l’elongazione lungo la coordinata ξ; ricor- diamo che si pu`o assumere costante (per esempio pari all’unit`a) l’elongazione in direzione perpendicolare al piano in cui si `e modellata la membrana (λ2),
il che consente di ricavare l’elongazione nello spessore (ˆλ)
ˆ λ = 1
con l’eventuale aggiunta di un λ2a denominatore se si vuole assumerla diversa
da 1. L’aggiunta del modello costitutivo consente di legare l’elongazione, la tensione ed il campo di induzione elettrica.
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E interessante notare che in questo caso, con alcune manipolazioni al- gebriche, si riesce ad ottenere un risultato per le deformazioni statiche in termini di un’equazione y(x). Supponendo nulle, infatti, le derivate parzia- li temporali, confrontando le due equazioni in termini della pressione, cosa possibile solo con l’ipotesi che le derivate parziali di x e y rispetto a ξ non siano nulle (ipotesi semplice da verificare, visto che la membrana `e pretesa e che la deformata non pu`o essere rettilinea), ed effettuando un’integrazione in ξ (assumendo la pressione costante), si ottiene
s1 λ ∂y ∂ξ(ay + c1) = − s1 λ ∂x ∂ξ(ax + c2), da cui risulta, con generalit`a
a(x2+ y2) + c
1x+ c2y+ d = 0 con a =
p 2λH,
con c1, c2 e d costanti di integrazione. Pur dovendo determinare tre parame-
tri, in realt`a i gradi di libert`a della soluzione si possono ridurre a due, dato che l’altezza del centro della circonferenza, la cui equazione `e qui riportata, `e fissata per simmetria. In questo modo, per`o, si perde anche un’equazione di vincolo; resta da capire, dunque, quale altra condizione bisogna imporre al fine di ottenere la soluzione finale: chiaramente, essa dovr`a tener conto della rigidezza della membrana (cio`e dell’equazione costitutiva), dato che, come facilmente prevedibile, un elastomero pi`u molle si deformer`a di pi`u. La solu- zione, infatti, sta nell’imporre la tensione agli estremi vincolati, dato che essa `e facilmente calcolabile, in modo parametrico, con semplici considerazioni di
equilibrio globale della membrana. La conseguenza sar`a quella di imporre anche la relativa elongazione.
Il fatto che la deformazione sia perfettamente cilindrica non costituisce una novit`a: il modello di guscio trascura deliberatamente la rigidezza flessio- nale del corpo in esame che, quindi, risponder`a alla sollecitazione di pressione disponendosi nell’unico modo in cui si pu`o fronteggiare una pressione radia- le costante, ossia descrivendo una circonferenza. Per averne la conferma, si pensi alla teoria delle travi ed alle caratteristiche di sollecitazione per un arco di circonferenza soggetto ad un simile carico: l’unica presente `e la forza normale.
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E chiaro che tali conclusioni dovrebbero essere considerate con molta cautela: la soluzione `e ricavata dalle equazioni di equilibrio, ma trascura la presenza del pretensionamento, di tensioni di taglio e di inomogeneit`a, que- ste ultime due ipotesi derivanti dall’assumere lo spessore della membrana sufficientemente sottile; anche il vincolo non `e descritto nella maniera pi`u efficace, dato che `e stata fissata la sola posizione del punto estremo, mentre potrebbe essere pi`u corretto fissarne anche la derivata, in modo da ricreare le condizioni di incastro. Ciononostante, si pu`o considerare l’aver ottenuto que- sto risultato come controprova della bont`a del sistema di equazioni, essendo presente in numerose altre trattazioni, compresa la teoria lineare dell’ela- sticit`a. A ci`o si pu`o aggiungere una costatazione sull’elongazione nel senso della simmetria infinita (cio`e nel verso ortogonale al piano in cui `e descritto il sistema): essa, in virt`u di tale simmetria, non varia lunga la coordinata ortogonale, ma pu`o variare con la coordinata ξ del materiale. mentre nel ricavare la soluzione, `e stata supposta costante. Ci`o impone, per definizione, una condizione di ”plane strain” e, in virt`u delle simmetria gi`a presente e di quelle che si vengono a creare per via della particolare sollecitazione cui
`e sottoposta la membrana, questa assunzione impone che anche l’elongazio- ne nella direzione verticale sia costante, anche per il fatto che altrimenti si avrebbe una contrazione poissoniana differente tra i vari conci per i quali vige una ripetizione angolare. Ne risulta che anche la componente s1 `e costante,
il che si coniuga perfettamente con la deformata ad arco di circonferenza. Infine, si noti che le equazioni della dinamica sono di tipo iperbolico: esse sono molto difficili da trattare numericamente ed `e principalmente per questo motivo che `e stata presa la decisione di simulare il sistema attraverso un modello ad elementi finiti. Questa scelta ha comportato, per`o, una perdita di precisione dal lato della fluidodinamica; tuttavia, come specificato pi`u volte nel testo, il risultato che si vuole ottenere `e pi`u simile ad una stima dei valori in gioco che ad un tentativo di ricreare il sistema con buona precisione a livello di computazione, il che giustifica, almeno in parte, la mancata ottimizzazione del metodo di soluzione delle equazioni fluidodinamiche.
Capitolo 3
Analisi del moto ondoso
Dopo aver esposto le tecniche di analisi della membrana elastica, si procede con la presentazione delle teorie relative al moto del fluido, le cui caratteri- stiche fisiche (densit`a, viscosit`a, ecc.) sono quelle dell’acqua a temperatura ambiente.
Per effettuare la simulazione delle onde generate nel ”flume” sono sta- te utilizzate le equazioni di Navier - Stokes, ricavate dai bilanci di massa e quantit`a di moto, che vengono richiamate nella primissima parte del capito- lo. Nella maggior parte dei casi, l’implementazione delle suddette equazioni basterebbe, al livello teorico, per descrivere la dinamica dell’acqua; il sistema preso in esame in questa analisi, tuttavia, presenta condizioni non usuali al contorno, ossia la parete mobile che innesca il moto e la superficie libera del fluido; ci`o rende necessario approfondire la teoria lineare di Airy per il moto ondoso, i cui risultati, oltre a costituire un punto di riferimento per le simu- lazioni, vengono utilizzati per impostare le condizioni ai bordi del dominio. Tale teoria viene esposta, insieme ad alcuni elementi che essa sfrutta, quali il moto potenziale, nella seconda parte del capitolo, che si conclude con una dissertazione sui metodi di impostazione delle condizioni al contorno.
3.1
Equazioni fluidodinamiche
Le equazioni di riferimento per il flusso nella cavit`a si ricavano dal bilancio di massa e di quantit`a di moto, con l’assunzione che il fluido sia incomprimibile e che la viscosit`a sia indipendente dalla temperatura e segua il modello new- toniano, cosicch´e tali equazioni siano indipendenti dal bilancio di energia. Quest’ultima ipotesi porta come conseguenza una notevole semplificazione del calcolo della velocit`a e della pressione del fluido. Il prezzo da pagare `e la perdita di informazioni di tipo termico; tuttavia, le condizioni in cui vie- ne effettuato l’esperimento che si vuole studiare sono tali da poter ritenere costante la temperatura stessa, affermazione che potrebbe perdere la sua cor- rettezza in presenza di un’inferiore massa di fluido, ossia con una versione in scala ridotta dell’attrezzatura.
Attraverso queste semplificazioni, si giunge all’arcinoto sistema di equa- zioni di Navier - Stokes.
∇~u= 0, ∂~u ∂t + ~u · ∇~u = − 1 ρ∇p + µ∇ 2~u,
ove ~u `e la velocit`a del fluido in questione, µ `e la viscosit`a, ρ `e la densit`a e p `e la pressione.
Un’ulteriore ipotesi che viene spesso aggiunta quando si vuole risolve- re questa tipologia di problemi (specialmente per lo studio del moto ondoso oceanico, senza coinvolgere le interazioni con il fondale) `e quella di considera- re il moto potenziale (irrotazionale), cio`e di assumere che esista una funzione Φ tale che, dette u e v le componenti della velocit`a lungo gli assi coordinati, sia
∂Φ ∂x = u
∂Φ ∂y = v,
il che consente di trasformare l’equazione di continuit`a nella classica forma di Laplace
∇2Φ = 0,
mentre il bilancio di quantit`a di moto pu`o essere descritto, mediante un passaggio d’integrazione, con una relazione detta equazione di Bernoulli non stazionaria ∂Φ ∂t + f (t) = ~ u2 2 + p ρ + Ψ,
ove Φ `e la funzione del potenziale della velocit`a, mentre Ψ `e il potenziale delle forze di volume conservative (ad esempio quello gravitazionale).
Nel caso in esame, tuttavia, si `e preferito rinunciare a questa ipotesi a causa dei problemi relativi all’imposizione delle equazioni al contorno, che non sono facilmente gestibili in termini di Φ, come si potr`a anche evincere dalla discussione delle suddette condizioni, riportata successivamente. Inol- tre, ci`o consente di effettuare un’analisi pi`u generale, dato che l’aderenza del fluido al fondale fa s`ı che il moto non possa essere considerato irrotazionale, il che si traduce nel poter adottare un modello pi`u realistico, anche se pi`u oneroso a livello di computazione. In ogni caso, la teoria lineare di Airy par- te proprio dal presupposto che il moto possa essere considerato potenziale, motivo per il quale si `e voluto richiamarne la definizione. Questa teoria `e descritta brevemente nel prossimo paragrafo.