Approccio adimensionale

Il primo passo è quello di ipotizzare quali variabili indipendenti influenzano, nel particolare fenomeno, quella dipendente. Se si introducono variabili che non influenzano la variabile dipendente si aumenterà, inutilmente, il numero dei parametri nell’equazione finale. Se, al contrario, si omettono variabili essenziali o anche grandezze costanti (ad esempio l’accelerazione di gravità g), che sono necessarie per l’omogeneità dimensionale dei termini, i risultati saranno incompleti o errati. Si comprende, quindi, che questo è il passo più delicato del metodo e che, per compierlo, è necessario avere una profonda conoscenza del fenomeno, ricorrendo sia ad esperimenti che alla formulazione di modelli adeguati, per i quali sarebbe opportuno scrivere anche le equazioni e le condizioni al contorno. Si può, a questo punto, obiettare che se si dispone della formulazione matematica del problema, la riduzione delle variabili può essere perseguita adimensionalizzando direttamente le equazioni e le condizioni al contorno. L’obiezione è corretta, ma si ritiene che, soprattutto per i fenomeni più complessi, è più utile ricorrere all’analisi dimensionale e all’identificazione delle variabili che hanno rilievo nel fenomeno studiato. Un’equazione è adimensionalmente omogenea se è indipendente dal particolare sistema di unità di misura prescelto. Si consideri, ad esempio, l’equazione per il periodo di oscillazione T di un pendolo semplice di lunghezza L:

g L

T 2 (3.75)

Essa è indipendente dalla particolare scelta del sistema di unità di misura. Notando che nel S.I. 9,81 ₂

s m

g , si può pensare di porre la relazione nella forma:

L

T2.01

Quest’ultima equazione non è dimensionalmente omogenea, in quanto è valida solo se L è espresso in metri e T in secondi.

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Del resto, il fattore 2.01 non è adimensionale, così come dovrebbe essere qualsiasi numero scritto in un’equazione corretta.

Anche in equazioni in cui compaiono delle costanti fisiche, ad esempio:

 

s

n T T

E 

è opportuno non sostituire alla costante il suo valore numerico, che, essendo legato alla scelta del sistema di unità di misura, renderebbe l’equazione non dimensionalmente omogenea. Se un’equazione ha la forma:









a

b

c

x

è condizione necessaria e sufficiente, per la sua omogeneità dimensionale, che le variabili x, a, b, c,… abbiano tutte le stesse dimensioni.

Il secondo passo nell’analisi dimensionale è costituito dalla formazione di un insieme completo di raggruppamenti adimensionali delle variabili. I raggruppamenti adimensionali sono delle espressioni monomie in cui le variabili sono combinate in modo tale che l’espressione dimensionale del gruppo sia caratterizzata da esponenti nulli.

Un insieme di gruppi adimensionali relativo ad assegnate variabili è completo se ciascun gruppo è indipendente dagli altri e se ogni altro gruppo adimensionale, per le stesse variabili, è un prodotto di potenza dei gruppi adimensionali costituenti l’insieme.

Si enuncia ora il teorema fondamentale dell’analisi dimensionale. Esso è detto Teorema Fondamentale di Buckingham e può essere così enunciato: “condizione

necessaria e sufficiente perché un’equazione, che correla assegnate variabili, sia dimensionalmente omogenea è che possa essere ridotta ad una relaziona tra gruppi adimensionali, formati con le stesse variabili, che costituiscono un insieme completo”.

Il numero di raggruppamenti adimensionali indipendenti è uguale al numero di variabili adimensionalizzate che descrivono il fenomeno meno il numero di equazioni che legano tra loro. Occorre però fare molta attenzione. Il teorema dice quanti siano i raggruppamenti indipendenti, ma non quali siano; perciò, se ricaviamo che esiste un certo numero di variabili indipendenti, in realtà, bisogna fare ricorso alla fisica del problema per capire quali scegliere.

Si supponga di cercare la soluzione del problema convettivo più complesso possibile, che è quello in condizioni di convezione mista e moto turbolento, e di voler calcolare il coefficiente di scambio termico convettivo h locale (infatti, la scelta del valor medio abbasserebbe di uno il numero di variabili adimensionali, introducendo una nuova equazione). Il teorema ci viene in aiuto dicendo che i gruppi adimensionali indipendenti sono quattro. Adimensionalizzando le cinque equazioni che governano il fenomeno (le tre equazioni di Navier-Stokes, la legge della conduzione di Fourier e l’equazione di continuità), risultano cinque variabili adimensionali. Perciò, siccome dal teorema di Buckingham avevamo trovato quattro variabili indipendenti, esisterà una relazione formale che esprime uno di questi numeri in funzione degli altri.

Tradizionalmente, si predilige prendere come variabili indipendenti i numeri puri Re (numero di Reynolds), Gr (numero di Grashof), Pr (numero di Prandtl),

L x

(ascissa adimensionale).

Come numero dipendente dagli altri, si sceglie in numero di Nusselt, Nu, da cui la relazione di legame:        L x Gr f Nu Re, ,Pr, (3.77)

Il numero di Nusselt esprime il coefficiente di scambio termico convettivo adimensionalizzato. Esso non può avere valori arbitrari, ma, fissati gli altri gruppi, vale: L h Nu fluido  



dove L rappresenta la lunghezza caratteristica del problema, h il coefficiente di scambio termico convettivo locale e λfluido la conducibilità termica del fluido. A questo punto, per ricavare il coefficiente di convezione basta trovare il legame funzionale espresso dalla relazione sopra indicata e sostituirlo nell’espressione del numero di Nusselt. Queste funzioni, tabellate sui libri, sono state ricavate sperimentalmente negli anni ’30 ÷ ’40 da studiosi tedeschi.

76 d c b a L x Gr C Nu            Re Pr (3.79)

dove la costante C e gli esponenti a, b, c, d sono da determinare in base alla particolare situazione geometrica, termica e dinamica.

La variabile adimensionale indipendente

L x

si chiama ascissa adimensionale ed è un parametro addizionale, in cui figurano la coordinata x e la lunghezza caratteristica L . La scelta di L è estremamente importante. Potremmo dare diverse definizioni di L a seconda del problema in cui ci troviamo; ad esempio, per un fluido che scorre in un tubo, la lunghezza caratteristica potrebbe essere il diametro del tubo. Quindi, L non è sempre la stessa e, per lo stesso problema, si potrebbe attribuirle significati diversi. Si nota, inoltre, la ristretta gamma di validità di questa formula, che, proprio per legami di tipo unicamente esponenziale, è utilizzabile solo per alcuni tratti.