Una soluzione numerica, per essere adeguata, deve rispettare determinate proprietà. Spesso i “contours” ricchi di colore fanno una gran bella impressione all’utente poco esperto, ma, in realtà, non hanno valore se non sono quantitativamente corretti, ecco perché è necessario controllare i risultati di una soluzione in modo molto critico. Per capire se una soluzione è corretta, bisogna verificare se essa rispetta le seguenti proprietà:
- Consistenza; - Stabilità; - Convergenza.
Se una di queste tre proprietà non viene rispettata, la soluzione non è corretta, ma se anche qualora venissero rispettate, non è implicito che la soluzione numerica del problema in esame sia corretta; usando il linguaggio della matematica possiamo dire che il rispetto delle suddette proprietà è una condizione necessaria, ma non sufficiente per la correttezza della soluzione. Infatti, alle tre proprietà suddette vanno aggiunte considerazioni di tipo fisico, per validare una soluzione numerica.
La consistenza è verificata se all’infittirsi della griglia di calcolo la soluzione numerica tende alla soluzione analitica. Teoricamente, se la griglia di calcolo fosse così fitta, tanto da essere continua, la soluzione numerica e quella analitica dovrebbero essere coincidenti. La differenza tra l’equazione discretizzata e
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quella esatta è chiamata errore di troncamento: esso viene usualmente stimato sostituendo i valori nodali della soluzione approssimata con uno sviluppo in serie di Taylor; come risultato si ottiene l’equazione di partenza più un resto che rappresenta proprio l’errore di troncamento. Affinché un metodo sia consistente, l’errore di troncamento deve tendere a zero quando tende a zero il passo di discretizzazione nello spazio e nel tempo. L’errore di troncamento è proporzionale ad una potenza del passo spaziale e temporale. Idealmente tutti i termini dovrebbero essere discretizzati con approssimazioni dello stesso ordine di accuratezza; comunque alcuni termini possono essere dominanti e può essere ragionevole trattarli con un’accuratezza maggiore rispetto agli altri. Per quanto riguarda la stabilità, essa è raggiunta quando la soluzione numerica non amplifica gli errori del processo numerico di risoluzione. Per i metodi iterativi, una soluzione è stabile quando essa non diverge. La stabilità è difficile da studiare, specialmente quando sono presenti non linearità e condizioni al contorno.
La convergenza, invece, è la proprietà di una soluzione numerica di tendere alla soluzione esatta quando gli spazi della griglia di calcolo tendono a zero. Per problemi lineari ai valori iniziali, il “Teorema dell’equivalenza di Lax” afferma che: “Dato un problema ai valori iniziali ben posto ed una finita
approssimazione di esso, che soddisfa la condizione di consistenza, allora la stabilità è una condizione necessaria e sufficiente a garantire la convergenza”.
Come già detto, il rispetto della consistenza, della stabilità e della convergenza è solo una condizione necessaria e non sufficiente alla validazione del modello numerico, in quanto non si può prescindere da considerazioni di tipo fisico sul problema in esame. L’utilizzo di osservazioni di tipo fisico è ottimale soprattutto per metodi quali quello ai volumi finiti, così è possibile verificare su ogni volume o sull’intero dominio le seguenti proprietà:
- Conservation; - Boundedness; - Transportiveness.
Poiché le equazioni da risolvere sono leggi di conservazione, lo schema numerico dovrebbe anche, sia su base locale che globale, rispettare queste
leggi. Ciò significa che, in regime stazionario e in assenza di generazione, l’ammontare di una quantità “che si conserva” uscente da un volume chiuso è uguale alla quantità entrante dallo stesso. Quanto detto deve essere garantito sia per un volume elementare, sia considerando l’intero dominio. Questa proprietà del metodo ai volumi finiti è di grande importanza, poiché impone un vincolo sull’errore della soluzione. Una soluzione numerica dovrebbe trovarsi entro corretti limiti, ergo quantità non negative come la massa e la densità devono essere sempre positive, oppure quantità come le concentrazioni devono essere sempre comprese tra lo 0% ed il 100%. Questa proprietà è chiamata “boundedness” e deve essere sempre mantenuta dalla soluzione numerica.
Infine, bisogna osservare che tutti i fluidi contengano effetti legati alla diffusione e alla convezione. Nei fenomeni diffusivi, come ad esempio la conduzione termica, una variazione di temperatura in un punto provoca una variazione della stessa più o meno uguale in tutte le direzioni; invece, in un fenomeno convettivo c’è direzionalità, per cui le variazioni che si ottengono in una direzione non sono confrontabili con quelle che si ottengono lungo un’altra direzione. La proprietà detta di “transportiveness” tiene conto della direzionalità o meno del fenomeno in esame.
È importante sottolineare che la soluzione numerica di un problema termofluidodinamico o, più in generale, di un qualsiasi problema fisico, rappresenta una soluzione approssimata; ciò implica che è sempre intrinsecamente presente un errore associato a tale soluzione, definito come differenza tra il valore reale della grandezza in esame e la sua stima numerica. Questo errore è scomponibile in due addendi, uno di origine modellistica e uno di origine numerica.
Il processo di controllo dell’errore di modellazione è la validazione (validation) e deve necessariamente essere preceduta dalla fase di verifica (verification), finalizzata al controllo dell’errore di origine numerica.
L’ errore di modellazione deriva dalla scelta delle equazioni descrittive della fenomenologia in esame (equazioni differenziali, cioè formulazione del problema matematico) che possono essere più o meno idonee alla rappresentazione della specifica realtà fisica. La componente numerica dell’errore comprende gli effetti di diverse sorgenti di errore:
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Errore di convergenza, che deriva dalla linearizzazione delle equazioni differenziali che, in applicazioni CFD, sono intrinsecamente non lineari; conseguentemente la soluzione viene calcolata iterativamente, come correzione successiva di una soluzione con cui il campo delle diverse variabili viene linearizzato;
Errore di rounf-off, che discende dal fatto che il calcolatore riserva, per la rappresentazione delle grandezze numeriche, allocazioni di memoria di dimensione ovviamente finita;
Errore di discretizzazione, che deriva dal fatto che le equazioni differenziali, definite su un dominio continuo, vengono rappresentate in forma discreta, nel dominio del tempo e dello spazio.
È importante essere consapevoli dell’esistenza di tali errori e sarebbe molto utile distinguerli l’uno dall’altro.
Nell’ambito dei codici CFD, se il solutore numerico è ben progettato, l’errore di discretizzazione rappresenta solitamente la componente di gran lunga predominante dell’errore di origine numerica e dipende dalla mesh e dal time
step utilizzati.