Ancora una volta è il teorema di ricursione sugli ordinali che ci permette di definire la moltiplicazione in modo ricorsivo:
Definizione 7.8.1. Per ogni ordinale β:
(1) β · 0 = 0;
(2) β · (α + 1) = β · α + β per ogni ordinale α;
(3) β · α =S
γ<α(β · γ) per ogni ordinale limite α.
Ormai forti dalla definizione di addizione andiamo subito a vedere degli esempi semplici di calcolo di prodotto di ordinali:
Esempio 7.8.1. Calcoliamo il prodotto β · 1, che ci aspettiamo sia β:
β · 1 = β · (0 + 1) = β · 0 + β = 0 + β = β,
come segue immediatamente dalle definizioni. Ma allora, volendo estendere dagli interi, ci potremmo chiedere se l’ordinale 1 possa essere l’elemento neutro del prodotto. Come fatto per la somma, vale anche che per ogni ordinale β si ha
1 · β = β,
e ancora una volta si può mostrare questo fatto per induzione (il lettore lo di-mostri!). Abbiamo dimostrato che 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione tra ordinali.
Esempio 7.8.2. Vediamo i prodotti tra ordinali e ordinali finiti:
β · 2 = β · (1 + 1) = β · 1 + β · 1 = β + β.
Come si intuirà vale che per ogni n < ω si ha β · n = β + β + . . . + β
| {z }
n volte
,
la dimostrazione è una semplice induzione su n naturale.
Esempio 7.8.3. Con questo esempio faremo vedere che in generale neanche il prodotto è commutativo. Infatti si ha che ω · 2 = ω + ω per l’esempio precedente, però si ha
2 · ω = [
n<ω
(2 · n) = ω,
il quale è diverso da ω + ω. Infatti ω + ω è isomorfo all’ordinamento della somma di due copie di N, mentre ω è una sola copia ed è isomorfo ad un segmento iniziale di ω + ω, dunque non possono essere isomorfi tra loro.
Non ci mettiamo a dare una dimostrazione formale di tutte le proprietà del pro-dotto perché sono esattamente analoghe a quelle della somma. Per i dettagli delle dimostrazioni di alcune di esse si veda la parte relativa negli esercizi. Ci limitiamo solo a dire che vale la legge di cancellazione solo a sinistra5, che il prodotto è associativo e che vale la proprietà distributiva solo a sinistra. Ossia si ha:
(α · β) · γ = α · (β · γ) e α · (β + γ) = α · β + α · γ.
Come nel caso della somma si ha che la definizione dell’ordinale prodotto α · β è coerente con la definizione di ordine antilessicografico che abbiamo denotato con A1 A2.
Teorema 7.8.1. Siano (A1, <1) e (A2, <2) due insiemi ben ordinati isomorfi agli ordinali α e β, e sia A = A1 A2 l’ordine prodotto. Se ≺ denota l’ordine anti-lessicografico allora (A1 A2, ≺) è isomorfo a α · β. Se invece ≺0 denota l’ordine lessicografico allora (A1 A2, ≺0) è isomorfo a β · α.
Dimostrazione. Definiamo un isomorfismo tra (A1 A2, ≺) e α · β come segue:
per ξ < α e η < β poniamo
f (ξ, η) = α · η + ξ.
L’immagine di f è l’insieme {α ·η +ξ | η < β e ξ < α} = α ·β e f è un isomorfismo.
Lasciamo i dettagli al lettore limitandoci a dire che si procede per induzione e che vanno utilizzate le proprietà enunciate prima del teorema.
Infine vale un teorema di divisione tra ordinali, che permette di avere una sorta di inversa dell’operazione di moltiplicazione (come la sottrazione nel caso della somma), vediamo di che si tratta:
Proposizione 7.8.1. Sia β ≥ 1 un ordinale. Allora esistono unici γ e ρ tali che α = β · γ + ρ con ρ < β.
Dimostrazione. Intanto affermiamo che esistono ordinali che moltiplicati a sinistra per β superano α: infatti vale β · α ≥ α e quindi β · (α + 1) = β · α + β > α. Esiste dunque
δ = min{ξ | β · ξ > α}.
Sempre per minimalità di δ si può mostrare analogamente al caso della somma che δ è un successore, ossia δ = γ + 1 per un certo γ. Si ha allora
β · γ ≤ α < β · (γ + 1).
5come nel caso della somma la legge di cancellazione segue da un fatto più generale: se α1, α2 e β 6= 0 sono ordinali allora β · α1< β · α2 se e solo se α1< α2.
Per il teorema sulla differenza di ordinali esiste ρ tale che α = β · γ + ρ; vale anche che ρ < β in quanto sennò
α = β · γ + ρ ≥ β · γ + β = β · (γ + 1) > α,
e ciò è assurdo. Adesso ci rimane da dimostrare la parte sull’unicità: supponiamo che si possa scrivere α = β · γ + ρ = β · γ0+ ρ0. Se per assurdo γ 6= γ0, diciamo γ < γ0, allora avremmo
α = β · γ + ρ < β · γ + β = β · (γ + 1) ≤ β · γ0≤ β · γ0+ ρ0= α,
assurdo. A questo punto l’uguaglianza dei resti si ha per l’unicità della differenza di ordinali (o per la legge di cancellazione).
Per un esempio di divisione tra numeri ordinali si vada alla sezione corrispondente nella parte degli esercizi.
A questo punto possiamo definire l’esponenziazione tra ordinali sempre in modo ricorsivo, vediamo subito la definizione:
Definizione 7.8.2. Per ogni ordinale β:
(1) β0 = 1;
(2) βα+1 = βα· β per ogni ordinale α;
(3) βα =S
γ<αβγ per ogni ordinale limite α.
Esempio 7.8.4. Osserviamo intanto che
β1 = β0+1= β0· β = 1 · β = β.
In modo analogo le potenze finite rispecchiamo quelle che già conosciamo in quanto ad esempio β2 = β1+1= β1· β = β · β, e in modo analogo per ogni n < ω
βn= β · β · . . . · β
| {z }
n volte
.
Il lettore provi a dimostrare l’uguaglianza per induzione su n < ω.
Esempio 7.8.5. Per definizione abbiamo visto che βω= [
n<ω
βn;
quindi in particolare 1ω = 1, 2ω = ω e vale (sempre per induzione) che nω = ω per ogni n ∈ ω con n > 1. Infine
ωω = [
n<ω
ωn> ω, come segue dalla definizione di estremo superiore.
Adesso enunciamo alcune proprietà dell’esponenziazione tra ordinali, le cui dimo-strazioni sono rimandate alle sezioni relative nella parte degli esercizi. Valgono due proprietà delle potenze, ossia
αβ+γ = αβ· αγ e (αβ)γ = αβ·γ.
Non vale ad esempio la proprietà (α · β)γ= αγ· βγ. Vediamo il seguente esempio:
Esempio 7.8.6. Mostriamo che (ω · 2)26= ω2· 22. Da un lato abbiamo (ω · 2)2= (ω · 2) · (ω · 2) = ω · (2 · ω) · 2 = (ω · ω) · 2 = ω2· 2,
mentre dall’altro ω2· 22 = ω2· 4, e se fossero uguali allora avremmo 2 = 4 per la legge di cancellazione, e ciò è assurdo.
Teniamo inoltre a precisare che, a differenza dell’addizione e della moltiplicazione tra ordinali, nel caso dell’esponenziazione non caratterizzeremo l’ordinale αβ (se α ∼= A1 e β ∼= A2) con un buon ordinamento di AA12. Vedremo, sempre nella parte degli esercizi, che la caratterizzazione dell’esponenziazione viene fatta mediante buon ordinamento di un certo sottoinsieme di AA12.
7.8.1 Operazioni tra ordinali e cardinalità
In questo brevissimo paragrafo, traendo spunto dall’ultima osservazione appena fatta, vogliamo sviluppare un discorso che poi riprenderemo in seguito e che ri-guarda le cardinalità degli ordinali ottenuti come addizione, prodotto o esponen-ziazione di altri.
Siano α e β due ordinali rispettivamente isomorfi ai due buoni ordini (A1, <1) e (A2, <2). Abbiamo mostrato che l’ordinale somma α + β è isomorfo all’ordine somma (A1⊕ A2, <), ottenuto ordinando due copie disgiunte di A1 e A2 secondo l’ordine che “mette A2 subito dopo A1”.6 Da questo segue in modo ovvio che
|α + β| = |α| + |β|.
Esempio 7.8.7. Da quanto appena detto segue per esempio che
|ω + ω| = |ω| + |ω| = ℵ0+ ℵ0 = ℵ0 = |ω|, nonostante poi si abbia che ω + ω 6= ω.
6ricordiamo che la costruzione che si fa è di ordinare gli insiemi disgiunti A1× {0} e A2× {1}
secondo l’ordine antilessicografico, ossia si controlla prima la seconda componente e poi la prima.
Talvolta per non appesantire troppo la notazione si utilizza la scrittura A1 t A2, che denota l’unione disgiunta.
L’ordine prodotto (A1 A2, ≺), con ≺ che denota l’ordine antilessicografico, è isomorfo all’ordinale α · β, come abbiamo mostrato. Visto che l’ordine prodotto non è altro che un ordinamento particolare del prodotto cartesiano dei due insiemi si avrà
|α · β| = |α| · |β|.
Un discorso analogo non si può invece fare per l’esponenziazione, in quanto abbia-mo detto che αβ è isomorfo ad un certo sottoinsieme di AA12, ma non a tutto AA12. In generale varrà dunque che
|αβ| 6= |α||β|.
Esempio 7.8.8. Consideriamo ωω. Vale che |ωω| = ℵ0: questo fatto non possiamo ancora mostrarlo formalmente in quanto non abbiamo ancora definito la somma di infiniti cardinali, però quella definizione sarà molto intuitiva, tant’é che noi adesso faremo il calcolo come l’intuizione ci suggerisce, rassicurando chi legge che poi in effetti sarà davvero così (anche se sarà necessario l’assioma della scelta). Si ha
|ωω| = per l’altra disuguaglianza basta notare che
2ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = (2ℵ0)ℵ0 ≥ ℵℵ00,
e si conclude l’uguaglianza per il teorema di Cantor–Bernstein.
Come finale, un’osservazione d’insieme. Si possono usare le operazioni aritmetiche per generare ordinali sempre più grandi, come segue:
0, 1, 2, . . . , ω, ω+1, . . . , ω·2, ω·2+1, . . . , ω·3, . . . , ω·ω = ω2, ω2+1, . . . , ω2·2, . . . , ω3, . . . , ω4, . . . , ωω, ωω+ 1, . . . , ωω+1, . . . , ωω2, . . . , ωω3, . . . , ωωω, . . . , ωωωω, . . . Il processo può essere facilmente proseguito definendo, seppur ancora informal-mente, l’ordinale sup{ω, ωω, ωωω, . . .} = ε0. Quindi si può prendere
ε0+ 1, . . . , ε0+ ω, . . . , εω0, . . . , εε00 . . . .
Adesso diamo una definizione formale di ε0. Intanto si consideri la successione definita per ricorsione numerabile come segue:
α0 = ω αn+1= ωαn.
Definizione 7.8.3. Definiamo
ε0 = [
n<ω
αn= ωωω·
··
.
Non abbiamo ancora gli strumenti necessari ma mostreremo che anche ε0 è un ordinale ancora numerabile (!). La domanda se esistono ordinali non numerabili a questo punto è giustificata e daremo una risposta – che sarà affermativa – solo nel prossimo capitolo. Intanto però vediamo una proprietà di ε0, che dovrebbe essere abbastanza intuitiva per come è stato definito:
Proposizione 7.8.2. Vale ωε0 = ε0.
Dimostrazione. Visto che ε0 è un ordinale limite si ha ωε0 = [
γ<ε0
ωγ= [
n<ω
ωαn = [
n<ω
αn+1= ε0,
ed abbiamo concluso.