Il teorema di ricursione transfinita sugli ordinali dato nel precedente paragrafo ci serve adesso per definire addizione, moltiplicazione e esponenziazione di numeri ordinali. Queste definizioni sono date come generalizzazione delle definzioni sui numeri naturali, come anche in altri ambiti è già successo. La definizione della somma è data per ricursione sul secondo argomento:
Definizione 7.7.1. Per ogni ordinale β:
(1) β + 0 = β;
(2) β + (α + 1) = (β + α) + 1 per ogni ordinale α;
(3) β + α =S
γ<α(β + γ) per ogni ordinale limite α.
Osserviamo che se si pone α = 0 nella (2) otteniamo β + 1 = β + 1: il primo membro denota la somma tra l’ordinale β e l’ordinale 1, mentre il secondo denota il successore di β.
Esempio 7.7.1. Come conseguenza della definizione abbiamo, per ogni β ordinale (β + 1) + 1 = β + 2, (β + 2) + 1 = β + 3,
e più in generale (β + n) + 1 = β + (n + 1) per ogni n ∈ N.
Esempio 7.7.2. Consideriamo adesso alcune somme che coinvolgono l’ordinale limite ω. Intanto
1 + ω = [
n<ω
(1 + n) = ω;
Geometricamente, la somma che abbiamo eseguito potrebbe essere immaginata come segue: possiamo mettere 0 all’inizio e poi fargli seguire una copia di N (ossia ω), e allora vediamo che in effetti è come ordinare ω. In generale n + ω = ω per ogni n ∈ N.
Consideriamo ora ω+1: questo è un ordinale diverso da ω perché è il suo successore, ossia ω + 1 = ω ∪ {ω}. Questi due esempi mostrano che ω + 1 6= 1 + ω, ossia che la somma di ordinali non è commutativa.
Esempio 7.7.3. Inoltre si può notare che, nonostante 1 6= 2 si ha 1 + ω = 2 + ω = ω. Dunque la somma di ordinali non gode della legge di cancellazione a destra; tuttavia vedremo fra poco che la somma è associativa gode della legge di cancellazione solo a sinistra.
Questo stesso esempio ci mostra che non vale una legge di cancellazione a destra neanche per disuguaglianze, infatti 1 < 2 ma 1 + ω = 2 + ω. Analogamente però mostreremo che vale una legge di cancellazione per disuguaglianza ma che vale solo a sinistra.
Esempio 7.7.4. Dimostriamo formalmente che tra ordinali 2 + 3 = 5. Si ha 2 + 3 = 2 + (2 + 1) = (2 + 2) + 1 = (2 + (1 + 1)) + 1 =
= ((2 + 1) + 1) = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5, e abbiamo concluso.
Osservazione 7.7.1 (elemento neutro). L’operazione di addizione di numeri ordinali ha anche un elemento neutro, che è l’ordinale 0. Infatti vale α + 0 = α per definizione, e affermiamo che vale anche
0 + α = α.
per ogni ordinale α. Quest’ultimo asserto può essere facilmente provato per induzione su α, lasciamo i dettagli al lettore.
Nel capitolo 4 abbiamo dato la definizione di somma di buoni ordini A1 e A2, e avevamo visto che tale somma (denotata con A1⊕ A2) può essere ben ordinata. In effetti se α e β sono gli ordinali associati agli ordini addendo abbiamo che l’ordinale associato a A1⊕ A2 è proprio α + β.
Teorema 7.7.1. Siano (A1, <1) e (A2, <2) due insiemi ben ordinati isomorfi agli ordinali α e β, e sia A = A1⊕ A2 l’ordine somma. Allora (A1⊕ A2, <) è isomorfo a α + β.
Dimostrazione. Senza perdere di generalità possiamo supporre A1 ∩ A2 = ∅.4 Proviamo il teorema per induzione su β.
Se β = 0 allora A2 = ∅ e allora A = A1, e dunque A = A1 ∼= α = α + β. Adesso supponiamo che β = β0 + 1, questo significa che A2 ha un elemento massimo a e Aa è isomorfo a α + β0. L’isomorfismo si estende ad un isomorfismo tra A e α + β = (α + β0) + 1.
Infine supponiamo che β sia un ordinale limite e che per ogni γ < β esista un isomorfismo fγ tra α + γ e Aαγ, dove αγ ∈ A2. Inoltre fγ è unico, αγ è il γ–esimo elemento di A2 e se γ < δ allora fγ ⊂ fδ. Sia adesso
f = [
γ<β
fγ.
Visto che α + β =S
γ<β(α + γ) segue che f è un isomorfismo tra α + β e A. Adesso vogliamo presentare, come promesso, alcune proprietà della somma di ordinali, che proponiamo nelle seguenti proposizioni:
Proposizione 7.7.1. Siano α1, α2 e β ordinali. Allora α1 < α2 se e solo se β + α1 < β + α2.
Dimostrazione. (=⇒) Useremo l’induzione transfinita su α2 per mostrare questa implicazione. Non c’è da mostrare niente se α2 = 0 in quanto la premessa del-l’implicazione è falsa e quindi del-l’implicazione risulta vera a vuoto. Supponiamo
4come abbiamo già osservato ciò è possibile perché sennò basta ordinare analogamente gli insiemi disgiunti A1× {0} e A2× {1}.
α1 < α2 e che α2 sia un successore e poniamo α2 = δ + 1. Allora deve essere δ ≥ α1 (altrimenti se δ < α1 allora δ + 1 ≤ α1). Per ipotesi induttiva nel caso δ > α1, e banalmente nel caso δ = α1, otteniamo
β + α1 ≤ β + δ < (β + δ) + 1 = β + (δ + 1) = β + α2.
Adesso invece supponiamo che α2 sia un ordinale limite. Si ha allora α + 1 < α2 e possiamo scrivere
β + α1 < (β + α1) + 1 = β + (α1+ 1) ≤ [
γ<α2
(β + γ) = β + α2.
(⇐=) Per provare questa implicazione faremo uso della precedente. Supponiamo che β + α1 < β + α2; se per assurdo fosse α2 < α1 la parte appena provata mostrerebbe β + α2 < β + α1 e quindi avremmo l’assurdo; se α2 = α1 avremmo ovviamente β + α2 = β + α1, assurdo.
Corollario 7.7.1 (legge di cancellazione a sinistra). Siano α1, α2 e β numeri ordinali. Allora α1 = α2 se e solo se β + α1 = β + α2.
Dimostrazione. L’implicazione verso destra è banale, mostriamo quella verso sini-stra. Se per assurdo fosse α1 6= α2 allora abbiamo solo le due possibilità α1 < α2 e α1 > α2 (per la totalità di <). Per la proposizione precedente, in ciascuno di questi due casi si raggiunge l’assurdo.
L’operazione di somma tra ordinali, per quanto come abbiamo visto possa apparire distante dall’usuale concetto di addizione, preserva lo stesso alcune delle proprietà che ci aspettiamo. Ad esempio è associativa, come mostreremo adesso, ed inoltre vedremo che il prodotto si distribuisce (solo da sinistra) sulla somma.
Proposizione 7.7.2 (legge associativa). Siano α, β e γ ordinali. Allora (α + β) + γ = α + (β + γ)
Dimostrazione. Dimostriamo la proprietà per induzione su γ. Se γ = 0 la proprietà risulta banale perché si ha
(α + β) + 0 = α + β = α + (β + 0),
per definizione. Supponiamo adesso che γ sia un successore, ossia γ = δ + 1, allora (α + β) + (δ + 1) = ((α + β) + δ) + 1 = (α + (β + δ)) + 1 =
= α + ((β + δ) + 1) = α + (β + (δ + 1)),
dove nella seconda uguaglianza abbiamo utilizzato l’ipotesi induttiva. Supponiamo infine che γ sia un limite,
(α + β) + γ = [
δ<γ
((α + β) + δ) = [
δ<γ
(α + (β + δ)).
Affermiamo che β + γ è un ordinale limite: infatti se ξ < β + γ = S
δ<γ(β + δ) allora ξ ≤ β + δ per qualche δ < γ e quindi
ξ + 1 ≤ (β + δ) + 1 = β + (δ + 1) < β + γ,
dove l’ultima disuguaglianza vale in quanto γ è limite, e dunque δ + 1 < γ, ed anche per la proposizione precedente aggiungendo β a sinistra. Infine dunque si ha
(α + β) + γ = [
δ<γ
(α + (β + δ)) = [
β+δ<β+γ
(α + (β + δ)) = α + (β + γ),
dove la seconda uguaglianza si ha perché δ < γ se e solo se β + δ < β + γ e poi l’ultima uguaglianza si ha perché β + γ è un ordinale limite.
Come ultimo fatto riguardo alla somma di ordinale vogliamo vedere che esiste anche un’operazione di sottrazione di ordinali, ossia una inversa per l’operazione di somma:
Proposizione 7.7.3. Se α ≤ β allora esiste un unico γ tale che α + γ = β.
Dimostrazione. Affermiamo che esistono ordinali strettamente maggiori di β: in-fatti intanto si ha α + β ≥ β e dunque α + (β + 1) = (α + β) + 1 > β. Dunque esiste δ = min{ξ | α + ξ > β}. Affermiamo che δ è un successore: supponiamo per assurdo che δ sia un limite avremmo
β < α + δ = [
ξ<δ
(α + ξ),
e quindi esisterebbe ξ < δ tale che β < α + ξ, ed è assurdo per la minimalità di δ.
Quindi sia γ tale che δ = γ + 1. Allora
α + γ ≤ β < α + (γ + 1) = α + γ + 1,
da cui α + γ = β. L’unicità segue dalla legge di cancellazione: se esistesse un γ0 tale che α + γ0 = β allora avremmo α + γ0 = α + γ, da cui γ0 = γ.
Esempio 7.7.5. Attenzione che anche nel caso delle sottrazioni abbiamo dei feno-meni non usuali. Ad esempio consideriamo α = 7 e β = ω con 7 < ω. L’ordinale differenza è ω − 7 = ω in quanto 7 + ω = ω.