Prima di iniziare diamo alcune definizioni di terminologia sui cardinali: diremo che un cardinale infinito ℵα è un successore se α è un successore; se invece α è un limite allora diremo che ℵα è un cardinale limite. Se κ è un cardinale infinito ℵβ allora talvolte indicheremo il cardinale successore ℵβ+1 con κ+.
Iniziamo ora con una definizione, che è quella che aprirà le porte ad una serie di fondamentali risultati per quanto riguarda l’esponenziazione di cardinali, su cui sappiamo dire ben poco.
Definizione 9.2.1. Siano α e β ordinali. Un’applicazione f : α → β si dice cofinale se per ogni γ ∈ β esiste una δ ∈ α tale che f (δ) ≥ γ (diremo talvolta che l’applicazione è illimitata).
Esempio 9.2.1. Esiste un’applicazione cofinale da ω in 2ℵ0: basta considerare l’immersione canonica e questa sicuramente ha la proprietà richiesta.
Definizione 9.2.2. Sia α un ordinale. La cofinalità di α, indicata con cf (α), è il minimo ordinale β tale che esiste una mappa cofinale da β a α.
Si osservi che, essendo l’identità su α un’applicazione cofinale, abbiamo subito che cf (α) ≤ α. Notiamo inoltre che se α è un ordinale successore allora cf (α) = 1:
infatti se α = β + 1 basta prendere l’applicazione {0} → α che manda 0 in β e questa è cofinale.
Esempio 9.2.2. Si ha cf (2ℵ0) = ω. Nell’esempio precedente abbiamo mostrato che esiste un’applicazione cofinale da ω in 2ℵ0, che è l’immersione canonica. In effetti nessun ordinale più piccolo di ω (che sarebbe finito) può andare in 2ℵ0 in modo cofinale, dunque ω è il minimo di essi.
Esempio 9.2.3. Si ha cf (ℵ1) = cf (ω1) = ω1. Certamente vale il minore o uguale come per ogni altro ordinale, adesso mostriamo che non può valere il minore stretto.
Preso qualunque α < ω1, ossia numerabile, ogni funzione f : α → ℵ1 è limitata.
Infatti
sup
β<α
f (β) = [
β<α
f (β)
è numerabile perché unione numerabile di insiemi numerabili.
Esempio 9.2.4. Si ha cf (ℵω) = ω. Questa volta si deve prendere la mappa f : ω → ℵω tale che n 7→ ℵne osservare che è cofinale. In effetti, ragionando come nell’esempio precedente si mostra che la cofinalità di ℵω non può essere < ω.
Proposizione 9.2.1. Per ogni ordinale limite α si ha che cf (α) è un cardinale (infinito).
Dimostrazione. Sappiamo che esiste un’applicazione f : cf (α) → α cofinale. Se per assurdo avessimo che cf (α) non fosse un ordinale iniziale avremmo un β < cf (α) e tale che esiste g : β → cf (α) applicazione biunivoca. Ma allora f ◦ g : β → α sarebbe un’applicazione cofinale, contro la minimalità di cf (α).
Osservazione 9.2.1. Potevamo anche omettere che α fosse un’ordinale limite, però allora avremmo dovuto dire che cf (α) è un cardinale. Infatti se α è un successore sappiamo che la sua cofinalità è 1, quindi è un caso banale. Molti testi, infatti, definiscono la cofinalità solo per ordinali limite.
Lemma 9.2.1. Sia α un ordinale. Esiste una mappa cofinale f : cf (α) → α che è anche strettamente crescente.
Dimostrazione. Sia g : cf (α) → α una mappa cofinale, che esiste per definizione di cofinalità. Vogliamo dimostrare che esiste anche f : cf (α) → α cofinale e crescente. Possiamo considerare α ordinale limite, altrimenti come al solito siamo nel caso banale cf (α) = 1. Definiamo una funzione per ricorsione transfinita su ogni β < cf (α):
f (0) = g(0) + 1
f (β + 1) = max{f (β), g(β + 1)} + 1
f (β) = max{supγ<βf (γ), g(γ)} + 1 se β è limite.
Ora che abbiamo definito f dobbiamo dimostrare che imm f ⊆ α, e lo faremo per induzione transfinita su β, mostrando che f (β) < α. Intanto f (0) = g(0) + 1 < α in quanto α è limite e g(0) < α; poi f (β + 1) < α in quanto f (β) lo è per ipotesi induttiva e g(β +1) lo è per ipotesi. Se β è limite allora supγ<βf (γ) < α altrimenti f : β → α sarebbe cofinale, assurdo perché cf (α) > β.
Vediamo adesso un’importante definizione:
Definizione 9.2.3. Un cardinale κ si dice regolare se cf (κ) = κ. In caso contrario si dice singolare.
Vogliamo imparare meglio a vedere quali cardinali sono regolari. Abbiamo visto che se α è un limite allora cf (α) è un cardinale infinito; ebbene i prossimi due risultati mostreranno che è anche un cardinale regolare.
Lemma 9.2.2. Sia α un ordinale limite e sia f : α → β un’applicazione cofinale crescente. Allora cf (α) = cf (β).
Dimostrazione. Consideriamo un’applicazione g : cf (α) → α cofinale e crescente, che esiste per il lemma precedente. L’applicazione f ◦ g : cf (α) → β è cofinale e crescente e dunque per definizione di cofinalità si ha cf (β) ≤ cf (α).
Mostriamo ora che esiste una ψ : cf (β) → α cofinale. Intanto si ha g : cf (β) → β cofinale e sia ξ ∈ cf (β). Considerato g(ξ) avremo, essendo f cofinale, che esiste
ζξ= min{ζ ∈ α | f (ζ) > g(ξ)}.
Adesso definiamo ψ come l’applicazione che manda ξ in ζξ. Dobbiamo mostrare che ψ è cofinale. Consideriamo ξ0 ∈ α e f (ξ0) ∈ β; esiste dunque ¯ξ ∈ cf (β) tale che g( ¯ξ) > f (ξ0). Ma allora
ψ( ¯ξ) = ζξ¯= min{ζ ∈ α | f (ζ) > g( ¯ξ)} > ξ0, visto che f (ξ0) < g( ¯ξ) e f è crescente.
Corollario 9.2.1. Per ogni α ordinale limite, si ha cf (ℵα) = cf (α).
Dimostrazione. Visto che α è limite basta considerare l’applicazione α → ℵα che manda β ∈ α in ℵβ: questa è cofinale crescente e quindi grazie al lemma 9.2.1 possiamo concludere.
Corollario 9.2.2. Per ogni α limite cf (cf (α)) = cf (α).
Dimostrazione. Ovvia.
Proprio il corollario precedente mostra che per ogni α limite vale che cf (α) è un cardinale regolare, tant’è che la sua cofinalità coincide con lui stesso.
Proposizione 9.2.2. Ogni cardinale successore è regolare.
Dimostrazione. Sia κ+ un cardinale successore. Sia α < κ+ e sia per assurdo f : α → κ+ un’applicazione cofinale, allora κ+ =S
Osservazione 9.2.2. Possiamo anche scrivere il risultato precedente dicendo che ogni ℵα+1 è un cardinale regolare. Varrà dunque
cf (ℵα) =
ℵα se α = β + 1 cf (α) se α è limite .
Adesso, prima di occuparci nel prossimo paragrafo di esponenziali, vogliamo os-servare un fatto molto singolare. Prendiamo il cardinale ℵω: questo è singolare in quanto
cf (ℵω) = ω < ℵω.
Allo stesso modo anche i cardinali ℵω+ω, ℵω·ωe ℵω1 sono singolari. Questi cardinali limite non numerabili sono tutti singolari, ed anzi ne possiamo trovare sempre di più grandi:
Lemma 9.2.3. Esistono cardinali singolari arbitrariamente grandi.
Dimostrazione. Sia ℵα un cardinale. Si consideri adesso ℵα+ω: l’applicazione ω → ℵα+ω che manda n 7→ ℵα+n è cofinale e dunque
cf (ℵα+ω) < ω ≤ α + ω ≤ ℵα+ω.
Ciò mostra che ℵα+ω è un cardinale singolare, ed è più grande di ℵα.
Una domanda che adesso è naturale porsi è se esistono cardinali limiti regolari;
supponiamo che ℵα sia un tale cardinale, allora ℵα = cf (ℵα) = cf (α) ≤ α. Visto che inoltre vale sempre α ≤ ℵα avremo dunque che
ℵα = α.
Quindi se un cardinale ℵα è limite e regolare avremo che ℵα = α; tuttavia la condizione non è sufficiente perché possiamo costruire un cardinale non regola-re tale che soddisfi la condizione pregola-recedente. In regola-realtà ne possiamo costruiregola-re di arbitrariamente grandi:
Lemma 9.2.4. Esistono cardinali singolari con ℵα = α arbitrariamente grandi.
Dimostrazione. Sia ℵγ un cardinale. Definiamo ricorsivamente
α0= ωγ
αn+1= ωαn per n < ω . Sia adesso α =S
n<ωαn: abbiamo che α è il primo ordinale a soddisfare ℵα = α, infatti
ℵα = ωα = [
n<ω
ωαn = [
n<ω
αn+1= α.
Ma α non è un cardinale regolare, in quanto è facile vedere che cf (α) = ω < α.
Il lemma suggerisce che un ℵα che soddisfa ℵα = α
deve essere molto grande. In ogni caso la condizione precedente, a dispetto di quanto si pensi, è più debole di quanto si crede visto che ne possiamo costruire quanti vogliamo.
Definizione 9.2.4. Un cardinale non numerabile ℵα è detto inaccessibile se è un cardinale limite ed è anche regolare.
In effetti è impossibile provare l’esistenza di tali cardinali usando solo gli assiomi della teoria di Zermelo–Fraenkel anche con l’assioma di scelta.