In campo scientifico, il termine “Caos deterministico” viene riferito a sistemi dinamici non lineari per questo detti anche “sistemi caotici”, i quali presentano un andamento temporale imprevedibile e risultano estremamente complessi e, per tanto, apparentemente incomprensibili.
Le dinamiche evolutive di un sistema dinamico corrispondono a modelli matematici i quali non permettono di ottenere soluzioni esatte. Questa impossibilità di determinare con esattezza le soluzioni analitiche dell’evoluzione dei sistemi dinamici, ha fatto in modo che venissero sviluppati metodi di visualizzazione che potessero rappresentare adeguatamente l’evoluzione del sistema in uno spazio astratto detto “spazio delle fasi”. Nello studio dei sistemi dinamici si intende, per spazio delle fasi, lo spazio astratto del quale i punti rappresentano tutti gli stati del sistema stesso. Il numero di dimensioni dello spazio delle fasi è dato dal numero di gradi di libertà del sistema. In un determinato istante, lo stato del sistema può essere rappresentato come un punto nello spazio delle fasi detto “punto rappresentativo”. L’evoluzione del sistema nel tempo fa in modo che le grandezze che definiscono lo stato del sistema varino causando lo spostamento del punto rappresentativo lungo una traiettoria che può essere definita come “orbita del sistema nello spazio delle fasi”. Un sistema dinamico può essere inteso come un insieme di equazioni che dia come risultato l’evoluzione temporale del sistema tenendo in considerazione gli stati precedenti. L’evoluzione di un sistema dinamico può essere studiata mediante lo studio della traiettoria che il punto rappresentativo percorre nello spazio delle fasi. I comportamenti globali del sistema e i cambiamenti prodotti dai parametri di controllo vengono studiati mediante l’analisi delle proprietà qualitative. La teoria qualitativa dei sistemi dinamici fondata da Poincaré, detta anche teoria topologica, consiste nello studio delle leggi del moto che, rinunciando ad ogni pretesa di conoscenza analitica delle soluzioni, si basa su metodi geometrici e visivi. La modifica dei parametri di controllo di un sistema dinamico, produce trasformazioni significative nelle strutture che caratterizzano lo spazio delle fasi. Grazie allo studio qualitativo dello spazio delle fasi, è possibile analizzare le modifiche indotte nell’evoluzione del sistema al variare dei parametri di controllo. Nel 1903 Henri Poincaré descrisse il fenomeno del Caos deterministico come segue:
“Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che l'effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo all'istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire
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che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile”.
Questi sistemi, pur dimostrandosi imprevedibili, presentano un ordine intrinseco che può essere portato alla luce servendosi di un approccio molto diverso da quello di cui si serve la matematica lineare.
Si dice caotico un sistema dinamico che presenta determinate caratteristiche: il suo andamento deve essere imprevedibile nel tempo e la propria
evoluzione deve restare confinata entro un certo spazio definito. Ciò comporta che il sistema non potrà mai evolvere verso l’infinito per nessuna variabile.
il sistema deve essere sensibile ai dati iniziali. Ciò significa che variando anche impercettibilmente le condizioni iniziali, l’evoluzione della dinamica del sistema cambierà notevolmente nel tempo.
Strettamente legato al concetto di Caos vi è quello di “attrattore” come strumento necessario per comprendere il tipo di ordine presente nei sistemi caotici. È possibile definire un attrattore come: “l’insieme definito nello spazio delle fasi di un sistema dinamico verso il quale il sistema stesso evolve dopo un tempo sufficientemente lungo”. Un attrattore può essere costituito da un punto, una curva o da un sistema complesso dotato di struttura frattale. I più semplici attrattori noti sono il “punto fisso” e il “ciclo limite”. Il primo, detto anche punto di equilibrio, rappresenta un punto corrispondente ad uno stato costante del sistema nel tempo. Il secondo è definibile come una curva chiusa nello spazio delle
configurazioni di un oscillatore sulla quale le traiettorie del sistema tendono ad avvicinarsi. Tutte le traiettorie del sistema che collasseranno sulla curva rimarranno su un ciclo limite, così come avviene nel tipico caso dell’oscillatore di van der Pol, nel quale è possibile osservare come le traiettorie che partono da punti diversi si avvicinano con l’andare del tempo all’orbita periodica.
Quando la dinamica dell’attrattore è caotica, l’attrattore viene definito “strano”. Il più noto ed emblematico esempio di attrattore strano è senz’altro l’attrattore di Lorenz, considerato il primo esempio di un sistema di equazioni differenziali in grado di rappresentare un comportamento complesso.
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43 Fig. 21 Chua alle prese con le equazioni e l’attrattore di Lorenz.
La scoperta dell’attrattore di Lorenz porta alla conclusione che, essendo un attrattore strano fortemente dipendente dalle condizioni iniziali, due set di condizioni iniziali, anche con parametri estremamente vicini tra loro, daranno luogo a traiettorie che divergeranno esponenzialmente tra loro. Quanto detto denota l’impossibilità di effettuare previsioni attendibili sull’andamento del sistema a lungo termine, in quanto persino una causa apparentemente irrilevante non prevista può produrre una piccola variazione nei dati iniziali determinando una dinamica qualitativamente differente nell’evoluzione del sistema.