Associazione degli hit del TC

Il processo di associazione nel TC consiste, come detto, nel raggruppare tutti gli hit in esso prodotti da tutte le tracce dell’evento in insiemi, ognuno dei quali dovrebbe, in linea di principio, contenere tutti e soli quelli prodotti dalla stessa traccia o porzione. Si tratta della parte pi`u semplice dell’analisi, dato che il numero di hit da associare `e basso, che le tracce di Michel non colpiscono quasi mai il rivelatore, che la precisione con cui `e nota la posizione degli hit `e buona grazie alle ridotte dimensioni delle piastrelle e che in aggiunta all’informazione spaziale `e presente anche quella temporale.

Prima selezione

Obiettivo della prima selezione `e cercare di limitare il pi`u possibile gli errori di tipo 1, cio`e evitare di inserire nello stesso gruppo hit del TC prodotti da tracce diverse, anche a scapito di un aumento degli errori di tipo 2, per cui l’insieme degli hit prodotti dalla stessa traccia viene “spacchettato” in pi`u gruppi distinti. In questa fase `e quindi frequente che il numero di tracce ricostruite che hanno colpito il TC sia maggiore di quello delle tracce che hanno realmente raggiunto questo rivelatore.

La selezione avviene tramite un processo iterativo cos`ı strutturato:

1) Generazione di un nuovo insieme: anzitutto si scorre l’elenco degli hit nel TC fino a trovare il primo non ancora associato a nessun insieme, che chiameremo H0. Poich´e

il TrackMixer ha trascritto i dati in ordine casuale, H0 pu`o essere un hit qualsiasi.

A questo punto H0 costituisce il primo elemento di un nuovo insieme di hit nel TC,

a cui (eventualmente) potranno essere associati altri hit.

2) Associazione degli hit successivi: L’associazione degli hit successivi al gruppo ini- ziato da H0 avviene scorrendo l’elenco da capo. In particolare l’hit Hiviene associato

all’insieme di H0 se rispetta tutti i seguenti criteri:

- Hi non dev’essere ancora stato associato a nessun insieme,

- il modulo della differenza fra tHi e tH0 deve essere minore del parametro di

analisi TIMEPERMIT,

- la distanza spaziale fra Hi ed H0 deve essere minore del parametro di analisi

RADPERMIT.

Se Hi rispetta i criteri viene incluso nel gruppo, altrimenti si procede nell’elenco fino

ad esaurirlo.

3) Verifica di fine processo: Terminato l’elenco, si verifica se ci siano hit che non ri- sultano ancora associati a nessun insieme. In caso positivo, si ritorna al punto 1. Il processo viene ripetuto finch`e tutti gli hit nel TC non sono stati associati ad almeno un gruppo eventualmente formato da un unico hit (escludendo quindi la possibilit`a di commettere errori di tipo 3). Il numero totale ˆN1 di insiemi cos`ı prodotti sar`a tale

che 1 ≤ ˆN1≤ nT C.

Un’obiezione che potrebbe sorgere rispetto al processo di associazione appena presentato `e che tutti i confronti al punto 2 vengono eseguiti rispetto ad H0, che `e un hit scelto in modo

casuale (come sar`a mostrato pi`u avanti, la strategia adottata per le selezioni nella camera a deriva `e diversa). Tuttavia ci`o non costituisce un vero problema, in quanto le prestazioni del programma non sono influenzate da questa scelta. I motivi sono due: il primo `e che gli hit prodotti dalla stessa porzione di traccia tendono ad avere tempi molto vicini fra loro (∆t ≈ 0.5 ns per due hit consecutivi) e dunque qualunque hit si scelga per il confronto,

la probabilit`a che questo sia molto distante temporalmente da tutti quelli prodotti dalla stessa traccia `e bassa, mentre che lo sia da quelli prodotti da tracce diverse `e molto pi`u alta. In secondo luogo bisogna tenere presente che lo scopo della prima associazione `e quello di evitare che in un insieme siano inclusi hit “sbagliati” e non quello di raccogliere subito tutti quelli prodotti dalla stessa traccia. Dunque, se anche in un’iterazione venisse scelto come H0un hit estremale o comunque particolarmente distante nel tempo e nello spazio da

tutti gli altri (un cosiddetto outlier ), l’unico danno sarebbe che H0 verrebbe interpretato

come un insieme a s´e stante ed in un’iterazione successiva gli hit restanti prodotti dalla stessa traccia sarebbero associati ad un insieme diverso, generato a partire da un H0 pi`u

“baricentrico”.

In base alle considerazioni ora svolte risulta importante una scelta oculata dei parametri di analisi che intervengono nella prima selezione. In particolare, la scelta ideale corrisponde ai massimi valori che non introducono errori di tipo 1, cio`e i criteri “minimamente severi” che consentono di non associare fra loro hit generati da tracce diverse. In questo modo il numero di insiemi individuati nel TC in eccesso rispetto a quelli effettivamente prodotti (che introduce errori di tipo 2) `e comunque abbastanza piccolo.

Seconda selezione

Obiettivo della seconda selezione `e cercare di riunire gli insiemi individuati dalla prima selezione limitando il pi`u possibile gli errori di tipo 2 senza per`o reintrodurre, nel procedi- mento, gli errori di tipo 1 evitati in precedenza.

La seconda selezione prevede un passo preliminare, costituito dal calcolo del valor medio di t (che indichiamo con ˆt) e delle coordinate estremali per ognuno degli insiemi individuati dalla prima selezione. Indichiamo con ( ˆX, ˆY ed ˆZ)L l’hit con la minima z e con ( ˆX, ˆY

ed ˆZ)R quello con la massima z. Se la prima selezione `e stata eseguita correttamente ed

ogni insieme contiene solo hit generati da un’unica traccia, le fluttuazioni sulla media dei tempi `e pi`u piccola di quella sul tempo del singolo hit ; pertanto, usando le medie, sar`a meno probabile confondere un positrone con un altro. Se, poi, nella prima selezione do- vesse essere stato commesso qualche errore di tipo 1, l’effetto sarebbe comunque “diluito” dall’operazione di media. Per quanto riguarda le coordinate si pu`o notare che, selezionando solo due punti per ogni insieme (invece della lista completa degli hit ) il numero di asso- ciazioni possibili diminuisce drasticamente; inoltre, la distanza minima fra una coppia di punti estremali appartenenti ad alcune porzioni consecutive della stessa traccia `e in media minore della distanza di un punto arbitrario interno ad una porzione da uno o entrambi gli estremi della porzione stessa. In questo modo, anche se il parametro RADADMIT che gestisce il taglio sulla distanza fra i punti estremali risulta < di RADPERMIT, l’effetto complessivo equivale ad un taglio pi`u lasco.

La seconda selezione, concettualmente, assomiglia molto alla prima, ed `e anch’essa eseguita tramite un processo iterativo:

1) Scelta dell’insieme di confronto: si considera il primo insieme individuato dalla pri- ma selezione, che chiameremo U0. U0 dipende da qual era il primo H0 scelto nella

procedura precedente, per cui `e anch’esso un gruppo scelto in maniera casuale fra quelli prodotti. U0 servir`a come termine di confronto con tutti gli altri insiemi.

2) Unione di altri insiemi: U0 viene confrontato con tutti gli altri insiemi. Se durante

questa ricerca si individua un insieme Uiche rispetta alcuni criteri di contiguit`a, tutti

gli hit che compongono Ui vengono riassociati ad U0, ed il gruppo Ui viene distrutto.

I criteri sono:

- il modulo della differenza fra ˆtUie ˆtU0 deve essere minore del parametro d’analisi

TIMEADMIT,

- la distanza fra ( ˆXUi, ˆYUi, ˆZUi)L,R e ( ˆXU0, ˆYU0, ˆZU0)R,L deve essere minore del

parametro d’analisi RADADMIT; la scelta fra R ed L `e compiuta selezionando il caso corrispondente alla distanza minore.

A seguito di un’unione i valori di ( ˆXU0, ˆYU0, ˆZU0)R,Lvengono aggiornati considerando

anche gli hit che erano appartenuti ad Ui.

3) Iterazione: Si considera l’insieme U1 successivo ad U0. Se esiste ancora (cio`e se non `e

stato distrutto in seguito ad un’unione con U0 che potrebbe essere avvenuta al passo

2) esso sar`a il nuovo insieme di confronto e verr`a utilizzato per i confronti descritti al passo 2 al posto di U0; in caso contrario si procede nella sequenza degli insiemi fino

a trovarne uno ancora esistente. Una volta individuato l’insieme successivo, si ripete il passo 2.

4) Verifica di fine processo: I passi 2 e 3 vengono ripetuti finch`e tutti gli insiemi non sono stati scelti come elementi di confronto al passo 3 o sono stati distrutti al passo 2. Il numero totale ˆN2 di insiemi superstiti sar`a tale che 1 ≤ ˆN2≤ ˆN1. ˆN2 rappresenta

la stima, operata dal TrackIdentifier, del numero ˙N di positroni che hanno prodotto un segnale nel TC; perci`o se l’associazione avesse un’efficienza del 100%, ˆN2 = ˙N .

Al termine del processo di associazione nel TC, il TrackIdentifier avr`a costruito una serie di insiemi Ui con i = 0, 1, 2, . . . ˆN2− 1 tali che

ˆ N2−1

X

i=0

ηi = nT C

dove ηi indica il numero di elementi dell’insieme i-esimo. Gli insiemi Ui indicano il modo

in cui gli hit misurati nel TC dovrebbero essere raggruppati fra loro.

L’efficienza dell’associazione sar`a discussa nella sezione 3.3.6. Si pu`o comunque anticipare che per questo tipo di analisi la presenza di alcuni errori di tipo 2 `e inevitabile per positroni con angoli di emissione θ molto elevati, ma questo non danneggia la qualit`a dell’analisi.

La tabella 3.1 riassume i parametri usati nell’intero processo di associazione degli hit del TC, che minimizza il numero complessivo di errori di tipo 1 e 2.

Tabella 3.1: Parametri utilizzati per l’associazione degli hit del TC Parametro Valore

TIMEPERMIT 1·10−8 sec RADPERMIT 17 cm TIMEADMIT 5·10−9 sec

RADADMIT 6 cm